Analiza sezonowości
Prof. dr hab. inż. Aleksander
Lisowski
Analiza sezonowości
Prof. dr hab. inż. Aleksander
Lisowski
Plan wykładu
• Istota wahań sezonowych
• Metody wyodrębnienia wahań
sezonowych
• Prognozowanie z uwzględnieniem
wahań sezonowych
• Wyznaczanie funkcji trendu
• Analiza wahań sezonowych
Istota wahań sezonowych
• Szereg czasowy – ciąg wyników obserwacji
uporządkowanych w czasie, {t, y
t
}
• Wahania sezonowa (cykliczne, okresowe,
krótkookresowe)
• Zmiany powtarzają się co jakiś czas (stały)
• Przyczyny na ogół charakter przyrodniczy (naturalny)
• Przyczyny konwencjonalne (społeczne) – święta, wakacje
• Krzywa z „falami” ma długość, zwaną okresem oraz
wysokość – różnica między największym odchyleniem w
danym okresie a poziomem (linią trendu)
Analiza szeregów czasowych
Jaka jest dynamika badanego zjawiska?
Jakie czynniki wywołują zmienność tego zjawiska?
Metody analizy szeregów czasowych:
-metody indeksowe,
-metody wyodrębniania trendu, wahań okresowych i
przypadkowych
.
Pojęcia wstępne
Trend – wyraża ogólną tendencję rozwojową zjawiska.
Wahania okresowe – rytmiczne zmiany
powtarzające się co pewien okres.
Cykl – odstęp czasu, w których występują wszystkie
fazy wahań.
Wahania przypadkowe (losowe) –
występują z różną siłą i w różnych kierunkach
Wygładzanie szeregu czasowego –
wydzielanie składnika charakteryzującego trend
poprzez eliminację wahań.
Typy wahań sezonowych
• Wahania addytywne
(bezwzględne),
których amplituda w
analogicznej fazie
jest w przybliżeniu
jednakowa
• Wahania
multiplikatywne
(względne), których
bezwzględna
amplituda zmienia
się, ale w
przybliżeniu w
stałym stosunku
Trend stały
Trend rosnący
Trend i wahania okresowe
Faza
1
Faza2
Faza3
Cykl
Metody wyodrębnienia wahań
sezonowych
• Metoda przeciętnych miesięcznych (metoda
Kemmerera), gdy trend jest stały
• Metoda średnich ruchomych (absolutna –
wahania addytywne, względna – wahania
multiplikatywne), trend – f. liniowa
• Metoda wskaźników łańcuchowych, gdy
trend wykładniczy i wahania
multiplikatywne
• Metoda funkcji trendu (metoda
wskaźnikowa) – dla wszelkich postaci
trendu i sezonowości
Metody indeksowe
Miary dynamiki
Przyrosty
Indeksy
Absolutne:
-
jednopodstawowe,
- łańcuchowe
Względne:
-
jednopodstawowe,
- łańcuchowe
Indywidualne:
-
jednopodstawow
e,
- łańcuchowe
Agregatowe:
-
jednopodstawowe,
- łańcuchowe
Jednopodstawowe – określają zmiany zjawiska, jakie nastąpiły
w kolejnych okresach w stosunku do jednego wybranego okresu
zwanego podstawą.
Łańcuchowe – określają zmiany zjawiska, jakie nastąpiły w
kolejnych okresach w stosunku do okresu poprzedniego, czyli z
okresu na okres.
Przyrosty absolutne:
-jednopodstawowe: podstawa t=1,
-łańcuchowe:
1
1
1
1
3
1
2
,
...,
,
,
y
y
y
y
y
y
y
y
n
n
1
2
1
2
3
1
2
,
...,
,
,
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
Przyrosty względne – stosunek przyrostu absolutnego
do jego poziomu w okresie bazowym, (tempo zmian).
- jednopodstawowe: podstawa
t=1
k
k
t
k
k
t
k
t
y
y
y
y
d
/
/
- łańcuchowe:
1
1
1
1
/
1
/
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
y
y
d
Indywidualne indeksy dynamiki
Indeks dynamiki – stosunek wielkości zjawiska w dwóch różnych
okresach
- Jednopodstawowy (podstawa
k):
- łańcuchowy:
Średnie tempo zmian:
Średniookresowe tempo zmian:
1
1
/
t
t
t
t
y
y
i
k
t
k
t
y
y
i
/
1
1
/
1
1
/
2
2
/
1
1
/
...
n
n
n
n
n
n
n
G
i
i
i
i
i
1
G
n
i
T
Nr
okresu Cena Przyrosty absolutne
Przyrosty względne
(w
%
)
Indeksy
(w
%
)
Jedno
podstawow
e
łańcuch
owe
Jedno
podstawow
e
łańcuch
owe
Jedno
podstawow
e
łańcuch
owe
1
323
0
-
0,00
0,00
100,00
-
2
320
-3
-3
-0,93
-0,93
99,07
99,07
3
329
6
9
1,86
2,81
101,86
102,81
4
346
23
17
7,12
5,17
107,12
105,17
5
380
57
34
17,65
9,83
117,65
109,83
6
418
95
38
29,41
10,00
129,41
110,00
7
449
126
31
39,01
7,42
139,01
107,42
8
422
99
-27
30,65
-6,01
130,65
93,99
9
386
63
-36
19,50
-8,53
119,50
91,47
10
398
75
12
23,22
3,11
123,22
103,11
Średnie tempo zmian: 1,0235
Średniookresowe tempo zmian:
2,35%
PRZYKŁAD
0235
,
1
2322
,
1
9
1
1
/
n
n
G
i
i
%
35
,
2
%
100
0235
,
0
1
0235
,
1
1
G
n
i
T
Modele tendencji rozwojowych
Oznaczenia
:
t
y
- wartość szeregu czasowego w momencie t (t=1,...,n)
n – liczba okresów w szeregu.
- wartość teoretyczna (oszacowana) szeregu czasowego w chwili t
Cechy charakterystyczne:
- występuje trend oraz wahania przypadkowe,
- zmienną objaśniającą jest czas (nie jest to zmienna przyczynowa).
