Wykład 2
równania różnicowe,
transformata Z
Lecture 2
differential equations, Z
transform
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Wykład 2
równania różnicowe,
transformata Z
Lecture 2
differential equations, Z
transform
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
UKŁADY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA LINIOWE RÓŻNICOWE
jest to podklasa układów liniowych
odpowiedź układu jest liniową kombinacją aktualnej i poprzednich
wartości wymuszenia i poprzednich wartości odpowiedzi
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
y(n
)
b
0
x(n
)
x(n-
1)
x(n-
2)
b
1
b
M-1
b
M
x(n-M)
x(n-M+1)
a
1
a
N-1
a
N
y(n-
1)
y(n-
2)
y(n-N+1)
y(n-N)
b
2
a
2
N
k
M
r
r
k
N
k
M
r
r
k
r
n
x
b
k
n
y
a
n
y
a
r
n
x
b
k
n
y
a
1
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
że
zalożymy
gdy
albo
a, b - współczynniki
filtru
N,M – rząd filtru
x(n) – sygnał
wejściowy
y(n) – sygnał
wyjściowy
Jeżeli N=0 (odpowiedź zależy
jedynie od wymuszenia), to
układ
posiada
skończoną
odpowiedź impulsową (SOI-
FIR), w przypadku przeciwnym
nieskończoną (NOI-IIR)
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
SYSTEMS FULFILLING LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
it is a subclass of linear systems
System response is a linear combination of current and previous values
of excitation and the previous values of response
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
y(n
)
b
0
x(n
)
x(n-
1)
x(n-
2)
b
1
b
M-1
b
M
x(n-M)
x(n-M+1)
a
1
a
N-1
a
N
y(n-
1)
y(n-
2)
y(n-N+1)
y(n-N)
b
2
a
2
N
k
M
r
r
k
N
k
M
r
r
k
r
n
x
b
k
n
y
a
n
y
a
r
n
x
b
k
n
y
a
1
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
że
zalożymy
gdy
albo
a, b - filter coefficients
N, M – filter order
x (n) - input signal
y (n) - output
If N = 0 (the answer depends
only on the excitation), then
the system has a finite impulse
response
(FIR),
otherwise
infinite (NOI)
Assuming that
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Przekształcenie Z
Transformatę Z X(z) ciągu x(n) określa się jako
(1)
gdzie z jest zmienną zespoloną.
Transformatę Z ciągu x(n) oznacza się jako Z(x(n)).
Transformata wyrażona zależnością (1) nazywana jest dwustronną
transformatą Z w odróżnieniu od jednostronnej transformaty Z określonej
jako
(2)
Transformaty są równoważne jeśli x(n) = 0 dla n < 0.
Zbiór wartości zmiennej z, dla którego transformata Z danego
ciągu jest zbieżna nazywa się obszarem zbieżności.
X z
x n z
n
n
( )
( )
X z
x n z
I
n
n
( )
( )
0
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Z Transform
Z
Transform X(z) of x (n) is defined as
(1)
where z is a complex variable.
Z transform of x (n) is expressed as Z (x (n)).
Transform (1) is called the bilateral transform, unlike the unilateral
transform defined as
(2)
Transforms are equivalent when x (n) = 0 for n <0
Variable set of values for which the Z-transform convergent is called the
convergence area.
X z
x n z
n
n
( )
( )
X z
x n z
I
n
n
( )
( )
0
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Własności transformaty Z
Ciąg
Transformata Z
1.
x(n)
X(z)
R
x-
< |z| < R
x+
2.
y(n)
Y(z)
R
y-
< |z| < R
y+
3.
ax(n)+by(n)
aX(z)+bY(z)
max[R
x-
,R
y-
]<|z|
<min[R
x-
,R
y-
]
4.
x(n+n
0
)
z
n
0
X(z)
R
x-
< |z| < R
x+
5.
a
n
x(n)
X(a
-1
z)
|a|R
x-
< |z| < |a|R
x+
6.
nx(n)
R
x-
< |z| < R
x+
7.
x*(n)
X*(z*)
R
x-
< |z| < R
x+
8.
x(-n)
X(1/z)
1/R
x-
< |z| < 1/R
x+
9.
Re[x(n)]
R
x-
< |z| < R
x+
10. Im[x(n)]
R
x-
< |z| < R
x+
11. x(n)y(n)
X(z) Y(z)
max[R
x-
,R
y-
]<|z|
<min[R
x-
,R
y-
]
12. x(n) y(n)
R
x-
R
y-
< |z| < R
x+
R
y+
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Z transform properties
Ciąg
Transformata Z
1.
x(n)
X(z)
R
x-
< |z| < R
x+
2.
y(n)
Y(z)
R
y-
< |z| < R
y+
3.
ax(n)+by(n)
aX(z)+bY(z)
max[R
x-
,R
y-
]<|z|
<min[R
x-
,R
y-
]
4.
x(n+n
0
)
z
n
0
X(z)
R
x-
< |z| < R
x+
5.
a
n
x(n)
X(a
-1
z)
|a|R
x-
< |z| < |a|R
x+
6.
nx(n)
R
x-
< |z| < R
x+
7.
x*(n)
X*(z*)
R
x-
< |z| < R
x+
8.
x(-n)
X(1/z)
1/R
x-
< |z| < 1/R
x+
9.
Re[x(n)]
R
x-
< |z| < R
x+
10. Im[x(n)]
R
x-
< |z| < R
x+
11. x(n)y(n)
X(z) Y(z)
max[R
x-
,R
y-
]<|z|
<min[R
x-
,R
y-
]
12. x(n) y(n)
R
x-
R
y-
< |z| < R
x+
R
y+