Modelowanie układu
krążenia
D. Radomski
A. Grzanka
Analiza i modelowanie procesów fizjologicznych
Modelowanie układu
krążenia
D. Radomski
A. Grzanka
Analiza i modelowanie procesów fizjologicznych
Anatomia układu
krążenia
Fizjologiczne mechanizmy
regulacji ciśnienia
tętniczego
odruch neuronalny – spadek przepływu krwi przez naczynia mózgowe aktywuje odpowiednie
ośrodki neuronowe. Pobudzone neurony generują sygnał stymulujący zakończenia nerwowe w
naczyniach, powodując zmniejszenie średnicy i podatności naczyń. Odruch ten charakteryzuje
mała stała czasowa.
odruch hormonalny- obniżenie ciśnienia w tętnicy nerkowej powoduje wydzielanie do
krwioobiegu hormonów: reniny, angiotensyny i aldosteronu. Angiotensyna stymulując receptory
w naczyniach, powoduje zwężenie naczyń.
ldosteron zwiększa objętość krążącej krwi poprzez większe wchłanianie wody w nerkach. Stała
czasowa tego odruchu wynosi kilka minut.
odruch chemoreceptorów - sygnałem wejściowym dla tego odruchu jest spadek stężenia tlenu
we krwi lub wzrost stężenia dwutlenku węgla. Dochodzi wówczas do wydzielania substancji
chemicznych w ścianie naczynia, zmniejszających jego średnicę. Stała czasowa dynamiki tego
odruchu wynosi ok. 30 min. U pacjentów monitorowanych anestezjologicznie odruch ten nie
występuje, gdyż respirator zapewnia stałe, optymalne warunki utlenowania krwi.
odruch baroreceptorów- baroreceptorami nazywamy „biologiczne czujniki” umiejscowione w
tętnicy szyjnej i aorcie, reagujące na mechaniczne rozszerzenie naczyń przez wzrastające
ciśnienie krwi. W zakresie niskich ciśnień odruch ten charakteryzuje się silnym działaniem
regulującym, ze stałą czasową kilkudziesięciu sekund. Wywiera on wielowymiarowe działanie
poprzez zwiększenie częstość pracy serca i siły kurczliwości komór. Ponadto powoduje wzrost
oporu naczyń obwodowych oraz objętości krążącej krwi.
Czasowo –przestrzenna
klasyfikacja modeli układu
krążenia
P o z io m s e g m e n tó w
a n a to m ic z n y c h
M o d e l p r z e p ły w u
p r z e z s ie ć n a c z y ń
d a n e g o s e g m e n tu
n a p r z y k ła d . k o ń c z y n d o ln y c h
1 0
P o z io m tę tn ic
i ż y ł
M o d e le p r z e p ły w u
p r z e z tę tn ic e i ż y ły
1 0
3
s e k
1 0
2
M o d e le p r z e p ły w u
p r z e z c a ły u k ła d
k r ą ż e n ia
P o z io m u k ła d u
k r ą ż e n ia
1 0
1
0
Uśredniony model układu
krążenia (model Slate’a)
r e g u la c ja h o r m o n a ln a
G ( s )
r
ś r e d n ie c iś n ie n ie tę tn ic z e
T
P
G s( )
d
P t( )
d
P
i
P t()
n
P t()
r
P t()
h
K
r
P t( )
o
G ( s )