( )
t
t
y
f t
e
=
+
- addytywny:
( )
t
t
y
f t e
=
�
- multiplikatywny:
t
e
- zmienna losowa o wartości oczekiwanej 0 lub 1
MODEL
t
yˆ
Modele analityczne:
Przyjmując w modelach tendencji rozwojowych analityczną postać
funkcji f.
Wybór klasy funkcji f:
-Wiedza a priori,
-Wzrokowo,
-Na podstawie współczynnika
determinacji:
n
t
t
n
t
t
y
y
y
y
R
1
2
1
2
2
)
(
)
ˆ
(
Podstawowe modele analityczne:
1. Model liniowy:
t
y
t
a b
= +
ˆ y
t
a
b
= -
1
1
2
n
t
t
n
t
n
=
+
=
=
�
2. Model wykładniczy:
t
t
y
e
a b
+
=
0
b >
3. Model potęgowy:
,
1
t
y
t
b
a
b
=
>
ln
t
t
y
y
�=
Transformacja
liniowa:
Transformacja
liniowa:
ln
ln
ln
t
y
t
a b
=
+
n
t
n
t
t
t
t
t
t
y
y
1
2
1
)
(
)
)(
(
4. Model logarytmiczny:
ln
t
y
t
a b
= +
ln
t
t
�=
Transformacja
liniowa:
Transformacja:
5. Model wielomianowy:
2
0
1
2
...
k
t
k
y
t
t
t
a
a
a
a
=
+
+
+ +
0
k
a
a
� �
� �
� �
� �
� �
a = M
1
n
y
y
� �
� �
=� �
� �
� �
y
M
0
1
0
1
0
1
1
1
1
2
2
2
k
k
k
n
n
n
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
T
L
L
M M O
M
L
y
T
T
T
α
'
)
'
(
ˆ
1
Przykład
t
1
2
3
4
y
t
5
10
15
28
Model wykładniczy
ln
t
y
y
�=
t
1
2
3
4
Ln5
Ln10
Ln15
Ln28
t
y
lny=y`
y`-y`
ś
t-t
ś
(y`-y`
ś
)(t-t
ś
)
(t-
t
ś
)^2
1
5
1,60943
8
-
0,87863
-1,5
1,3179472
75
2,25
2
10
2,30258
5
-
0,18548
-0,5
0,0927421
68
0,25
3
15 2,70805
0,21998
1
0,5
0,1099903
86
0,25
4
28
3,33220
5
0,84413
5
1,5
1,2662026
21
2,25
2,5
2,4880
69
2,786882
451
5
56
,
0
5
787
,
2
09
,
1
5
,
2
*
56
,
0
488
,
2
,
56
,
0
09
,
1
ln
t
y
t
t
t
e
y
56
,
0
09
,
1
Adaptacyjne metody wyodrębniania tendencji rozwojowej
(stosuje się, gdy nie ma wyraźnej tendencji w rozwoju zjawiska)
-Trend pełzający;
- Średnia ruchoma.
Trend pełzający
1) Punkt wyjścia - szereg czasowy:
n
y
y
y
,...,
,
2
1
2) Wybór liczby naturalnej k- długość segmentu, k<n, najczęściej k =
3
Podszeregi czasowe:
,
,...,
,
..
..........
..........
,
,...,
,
,
,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
4
3
1
3
2
2
1
n
k
n
k
n
k
k
k
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
3) Szacowanie parametrów liniowych trendów odcinkowych
(segmentowych)
.
,...,
2
,
1
,
.......
..........
..........
..........
..........
,
1
,...,
1
,
,
.......
..........
..........
..........
..........
,
1
,...,
3
,
2
,
,
,...,
2
,
1
,
1
1
1
2
2
2
1
1
1
n
k
n
k
n
t
dla
t
y
k
l
l
l
t
dla
t
y
k
t
dla
t
y
k
t
dla
t
y
k
n
k
n
k
n
l
l
l
1
2
1
)
(
)
)(
(
k
l
l
t
k
l
l
t
t
l
t
t
t
t
y
y
l
l
l
l
t
y
1
1
k
l
l
t
t
l
y
k
y
1
1
k
l
l
t
l
t
k
t
4) Obliczanie wartość teoretycznych zmiennej y dla każdego
równania trendu odcinkowego
,
1
,...,
1
,
,
1
,...
2
,
1
,
ˆ
ˆ
ˆ
k
l
l
l
t
k
n
l
dla
t
y
l
l
l
Uwaga: każdej jednostce czasu t odpowiada u wartości
teoretycznych:
n
k
n
t
dla
t
n
k
n
k
k
t
dla
k
k
t
dla
t
u
,...,
2
,
1
1
,...,
1
,
,
,
1
,...,
2
,
1
,
5) Wyznaczanie ciągu średnich arytmetycznych teoretycznych wartości
zmiennej y:
1
1
ˆ
1
k
n
l
l
t
t
y
u
y
Ciąg ten jest szeregiem czasowym wygładzonym za pomocą trendu
pełzającego.
Przykład
Źródło: Dziechciarz. J. (red.): Ekonometria: metody, przykłady, zadania, Wydawnictwo AE,
Wrocław, 2003
Rok
Kwartał
I
II
III
IV
199
0
199
1
199
2
199
3
199
4
199
5
199
6
199
7
199
8
12
17,
4
15
10,
4
21,
3
22,
4
23,
2
18,
6
26,
4
15,
6
20
22,
8
14,
2
24
26
27,
1
28,
1
30
10
10,
4
9,4
13
15,
9
43,
4
9,3
15,
5
17,
4
12,
3
14,
1
6,2
15,
1
19,
6
21,
6
14,
8
21,
2
25,
6
Przeciętne ceny
targowiskowe
k=4
Rok
Kwartał
I
II
III
IV
199
0
199
1
199
2
199
3
199
4
199
5
199
6
199
7
199
8
13,18
16,31
16,40
5
9,525
20,18
21,78
5
22,87
18,85
24,96
12,69
17,02
17,47
5
12,48
21,26
5
22,05
5
21,89
5
22,59
26,51
3
11,78
13,59
11,80
5
13,9
18,98
18,54
5
14,73
20,08
5
23,34
13,6
6
14,2
8,5
16,7
2
20,1
4
21,0
2
15,2
22,1
8
22,6
Przykład c.d.
