Analiza sezonowości

Prof. dr hab. inż. Aleksander

Lisowski

Plan wykładu

• Istota wahań sezonowych
• Metody wyodrębnienia wahań

sezonowych

• Prognozowanie z uwzględnieniem

wahań sezonowych

• Wyznaczanie funkcji trendu
• Analiza wahań sezonowych

Istota wahań sezonowych

• Szereg czasowy – ciąg wyników obserwacji

uporządkowanych w czasie, {t, y

t

}

• Wahania sezonowa (cykliczne, okresowe,

krótkookresowe)

• Zmiany powtarzają się co jakiś czas (stały)

• Przyczyny na ogół charakter przyrodniczy (naturalny)

• Przyczyny konwencjonalne (społeczne) – święta, wakacje

• Krzywa z „falami” ma długość, zwaną okresem oraz

wysokość – różnica między największym odchyleniem w

danym okresie a poziomem (linią trendu)

Analiza szeregów czasowych

Jaka jest dynamika badanego zjawiska?

Jakie czynniki wywołują zmienność tego zjawiska?

Metody analizy szeregów czasowych:

-metody indeksowe,

-metody wyodrębniania trendu, wahań okresowych i
przypadkowych

.

Pojęcia wstępne

Trend – wyraża ogólną tendencję rozwojową zjawiska.

Wahania okresowe – rytmiczne zmiany
powtarzające się co pewien okres.
Cykl – odstęp czasu, w których występują wszystkie
fazy wahań.

Wahania przypadkowe (losowe) –
występują z różną siłą i w różnych kierunkach

Wygładzanie szeregu czasowego –
wydzielanie składnika charakteryzującego trend
poprzez eliminację wahań.

Typy wahań sezonowych

• Wahania addytywne

(bezwzględne),

których amplituda w

analogicznej fazie

jest w przybliżeniu

jednakowa

• Wahania

multiplikatywne

(względne), których

bezwzględna

amplituda zmienia

się, ale w

przybliżeniu w

stałym stosunku

Trend stały

Trend rosnący

Trend i wahania okresowe

Faza
1

Faza2

Faza3

Cykl

Metody wyodrębnienia wahań

sezonowych

• Metoda przeciętnych miesięcznych (metoda

Kemmerera), gdy trend jest stały

• Metoda średnich ruchomych (absolutna –

wahania addytywne, względna – wahania
multiplikatywne), trend – f. liniowa

• Metoda wskaźników łańcuchowych, gdy

trend wykładniczy i wahania
multiplikatywne

• Metoda funkcji trendu (metoda

wskaźnikowa) – dla wszelkich postaci
trendu i sezonowości

Metody indeksowe

Miary dynamiki

Przyrosty

Indeksy

Absolutne:

-

jednopodstawowe,

- łańcuchowe

Względne:

-
jednopodstawowe,
- łańcuchowe

Indywidualne:

-
jednopodstawow
e,
- łańcuchowe

Agregatowe:

-
jednopodstawowe,
- łańcuchowe

Jednopodstawowe – określają zmiany zjawiska, jakie nastąpiły
w kolejnych okresach w stosunku do jednego wybranego okresu
zwanego podstawą.

Łańcuchowe – określają zmiany zjawiska, jakie nastąpiły w
kolejnych okresach w stosunku do okresu poprzedniego, czyli z
okresu na okres.

Przyrosty absolutne:

-jednopodstawowe: podstawa t=1,

-łańcuchowe:

1

1

1

1

3

1

2

,

...,

,

,

y

y

y

y

y

y

y

y

n

n











1

2

1

2

3

1

2

,

...,

,

,















n

n

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y

Przyrosty względne – stosunek przyrostu absolutnego
do jego poziomu w okresie bazowym, (tempo zmian).

- jednopodstawowe: podstawa
t=1

k

k

t

k

k

t

k

t

y

y

y

y

d









/

/

- łańcuchowe:

1

1

1

1

/

1

/



















t

t

t

t

t

t

t

t

y

y

y

y

d

Indywidualne indeksy dynamiki

Indeks dynamiki – stosunek wielkości zjawiska w dwóch różnych
okresach

- Jednopodstawowy (podstawa
k):

- łańcuchowy:

Średnie tempo zmian:

Średniookresowe tempo zmian:

1

1

/







t

t

t

t

y

y

i

k

t

k

t

y

y

i



/

1

1

/

1

1

/

2

2

/

1

1

/

...





















n

n

n

n

n

n

n

G

i

i

i

i

i

1





G

n

i

T

Nr

okresu Cena Przyrosty absolutne

Przyrosty względne

(w

%

)

Indeksy

(w

%

)

 

 

Jedno

podstawow

e

łańcuch

owe

Jedno

podstawow

e

łańcuch

owe

Jedno

podstawow

e

łańcuch

owe

1

323

0

 -

0,00

0,00

100,00

 -

2

320

-3

-3

-0,93

-0,93

99,07

99,07

3

329

6

9

1,86

2,81

101,86

102,81

4

346

23

17

7,12

5,17

107,12

105,17

5

380

57

34

17,65

9,83

117,65

109,83

6

418

95

38

29,41

10,00

129,41

110,00

7

449

126

31

39,01

7,42

139,01

107,42

8

422

99

-27

30,65

-6,01

130,65

93,99

9

386

63

-36

19,50

-8,53

119,50

91,47

10

398

75

12

23,22

3,11

123,22

103,11

Średnie tempo zmian: 1,0235

Średniookresowe tempo zmian:
2,35%

PRZYKŁAD

0235

,

1

2322

,

1

9

1

1

/









n

n

G

i

i

%

35

,

2

%

100

0235

,

0

1

0235

,

1

1















G

n

i

T

Modele tendencji rozwojowych

Oznaczenia

:

t

y

- wartość szeregu czasowego w momencie t (t=1,...,n)
n – liczba okresów w szeregu.
- wartość teoretyczna (oszacowana) szeregu czasowego w chwili t

Cechy charakterystyczne:
- występuje trend oraz wahania przypadkowe,
- zmienną objaśniającą jest czas (nie jest to zmienna przyczynowa).

( )

t

t

y

f t

e

=

+

- addytywny:

( )

t

t

y

f t e

=

�

- multiplikatywny:

t

e

- zmienna losowa o wartości oczekiwanej 0 lub 1

MODEL

t

yˆ

Modele analityczne:

Przyjmując w modelach tendencji rozwojowych analityczną postać
funkcji f.