n
e t()
U ( )t
P t
( )
*
P
S
P t()
Opis matematyczny modelu
Slate’a
• Model wpływu leku na średnie ciśnienie tętnicze
gdzie: K jest współczynnikiem oddziaływania leku na receptory (modeluje wrażliwość
pacjenta na lek) , T
i
- oznacza opóźnienie transportowe leku - czas dotarcia do
receptora, jest współczynnikiem określającym frakcję aktywnego metabolitu leku,
T
C
wyraża opóźnienie transportowe metabolitu leku - czas metabolizmu i dotarcia do
receptora, zaś T stałą czasową inercji receptorów i biotransformacji leku
• Model składowej oddechowej
(1
)
( )
1
i
c
Ts
T s
d
Ke
e
G s
Ts
m
-
-
+
=
+
2
( )
sin
(
)
o
o
t
T
P t
A
p
=
gdzie: A oznacza amplitudę zmian ciśnienia, zaś To jest okresem rytmu oddechowego
• Model wpływu autonomicznego układu nerwowego:
(
)
2
30
1
n
n
K
G
s
=
+
g
dzie e(t) jest szumem białym
• Model regulacji hormonalnej
Sygnałem pobudzającym jest różnica ciśnień ,
P
r
(t)=P)t)-P
T
(t), przy czym
P
T
(t)
jest progiem wrażliwości układu. Model składa się z dwóch szeregowo
połączonych części. Pierwsza opisana jest nieliniową statyką wyrażoną
równaniem:
T
T
0
P( )
( )
( )
( )
P(t)<P ( )
( )
P(t)<P ( )
( )
T
h
r
r
r
r
s
s
r
r
s
dla
t
P t
P t
K P t
dla
t i K P t
P
P
dla
t i K P t
P
d
d
d
�
�
�
=
<
�
�
�
�
gdzie P
S
jest maksymalną zmianą ciśnienia wywieraną przez układ renina angiotensyna, zaś K
r
oznacza współczynnik wzmocnienia układu. Dynamika części liniowej opisuje się następująco
( )
( ) ( )
r
r
h
P s
G s P s
=
gdzie transmitancja ma postać:
( )
1
r
sT
r
r
e
G s
st
-
=
+
Stała czasowa
r
reprezentuje czas chemicznych przemian reniny do angiotensyny, T
r
opóźnienie
modeluje
czas dotarcia aktywnego biologicznie hormonu do receptora w naczyniach.
Wartości parametrów
modelu Slate’a
Parametr
jednostka
Średnia
w populacji
Min
w populacji
Max
w populacji
K
mmHg/(ml h
-1
)
1.0
0.25
9.0
-
0.30
0.00
0.4
T
i
s
30.0
20.0
60.0
T
c
s
45.0
30.00
75.0
T
s
40.0
30.00
60.0
P
t
mmHg
90
70
115
r
s
240
---
---
K
r
mmHg
-1
-0.9
-2
T
r
s
45
30
60
A
mmHg
3
2
4
T
o
oddech/min
10
6
12
Symulacja modelu
Slate’a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
90
100
110
ci
śn
ie
ni
e
[m
m
H
g]
a)
b)
c)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
90
100
110
ci
śn
ie
ni
e
[m
m
H
g]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
80
90
100
110
czas [sek]
ci
śn
ie
ni
e
[m
m
H
g]
a)
b)
c)
podanie leku
Przebieg średniego ciśnienia tętniczego: a) wpływ układu hormonalnego i oddechowego wyłączony.
b) włączenie układu hormonalnego c) wpływ wszystkich składowych ciśnienia krwi.