Przedzia
ł
czasu
Równanie
segmentu
Przedzia
ł
czasu
Równanie
segmentu
1-4
2-5
3-6
4-7
5-8
6-9
7-10
8-11
9-12
10-13
11-14
12-15
13-16
14-17
15-18
16-19
17-20
-
0,47t+13,6
5
0,77t+11,1
3
3,51t-0,87
-
0,31t+16,7
3
-
1,95t+28,1
5
-
1,13t+23,3
5
3,81t-
16,81
-
0,63t+21,3
1
-
3,98t+55,1
4
-
4,04t+58,6
6
1,86t-
13,20
2,42t-
21,72
1,29t-5,53
2,34t-
20,37
3,92t-
46,33
0,51t+10,1
5
-
1,32t+44,6
2
18-21
19-22
20-23
21-24
22-25
23-26
24-27
25-28
26-29
27-30
28-31
29-32
30-33
31-34
32-35
33-36
-
0,11t+22,62
3,31t-46,88
1,50t+52,60
-
1,50t+54,60
-
0,02t+21,52
4,27t-83,29
-
3,30t+104,4
5
-
4,30t+132,5
5
-
2,00t+72,45
6,02t-
153,87
1,16t-14,97
-
0,48t+35,49
0,06t+20,91
4,87t-
135,33
-
0,78t+49,88
-
1,50t+76,60
Wartości wygładzone
trendu pełzającego
Metoda średniej ruchomej
1) Punkt wyjścia-szereg czasowy:
n
y
y
y
,...,
,
2
1
2) Wybór liczby naturalnej k- długość segmentu,
k<n.
,
,...,
,
..
..........
..........
,
,...,
,
,
,...,
,
2
1
1
3
2
2
1
n
k
n
k
n
k
k
y
y
y
y
y
y
y
y
y
3) Wyznaczanie średnich ruchomych:
k – nieparzyste:
,...,
...
2
1
1
2
1
k
y
y
y
y
k
k
k
y
y
y
y
n
k
n
k
n
k
n
k
...
2
1
1
2
1
k –parzyste:
k
y
y
y
y
n
k
n
k
n
k
n
k
2
1
...
2
1
2
1
1
2
,...,
2
1
...
2
1
1
2
1
1
2
k
y
y
y
y
k
k
Przykład c.d.
Rok
Kwartał
I
II
III
IV
199
0
199
1
199
2
199
3
199
4
199
5
199
6
199
7
199
8
12
17,
4
15
10,
4
21,
3
22,
4
23,
2
18,
6
26,
4
15,
6
20
22,
8
14,
2
24
26
27,
1
28,
1
30
10
10,
4
9,4
13
15,
9
43,
4
9,3
15,
5
17,
4
12,
3
14,
1
6,2
15,
1
19,
6
21,
6
14,
8
21,
2
25,
6
k=4
15
,
13
4
4
,
17
*
5
,
0
3
,
12
10
6
,
15
12
*
5
,
0
1
2
4
y
375
,
14
4
20
*
5
,
0
4
,
17
3
,
12
10
6
,
15
*
5
,
0
3
y
Rok
Kwartał
I
II
III
IV
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
-
14,975
15,45
10,5
18,7125
20,6625
20,8125
18,475
23,5125
-
15,25
14,3375
12,0625
19,6375
20,6
19,45
20,05
24,3
13,15
15,175
12,775
14,5375
20,3375
20,95
18,025
21,825
-
14,375
15,225
11,125
17,125
20,725
21,1875
17,575
23,0375
-
Analiza wahań sezonowych
Wahania sezonowe
bezwzględne
Wahania sezonowe
względne
Etapy analizy wahań sezonowych
1) Wyodrębnienie tendencji rozwojowej za pomocą
dowolnej metody-trend liniowy lub nieliniowy, trend
pełzający, średniej ruchomej
2) Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od
tendencji rozwojowej:
a) wahania sezonowe bezwzględne:
b) wahania sezonowe względne:
t
t
t
y
y
e
ˆ
t
t
t
y
y
u
ˆ
3) Eliminacja wahań przypadkowych
Surowe wskaźniki wahań okresowych:
a)
b)
1
0
1
k
t
pt
j
j
e
k
e
1
0
1
k
t
pt
j
j
u
k
u
j=1,2,…,p; k- liczba cykli, p- liczba faz (4-kwartały, 12-
miesiące).
4) Wyznaczanie czystych (skorygowanych)
wskaźników wahań okresowych:
a)
b)
p
i
i
j
b
j
e
p
e
s
1
1
p
i
i
j
w
j
u
p
u
s
1
1
0
1
p
j
b
j
s
p
s
p
j
w
j
1
współczynnik korygujący
Przykład, spożycie warzyw na 1
osobę
Przykład, spożycie warzyw na 1
osobę
Kwartał i
lata
t
y
ŷ
ei=y-
ŷ
I 1997
1 3,52
4,0
6 -0,54
II 1997
2 3,77
4,3
6 -0,59
III 1997
3 8,30
4,5
5 3,75
IV 1997
4 5,51
4,6
8 0,83
I 1998
5 3,35
4,7
9 -1,44
II 1998
6 3,72
4,8
8 -1,16
III 1998
7 8,57
4,9
6 3,61
IV 1998
8 5,67
5,0
3 0,64
I 1999
9 3,30
5,0
9 -1,79
II 1999
10 3,97
5,1
5 -1,18
III 1999
11 8,19
5,2
0 2,99
IV 1999
12 4,90
5,2
5 -0,35
I 2000
13 3,31
5,2
9 -1,98
II 2000
14 3,93
5,3
3 -1,40
III 2000
15 8,40
5,3
7 3,03
IV 2000
16 5,78
5,4
0 0,38
I 2001
17 4,19
5,4
4 -1,25
II 2001
18 4,17
5,4
7 -1,30
III 2001
19 8,88
5,5
0 3,38
IV 2001
20 6,15
5,5
3 0,62
40
,
1
5
25
,
1
98
,
1
79
,
1
44
,
1
54
,
0
1
1
0
1
k
t
pt
j
e
k
e
13
,
1
5
30
,
1
40
,
1
18
,
1
16
,
1
59
,
0
2
e
35
,
3
5
38
,
3
03
,
3
99
,
2
61
