Podstawy Automatyki

Wykład 7. Uchyby ustalone w układach

regulacji

Wykład przygotowany przez pracownika

Instytutu Technik Wytwarzania PW Wojciecha

Kramarka

Schemat UAR

Schemat UAR

Sygnały w układzie regulacji jednej

zmiennej

1-yº(t) sygnał zadany (wejściowy), określany jako tzw.

zadanie sterowania,
2. y(t)- sygnał wyjściowy, zwany także sygnałem

regulowanym,
3. u(t)- sygnał sterujący, zwany sygnałem nastawiającym

(t),
4. e(t)- sygnał uchybu regulacji (w idealnym układzie

uchyb powinien przyjmować wartość 0),
5. z(t)- sygnał zakłócenia.

Definicje

Wartość zadana (ang. setpoint) – w układzie regulacji,

wartość sygnału wejściowego, informująca regulator o
pożądanej wartości sygnału wyjściowego. Dzięki znajomości
wartości zadanej i wartości sygnału wyjściowego można
wyznaczyć błąd regulacji, w postaci różnicy tych sygnałów.

Stan nieustalony (przejściowy) – w automatyce, stan

dla którego w układzie występują zmiany sygnału
wyjściowego. Następuje do momentu ustalenia się wartości
sygnału wyjściowego.

Uchyb regulacji (błąd sterowania) - w układzie regulacji,

różnica między wartością zadaną sygnału oraz wartością
sygnału wyjściowego w stanie nieustalonym.

e(t) = yº(t) − y(t)

Schemat blokowy UAR z zakłóceniami

Podstawowe transmitancje

Transmitancja układu zamkniętego wynosi:

Transmitancja uchybowa:

Transmitancja zakłóceniowa układu zamkniętego

Sygnał wyjściowy oraz błąd układu

Sygnał wyjściowy jest określony wzorem:

Błąd w układzie jest określony wzorem:

Uchyb przejściowy i uchyb statyczny

W układach regulacji całkowity uchyb regulacji jest sumą

dwóch wyrażeń:

gdzie:- uchyb przejściowy, zwany także

dynamicznym,

uchyb statyczny (uchyb w stanie ustalonym).

W przypadku stabilnego układu regulacji tzn. po

dostatecznie długim czasie, wartość uchybu e(t) ustala się

na poziomie e(s)
tj. uchybu statycznego, ponieważ uchyb z upływem

czasu dąży do zera.

Na podstawie twierdzenia granicznego rachunku

operatorowego o wartości granicznej

Pojęcie uchybu regulacji

Układy statyczne

Układ statyczny regulacji to układ, którego uchyb

statyczny w stanie ustalonym przy wymuszeniu skokowym
yo(t) lub z(t) jest różny od zera, niezależnie od amplitudy
wymuszenia, tzn., że w układzie statycznym występują
różne od zera proporcjonalne do wartości skokowego lub
stałego pobudzenia uchyby ustalone.

Wartość błędu

ustalonego w układzie statycznym jest zatem
proporcjonalna do wartości stałego wymuszenia i odwrotnie
proporcjonalna do wartości współczynnika wzmocnienia ko
układu otwartego.

Uchyby ustalone w układach :

statycznym i astatycznym pierwszego i

drugiego rzędu.

Układy astatyczne

Układ astatyczny regulacji to układ w którym uchyb
statyczny, czyli uchyb ustalony przy wymuszeniu skokowym
jest równy 0.
Układ automatycznej regulacji nazywamy astatycznym k-
tego rzędu (układem z astatyzmem k-tego rzędu), jeżeli
jego uchyb w stanie ustalonym jest równy zeru dla
wszystkich sygnałów wejściowych, których pochodne,
począwszy od k-tej są równe zeru dla t dążącego do
nieskończoności.
Warunkiem koniecznym astatyzmu automatycznego układu
regulacji jest wystąpienie członu całkującego w układzie.
Jeśli w układzie znajduje się k członów całkujących to rząd
astatyzmu takiego układu jest równy k.