Model McLoad’a (nie
uśredniony)
P ł u c a
L e w a
c z ę ś ć s e r c a
P r a w a
c z ę ś ć s e r c a
G ł o w a
R ę c e
T u ł ó w
N o g i
Ż
yła
g
łó
w
na
A
or
ta
F
P
F
P
P
F
F
F
F
U
P
R
G
N
L
Z
A
T
Założenia do modelu
McLeod’a
•
Przepływ krwi przez naczynia ma charakter newtonowski
•
Współczynnik podatności naczyń jest wielkością stałą w czasie
•
Czas zamknięcia zastawek serca jest pomijany
•
Model opisywany jest parametrami skupionymi
Opis matematyczny modelu
W modelu wyróżniono 9 podsystemów modelujących anatomiczne części
organizmu W dalszej części pracy przez P (z odpowiednim indeksem)
oznaczać będziemy ciśnienie krwi, przez F – przepływ, zaś V określać
będzie objętość naczynia. Indeksy odpowiadać będą poszczególnym
podsystemom, tzn. A oznacza aortę, L – lewa część serca, P – prawa
część serca, U – naczynia płuc, G - naczynia głowy, R – naczynia rąk, N –
naczynia nóg, T – tułowia, Z – żyłę główną. Wprowadźmy też zbiór
zawierający indeksy podsystemów naczyń tkanek narządów
Składniki modelu McLeod’a
(1)
• Model aorty i żyły głównej:
Żyła główna zbiera krew z naczyń obwodowych, zaś
aorta jest „rozdzielaczem” krwi do naczyń obwodowych. Zarówno aorta jak i żyła
główna charakteryzuje się bardzo dużą średnicą w porównaniu z naczyniami
obwodowymi i płucnymi, dlatego ich opór bliski zeru – został pominięty w modelu.
Model aorty i żyły głównej jest liniowy. Dla aorty model ma postać:
( )
( )
( )
1
( )
( )
A
L
k
k S
A
A
A
dV t
F t
F t
k S
dt
P t
V t
C
�
=
-
�
=
�
%
k
F%
-
oznacza napływ krwi do naczyń obwodowych. Dla żyły głównej otrzymujemy analogiczne równania:
k
F%
( )
( )
( )
1
( )
( )
Z
k
P
k S
Z
Z
Z
dV t
F t
F t
k S
dt
P t
V t
C
�
=
-
�
=
�
%
określa przepływ przez prawy przedsionek
P
F%
Składniki modelu McLeod’a
(2)
•Model naczyń obwodowych
F ( t)
P ( t )
r
R
V ( t)
C
Naczynie zastępcze dla obwodowych sieci naczyń układu krążenia
( )
1
1
1
1
( )
( )
( )
1
1
( )
,
1
1
( )
( )
( )
k
A
k
Z
k
k k
k k
k
k
k
Z
k k
k
k
A
k
k
k k
dV t
P t
V t
P t
dt
R
C R
C r
r
F t
V (t)
P (t)
k S
C r
r
F t
P t
V t
R
R C
�
�
=
-
+
-
�
�
�
�
=
-
�
=
-
%
( )
k
k
V t
C
Stosunek wyraża ciśnienie panujące wewnątrz naczynia
Składniki modelu McLeod’a
(3)
• Model przepływu krwi przez serce:
- Model zastawek:
( )
( )
G x
x
x
= �
1
gdzie :
( ),
( )
P
A
x F t x F t
=
=
- oznacza przepływ odpowiednio przez przedsionek, aortę
- Model kurczliwości komory serca
( )
( )
( )
V
V
dP t
E t
dV t
=
gdzie:
V
P oznacza ciśnienie w komorze
V
V
określa objętość komory
E modeluje kurczliwość ścian
komory
Składniki modelu McLeod’a
(4)
Opis kurczliwości komory serca
Dla komory lewej:
2
3
1.24
0.0015
0.32
( )
57.56 492.14 1417.42
1366.67
t (0.32;0.4]
0
L
t
dla t
E t
t
t
t
dla
d
+
�
=
-
+
-
�
(0.4;1]
la t
�
�
�
�
�
�
Dla komory prawej:
2
2
3
0035 13054 26.035
0.31
( )
6.463 72.77 324.25
453.34
t (0.31;0.4]
0
(0.4;1]
P
.