Wybór klasy funkcji f:

-Wiedza a priori,
-Wzrokowo,
-Na podstawie współczynnika
determinacji:















n

t

t

n

t

t

y

y

y

y

R

1

2

1

2

2

)

(

)

ˆ

(

Podstawowe modele analityczne:

1. Model liniowy:

t

y

t

a b

= +

ˆ y

t

a

b

= -

1

1

2

n

t

t

n

t

n

=

+

=

=

�

2. Model wykładniczy:

t

t

y

e

a b

+

=

0

b >

3. Model potęgowy:

,

1

t

y

t

b

a

b

=

>

ln

t

t

y

y

�=

Transformacja
liniowa:

Transformacja
liniowa:

ln

ln

ln

t

y

t

a b

=

+

















n

t

n

t

t

t

t

t

t

y

y

1

2

1

)

(

)

)(

(



4. Model logarytmiczny:

ln

t

y

t

a b

= +

ln

t

t

�=

Transformacja
liniowa:

Transformacja:

5. Model wielomianowy:

2

0

1

2

...

k

t

k

y

t

t

t

a

a

a

a

=

+

+

+ +

0

k

a

a

� �

� �

� �

� �

� �

a = M

1

n

y

y

� �

� �

=� �

� �

� �

y

M

0

1

0

1

0

1

1

1

1

2

2

2

k

k

k

n

n

n

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

T

L
L

M M O

M

L

y

T

T

T

α

'

)

'

(

ˆ

1





Przykład

t

1

2

3

4

y

t

5

10

15

28

Model wykładniczy

ln

t

y

y

�=

t

1

2

3

4

Ln5

Ln10

Ln15

Ln28

t

y

lny=y`

y`-y`

ś

t-t

ś

(y`-y`

ś

)(t-t

ś

)

(t-

t

ś

)^2

1

5

1,60943

8

-

0,87863

-1,5

1,3179472

75

2,25

2

10

2,30258

5

-

0,18548

-0,5

0,0927421

68

0,25

3

15 2,70805

0,21998

1

0,5

0,1099903

86

0,25

4

28

3,33220

5

0,84413

5

1,5

1,2662026

21

2,25

2,5

2,4880

69

2,786882

451

5

56

,

0

5

787

,

2







09

,

1

5

,

2

*

56

,

0

488

,

2









,

56

,

0

09

,

1

ln

t

y

t





t

t

e

y

56

,

0

09

,

1





Adaptacyjne metody wyodrębniania tendencji rozwojowej
(stosuje się, gdy nie ma wyraźnej tendencji w rozwoju zjawiska)

-Trend pełzający;

- Średnia ruchoma.

Trend pełzający

1) Punkt wyjścia - szereg czasowy:

n

y

y

y

,...,

,

2

1

2) Wybór liczby naturalnej k- długość segmentu, k<n, najczęściej k =
3

Podszeregi czasowe:

,

,...,

,

..

..........

..........

,

,...,

,

,

,...,

,

,

,...,

,

2

1

2

4

3

1

3

2

2

1

n

k

n

k

n

k

k

k

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y













3) Szacowanie parametrów liniowych trendów odcinkowych
(segmentowych)

.

,...,

2

,

1

,

.......

..........

..........

..........

..........

,

1

,...,

1

,

,

.......

..........

..........

..........

..........

,

1

,...,

3

,

2

,

,

,...,

2

,

1

,

1

1

1

2

2

2

1

1

1

n

k

n

k

n

t

dla

t

y

k

l

l

l

t

dla

t

y

k

t

dla

t

y

k

t

dla

t

y

k

n

k

n

k

n

l

l

l





























































































1

2

1

)

(

)

)(

(

k

l

l

t

k

l

l

t

t

l

t

t

t

t

y

y



l

l

l

l

t

y


















1

1

k

l

l

t

t

l

y

k

y










1

1

k

l

l

t

l

t

k

t

4) Obliczanie wartość teoretycznych zmiennej y dla każdego
równania trendu odcinkowego

,

1

,...,

1

,

,

1

,...

2

,

1

,

ˆ

ˆ

ˆ



















k

l

l

l

t

k

n

l

dla

t

y

l

l

l





Uwaga: każdej jednostce czasu t odpowiada u wartości
teoretycznych:



































n

k

n

t

dla

t

n

k

n

k

k

t

dla

k

k

t

dla

t

u

,...,

2

,

1

1

,...,

1

,

,

,

1

,...,

2

,

1

,

5) Wyznaczanie ciągu średnich arytmetycznych teoretycznych wartości
zmiennej y:











1

1

ˆ

1

k

n

l

l

t

t

y

u

y

Ciąg ten jest szeregiem czasowym wygładzonym za pomocą trendu
pełzającego.

Przykład

Źródło: Dziechciarz. J. (red.): Ekonometria: metody, przykłady, zadania, Wydawnictwo AE,

Wrocław, 2003

Rok

Kwartał

I

II

III

IV

199

0

199

1

199

2

199

3

199

4

199

5

199

6

199

7

199

8

12

17,

4

15

10,

4

21,

3

22,

4

23,

2

18,

6

26,

4

15,

6

20

22,

8

14,

2

24

26

27,

1

28,

1

30

10

10,

4

9,4

13

15,

9

43,

4

9,3

15,

5

17,

4

12,

3

14,

1

6,2

15,

1

19,

6

21,

6

14,

8

21,

2

25,

6

Przeciętne ceny
targowiskowe

k=4

Rok

Kwartał

I

II

III

IV

199

0

199

1

199

2

199

3

199

4

199

5

199

6

199

7

199

8

13,18

16,31

16,40

5

9,525

20,18

21,78

5

22,87

18,85

24,96

12,69

17,02

17,47

5

12,48

21,26

5

22,05

5

21,89

5

22,59

26,51

3

11,78

13,59

11,80

5

13,9

18,98

18,54

5

14,73

20,08

5

23,34

13,6

6

14,2

8,5

16,7

2

20,1

4

21,0

2

15,2

22,1

8

22,6

Przykład c.d.