Uchyb jako suma składowych

Uchyb jako suma:

Uchyb od wymuszenia

• Uchyb od wymuszenia:

Obliczenie uchybu od wymuszenia

Uchyb od zakłócenia

Uchyb od zakłócenia

Obliczenie uchybu od zakłócenia

• Obliczenie uchybu od zakłócenia

Transmitancja uchybowa

Transmitancja uchybowa

Dokładność regulacji

Wartości odchyłek statycznych

• Wartości odchyłek statycznych

Transformaty sygnałów

Przykłady UAR: a) bez regulatora ,

b) z regulatorem P, c) z regulatorem PI

Wyznaczanie uchybu

Przy założeniu stałości sygnału sterującego oraz przy skoku

jednostkowym zakłócenia mamy dla trzech przedstawionych
przypadków:

Wpływ parametrów regulatora na błąd

ustalony

Wpływ parametrów regulatora na błąd ustalony w UAR:

-wzrost kp powoduje spadek wartości błędu ustalonego,
-wzrost kp prowadzi do utraty stabilności układu,
-obecność członu całkującego w układzie prowadzi do

powstania zerowej odchyłki ustalonej,

-zmiana wartości stałej czasowej różniczkowania nie ma

wpływu na wartość błędu ustalonego.

Przykłady uchybów

Przebiegi czasowe odpowiedzi

Odpowiedzi układów zawierających l elementów
całkujących na wymuszenia: a) skokowe, b) liniowo
narastające, c) paraboliczne.

Przebiegi czasowe sygnału w UAR z

regulatorem PI przy różnych

wymuszeniach

Ocena jakości UAR

Jakość układu regulacji ocenia się za pomocą

wskaźników jakości przebiegu wielkości regulowanej. Należy
tutaj wymienić:
-wskaźniki dokładności statycznej układów,
-wskaźniki zapasu stabilności (odległość od granicy
stabilności układu),
-wskaźniki szybkości działania (szybkość reagowania układu
na wymuszenia),
-wskaźniki całkowe (są oceną jednoczesną wartości uchybu
regulacji w stanie ustalonym i szybkości działania układu).

Jakość regulacji

Jakość regulacji najczęściej jest określana przez

parametry odpowiedzi skokowej układu regulacji.
Do parametrów tych są zaliczane:

- czas odpowiedzi,
- czas regulacji,
- przeregulowanie,
- całkowe wskaźniki jakości regulacji

Odpowiedź układu na skok

jednostkowy

Definicje

Czas regulacji tr jest to czas, po upływie którego

wartość odpowiedzi y(t) różni się od wartości końcowej

najwyżej
o wartość Δ. Najczęściej przyjmuje się przedział Δ =

(0.02...0.05)% wartości ustalonej y(u).

Czas narastania 90% t jest to czas wymagany, aby przy

wymuszeniu skokiem jednostkowym 1(t) odpowiedź y(t)

obiektu wzrosła od wartości 10% y(u) do wartości 90% y(u).

Czas opóźnienia 10% t jest czasem, po którym

odpowiedź układu wymuszonego skokiem jednostkowym

1(t) osiągnęła wartość 10% y(u).

Przeregulowanie

Przeregulowanie – jeden z parametrów określających

jakość
dynamiczną odpowiedzi skokowej otwartego lub

zamkniętego
układu automatyki. Wyraźne (duże) przeregulowanie może

wystąpić w sytuacji dużych zakłóceń (niekorzystnych

warunków otoczenia) lub złych nastaw regulatora.

Zbyt duże przeregulowanie może doprowadzić w

niektórych
przypadkach nawet do zniszczenia układu.

Przeregulowanie jest określone poniższą zależnością:

Całkowe wskaźniki jakości

Całkowe wskaźniki jakości umożliwiają ocenę jakości

zaprojektowanego lub oddawanego do użytku układu

automatycznej regulacji. W złożonych układach automatyki

używane są do prowadzonego on-line pomiaru jakości

regulacji.

Ilościowy pomiar jakości jest konieczny w

nowoczesnych układac sterowania adaptacyjnego, w

układach automatycznej
optymalizacji parametrów układu sterowania i przy

projektowaniu układów optymalnych.

Jeśli celem wyznaczenia jakości układu jest poprawa

projektu układu lub zaprojektowanie układu sterowania

wówczas musi zostać określone kryterium jakości.

Ilustracja całkowych wskaźników

jakości

Wskaźniki jakości

Często używanym wskaźnikiem jakości jest całka z

kwadratu uchybu. Całka uchybu kwadratowego, ISE

(Integral Square Error), została zdefiniowana jako:

gdzie T – z góry zadana wartość czasu (najczęściej

przyjmuje się za

T czas ustalenia).
Często jest również używana całka z wartości

bezwzględnej uchybu (IAE – Integral Absolute Error)

Całkowe wskaźniki jakości

Używane są również :

całka z iloczynu czasu i wartości bezwzględnej uchybu
(ITAE - (Integral Time Absolute Error):

oraz całka z iloczynu czasu i kwadratu uchybu (ITSE -
Integral
Time Square Error):