Wykład 8

Analiza korelacji

Korelacja krzywoliniowa

-miary krzywoliniowości

korelacji-

dr Elżbieta Gołąbeska

Rozważania dotyczące korelacji

między dwiema zmiennymi X i Y

prowadzone były dotychczas wyłącznie w

zakresie

stwierdzenia istnienia tejże korelacji.

Wprowadze
nie

W tym celu stawiano hipotezę zerową

o niezależności badanych zmiennych.

Następnie weryfikowano ją testem chi-

kwadrat.

W momencie odrzucenia H

0

stwierdzano,

że istnieje korelacja między X i Y.

Wprowadze
nie

Po stwierdzeniu, że korelacja istnieje,

w dalszej części analizy należałoby zbadać

czy jest to korelacja liniowa czy

krzywoliniowa.

Wprowadze
nie

Współczynnik korelacji
liniowej

Stosunki korelacyjne

Miary krzywoliniowości

Oznaczenia

xy

r

xy

e

yx

e

xy

m

yx

m

Czy korelacja jest liniowa czy
krzywoliniowa ?

Korelacja między zmiennymi X i Y jest liniowa,

jeśli

xy

r

=

xy

e

Zwykle jednak

|

|

xy

r

<

xy

e

Wówczas mówimy, że korelacja może być

krzywoliniowa

W celu stwierdzenia krzywoliniowości należy

wyznaczyć

tzw. miary krzywoliniowości korelacji

Miary krzywoliniowości korelacji

xy

m

=

xy

e

-

xy

r

oraz

yx

m

=

yx

e

-

xy

r

2

2

W przypadku, gdy

xy

m

>

0,2

to można sądzić, że zależność między zmiennymi X i

Y

jest krzywoliniowa

2

2

Wstępna interpretacja miar
krzywoliniowości korelacji

Interpretacja miar krzywoliniowości korelacji jest

tylko wstępna

i powinna być uzupełniona bardziej obiektywną

oceną statystyczną.

W tym celu należy dokonać weryfikacji hipotezy

zerowej

zakładającej, że korelacja między zmiennymi jest

liniowa

wobec prawostronnej hipotezy alternatywnej.

Hipoteza o liniowości korelacji

0

)

(

:

0





xy

xy

r

e

E

H

0

)

(

:

0





xy

yx

r

e

E

H

wobe
c

0

)

(

:

1





xy

xy

r

e

E

H

2

2

2

2

2

2

Weryfikacja hipotezy o liniowości
korelacji

Do weryfikacji powyższych hipotez zerowych na

deklarowanym poziomie istotności stosujemy

odpowiednio testy

l

n

e

l

r

e

F

xy

xy

xy

x













1

1

k

n

e

k

r

e

F

yx

xy

yx

y













1

1

lub

gdzie: k – liczba wierszy l – liczba kolumn n –

liczebność próby losowej

2

2

2

2

2

2

Obszar krytyczny

W celu podjęcia decyzji weryfikacyjnej

należy w oparciu o hipotezę alternatywną

wyznaczyć (prawostronny) obszar krytyczny:

)

,

(

2

1

,

,



s

s

F



1

1



k

s

k

n

s





2

Decyzja weryfikacyjna

Jeżeli wynik testu mieści się w wyznaczonym

obszarze krytycznym,

to hipotezę zerową należy odrzucić

na korzyść hipotezy alternatywnej,

co oznacza, że korelacja między badanymi

zmiennymi

jest krzywoliniowa.

Przykład

Analizą statystyczną objęto 50 polskich największych firm
(próba losowa) w 2011 roku ze względu na zysk brutto (w
tys.PLN)
i rentowność brutto (w procentach poniesionych nakładów).
Dla obu zmiennych zestawiono ETK o wymiarach 5 x 5 i
otrzymano fragment wydruku komputerowego:

wsp. korelacji liniowej - 0,3462

x wz y y wz x

stosunki korelacyjne 0,7227 0,6905

miary krzywoliniowości 0,4024 0,3569

Deklarując poziom istotności 0,01 wypowiedzieć się czy
korelacja obserwowanych zmiennych jest liniowa i ujemna.

Bardzo dziękuję za uwagę

i zapraszam na kolejny wykład

Elżbieta Gołąbeska