,
3
75
,
3
3
e
42
,
0
5
62
,
0
38
,
0
35
,
0
64
,
0
83
,
0
4
e
Suma surowych wskaźników
Wskaźniki surowe
0
24
,
1
42
,
0
35
,
3
13
,
1
40
,
1
4
3
2
1
e
e
e
e
e
i
Współczynnik korygujący
31
,
0
24
,
1
4
1
1
1
i
e
p
k
Wskaźniki oczyszczone
71
,
1
31
,
0
40
,
1
1
b
s
44
,
1
31
,
0
13
,
1
2
b
s
04
,
3
31
,
0
35
,
3
3
b
s
11
,
0
31
,
0
42
,
0
4
b
s
Przykład: produkcja piwa w tys. hl 1993-
1995
Rok
Kwar
tał
t
t
y
y
y
t
t
t
2
)
( t
t
)
)(
(
t
t
y
y
t
I
1 3 -3,5
-5,5
30,25
19,25
II
2 4 -2,5
-4,5
20,25
11,25
III
3 8 1,5
-3,5
12,25
-5,25
1993
IV
4 5 -1,5
-2,5
6,25
3,75
I
5 4 -2,5
-1,5
2,25
3,75
II
6 6 -0,5
-0,5
0,25
0,25
III
7 10 3,5
0,5
0,25
1,75
1994
IV
8 6 -0,5
1,5
2,25
-0,75
I
9 5 -1,5
2,5
6,25
-3,75
II
10 8 1,5
3,5
12,25
5,25
III
11 12 5,5
4,5
20,25
24,75
1995
IV
12 7 0,5
5,5
30,25
2,75
śred
nia: 6,5 6,5
suma: 143
63
636
,
3
441
,
0
ˆ
t
y
t
t
y
t
a b
= +
n
t
n
t
t
t
t
t
t
y
y
1
2
1
)
(
)
)(
(
ˆ
ˆ y
t
a
b
= -
Trend liniowy
c.d. przykładu
t
yˆ
t
t
t
y
y
u
ˆ
4,077
0,736
4,518
0,885
4,959
1,613
5,4
0,926
Wskaźniki sezonowość
j
u
Wskaźniki skorygowane
w
j
s
5,841
0,685
0,693
0,694
6,282
0,955
0,945
0,947
6,723
1,487
1,505
1,508
7,164
0,838
0,849
0,851
7,605
0,657
0,998 <-średnia
8,046
0,994
8,487
1,414
8,928
0,784
636
,
3
441
,
0
ˆ
t
y
t
Średnia ruchoma
średnia ruchoma (k=4)
Rok
Kwartał t
y
t
y
t
u
j
u
w
j
s
1993 I
1
3
II
2
4
III
3
8
5,13
1,56
IV
4
5
5,5
0,91
1994 I
5
4
6
0,67
II
6
6
6,38
0,94
III
7
10
6,63
1,51
1,53
1,511
IV
8
6
7
0,86
0,88
0,870
1995 I
9
5
7,5
0,67
0,67
0,657
II
10
8
7,88
1,02
0,98
0,963
III
11
12
1,02
IV
12
7
Przyszłe wartości-prognoza
a) wahania sezonowe bezwzględne dla i-tej fazy:
b) wahania sezonowe względne dla i-tej fazy
:
b
i
ti
ti
s
y
y
ˆ
w
i
ti
ti
s
y
y
ˆ
Prognoza
t
y
1
3
2
4
3
8
4
5
5
4
6
6
7
10
8
6
9
5
10
8
11
12
12
7 korekta:
13
9,37
6,49
14
9,81
9,27
15 10,25
15,43
16 10,69
9,08
t
yˆ
Trend liniowy
Wskaźniki skorygowane
I
0,694
II
0,947
III
1,508
IV
0,851
9,37x0,694=6,49
Prognoza na okres t – średnia ruchoma
1
1
t
k
t
i
i
t
y
k
y
k- stała wygładzania, liczba
segmentów,
i
y
- Wartość zmiennej prognozowanej w okresie i,
Rok
Kwartał t
y
t
y
w
j
s
1993 I
1
3
II
2
4
III
3
8
IV
4
5
1994 I
5
4
5 3,282866
II
6
6
5,25 5,055902
III
7
10
5,75 8,686247
IV
8
6
6,25 5,435914
1995 I
9
5
6,5 4,267725
II
10
8
6,75 6,500446
III
11
12
7,25 10,95222
IV
12
7
7,75 6,740533
1996 I
13
8 5,252585
II
14
9 8,667261
III
15
9,5 14,35119
IV
16
7 6,088224
I
0,657
II
0,963
III
1,511
IV
0,870
prognoza
.
Prognoza – średnia ruchoma
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
5
10
15
20
Dane
Prognoza
Błędy prognoz
Błąd ex post-wyznaczony po otrzymaniu
prognoz
Rodzaje błędów ex post:
1.Bezwzględny błąd prognozy w czasie
t:
*
,
t
t
t
q
y
y
t n
= -
>
2. Względny błąd prognozy ex post:
*
100%
t
t
t
t
y
y
y
-
Y =
3.
Średni kwadratowy błąd prognozy ex post w przedziale weryfikacji:
(
)
2
*2
*
1
1
T
t
t
t n
s
y
y
T n
= +
=
-
-
�
4. Średni względny błąd prognozy ex post w przedziale weryfikacji:
*
1
1
100
T
t
t
t n
t
y
y
T n
y
= +
-
Y =
�
-
�
Średnia
ruchoma:
n
k
t
t
t
y
y
k
n
s
1
2
2
)
(
1
Prognoza ex post (średnia
ruchoma)
t
y
1
3
2
4
3
8
4
5 Prognoza
2
)
(
t
t
y
y
5
4
3,28
0,51
6
6
5,06
0,89
7
10
8,69
1,73
8
6
5,44
t
t
t
t
y
y
y
0,32
9
5
4,27
0,15
0,54
10
8
6,50
0,19
2,25
11
12
10,95
0,09
1,10
12
7
6,74
0,04
0,07
suma
0,46
7,40
ψ->
0,11
0,96 <-s
Błędy ex ante
Prognoza jest dopuszczalna, gdy jest obdarzona
przez jej odbiorcę stopniem zaufania wystarczającym do
tego,
by mogła być wykorzystana do celu, dla którego została
ustalona.