Przedzia

ł

czasu

Równanie

segmentu

Przedzia

ł

czasu

Równanie

segmentu

1-4

2-5

3-6

4-7

5-8

6-9

7-10

8-11

9-12

10-13

11-14

12-15

13-16

14-17

15-18

16-19

17-20

-

0,47t+13,6

5

0,77t+11,1

3

3,51t-0,87

-

0,31t+16,7

3

-

1,95t+28,1

5

-

1,13t+23,3

5

3,81t-

16,81

-

0,63t+21,3

1

-

3,98t+55,1

4

-

4,04t+58,6

6

1,86t-

13,20

2,42t-

21,72

1,29t-5,53

2,34t-

20,37

3,92t-

46,33

0,51t+10,1

5

-

1,32t+44,6

2

18-21

19-22

20-23

21-24

22-25

23-26

24-27

25-28

26-29

27-30

28-31

29-32

30-33

31-34

32-35

33-36

-

0,11t+22,62

3,31t-46,88

1,50t+52,60

-

1,50t+54,60

-

0,02t+21,52

4,27t-83,29

-

3,30t+104,4

5

-

4,30t+132,5

5

-

2,00t+72,45

6,02t-

153,87

1,16t-14,97

-

0,48t+35,49

0,06t+20,91

4,87t-

135,33

-

0,78t+49,88

-

1,50t+76,60

Wartości wygładzone
trendu pełzającego

Metoda średniej ruchomej

1) Punkt wyjścia-szereg czasowy:

n

y

y

y

,...,

,

2

1

2) Wybór liczby naturalnej k- długość segmentu,
k<n.

,

,...,

,

..

..........

..........

,

,...,

,

,

,...,

,

2

1

1

3

2

2

1

n

k

n

k

n

k

k

y

y

y

y

y

y

y

y

y











3) Wyznaczanie średnich ruchomych:

k – nieparzyste:

,...,

...

2

1

1

2

1

k

y

y

y

y

k

k













k

y

y

y

y

n

k

n

k

n

k

n

k

























...

2

1

1

2

1

k –parzyste:

k

y

y

y

y

n

k

n

k

n

k

n

k

2

1

...

2

1

2

1

1

2























,...,

2

1

...

2

1

1

2

1

1

2

k

y

y

y

y

k

k













Przykład c.d.

Rok

Kwartał

I

II

III

IV

199

0

199

1

199

2

199

3

199

4

199

5

199

6

199

7

199

8

12

17,

4

15

10,

4

21,

3

22,

4

23,

2

18,

6

26,

4

15,

6

20

22,

8

14,

2

24

26

27,

1

28,

1

30

10

10,

4

9,4

13

15,

9

43,

4

9,3

15,

5

17,

4

12,

3

14,

1

6,2

15,

1

19,

6

21,

6

14,

8

21,

2

25,

6

k=4

15

,

13

4

4

,

17

*

5

,

0

3

,

12

10

6

,

15

12

*

5

,

0

1

2

4















y

375

,

14

4

20

*

5

,

0

4

,

17

3

,

12

10

6

,

15

*

5

,

0

3













y

Rok

Kwartał

I

II

III

IV

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

-

14,975

15,45

10,5

18,7125

20,6625

20,8125

18,475

23,5125

-

15,25

14,3375

12,0625

19,6375

20,6

19,45

20,05

24,3

13,15

15,175

12,775

14,5375

20,3375

20,95

18,025

21,825

-

14,375

15,225

11,125

17,125

20,725

21,1875

17,575

23,0375

-

Analiza wahań sezonowych

Wahania sezonowe

bezwzględne

Wahania sezonowe
względne

Etapy analizy wahań sezonowych

1) Wyodrębnienie tendencji rozwojowej za pomocą
dowolnej metody-trend liniowy lub nieliniowy, trend
pełzający, średniej ruchomej
2) Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od
tendencji rozwojowej:

a) wahania sezonowe bezwzględne:

b) wahania sezonowe względne:

t

t

t

y

y

e

ˆ





t

t

t

y

y

u

ˆ



3) Eliminacja wahań przypadkowych

Surowe wskaźniki wahań okresowych:

a)

b)











1

0

1

k

t

pt

j

j

e

k

e











1

0

1

k

t

pt

j

j

u

k

u

j=1,2,…,p; k- liczba cykli, p- liczba faz (4-kwartały, 12-
miesiące).

4) Wyznaczanie czystych (skorygowanych)
wskaźników wahań okresowych:

a)

b)









p

i

i

j

b

j

e

p

e

s

1

1







p

i

i

j

w

j

u

p

u

s

1

1

0

1







p

j

b

j

s

p

s

p

j

w

j





1

współczynnik korygujący

Przykład, spożycie warzyw na 1

osobę

Przykład, spożycie warzyw na 1

osobę

Kwartał i

lata

t

y

ŷ

ei=y-

ŷ

I 1997

1 3,52

4,0

6 -0,54

II 1997

2 3,77

4,3

6 -0,59

III 1997

3 8,30

4,5

5 3,75

IV 1997

4 5,51

4,6

8 0,83

I 1998

5 3,35

4,7

9 -1,44

II 1998

6 3,72

4,8

8 -1,16

III 1998

7 8,57

4,9

6 3,61

IV 1998

8 5,67

5,0

3 0,64

I 1999

9 3,30

5,0

9 -1,79

II 1999

10 3,97

5,1

5 -1,18

III 1999

11 8,19

5,2

0 2,99

IV 1999

12 4,90

5,2

5 -0,35

I 2000

13 3,31

5,2

9 -1,98

II 2000

14 3,93

5,3

3 -1,40

III 2000

15 8,40

5,3

7 3,03

IV 2000

16 5,78

5,4

0 0,38

I 2001

17 4,19

5,4

4 -1,25

II 2001

18 4,17

5,4

7 -1,30

III 2001

19 8,88

5,5

0 3,38

IV 2001

20 6,15

5,5

3 0,62



 

 

 

 



40

,

1

5

25

,

1

98

,

1

79

,

1

44

,

1

54

,

0

1

1

0

1



































k

t

pt

j

e

k

e



 

 

 

 



