Tabele wielodzielcze – analiza frekwencji

Procedury analizy frekwencji stosuje się do danych w skali nominalnej, jednak

znajdują one zastosowanie także do pozostałych skal.

Testy zgodności

– porównują otrzymany (empiryczny) rozkład frekwencji

badanej cechy z rozkładem teoretycznym.

Testy niezależności

– porównują dwa empiryczne rozkłady frekwencji badanej

cechy.

Współczynniki Φ, korelacji tetrachorycznej, V Cramera i kontyngencji

–

określają siłę związku między badanymi cechami.

Testy zgodności

Przykład 21

Proporcja różnych kwiatów u danego gatunku rośliny w kolejnym pokoleniu
powinna wynosić 9:3:3:1. Otrzymano następujące liczby kwiatów (n=250).

Obliczanie wartości oczekiwanych: 250/(9+3+3+1)=15,6

3*15,6= 46,9
9*15,6=140,6

Do testowania istotności
różnic używa się testu 

2

lub

testu G.



2

= 8,96; df=3; p=0,030

H

0

o podobieństwie frekwencji otrzymanej i oczekiwanej należy odrzucić

Najwyższy iloraz kwadratu różnicy między frekwencją obserwowaną i
oczekiwaną

przez wartość oczekiwaną występuje w przypadku kwiatów

czerwonych. W celu sprawdzenia czy ta kategoria jest odpowiedzialna za
zaistniałe różnice wyklucza się ją z dalszej analizy i testuje się pozostałe
kategorie.

obserwane

oczekiwane róznica

kwadrat różnicy/

fr. oczekiwana

białe

152

140,6

11,4

0,924

żółte

39

46,9

-7,9

1,331

różowe

53

46,9

6,1

0,793

czerwone

6

15,6

-9,6

5,908



2

= 3,05; df=2; p=0,218

Nie ma różnic pomiędzy pozostałymi kategoriami. Za zaistniałą różnicę
odpowiedzialna jest zbyt mała frekwencja kwiatów czerwonych.

liczba stopni swobody (df) = k-1 = 4-1 = 3

Testy niezależności

Gatunek

KLASA 1 KLASA 2 KLASA 3 KLASA 4

Suma

choina

18

22

27

19

86

klon

63

15

20

12

110

Suma

81

37

47

31

196

Przykład 22

Porównywano strukturę wiekową choiny i klonu rosnących na pewnym
obszarze. Wyróżniono 4 klasy wiekowe. Należy sprawdzić, czy struktura
wiekowa obu tych gatunków jest taka sama. Poniżej przedstawiono tzw.
tabelę kontyngencji.

Do testowania istotności różnic używa się testu 

2

lub testu G.



2

= 26,40; df=3; p<0,0001

H

0

o podobieństwie struktury wiekowej choiny i klonu należy odrzucić

(struktura wiekowa badanych drzew jest zależna od gatunku)

Gatunek

KLASA 1 KLASA 2 KLASA 3 KLASA 4

choina

9,18%

11,22%

13,78%

9,69%

klon

32,14%

7,65%

10,20%

6,12%

W celu sprawdzenia która klasa (które klasy) wiekowa jest odpowiedzialna za zaistniałe
różnice przeliczono surowe dane na udziały procentowe w stosunku do całkowitej
liczebności próby (n=196)

Największa różnica między
choiną i klonem wystąpiła w
klasie 1.

Po wyłączeniu z analizy klasy 1 różnice okazały się
nieistotne.



2

= 0,12; df=2; p=0,943

Frekwencja młodych klonów (klasa 1) jest istotnie wyższa niż młodych choin.

liczba stopni swobody (df) = (r-1)-(c-1) = (2-1)*(4-1) = 1*3 = 3

Test 

2

- założenia

Test 

2

jest testem nieparametrycznym, lecz jego stosowanie obwarowane

jest warunkiem by liczebności oczekiwane nie były zbyt małe.

Wartość wyrażenia

nie powinna być mniejsza niż 6

c

r

n



n –liczebność próby
r – liczba wierszy tabeli kontyngencji
c – liczba kolumn tabeli kontyngencji

W większości podręczników spotyka się założenia, że żadna z frekwencji
oczekiwanych nie powinna być mniejsza niż 5

Jeśli założenie to nie jest spełnione, to zaleca się wykluczenie z analizy
kategorii o zbyt małej liczebności lub połączenie jej z sąsiednią kategorią.

W przypadku tabel o 2 wierszach i 2 kolumnach, gdy liczebności oczekiwane
są zbyt małe można stosować

test dokładny Fishera.

W przypadku tabel o 2 wierszach i 2 kolumnach, gdy choć jedna z liczebności
oczekiwanych jest mniejsza od 10 stosuje się

poprawkęYatesa

.

Tabele wielodzielcze – siła związku

Współczynnik Φ

– jest miarą korelacji miedzy dwiema zmiennymi jakościowymi

dychotomicznymi (tylko dla tabeli 2 x 2). Przyjmuje wartości od 0 (brak korelacji) do 1
(korelacja pełna).

Współczynnik kontyngencji (C)

– jest miarą korelacji miedzy zmiennymi

jakościowymi. Gdy zmienne są niezależne przyjmuje on wartość 0. jego maksymalna
wartość zależy od rozmiaru tabeli (liczby kategorii w obrębie zmiennych). W przypadku
tabel kwadratowych, tzn. takich w których liczba wierszy i kolumn jest taka sama,
można wyznaczyć jego maksymalną wartość.