Maksymalny horyzont prognozy:
jest to najdalszy moment w przyszłości, dla którego
prognoza jest dopuszczalna.
Dopuszczalność prognozy określić można za pomocą
błędów ex ante
Dla modelu liniowego oszacowanie odchylenia prognozy jest równe:
(
)
(
)
0,5
2
2
1
1
1
T
n
t
T t
v
s
n
t t
=
�
�
�
�
-
�
�
=
+ +
�
�
�
-
�
�
�
�
�
gdzie
T – numer okresu, dla którego wyznacza się prognozę
t
- średnia wartość zmiennej czasowej
s – odchylenie standardowe reszt dane wzorem:
(
)
0,5
2
1
1
ˆ
2
n
t
t
t
s
y
y
n
=
�
�
=
-
�
�
-
�
�
�
Bezwzględny błąd prognozy ex ante:
2
t
t
v
v
=
Względny błąd prognozy ex ante
:
*
t
t
t
v
y
h =
t
t
y
t
yˆ
t
t
y
y
ˆ
2
)
ˆ
(
t
t
y
y
1
3
4,08
-1,08
1,16
2
4
4,52
-0,52
0,27
3
8
4,96
3,04
9,25
4
5
5,40
-0,40
0,16
5
4
5,84
-1,84
3,39
6
6
6,28
-0,28
0,08
7
10
6,72
3,28
10,74
8
6
7,16
-1,16
1,35
9
5
7,61
-2,61
6,79
10
8
8,05
-0,05
0,00
11
12
8,49
3,51
12,34
12
7
8,93
-1,93
3,72
t
v
t
13
9,37
49,24
2,61
0,40
14
9,81
2,70
0,29
15 10,25
2,80
0,18
16 10,69
2,91
0,32
6,5
s
2,219
suma
średnia
(
)
(
)
0,5
2
2
1
1
1
T
n
t
T t
v
s
n
t t
=
�
�
�
�
-
�
�
=
+ +
�
�
�
-
�
�
�
�
�
(
)
0,5
2
1
1
ˆ
2
n
t
t
t
s
y
y
n
=
�
�
=
-
�
�
-
�
�
�
2,80/15,43=0,18
prognoza
Dla modelu nieliniowego:
(transformacja zmiennej pierwotnej Y na zmienną Y’)
wariancję zmiennej transformowanej szacuje się ze wzoru:
2
2
*
2
t
t
t
dy
v
y
v
dy
�
�
�
�=�
�
�
�
gdzie pochodna
dy
dy
�
liczona jest w punkcie
*
t
y
.
Znając ocenę
2
t
v�
można znaleźć ocenę wariancji zmiennej pierwotnej:
2
2
2
*
t
t
t
v
v
dy
y
dy
�
=
�
�
�
�
�
�
�
Model liniowy
t
y
t
a b
= +
n
t
n
t
t
t
t
t
t
y
y
1
2
1
)
(
)
)(
(
ˆ y
t
a
b
= -
1
1
2
n
t
t
n
t
n
=
+
=
=
�
Odchylenie reszt:
(
)
0,5
2
1
1
ˆ
2
n
t
t
t
s
y
y
n
=
�
�
=
-
�
�
-
�
�
�
Odchylenie oceny parametrów:
n
t
n
t
t
t
n
t
s
s
1
2
1
2
)
(
)
ˆ
(
n
t
t
t
n
s
s
1
2
)
(
1
)
ˆ
(
Dopasowanie modelu:
1
,
0
)
(
)
ˆ
(
1
2
1
2
2
n
i
t
n
i
t
t
y
y
y
y
-współczynnik
zbieżności:
-współczynnik determinacji:
2
2
1
R
Istotność parametrów
strukturalnych
)
0
(
0
:
0
H
)
0
(
0
:
1
H
Statystyka testowa:
)
ˆ
(
ˆ
lub
)
ˆ
(
ˆ
2
2
s
T
s
T
n
n
Zbiór krytyczny:
)
(
1
t
T
P
n
Przedział ufności dla prognozy
T
n
T
t
T
n
T
v
t
y
y
v
t
y
2
,
2
,
Średni błąd prognozy przedziałowej:
T
n
T
v
t
v
2
,
'
Względny błąd prognozy przedziałowej:
T
T
T
y
v
'
'
Przykład:
Przeciętne miesięczne wynagrodzenie
w gospodarce narodowej w złotych w latach 1995-
2005
(podstawa wymiaru emerytur i rent)
rok
t
y
t
t
t
2
)
(
t
t
(
t
t
)
*
t
y
t
yˆ
2
)
ˆ
(
t
t
y
y
2
)
(
y
y
t
1995 702,62
1
-5
25
-3513,1 796,9164 8891,804
972045,4
1996
873
2
-4
16
-3492 975,2418 10453,39
665111,4
1997 1 061,93
3
-3
9 -3185,79 1153,567
8397,39
392644,6
1998 1 239,49
4
-2
4 -2478,98 1331,893 8538,264
201649,2
1999 1 706,74
5
-1
1 -1706,74 1510,218 38620,83
331,1076
2000 1 923,81
6
0
0
0 1688,544 55350,26
55350,26
2001 2 061,85
7
1
1
2061,85 1866,869 38017,55
139357,6
2002 2 133,21
8
2
4
4266,42 2045,195
7746,72
197728,2
2003 2 201,47
9
3
9
6604,41
2223,52 486,2025
263093,5
2004 2 289,57 10
4
16
9158,28 2401,845 12605,78
361232,7
2005 2 380,29 11
5
25 11901,45 2580,171 39952,38
478513
6 1688,54
6
110
19615,8
229060,6
3727057
59
,
618
6
*
33
,
187
54
,
1688
,
33
,
178
110
8
,
19615
α
β
59
,
618
33
,
178
ˆ
t
y
061
,
0
3727057
6
,
229060
2
,
53
,
159
,
17
,
25451
9
6
,
229060
2
s
s
Wariancja i odchylenie reszt:
Odchylenie oceny parametrów:
469
,
103
110
*
11
509
*
53
,
159
)
(
)
ˆ
(
1
2
1
2
n
t
n
t
t
t
n
t
s
s
586
,
4
110
*
11
1
*
53
,
159
)
(
1
)
ˆ
(
1
2
n
t
t
t
n
s
s
)
0
(
0
:
0
H
)
0
(
0
:
1
H
89
,
38
586
,
4
33
,
178
)
ˆ
(
ˆ
978
,
5
469
,
103
59
,
618
)
ˆ
(
ˆ
2
2
s
T
s
T
n
n
000208
,
0
)
978
,
5
(
9
T
P
0
)
89
,
38
(
9
T
P
Istotność parametrów
Przedział ufności dla prognozy
T
n
T
t
T
n
T
v
t
y
y
v
t
y
2
,
2
,
T=12
55
,
2758
59
,
618
12
*
33
,
178
12
y
05
,
0
262
,
2
9
;
05
,
0
t
98
,
189
12
v
73
,
429
12
9
,
05
,
0
v
t
156
,
0
55
,
2758
73
,
429
12
'
12
'
12
y
v
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
8
13
18
23
Prognozowanie i symulacje
•
Prognozowanie: metody indeksowe,
modele tendencji rozwojowych,
metody wygładzania szeregu czasowego,
analiza wahań okresowych,
prognozy i przedziały ufności dla prognoz,
błędy prognoz;
•
Symulacje: pojęcie symulacji, modelu, systemu,
obiektu.