13

,

1

5

30

,

1

40

,

1

18

,

1

16

,

1

59

,

0

2

























e

35

,

3

5

38

,

3

03

,

3

99

,

2

61

,

3

75

,

3

3













e





42

,

0

5

62

,

0

38

,

0

35

,

0

64

,

0

83

,

0

4















e

Suma surowych wskaźników

Wskaźniki surowe

0

24

,

1

42

,

0

35

,

3

13

,

1

40

,

1

4

3

2

1

























e

e

e

e

e

i

Współczynnik korygujący

31

,

0

24

,

1

4

1

1

1











i

e

p

k

Wskaźniki oczyszczone

71

,

1

31

,

0

40

,

1

1











b

s

44

,

1

31

,

0

13

,

1

2











b

s

04

,

3

31

,

0

35

,

3

3







b

s

11

,

0

31

,

0

42

,

0

4







b

s

Przykład: produkcja piwa w tys. hl 1993-
1995

Rok

Kwar

tał

t

t

y

y

y

t



t

t 

2

)

( t

t

)

)(

(

t

t

y

y

t





I

1 3 -3,5

-5,5

30,25

19,25

II

2 4 -2,5

-4,5

20,25

11,25

III

3 8 1,5

-3,5

12,25

-5,25

1993

IV

4 5 -1,5

-2,5

6,25

3,75

I

5 4 -2,5

-1,5

2,25

3,75

II

6 6 -0,5

-0,5

0,25

0,25

III

7 10 3,5

0,5

0,25

1,75

1994

IV

8 6 -0,5

1,5

2,25

-0,75

I

9 5 -1,5

2,5

6,25

-3,75

II

10 8 1,5

3,5

12,25

5,25

III

11 12 5,5

4,5

20,25

24,75

1995

IV

12 7 0,5

5,5

30,25

2,75

śred

nia: 6,5 6,5

suma: 143

63

636

,

3

441

,

0

ˆ





t

y

t

t

y

t

a b

= +

















n

t

n

t

t

t

t

t

t

y

y

1

2

1

)

(

)

)(

(

ˆ



ˆ y

t

a

b

= -

Trend liniowy

c.d. przykładu

t

yˆ

t

t

t

y

y

u

ˆ



4,077

0,736

4,518

0,885

4,959

1,613

5,4

0,926

Wskaźniki sezonowość

j

u

Wskaźniki skorygowane

w

j

s

5,841

0,685

0,693

0,694

6,282

0,955

0,945

0,947

6,723

1,487

1,505

1,508

7,164

0,838

0,849

0,851

7,605

0,657

0,998 <-średnia

8,046

0,994

8,487

1,414

8,928

0,784

636

,

3

441

,

0

ˆ





t

y

t

Średnia ruchoma

średnia ruchoma (k=4)

Rok

Kwartał t

y

t

y

t

u

j

u

w

j

s

1993 I

1

3

II

2

4

III

3

8

5,13

1,56

IV

4

5

5,5

0,91

1994 I

5

4

6

0,67

II

6

6

6,38

0,94

III

7

10

6,63

1,51

1,53

1,511

IV

8

6

7

0,86

0,88

0,870

1995 I

9

5

7,5

0,67

0,67

0,657

II

10

8

7,88

1,02

0,98

0,963

III

11

12

1,02

IV

12

7

Przyszłe wartości-prognoza

a) wahania sezonowe bezwzględne dla i-tej fazy:

b) wahania sezonowe względne dla i-tej fazy

:

b

i

ti

ti

s

y

y







ˆ

w

i

ti

ti

s

y

y

ˆ





Prognoza

t

y

1

3

2

4

3

8

4

5

5

4

6

6

7

10

8

6

9

5

10

8

11

12

12

7 korekta:

13

9,37

6,49

14

9,81

9,27

15 10,25

15,43

16 10,69

9,08

t

yˆ

Trend liniowy

Wskaźniki skorygowane
I

0,694

II

0,947

III

1,508

IV

0,851

9,37x0,694=6,49

Prognoza na okres t – średnia ruchoma













1

1

t

k

t

i

i

t

y

k

y

k- stała wygładzania, liczba
segmentów,

i

y

- Wartość zmiennej prognozowanej w okresie i,

Rok

Kwartał t

y



t

y

w

j

s

1993 I

1

3

II

2

4

III

3

8

IV

4

5

1994 I

5

4

5 3,282866

II

6

6

5,25 5,055902

III

7

10

5,75 8,686247

IV

8

6

6,25 5,435914

1995 I

9

5

6,5 4,267725

II

10

8

6,75 6,500446

III

11

12

7,25 10,95222

IV

12

7

7,75 6,740533

1996 I

13

8 5,252585

II

14

9 8,667261

III

15

9,5 14,35119

IV

16

7 6,088224

I

0,657

II

0,963

III

1,511

IV

0,870

prognoza

.

Prognoza – średnia ruchoma

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0

5

10

15

20

Dane
Prognoza

Błędy prognoz

Błąd ex post-wyznaczony po otrzymaniu
prognoz

Rodzaje błędów ex post:

1.Bezwzględny błąd prognozy w czasie
t:

*

,

t

t

t

q

y

y

t n

= -

>

2. Względny błąd prognozy ex post:

*

100%

t

t

t

t

y

y

y

-

Y =

3.

Średni kwadratowy błąd prognozy ex post w przedziale weryfikacji:

(

)

2

*2

*

1

1

T

t

t

t n

s

y

y

T n

= +

=

-

-

�

4. Średni względny błąd prognozy ex post w przedziale weryfikacji:

*

1

1

100

T

t

t

t n

t

y

y

T n

y

= +

-

Y =

�

-

�

Średnia
ruchoma:

















n

k

t

t

t

y

y

k

n

s

1

2

2

)

(

1

Prognoza ex post (średnia
ruchoma)

t

y

1

3

2

4

3

8

4

5 Prognoza

2

)

(





t

t

y

y

5

4

3,28

0,51

6

6

5,06

0,89

7

10

8,69

1,73

8

6

5,44

t

t

t

t

y

y

y









0,32

9

5

4,27

0,15

0,54

10

8

6,50

0,19

2,25

11

12

10,95

0,09

1,10

12

7

6,74

0,04

0,07

suma

0,46

7,40

ψ->

0,11

0,96 <-s

Błędy ex ante

Prognoza jest dopuszczalna, gdy jest obdarzona
przez jej odbiorcę stopniem zaufania wystarczającym do
tego,
by mogła być wykorzystana do celu, dla którego została
ustalona.

Maksymalny horyzont prognozy:
jest to najdalszy moment w przyszłości, dla którego
prognoza jest dopuszczalna.

