Podstawy Automatyki

Wykład 7. Uchyby ustalone w układach 

regulacji

Wykład przygotowany przez pracownika 

Instytutu Technik Wytwarzania PW Wojciecha 

Kramarka

Schemat UAR

Schemat UAR

Sygnały w układzie regulacji jednej 

zmiennej

  

1-yº(t) sygnał zadany (wejściowy), określany jako tzw. 

zadanie sterowania, 
2. y(t)-  sygnał wyjściowy, zwany także sygnałem 

regulowanym, 
3. u(t)- sygnał sterujący, zwany sygnałem nastawiającym  

(t), 
4. e(t)- sygnał uchybu regulacji (w idealnym układzie 

uchyb powinien przyjmować wartość 0),
5.  z(t)- sygnał zakłócenia. 

Definicje

Wartość zadana (ang. setpoint) – w układzie regulacji, 

wartość sygnału wejściowego, informująca regulator o 
pożądanej wartości sygnału wyjściowego. Dzięki znajomości 
wartości zadanej i wartości sygnału wyjściowego można 
wyznaczyć błąd regulacji, w postaci różnicy tych sygnałów.

Stan nieustalony (przejściowy) – w automatyce, stan 

dla którego w układzie występują zmiany sygnału 
wyjściowego. Następuje do momentu ustalenia się wartości 
sygnału wyjściowego.

Uchyb regulacji (błąd sterowania) - w układzie regulacji, 

różnica między wartością zadaną sygnału oraz wartością 
sygnału wyjściowego w stanie nieustalonym. 

e(t) = yº(t) − y(t) 

Schemat blokowy UAR z zakłóceniami

Podstawowe transmitancje

Transmitancja układu zamkniętego wynosi:

Transmitancja uchybowa:

Transmitancja zakłóceniowa układu zamkniętego

Sygnał wyjściowy oraz błąd układu

Sygnał wyjściowy jest określony wzorem:

Błąd w układzie jest określony wzorem:

Uchyb przejściowy i uchyb statyczny

W układach regulacji całkowity uchyb regulacji jest sumą 

dwóch wyrażeń:

  gdzie:-         uchyb przejściowy, zwany także 

dynamicznym,

             uchyb statyczny (uchyb w stanie ustalonym). 

W przypadku stabilnego układu regulacji tzn. po 

dostatecznie długim czasie, wartość uchybu e(t) ustala się 

na poziomie  e(s) 
 tj. uchybu statycznego, ponieważ uchyb          z upływem 

czasu dąży do zera.

Na podstawie twierdzenia granicznego rachunku 

operatorowego o wartości granicznej

Pojęcie uchybu regulacji

Układy statyczne

Układ statyczny regulacji to układ, którego uchyb 

statyczny w stanie ustalonym przy wymuszeniu skokowym 
yo(t) lub z(t) jest różny od zera, niezależnie od amplitudy 
wymuszenia, tzn., że w układzie statycznym występują 
różne od zera proporcjonalne do wartości skokowego lub 
stałego pobudzenia uchyby ustalone. 

Wartość błędu 

ustalonego w układzie statycznym jest zatem 
proporcjonalna do wartości stałego wymuszenia  i odwrotnie 
proporcjonalna do wartości współczynnika wzmocnienia ko 
układu otwartego.  

Uchyby ustalone w układach : 

statycznym i astatycznym pierwszego i 

drugiego rzędu.

Układy astatyczne

Układ astatyczny regulacji to układ w którym uchyb 
statyczny, czyli uchyb ustalony przy wymuszeniu skokowym 
jest równy 0. 
Układ automatycznej regulacji nazywamy astatycznym k-
tego rzędu (układem z astatyzmem k-tego rzędu), jeżeli 
jego uchyb w stanie ustalonym jest równy zeru dla 
wszystkich sygnałów wejściowych, których pochodne, 
począwszy od k-tej są równe zeru dla t dążącego do 
nieskończoności.
Warunkiem koniecznym astatyzmu automatycznego układu 
regulacji jest wystąpienie członu całkującego w układzie. 
Jeśli w układzie znajduje się k członów całkujących to rząd 
astatyzmu takiego układu jest równy k.