Symulacja makroekonomiczna i symulacja
mikroekonomiczna.
Charakterystyka procesu symulacji. Gra symulacyjna i
jej elementy. Pojęcie i rodzaje scenariuszy.
CZĘŚĆ I
METODY ANALIZY DYNAMIKI ZJAWISK
I TENDENCJI ROZWOJOWYCH
• Pojęcia wstępne
• Metody indeksowe
• Modele tendencji rozwojowych
• Metody wygładzania szeregu czasowego
• Analiza wahań okresowych
• Prognozy i przedziały ufności dla
prognoz
• Błędy prognoz
Prognozowanie sprzedaży
• Analiza sprzedaży. Metody indeksowe. Wskaźniki
sprzedaży. Szeregi czasowe.
• Prognozowanie sprzedaży. Błędy ex post i ex ante
prognozy
• Metody adaptacyjne w prognozowaniu.
- Metoda średnich ruchomych prostych i ważonych
- Metoda wygładzania wykładniczego (prosta +
metoda Holta)
• Metody analityczne w prognozowaniu.
- Analiza trendu liniowego
- Analiza trendu nieliniowego
• Metody analizy sezonowości
- Metoda Wintersa (
z tendencją
rozwojową, wahaniami sezonowymi i
przypadkowymi)
- Metoda wskaźnikowa
- Metoda trendów jednoimiennych okresów
• Metody uwzględniające wzajemne interakcje
zmiennych wpływających na sprzedaż.
Składowe szeregu
Składowe szeregu
czasowego
czasowego
•
trend
• cykl
•
sezonowość
• składnik
losowy
skł.
systematyczne
skł.
niesystematyczna
• stały poziom
Identyfikacja składowych
Identyfikacja składowych
szeregu
szeregu
• Trend:
istotność współczynnika
korelacji
r Pearsona
lub R Spearmana
sprawdzian testu
(n-2 st.
sw.):
• Sezonowość:
jednoczynnikowa analiza
wariancji (ANOVA) -
hipoteza
o równości wielu wartości
przeciętnych (
założenia: w
każdej grupie r. normalny i wariancje
w grupach powinny być takie same
)
y
t
yt
yt
S
S
r
cov
n
n
d
R
N
i
i
yt
3
1
2
6
1
2
1
2
n
r
r
t
MSE
MSF
F
k
i
n
j
i
ij
k
i
i
i
y
y
k
n
MSE
y
y
k
MSF
1 1
2
1
2
1
1
1
Identyfikacja składowych
Identyfikacja składowych
szeregu
szeregu
–charakter
–charakter
sezonowości
sezonowości
Oczekujemy, że:
Oczekujemy, że:
-
dla sezonowości multiplikatywnej: wariancja wartości
dla sezonowości multiplikatywnej: wariancja wartości
wewnątrz kolejnych okresów będzie rosła wraz ze
wewnątrz kolejnych okresów będzie rosła wraz ze
wzrostem średniego poziomu (będzie z nim dodatnio
wzrostem średniego poziomu (będzie z nim dodatnio
skorelowana)
skorelowana)
-
dla sezonowości addytywnej: wariancja wartości
dla sezonowości addytywnej: wariancja wartości
wewnątrz kolejnych okresów nie będzie rosła wraz ze
wewnątrz kolejnych okresów nie będzie rosła wraz ze
wzrostem średniego poziomu (nie będzie z nim
wzrostem średniego poziomu (nie będzie z nim
dodatnio skorelowana)
dodatnio skorelowana)
Identyfikacja składowych szeregu – trend i
Identyfikacja składowych szeregu – trend i
sezonowość
sezonowość
Dwuczynnikowa analiza wariancji (ANOVA)
Hipotezy:
• o równości wartości przeciętnych między grupami dla
różnych wariantów czynnika A – sezonu (występuje
sezonowość),
• o równości wartości przeciętnych między grupami dla
różnych wariantów czynnika B – cyklu – roku (występuje
trend),
(zakłada się addytywny
charakter zmian)
Rok
czynnik B
1995
1996
1997
1998
1999
2000
kw
art
ał
A
k1
3476 3785,3
5233,8
6742,5
6929,2
7807,7
k2
4753,3 5874,2
7454,3
9844,5
10222 11048,3
k3
5452,6 7273,5
9467,6 12259,6
12781 13598,4
k4
6760 9209,1 11759,8 14712,1 17782,8 18837,6
Dwuczynnikowa ANOVA -
Dwuczynnikowa ANOVA -
obliczenia
obliczenia
xij
1995
1996
1997
1998
1999
2000
MAi
nAi (MAi-Mx)^2*nAi
k1
3476
3785,3
5233,8
6742,5
6929,2
7807,7 5662,4167
6
79147091,21
k2
4753,3
5874,2
7454,3
9844,5
10222 11048,3 8199,4333
6
7193493,015
k3
5452,6
7273,5
9467,6 12259,6
12781 13598,4 10138,783
6
4278068,16
k4
6760
9209,1 11759,8 14712,1 17782,8 18837,6
13176,9
6
90443614
MBj 5110,475 6535,525 8478,875 10889,68 11928,75
12823 9294,3833 SSA
181062266,4
nBj
4
4
4
4
4
4
(MBj-Mx)^2*nBj
70020356 30445197 2660215 10179822 27759551 49804542 190869684 SSB
l
j
Bj
Bj
k
i
Ai
Ai
n
y
y
SSB
n
y
y
SSA
1
2
1
2
k
i
l
j
Bj
Ai
ij
y
y
y
y
SSE
1 1
2
Dwuczynnikowa ANOVA -
Dwuczynnikowa ANOVA -
tabela
tabela
Źródło
wariancj
i
SS
df
MS
F
Wartość-p Test F
A kwartał
18106226
6
3
k-1
6035408
9