.
t
t
dla t
E t
t
t
t
dla
dla t
�-
+
-
�
�
�
=
-
+
-
�
�
�
�
�
�
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
czas [min]
sp
ęż
ys
to
ść
[
m
l/m
m
H
g]
Podatność prawej komory
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) 1
1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
( )
( ) ( )
( )
1
( )
( )
( ) ( )
L
U
L
L
L
L
A
L
L
l
A
L
U
L
L
dV t
G P t V t E t
G V t E t
P t
dt
R
r
F t
G V t E t
P t
r
F t
G P t V t E t
R
=
-
-
-
=
-
-
-
%
Dynamika przepływu przez serce
przepływ krwi przez
przedsionek
Wartości parametrów
modelu
McLeaod’a
Podsystem
R
k
[mmHg/ml/sec]
r
k
[mmHg/ml/sec]
C
k
ml/mmHg
Prawa część serca
k=P
0.0128
0.011
-----
Żyła główna
k=Ż
----
----
250
Część tętnicza naczyń
płucnych
k=1
0.1429
0
7.51
Część żylna naczyń
płucnych
k=2
0
0
30
Lewa część serca
k=L
0.058
0.012
-----
Aorta
k=A
-------
------
1.25
Głowa
k=G
2.58
5
250
Ręce
k=R
5.16
10
1.21
Tułów
k=T
0.65
1.41
34
Nogi
k=N
2.58
5
11.1
Żyła główna
k=Z
--------
--------
250
Model działania leku oraz
regulacji hormonalnej dla
modelu McLeod’a
1
R
R
sT
K
1
T
T
K
s T
1
N
N
s T
K
M o d e l d y n a m ik i le k u
U
o
sT
e
R
R
T
R
N
R
Model dynamiki efektu farmakologicznego leku
( )
A
P t
( )
A
P t
r
s T
e
1
R
R
K
s
1
V
V
K
s
R
m
V
m
-
+
T
P
T
R
T
V
Model efektu regulacji hormonalnej
ciśnienia krwi
Symulacja przepływu krwi
przez
układ krążenia w oparciu o
model McLeod’a
Fala ciśnienia tętniczego generowana przez model
0
50
100
150
200
250
300
350
400
80
100
120
140
160
czas [sek]
śr
ed
ni
e
ci
śn
ie
ni
e
[m
m
H
g]
a)
b)
120
130
140
150
160
170
180
190
200
80
100
120
czas [sek]
ci
śn
ie
ni
e
[m
m
H
g]
dawka leku
Sposoby symulacji stanów
patologicznych
*
0
( )
2
0
x
dla x
G x
dla x
Stan patologiczny`
Mechanizm biologiczny
Sposób modelowania
obniżenie
wrażliwości pacjenta
na lek
długotrwałe dawkowanie leku
uodpornia organizm na jego
działanie.
wykładniczo malejąca
wartość współczynnika
K
obniżenie
pobudzenia
układu
nerwowego
podanie leku znieczulającego,
redukując ból, zmniejsza
aktywność układu nerwow.
Skokowe zmniejszenie
P
T
układu RA
wstrząs
kardiogenny
niedotlenienie serca
zmniejsza jego sprawność
mechaniczną, przy
jednoczesnym pobudzeniu
układu RA
Skokowe zmniejszenie
E
L
oraz wzrost K
r
wstrząs
hipowolemiczny
niekontrolowane krwawienie
wewnątrz organizmu na
skutek powikłania
pooperacyjnego
Wykładnicze malenie V
T
uszkodzenie
zastawki
przedsionkowo –
komorowej
mechaniczne uszkodzenie
płatka zastawki prowadzi do
jej niedomykalności i
wstecznego przepływu krwi
w sercu
Wykorzystanie modelu
układu krążenia do badania
systemu
automatycznego dozowania
leku
R e g u la to r d a w k o w a n ia
le k u h ip o te n s y jn e g o
M o d e l u k ła d k r ą ż e n ia
u ( t)
P ( t)
A
Schemat układu sterowania dawkowaniem leku
0
5
10
15
20
25
30
80
100
120
140
ci
śn
ie
ni
e
[m
m
H
g]
[
0
5
10
15
20
25
30
0
20
40
60
80
da
w
ka
le
ku
[
m
l/h
r]
Czas [min]
wstrzas
Regulacja ciśnienia krwi zakłócona wystąpieniem wstrząsu kardiogennego