Dopuszczalność prognozy określić można za pomocą
błędów ex ante

Dla modelu liniowego oszacowanie odchylenia prognozy jest równe:

(

)

(

)

0,5

2

2

1

1

1

T

n

t

T t

v

s

n

t t

=

�

�

�

�

-

�

�

=

+ +

�

�

�

-

�

�

�

�

�

gdzie
T – numer okresu, dla którego wyznacza się prognozę

t

- średnia wartość zmiennej czasowej
s – odchylenie standardowe reszt dane wzorem:

(

)

0,5

2

1

1

ˆ

2

n

t

t

t

s

y

y

n

=

�

�

=

-

�

�

-

�

�

�

Bezwzględny błąd prognozy ex ante:

2

t

t

v

v

=

Względny błąd prognozy ex ante

:

*

t

t

t

v
y

h =

t

t

y

t

yˆ

t

t

y

y

ˆ



2

)

ˆ

(

t

t

y

y 

1

3

4,08

-1,08

1,16

2

4

4,52

-0,52

0,27

3

8

4,96

3,04

9,25

4

5

5,40

-0,40

0,16

5

4

5,84

-1,84

3,39

6

6

6,28

-0,28

0,08

7

10

6,72

3,28

10,74

8

6

7,16

-1,16

1,35

9

5

7,61

-2,61

6,79

10

8

8,05

-0,05

0,00

11

12

8,49

3,51

12,34

12

7

8,93

-1,93

3,72

t

v

t



13

9,37

49,24

2,61

0,40

14

9,81

2,70

0,29

15 10,25

2,80

0,18

16 10,69

2,91

0,32

6,5

s

2,219

suma

średnia

(

)

(

)

0,5

2

2

1

1

1

T

n

t

T t

v

s

n

t t

=

�

�

�

�

-

�

�

=

+ +

�

�

�

-

�

�

�

�

�

(

)

0,5

2

1

1

ˆ

2

n

t

t

t

s

y

y

n

=

�

�

=

-

�

�

-

�

�

�

2,80/15,43=0,18

prognoza

Dla modelu nieliniowego:
(transformacja zmiennej pierwotnej Y na zmienną Y’)
wariancję zmiennej transformowanej szacuje się ze wzoru:

2

2

*

2

t

t

t

dy

v

y

v

dy

�

�

�

�=�

�

�

�

gdzie pochodna

dy

dy

�

liczona jest w punkcie

*

t

y

.

Znając ocenę

2

t

v�

można znaleźć ocenę wariancji zmiennej pierwotnej:

2

2

2

*

t

t

t

v

v

dy

y

dy

�

=

�

�

�

�

�

�

�

Model liniowy

t

y

t

a b

= +

















n

t

n

t

t

t

t

t

t

y

y

1

2

1

)

(

)

)(

(



ˆ y

t

a

b

= -

1

1

2

n

t

t

n

t

n

=

+

=

=

�

Odchylenie reszt:

(

)

0,5

2

1

1

ˆ

2

n

t

t

t

s

y

y

n

=

�

�

=

-

�

�

-

�

�

�

Odchylenie oceny parametrów:













n

t

n

t

t

t

n

t

s

s

1

2

1

2

)

(

)

ˆ

(











n

t

t

t

n

s

s

1

2

)

(

1

)

ˆ

(



Dopasowanie modelu:

 

1

,

0

)

(

)

ˆ

(

1

2

1

2

2

















n

i

t

n

i

t

t

y

y

y

y



-współczynnik
zbieżności:

-współczynnik determinacji:

2

2

1







R

Istotność parametrów

strukturalnych

)

0

(

0

:

0









H

)

0

(

0

:

1









H

Statystyka testowa:

)

ˆ

(

ˆ

lub

)

ˆ

(

ˆ

2

2









s

T

s

T

n

n









Zbiór krytyczny:











)

(

1

t

T

P

n

Przedział ufności dla prognozy

T

n

T

t

T

n

T

v

t

y

y

v

t

y

2

,

2

,





















Średni błąd prognozy przedziałowej:

T

n

T

v

t

v

2

,

'







Względny błąd prognozy przedziałowej:





T

T

T

y

v

'

'



Przykład:
Przeciętne miesięczne wynagrodzenie
w gospodarce narodowej w złotych w latach 1995-
2005
(podstawa wymiaru emerytur i rent)

rok

t

y

t

t

t 

2

)

(

t

t 

(

t

t 

)

*

t

y

t

yˆ

2

)

ˆ

(

t

t

y

y 

2

)

(

y

y

t



1995 702,62

1

-5

25

-3513,1 796,9164 8891,804

972045,4

1996

873

2

-4

16

-3492 975,2418 10453,39

665111,4

1997 1 061,93

3

-3

9 -3185,79 1153,567

8397,39

392644,6

1998 1 239,49

4

-2

4 -2478,98 1331,893 8538,264

201649,2

1999 1 706,74

5

-1

1 -1706,74 1510,218 38620,83

331,1076

2000 1 923,81

6

0

0

0 1688,544 55350,26

55350,26

2001 2 061,85

7

1

1

2061,85 1866,869 38017,55

139357,6

2002 2 133,21

8

2

4

4266,42 2045,195

7746,72

197728,2

2003 2 201,47

9

3

9

6604,41

2223,52 486,2025

263093,5

2004 2 289,57 10

4

16

9158,28 2401,845 12605,78

361232,7

2005 2 380,29 11

5

25 11901,45 2580,171 39952,38

478513

6 1688,54

6

110

19615,8

229060,6

3727057

59

,

618

6

*

33

,

187

54

,

1688

,

33

,

178

110

8

,

19615











α

β

59

,

618

33

,

178

ˆ





t

y

061

,

0

3727057

6

,

229060

2







,

53

,

159

,

17

,

25451

9

6

,

229060

2







s

s

Wariancja i odchylenie reszt:

Odchylenie oceny parametrów:

469

,

103

110

*

11

509

*

53

,

159

)

(

)

ˆ

(

1

2

1

2

















n

t

n

t

t

t

n

t

s

s



586

,

4

110

*

11

1

*

53

,

159

)

(

1

)

ˆ

(

1

2













n

t

t

t

n

s

s



)

0

(

0

:

0









H

)

0

(

0

:

1









H

89

,

38

586

,

4

33

,

178

)

ˆ

(

ˆ

978

,

5

469

,

103

59

,

618

)