34,3
5
5,82E-07
3,287
B rok
19086968
4
5
l-1
3817393
7
21,7
3
2,21E-06
2,901
E Błąd
26354067
15
(n-1) (k-
1)
1756938
MSE
MSA
F
,
)
1
)(
1
(
,
1
,
l
k
k
F
W
H0: czynnik A nie jest
istotny
H0: czynnik B nie jest
istotny
MSE
MSB
F
,
)
1
)(
1
(
,
1
,
l
k
l
F
W
Szereg ze stałym poziomem
Szereg ze stałym poziomem
Metody prognozowania:
• metoda naiwna
• średnia ruchoma (krocząca) prosta
• średnia ruchoma ważona
• wygładzanie wykładnicze
• model autoregresji
Postawa: pasywna
Horyzont: ~1 okres
Reguła: podstawowa
Zalety:
prosta i łatwa do zrozumienia
szybka i tania
Wady:
niska jakość
brak możliwości
Szereg z trendem
Szereg z trendem
Metody prognozowania:
• metoda naiwna (~1)
• model trendu (zależnie od błędu ex
ante)
• model Holta (~1)
• model autoregresji (~1)
Postawa: pasywna (z wyjątkiem r.p.
z poprawką)
Horyzont podany w nawiasach
Reguła: podstawowa lub
podstawowa z poprawką
Szereg z sezonowością
Szereg z sezonowością
(bez
(bez
trendu)
trendu)
Metody prognozowania:
• metoda wskaźników
• model autoregresji
• analiza harmoniczna
Postawa: pasywna (z wyjątkiem r.p.
z poprawką)
Horyzont: do kilku cykli
Reguła: podstawowa lub
podstawowa z poprawką
Szereg z trendem i sezonowością
Szereg z trendem i sezonowością
Charakter sezonowości:
–addytywny
–multiplikatywny
Metody prognozowania:
– metoda naiwna
– metoda wskaźników dla wygładzonego
szeregu
– model regresji ze zmiennymi czasową i
sezonowymi
– model Wintersa
– model autoregresji
–model trendów jednoimiennych okresów
Postawa: pasywna (z wyjątkiem r.p. z poprawką)
Horyzont: do kilku cykli
Reguła: podstawowa lub podstawowa z poprawką
Średnia ruchoma prosta
Średnia ruchoma prosta
1
*
1
ˆ
t
k
t
i
i
t
y
k
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
szereg+prognoza naiwna
średnia ruchoma k=5
średnia ruchoma k=3
Prognoza
Prognoza
naiwna
naiwna
1
*
ˆ
t
t
y
y
Średnia ruchoma ważona
Średnia ruchoma ważona
liniowo
liniowo
w
1
,w
2
,...,w
k
– waga w
okresie i, w
1
<w
2
<...<w
k
oraz
w
1
+w
2
+...+ w
k
=1
k
i
k
i
k
t
t
w
y
y
1
1
*
ˆ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
szereg
średnia ruchoma k=3
ważona średnia ruchoma 0,1 0,3 0,6
Wygładzanie wykładnicze
Wygładzanie wykładnicze
- parametr wygładzania
1
1
*
ˆ
)
1
(
ˆ
t
t
t
y
y
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
szereg
średnia wykładnicza 0,8
średnia wykładnicza 0,3
Model autoregresji
Model autoregresji
- oceny parametrów wyznaczone MNK
p
t
p
t
t
y
a
y
a
a
y
...
ˆ
1
1
0
*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
szereg
model autoregresji rzędu 1
p
a
a
a
,...
,
1
0
Metoda naiwna
Metoda naiwna
(bez
(bez
trendu)
trendu)
k
t
t
y
y
*
Metoda naiwna
Metoda naiwna
(z trendem,
(z trendem,
dla wahań addytywnych)
dla wahań addytywnych)
1
1
*
k
t
t
k
t
t
y
y
y
y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Model trendu liniowego
Model trendu liniowego
t
a
a
y
t
1
0
ˆ
T
1
...
...
2
1
1
1
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
szereg
trend liniowy
Model Holta:
Model Holta:
i tendencja
rozwojowa
rozwojowa
t
t
t
F
S
y
ˆ
)
)(
1
(
1
1
1
t
t
t
t
S
F
y
F
1
1
y
F
1
1
)
1
(
)
(
t
t
t
t
S
F
F
S
1
2
1
y
y
S
jest wartością wygładzoną
szeregu (bez elementu
trendu),
jest to wygładzona wartość
przyrostu wynikającego z
trendu szeregu
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
szereg
model Holta
min
ˆ
:
i
2
t
t
t
y
y
Model autoregresji
Model autoregresji
- oceny parametrów wyznaczone MNK
p
t
p
t
t
y
a
y
a
a
y
...
ˆ
1
1
0
*
p
a
a
a
,...
,
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
szereg
Model autoregresji rzędu 1
Model autoregresji rzędu 2
Metoda wskaźników
Metoda wskaźników
sezonowości
sezonowości
Wskaźniki w szeregu bez trendu
Wskaźniki w szeregu bez trendu
i=1, ...,k jest numerem sezonu
T
i
– zbiór wszystkich numerów obserwacji
(momentów w czasie) reprezentujących i-
ty sezon,
Wartości szeregu oczyszczone z wpływu
sezonowości:
y
y
c
i
i
i
T
t
t
i
i
y
n
y
1
i
t
t
c
y
y
ˆ
Model autoregresji
Model autoregresji
- oceny parametrów wyznaczone MNK
p
t
p
t
t
y
a
y
a
a
y
...