Jego maksymalna wartość dla danego rozmiaru tabeli kwadratowej oblicza się wg wzoru:

k

k

C

1

max





k – liczba kolumn (wierszy) w tabeli

k

2

3

4

5

C

max

0,7

1

0,8

2

0,8

7

0,8

9

Współczynnik V Cramera

– jest miarą korelacji miedzy dwiema zmiennymi

jakościowymi. Przyjmuje wartości od 0 (brak korelacji) do 1 (korelacja pełna).

Współczynnik korelacji tetrachorycznej

– ma zastosowanie tylko dla tabeli 2 x 2.

Stosuje się go, gdy tabela 2 x 2 jest wynikiem rozdzielenia na 2 kategorie zmiennych o
charakterze ciągłym. Daje ocenę korelacji między tymi zmiennymi. Przyjmuje wartości
od 0 (brak korelacji) do 1 (korelacja pełna).

Może służyć do porównań siły związku w tabelach o takich samych rozmiarach:

Tabele wielodzielcze – siła związku

Gatunek

KLASA 1 KLASA 2 KLASA 3 KLASA 4

Suma

choina

18

22

27

19

86

klon

63

15

20

12

110

Suma

81

37

47

31

196

Przykład 23

Porównywano strukturę wiekową choiny i klonu rosnących na pewnym
obszarze. Wyróżniono 4 klasy wiekowe. Należy sprawdzić, czy struktura
wiekowa obu tych gatunków jest taka sama (czy struktura wiekowa jest
zależna od gatunku drzewa).



2

= 26,40; df=3; p<0,0001

Struktura wiekowa badanych drzew jest zależna od gatunku

Współczynnik kontyngencji C = 0,34

Test dokładny Fishera

Stosuje się go wyłącznie do tabel 2 x 2, gdy nie są spełnione wymagania
związane ze stosowaniem testu 

2

.

Przykład 24

Porównywano strukturę płciową u dorosłych krzyżówek chwytanych w dwa
typy pułapek. Należy sprawdzić czy rodzaj stosowanej pułapki wpływa na
proporcję płci w próbie. (czy struktura płciowa dorosłych krzyżówek jest
zależna od typu pułapki)





Typ 1

2

7

Typ 2

5

4

5

,

4

4

18





c

r

n

test Fishera; p=0,335

Struktura płciowa chwytanych krzyżówek nie jest zależna od typu stosowanej pułapki





Typ 1

1

8

Typ 2

6

3

test Fishera; p=0,0498





Typ 1

11

%

39

%

Typ 2

28

%

22

%





Typ 1

6

21

Typ 2

15

12

test Fishera; p=0,0122

test 

2

; 

2

=6,31; df=1; p=0,0120.

Test McNemara (test istotności zmian)

Test ten stosowany jest do zbadania istotności różnic jakie zaszły pod
wpływem danego czynnika. Może być traktowany jako alternatywa dla testu
t-Studenta dla zmiennych powiązanych, gdy badana zmienna jest
dychotomiczna.

Jego zastosowanie wymaga wpisania danych w tabelę 2 x 2.

Po (-)

Po (+)

Przed
(+)

Liczba przypadków, w
których doszło do zmiany z

+

na

-

Liczba przypadków, w
których nie doszło do
zmiany

Przed (-) Liczba przypadków, w

których nie doszło do
zmiany

Liczba przypadków, w
których doszło do zmiany z

-

na

+

Suma liczebności komórek A i D powinna wynosić co najmniej 20

Po (-)

Po (+)

Przed
(+)

A

B

Przed (-)

C

D

Test McNemara A/D

– weryfikuje H

0

o

równych liczebnościach w komórkach A i D.

Test McNemara (test istotności zmian)

Po (-)

Po (+)

Przed
(+)

Liczba powierzchni, na
których mniszka nie było, a
pojawił się po

eksperymencie

(3)

Liczba powierzchni, na
których nie było mniszka
przed i po eksperymencie

(5)

Przed (-) Liczba powierzchni, na

których mniszek był przed
i po eksperymencie

(5)

Liczba powierzchni, na

których mniszek znikł
zupełnie po eksperymencie

(17)

Przykład 25

Na trawnikach miejskich wyznaczono losowo 30 powierzchni badawczych. Na
każdej z powierzchni policzono mniszki lekarskie. Na 8 powierzchniach
mniszków nie stwierdzono wcale. Przez rok na wszystkich powierzchniach
stosowano łagodny środek chwastobójczy. Po zakończeniu eksperymentu
policzono ponownie wszystkie osobniki mniszka. Uzyskano następujące wyniki
(jako „-” przyjęto występowanie mniszka):

test McNemara; 

2

=8,45; p=0,0037

Test Q Cochrana

Test ten jest rozwinięciem testu McNemara na więcej niż dwie próby.
Zmienne muszą zawierać jedynie kody 0 i 1

Przykład 26

Badano preferencje pokarmowe u 35 kanarków. Każdego osobnika wpuszczano
pojedynczo do klatki z 4 rodzajami karmy i pozwalano żerować przez 15 minut
obserwując które rodzaje karmy są przez niego spożywane. Wyniki
przedstawiono w tabeli kodując jako 1 spożywanie danej karmy:

ptak

Karm

a 1

Karm

a 2

Karm

a 3

Karm

a 4

1

1

0

0

0

2

1

0

1

0

3

1

1

1

1

4

0

0

1

0

Suma

Procent 0 Procent 1

Karma 1

29

17,1

82,9

Karma 2

19

45,7

54,3

Karma 3

14

60,0

40,0

Karma 4

15

57,1

42,9

WYNIKI

Test Q Cochrana; Q=13,96; p=0,003

Stopień wykorzystania czterech karm przez badane kanarki nie był taki sam.