ˆ

(

ˆ

2

2

























s

T

s

T

n

n

000208

,

0

)

978

,

5

(

9





T

P

0

)

89

,

38

(

9





T

P

Istotność parametrów

Przedział ufności dla prognozy

T

n

T

t

T

n

T

v

t

y

y

v

t

y

2

,

2

,





















T=12

55

,

2758

59

,

618

12

*

33

,

178

12









y

05

,

0





262

,

2

9

;

05

,

0



t

98

,

189

12



v

73

,

429

12

9

,

05

,

0



v

t

156

,

0

55

,

2758

73

,

429

12

'

12

'

12









y

v



1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

8

13

18

23

Prognozowanie i symulacje

•

Prognozowanie: metody indeksowe,

modele tendencji rozwojowych,
metody wygładzania szeregu czasowego,
analiza wahań okresowych,
prognozy i przedziały ufności dla prognoz,
błędy prognoz;

•

Symulacje: pojęcie symulacji, modelu, systemu,

obiektu.

Symulacja makroekonomiczna i symulacja

mikroekonomiczna.

Charakterystyka procesu symulacji. Gra symulacyjna i

jej elementy. Pojęcie i rodzaje scenariuszy.

CZĘŚĆ I

METODY ANALIZY DYNAMIKI ZJAWISK

I TENDENCJI ROZWOJOWYCH

• Pojęcia wstępne
• Metody indeksowe
• Modele tendencji rozwojowych
• Metody wygładzania szeregu czasowego
• Analiza wahań okresowych
• Prognozy i przedziały ufności dla

prognoz

• Błędy prognoz

Prognozowanie sprzedaży

• Analiza sprzedaży. Metody indeksowe. Wskaźniki

sprzedaży. Szeregi czasowe.

• Prognozowanie sprzedaży. Błędy ex post i ex ante

prognozy

• Metody adaptacyjne w prognozowaniu.

- Metoda średnich ruchomych prostych i ważonych

- Metoda wygładzania wykładniczego (prosta +

metoda Holta)

• Metody analityczne w prognozowaniu.

- Analiza trendu liniowego

- Analiza trendu nieliniowego

• Metody analizy sezonowości

- Metoda Wintersa (

szeregi czasowe

z tendencją

rozwojową, wahaniami sezonowymi i

przypadkowymi)

- Metoda wskaźnikowa

- Metoda trendów jednoimiennych okresów

• Metody uwzględniające wzajemne interakcje

zmiennych wpływających na sprzedaż.

Składowe szeregu

Składowe szeregu

czasowego

czasowego

•
trend

• cykl
•
sezonowość

• składnik
losowy

skł.
systematyczne

skł.
niesystematyczna

• stały poziom

Identyfikacja składowych

Identyfikacja składowych

szeregu

szeregu

• Trend:

istotność współczynnika
korelacji
r Pearsona

lub R Spearmana

sprawdzian testu

(n-2 st.

sw.):

• Sezonowość:

jednoczynnikowa analiza
wariancji (ANOVA) -
hipoteza
o równości wielu wartości
przeciętnych (

założenia: w

każdej grupie r. normalny i wariancje
w grupach powinny być takie same

)

y

t

yt

yt

S

S

r

cov



n

n

d

R

N

i

i

yt











3

1

2

6

1

2

1

2







n

r

r

t

MSE

MSF

F 









 



 















k

i

n

j

i

ij

k

i

i

i

y

y

k

n

MSE

y

y

k

MSF

1 1

2

1

2

1

1

1

Identyfikacja składowych

Identyfikacja składowych

szeregu

szeregu

–charakter

–charakter

sezonowości

sezonowości

Oczekujemy, że:

Oczekujemy, że:
-

dla sezonowości multiplikatywnej: wariancja wartości

dla sezonowości multiplikatywnej: wariancja wartości

wewnątrz kolejnych okresów będzie rosła wraz ze

wewnątrz kolejnych okresów będzie rosła wraz ze

wzrostem średniego poziomu (będzie z nim dodatnio

wzrostem średniego poziomu (będzie z nim dodatnio

skorelowana)

skorelowana)

-

dla sezonowości addytywnej: wariancja wartości

dla sezonowości addytywnej: wariancja wartości

wewnątrz kolejnych okresów nie będzie rosła wraz ze

wewnątrz kolejnych okresów nie będzie rosła wraz ze

wzrostem średniego poziomu (nie będzie z nim

wzrostem średniego poziomu (nie będzie z nim

dodatnio skorelowana)

dodatnio skorelowana)

Identyfikacja składowych szeregu – trend i

Identyfikacja składowych szeregu – trend i

sezonowość

sezonowość

Dwuczynnikowa analiza wariancji (ANOVA)
Hipotezy:
• o równości wartości przeciętnych między grupami dla

różnych wariantów czynnika A – sezonu (występuje
sezonowość),

• o równości wartości przeciętnych między grupami dla

różnych wariantów czynnika B – cyklu – roku (występuje
trend),

(zakłada się addytywny

charakter zmian)

 

Rok

czynnik B

1995

1996

1997

1998

1999

2000

kw
art

ał

A

k1

3476 3785,3

5233,8

6742,5

6929,2

7807,7

k2

4753,3 5874,2

7454,3

9844,5

10222 11048,3

k3

5452,6 7273,5

9467,6 12259,6

12781 13598,4

k4

6760 9209,1 11759,8 14712,1 17782,8 18837,6

Dwuczynnikowa ANOVA -

Dwuczynnikowa ANOVA -

obliczenia

obliczenia

xij

1995

1996

1997

1998

1999

2000

MAi

nAi (MAi-Mx)^2*nAi

k1

3476

3785,3

5233,8

6742,5

6929,2

7807,7 5662,4167

6

79147091,21

k2

4753,3

5874,2

7454,3

9844,5

10222 11048,3 8199,4333

6

7193493,015

k3

5452,6

7273,5

9467,6 12259,6

12781 13598,4 10138,783

6

4278068,16

k4

6760

9209,1 11759,8 14712,1 17782,8 18837,6

13176,9

6

90443614

MBj 5110,475 6535,525 8478,875 10889,68 11928,75

12823 9294,3833 SSA

181062266,4

nBj

4

4

4

4

4

4

(MBj-Mx)^2*nBj

70020356 30445197 2660215 10179822 27759551 49804542 190869684 SSB

























l

j

Bj

Bj

k

i

Ai

Ai

n

y

y

SSB

n

y

y

SSA

1

2

1

2





 