ˆ
1
1
0
*
p
a
a
a
,...
,
1
0
Analiza
Analiza
harmoniczna
harmoniczna
t
T
i
i
i
t
it
n
it
n
y
5
,
0
1
0
2
cos
2
sin
Metoda wskaźników
Metoda wskaźników
dla wygładzonego szeregu
dla wygładzonego szeregu
• wskaźniki sezonowości
addytywne
multiplikatywne
Addytywne wskaźniki
Addytywne wskaźniki
sezonowości
sezonowości
(także w szeregu bez
(także w szeregu bez
trendu)
trendu)
•surow
e
•oczyszczone (suma równa 0)
k
i
i
i
i
c
k
c
c
1
'
1
'
s
y
y
c
s
j
k
j
i
k
j
i
i
1
0
*
*
'
)
~
(
jest wartością wygładzoną szeregu (np.
trendem liniowym, a w szeregach bez trendu -
średnią)
t
y
~
i
t
ti
c
y
y
~
*
i=1, ...,k jest numerem sezonu
T
i
– zbiór wszystkich numerów obserwacji
(momentów w czasie) reprezentujących i-
ty sezon
Multiplikatywne wskaźniki
Multiplikatywne wskaźniki
sezonowości
sezonowości
(także w szeregu bez
(także w szeregu bez
trendu)
trendu)
•surowe
•oczyszczone (ich suma jest równa
k)
s
y
y
c
s
j
k
j
i
k
j
i
i
1
0
*
*
'
~
k
i
i
i
i
c
k
c
c
1
'
1
'
i
t
ti
c
y
y
~
*
Model regresji
Model regresji
ze zmiennymi
ze zmiennymi
sezonowymi
sezonowymi
...
...
...
1
...
...
...
...
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
lub
...
...
...
1
...
...
...
...
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
lub
...
...
...
...
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
X
X
X
1
1
1
1
0
*
...
ˆ
k
k
t
S
a
S
a
a
y
Model regresji ze zmiennymi
Model regresji ze zmiennymi
czasową i sezonowymi
czasową i sezonowymi
(addytywnymi)
(addytywnymi)
...
...
...
1
...
...
...
...
...
1
1
1
4
1
1
0
0
3
1
0
1
0
2
1
0
0
1
1
1
lub
...
...
...
1
...
...
...
...
...
0
0
0
4
1
1
0
0
3
1
0
1
0
2
1
0
0
1
1
1
lub
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
0
0
0
4
0
1
0
0
3
0
0
1
0
2
0
0
0
1
1
T
T
T
X
X
X
1
1
2
1
0
*
...
ˆ
k
k
t
S
a
S
a
t
a
a
y
rozwojową, wahaniami sezonowymi i
przypadkowymi
1. wahania addytywne, niezależne od poziomu zjawiska:
r
t
t
t
t
C
S
F
y
1
ˆ
)
)(
1
(
)
(
1
1
t
t
r
t
t
t
S
F
C
y
F
1
1
)
1
(
)
(
t
t
t
t
S
F
F
S
r
t
t
t
t
C
F
y
C
)
1
(
)
(
2. wahania multiplikatywne, proporcjonalne do poziomu
zjaw.:
r
t
t
t
t
C
F
S
y
)
(
ˆ
1
)
)(
1
(
1
1
t
t
r
t
t
t
S
F
C
y
F
r
t
t
t
t
C
F
y
C
)
1
(
1
1
)
1
(
)
(
t
t
t
t
S
F
F
S
r
n
n
n
n
C
S
F
y
*
ˆ
r
n
n
n
n
C
S
F
y
*
ˆ
Model
Model
autoregresji
autoregresji
(także w szeregu bez
(także w szeregu bez
trendu)
trendu)
– oceny parametrów wyznaczone MNK
k
t
t
y
a
a
y
1
0
*
ˆ
1
0
,a
a
Metody oceny dopuszczalności
Metody oceny dopuszczalności
prognoz
prognoz
Metoda oceny
Zakres zastosowań
średni względny
błąd dopasowania
modelu
•metoda naiwna
• średnia ruchoma prosta
• średnia ruchoma ważona
• wygładzanie wykładnicze,
model Holta, Wintersa
•metoda wskaźników
względny błąd ex
ante
• model trendu, m. trendu
ze zmiennymi sezonowymi
•model autoregresji
*
*
ˆ
)
ˆ
(
t
t
t
y
y
S
n
t
t
t
t
y
y
y
n
MAPE
1
|
ˆ
|
1
Błąd
Błąd
ex ante prognozy
ex ante prognozy
Dla modelu liniowego ze znanymi
wartościami zmiennych
objaśniających dla okresu prognozy:
1
*)
ˆ
(
*
1
*
T
T
e
S
y
S
x
X
X
x
Przedział wiarygodności prognozy:
1
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
*
)
1
(
,
*
*
*
)
1
(
,
*
y
S
t
y
y
y
S
t
y
P
k
n
k
n
Dla modelu trendu liniowego:
1
1
)
(
)
(
)
ˆ
(
1
2
2
*
n
t
t
t
S
y
S
n
t
e
12
)
1
(
)
(
2
1
2
n
n
t
t
n
t
Literatura
Prognozy:
1. Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, red. nuak. M.
Cieślak
PWN Warszawa, 1999, 2000
2. Metody prognozowania. Zbiór zadań. Praca zbior. pod red. B.
Radzikowskiej.
Wyd. AE Wrocław 2000
3. Gajda J.B.: Wielorównaniowe modele ekonometryczne, estymacja,
symulacja, sterowanie.
PWN, Warszawa 1988
Symulacje:
1. Gajda J.: Prognozowanie i symulacje a decyzje gospodarcze.
Wyd. C. H. Beck. Warszawa 2001.
2. Kopiński A.: Zarządzanie finansami przedsiębiorstwa. Metody i
zastosowania.
Forum naukowe. Poznań 2001.
3. Kopiński A.: Model symulacyjny planu finansowego.
w: Podstawy controllingu (pod red. E. Nowaka). Wyd. AE Wrocław, 1996
4. Kopiński A.: Analiza scenariuszowa w budżetowaniu w
przedsiębiorstwie.
W: Budżetowanie działalności jednostek gospodarczych – Teoria i
praktyka. Część II.
AGH Kraków 2001.