Uchyb jako suma składowych

Uchyb jako suma:

Uchyb od wymuszenia

• Uchyb od wymuszenia:

Obliczenie uchybu od wymuszenia

Uchyb od zakłócenia

Uchyb od zakłócenia

Obliczenie uchybu od zakłócenia

• Obliczenie uchybu od zakłócenia

Transmitancja uchybowa

Transmitancja uchybowa

Dokładność regulacji

Wartości odchyłek statycznych

• Wartości odchyłek statycznych

Transformaty sygnałów

Przykłady UAR: a) bez  regulatora , 

b) z regulatorem P, c) z regulatorem PI

Wyznaczanie uchybu

Przy założeniu stałości sygnału sterującego oraz przy skoku 

jednostkowym zakłócenia mamy dla trzech przedstawionych 
przypadków:

Wpływ parametrów regulatora na błąd 

ustalony

Wpływ parametrów regulatora na błąd ustalony w UAR:

-wzrost kp powoduje spadek wartości błędu ustalonego,
-wzrost kp prowadzi do utraty stabilności układu,
-obecność członu całkującego w układzie prowadzi do 

powstania zerowej odchyłki ustalonej,

-zmiana wartości stałej czasowej różniczkowania nie ma 

wpływu na wartość błędu ustalonego.  

Przykłady uchybów

Przebiegi czasowe odpowiedzi

Odpowiedzi układów zawierających l elementów 
całkujących na wymuszenia: a) skokowe, b) liniowo 
narastające, c) paraboliczne.

Przebiegi czasowe sygnału w UAR z 

regulatorem PI przy różnych 

wymuszeniach

Ocena jakości UAR

Jakość układu regulacji ocenia się za pomocą 

wskaźników jakości przebiegu wielkości regulowanej. Należy 
tutaj wymienić:
-wskaźniki dokładności statycznej układów,
-wskaźniki zapasu stabilności (odległość od granicy 
stabilności układu),
-wskaźniki szybkości działania (szybkość reagowania układu 
na wymuszenia),
-wskaźniki całkowe (są oceną jednoczesną wartości uchybu 
regulacji w stanie ustalonym i szybkości działania układu).

Jakość regulacji

Jakość regulacji najczęściej jest określana przez 

parametry odpowiedzi skokowej układu regulacji.
Do parametrów tych są zaliczane:

- czas odpowiedzi,
- czas regulacji,
- przeregulowanie,
- całkowe wskaźniki jakości regulacji

Odpowiedź układu na skok 

jednostkowy

Definicje

Czas regulacji  tr jest to czas, po upływie którego 

wartość odpowiedzi y(t) różni się od wartości końcowej 

najwyżej 
o wartość Δ. Najczęściej przyjmuje się przedział Δ = 

(0.02...0.05)% wartości ustalonej y(u).

Czas narastania 90% t jest to czas wymagany, aby przy 

wymuszeniu skokiem jednostkowym 1(t) odpowiedź y(t) 

obiektu wzrosła od wartości 10% y(u) do wartości 90% y(u).

Czas opóźnienia 10% t jest czasem, po którym 

odpowiedź układu wymuszonego skokiem jednostkowym 

1(t) osiągnęła wartość 10% y(u).

Przeregulowanie

Przeregulowanie – jeden z parametrów określających 

jakość
dynamiczną odpowiedzi skokowej otwartego lub 

zamkniętego
układu automatyki. Wyraźne (duże) przeregulowanie może 

wystąpić w sytuacji dużych zakłóceń (niekorzystnych 

warunków otoczenia) lub złych nastaw regulatora. 

Zbyt duże przeregulowanie może doprowadzić w 

niektórych
przypadkach nawet do zniszczenia układu.

Przeregulowanie  jest określone poniższą zależnością:

Całkowe wskaźniki jakości

Całkowe wskaźniki jakości umożliwiają ocenę jakości 

zaprojektowanego lub oddawanego do użytku układu 

automatycznej regulacji. W złożonych układach automatyki 

używane są do prowadzonego on-line pomiaru jakości 

regulacji. 

Ilościowy pomiar jakości jest konieczny w 

nowoczesnych układac sterowania adaptacyjnego, w 

układach automatycznej
optymalizacji parametrów układu sterowania i przy 

projektowaniu układów optymalnych. 

Jeśli celem wyznaczenia jakości układu jest poprawa 

projektu układu lub zaprojektowanie układu sterowania 

wówczas musi zostać określone kryterium jakości.

Ilustracja całkowych wskaźników 

jakości

Wskaźniki jakości

Często używanym wskaźnikiem jakości jest całka z 

kwadratu uchybu. Całka uchybu kwadratowego, ISE 

(Integral Square Error), została  zdefiniowana jako:

gdzie T – z góry zadana wartość czasu (najczęściej 

przyjmuje się za

T czas ustalenia).
Często jest również używana całka z wartości 

bezwzględnej uchybu (IAE – Integral Absolute Error)

Całkowe wskaźniki jakości

Używane są również :

całka z iloczynu czasu i wartości bezwzględnej uchybu
(ITAE - (Integral Time Absolute Error):

oraz całka z iloczynu czasu i kwadratu uchybu (ITSE - 
Integral
Time Square Error):