 









k

i

l

j

Bj

Ai

ij

y

y

y

y

SSE

1 1

2

Dwuczynnikowa ANOVA -

Dwuczynnikowa ANOVA -

tabela

tabela

Źródło

wariancj
i

SS

df

MS

F

Wartość-p Test F

A kwartał

18106226

6

3
k-1

6035408
9

34,3
5

5,82E-07

3,287

B rok

19086968

4

5
l-1

3817393
7

21,7
3

2,21E-06

2,901

E Błąd

26354067

15
(n-1) (k-

1)

1756938

MSE

MSA

F 













,

)

1

)(

1

(

,

1

,

l

k

k

F

W



H0: czynnik A nie jest
istotny

H0: czynnik B nie jest
istotny

MSE

MSB

F 













,

)

1

)(

1

(

,

1

,

l

k

l

F

W



Szereg ze stałym poziomem

Szereg ze stałym poziomem

Metody prognozowania:
• metoda naiwna
• średnia ruchoma (krocząca) prosta
• średnia ruchoma ważona
• wygładzanie wykładnicze
• model autoregresji
Postawa: pasywna
Horyzont: ~1 okres
Reguła: podstawowa

Zalety:
prosta i łatwa do zrozumienia
szybka i tania
Wady:
niska jakość

prognoz

brak możliwości

oceny ex-ante

Szereg z trendem

Szereg z trendem

Metody prognozowania:
• metoda naiwna (~1)
• model trendu (zależnie od błędu ex
ante)
• model Holta (~1)
• model autoregresji (~1)
Postawa: pasywna (z wyjątkiem r.p.
z poprawką)
Horyzont podany w nawiasach
Reguła: podstawowa lub
podstawowa z poprawką

Szereg z sezonowością

Szereg z sezonowością

(bez

(bez

trendu)

trendu)

Metody prognozowania:
• metoda wskaźników
• model autoregresji
• analiza harmoniczna
Postawa: pasywna (z wyjątkiem r.p.
z poprawką)
Horyzont: do kilku cykli
Reguła: podstawowa lub
podstawowa z poprawką

Szereg z trendem i sezonowością

Szereg z trendem i sezonowością

Charakter sezonowości:

–addytywny
–multiplikatywny

Metody prognozowania:

– metoda naiwna
– metoda wskaźników dla wygładzonego
szeregu
– model regresji ze zmiennymi czasową i
sezonowymi
– model Wintersa
– model autoregresji
–model trendów jednoimiennych okresów

Postawa: pasywna (z wyjątkiem r.p. z poprawką)
Horyzont: do kilku cykli
Reguła: podstawowa lub podstawowa z poprawką

Średnia ruchoma prosta

Średnia ruchoma prosta











1

*

1

ˆ

t

k

t

i

i

t

y

k

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

szereg+prognoza naiwna
średnia ruchoma k=5
średnia ruchoma k=3

Prognoza

Prognoza

naiwna

naiwna

1

*

ˆ





t

t

y

y

Średnia ruchoma ważona

Średnia ruchoma ważona

liniowo

liniowo

w

1

,w

2

,...,w

k

– waga w

okresie i, w

1

<w

2

<...<w

k

oraz
w

1

+w

2

+...+ w

k

=1













k

i

k

i

k

t

t

w

y

y

1

1

*

ˆ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

szereg
średnia ruchoma k=3
ważona średnia ruchoma 0,1 0,3 0,6

Wygładzanie wykładnicze

Wygładzanie wykładnicze

- parametr wygładzania

1

1

*

ˆ

)

1

(

ˆ

t

t

t

y

y

y















0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

szereg
średnia wykładnicza 0,8
średnia wykładnicza 0,3

Model autoregresji

Model autoregresji

- oceny parametrów wyznaczone MNK

p

t

p

t

t

y

a

y

a

a

y













...

ˆ

1

1

0

*

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

szereg

model autoregresji rzędu 1

p

a

a

a

,...

,

1

0

Metoda naiwna

Metoda naiwna

(bez

(bez

trendu)

trendu)

k

t

t

y

y





*

Metoda naiwna

Metoda naiwna

(z trendem,

(z trendem,

dla wahań addytywnych)

dla wahań addytywnych)





1

1

*















k

t

t

k

t

t

y

y

y

y

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Model trendu liniowego

Model trendu liniowego

t

a

a

y

t

1

0

ˆ































T

1

...

...

2

1

1

1

X

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

szereg
trend liniowy

Model Holta:

Model Holta:

wahania przypadkowe

wahania przypadkowe

i tendencja

i tendencja

rozwojowa

rozwojowa

t

t

t

F

S

y





ˆ

)

)(

1

(

1

1

1















t

t

t

t

S

F

y

F





1

1

y

F 

1

1

)

1

(

)

(













t

t

t

t

S

F

F

S





1

2

1

y

y

S





jest wartością wygładzoną
szeregu (bez elementu
trendu),

jest to wygładzona wartość
przyrostu wynikającego z
trendu szeregu

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

szereg
model Holta





min

ˆ

:

i

2







t

t

t

y

y





Model autoregresji

Model autoregresji

- oceny parametrów wyznaczone MNK

p

t

p

t

t

y

a

y

a

a

y













...

ˆ

1

1

0

*

p

a

a

a

,...

,

1

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

szereg

Model autoregresji rzędu 1

Model autoregresji rzędu 2

Metoda wskaźników

Metoda wskaźników

sezonowości

sezonowości

Wskaźniki w szeregu bez trendu

Wskaźniki w szeregu bez trendu

i=1, ...,k jest numerem sezonu
T

i

– zbiór wszystkich numerów obserwacji

(momentów w czasie) reprezentujących i-
ty sezon,

Wartości szeregu oczyszczone z wpływu
sezonowości:

y

y

c

i

i









i

T

t

t

i

i

y

n

y

1

i

t

t

c

y

y 

ˆ

Model autoregresji

Model autoregresji

- oceny parametrów wyznaczone MNK

p

t

p

t

t

y

a

y

a

a

y













...

ˆ

1

1

0

*

p

a

a

a

,...

,

1

0

Analiza

Analiza

harmoniczna

harmoniczna

t

T

i

i

i

t

it

n

it

n

y





























































5

,

0

1

0

2

cos

2

sin

Metoda wskaźników

Metoda wskaźników

dla wygładzonego szeregu

dla wygładzonego szeregu

• wskaźniki sezonowości

addytywne
multiplikatywne

Addytywne wskaźniki

Addytywne wskaźniki

sezonowości

sezonowości

(także w szeregu bez

(także w szeregu bez

trendu)

trendu)

•surow
e

•oczyszczone (suma równa 0)









k

i

i

i

i

c

k

c

c

1

'

1

'

s

y

y

c

s

j

k

j

i

k

j

i

i















1

0

*

*

'

)

~

(

jest wartością wygładzoną szeregu (np.
trendem liniowym, a w szeregach bez trendu -
średnią)

t

y

~

i

t

ti

c

y

y



~

*

i=1, ...,k jest numerem sezonu
T

i

– zbiór wszystkich numerów obserwacji

(momentów w czasie) reprezentujących i-
ty sezon

Multiplikatywne wskaźniki

Multiplikatywne wskaźniki

sezonowości

sezonowości

(także w szeregu bez

(także w szeregu bez

trendu)

trendu)

•surowe

•oczyszczone (ich suma jest równa
k)

s

y

y

c

s

j

k

j

i

k

j

i

i













1

0

*

*

'

~







k

i

i

i

i

c

k

c

c

1

'

1

'

i

t

ti

c

y

y



~

*

Model regresji

Model regresji

ze zmiennymi

ze zmiennymi

sezonowymi

sezonowymi

























































































































...

...

...

1

...

...

...

...

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

lub

...

...

...

1

...

...

...

...

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

lub

...

...

...

...

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

X

X

X

1

1

1

1

0

*

...

ˆ













k

k

t

S

a

S

a

a

y

Model regresji ze zmiennymi

Model regresji ze zmiennymi

czasową i sezonowymi

czasową i sezonowymi

(addytywnymi)

(addytywnymi)

























































































































...

...

...

1

...

...

...

...

...

1

1

1

4

1

1

0

0

3

1

0

1

0

2

1

0

0

1

1

1

lub

...

...

...

1

...

...

...

...

...

0

0

0

4

1

1

0

0

3

1

0

1

0

2

1

0

0

1

1

1

lub

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

0

0

0

4

0

1

0

0

3

0

0

1

0

2

0

0

0

1

1

T

T

T

X

X

X

1

1

2

1

0

*

...

ˆ













k

k

t

S

a

S

a

t

a

a

y

Model Wintersa:

Model Wintersa:

szeregi czasowe

szeregi czasowe

z tendencją

rozwojową, wahaniami sezonowymi i

przypadkowymi

1.  wahania addytywne, niezależne od poziomu zjawiska:

r

t

t

t

t

C

S

F

y











1

ˆ

)

)(

1

(

)

(

1

1

















t

t

r

t

t

t

S

F

C

y

F





1

1

)

1

(

)

(













t

t

t

t

S

F

F

S





r

t

t

t

t

C

F

y

C











)

1

(

)

(





2. wahania multiplikatywne, proporcjonalne do poziomu
zjaw.:

r

t

t

t

t

C

F

S

y









)

(

ˆ

1

)

)(

1

(

1

1















t

t

r

t

t

t

S

F

C

y

F





r

t

t

t

t

C

F

y

C









)

1

(





1

1

)

1

(

)

(













t

t

t

t

S

F

F

S









r

n

n

n

n

C

S

F

y





















*

ˆ





r

n

n

n

n

C

S

F

y





















*

ˆ

Model

Model

autoregresji

autoregresji

(także w szeregu bez

(także w szeregu bez

trendu)

trendu)

– oceny parametrów wyznaczone MNK

k

t

t

y

a

a

y







1

0

*

ˆ

1

0

,a

a

Metody oceny dopuszczalności

Metody oceny dopuszczalności

prognoz

prognoz

Metoda oceny

Zakres zastosowań

średni względny

błąd dopasowania

modelu

•metoda naiwna
• średnia ruchoma prosta
• średnia ruchoma ważona
• wygładzanie wykładnicze,

model Holta, Wintersa
•metoda wskaźników

względny błąd ex

ante

• model trendu, m. trendu

ze zmiennymi sezonowymi
•model autoregresji

*

*

ˆ

)

ˆ

(

t

t

t

y

y

S













n

t

t

t

t

y

y

y

n

MAPE

1

|

ˆ

|

1

Błąd

Błąd

ex ante prognozy

ex ante prognozy

Dla modelu liniowego ze znanymi
wartościami zmiennych
objaśniających dla okresu prognozy:

   

1

*)

ˆ

(

*

1

*







T

T

e

S

y

S







x

X

X

x

Przedział wiarygodności prognozy:









































1

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

*

)

1

(

,

*

*

*

)

1

(

,

*

y

S

t

y

y

y

S

t

y

P

k

n

k

n

Dla modelu trendu liniowego:

1

1

)

(

)

(

)

ˆ

(

1

2

2

*















n

t

t

t

S

y

S

n

t

e





12

)

1

(

)

(

2

1

2











n

n

t

t

n

t

Literatura

Prognozy:
1. Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, red. nuak. M.

Cieślak

PWN Warszawa, 1999, 2000
2. Metody prognozowania. Zbiór zadań. Praca zbior. pod red. B.

Radzikowskiej.

Wyd. AE Wrocław 2000
3. Gajda J.B.: Wielorównaniowe modele ekonometryczne, estymacja,

symulacja, sterowanie.

PWN, Warszawa 1988

Symulacje:
1. Gajda J.: Prognozowanie i symulacje a decyzje gospodarcze.
Wyd. C. H. Beck. Warszawa 2001.
2. Kopiński A.: Zarządzanie finansami przedsiębiorstwa. Metody i

zastosowania.

Forum naukowe. Poznań 2001.
3. Kopiński A.: Model symulacyjny planu finansowego.
w: Podstawy controllingu (pod red. E. Nowaka). Wyd. AE Wrocław, 1996
4. Kopiński A.: Analiza scenariuszowa w budżetowaniu w

przedsiębiorstwie.

W: Budżetowanie działalności jednostek gospodarczych – Teoria i

praktyka. Część II.

AGH Kraków 2001.