Wszystko na temat kątów i
trójkątów
Wszystko na temat kątów i
trójkątów
Kąt
to każda z dwóch części płaszczyzn ograniczona
dwiema półprostymi o wspólnym wierzchołku
zwanym wierzchołkiem kąta wraz z tymi
półprostymi – zwanymi ramionami kąta.
Jednostką miary kąta jest stopień [
°
]
Elementy kąta
Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich wspólny
Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich wspólny
początek wierzchołkiem kąta.
początek wierzchołkiem kąta.
ramiona kąta
wierzchołek kąta
wnętrze kąta
O
K
T
Oznaczenia kątów
O
O
A
A
B
B
AOB
AOB
Kąt AOB
Kąt AOB
wierzchołek kąta
wierzchołek kąta
Rodzaje kątów
Kąt pełny i kąt półpełny
Jeśli ramiona kąta leżą na jednej prostej i są różne, to tworzą one
dwa kąty, które nazywamy półpełnymi. Kąty półpełne są sobie
równe. Jeśli natomiast ramiona pokrywają się, to powstaje jeden
obszar kątowy, który nazywamy kątem pełnym.
Kąt pełny
Kąt pełny, to kąt, którego ramiona pokrywają się, a jego obszar
zawiera wszystkie punkty płaszczyzny.
Kąt pełny ma miarę
360°
Kąt półpełny
Kąt półpełny, to kąt, którego ramiona są półprostymi dopełniającymi
się.
Kąt półpełny ma 180°
Kąt prosty
Kąt prosty, to kąt, który jest połową kąta półpełnego. Kąt
prosty oznacza się kropką. Kąt prosty ma miarę 90°, a
oznacza to, że:
• jest 1/4 kąta pełnego (360°)
• jest połową (1/2) kąta półpełnego (180°)
Kąt prosty ma miarę 90°
Kąt zerowy
Kąt zerowy, to kąt, którego ramiona pokrywają się i który
zawiera tylko punkty należące do ramion.
Kąt ostry
Kąt ostry, to kąt mniejszy od kąta prostego i większy od
kąta zerowego.
Kąt ostry ma 0° - 90°
Kąt rozwarty
Kąt rozwarty, to kąt wypukły większy od kąta prostego i
mniejszy od półpełnego.
Kąt rozwarty ma od 90° -180°
Kąty naprzemianległe
pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych trzecią
prostą
(sieczną) leżące po przeciwnych stronach siecznej i mające
jednakowe
miary, gdy prosta p jest równoległa do prostej q.
Na rysunku: pary kątów 1 i 7 oraz 2 i 8 to kąty naprzemianległe
zewnętrzne, pary 4, 6 i 3, 5 to kąty naprzemianległe wewnętrzne.
Kąty położone tak jak na rysunku obok, nazywamy kątami
odpowiadającymi.
Kąty przyległe
Kąty mające wspólne ramię, których pozostałe ramiona
dopełniają się do prostej. Kąty takie tworzą razem kąt
półpełny. Suma miar kątów przyległych wynosi 180°, z
czego wynika, że kąty wklęsłe nie mają kątów przyległych.
180°
Kąty wierzchołkowe
pary kątów wypukłych o wspólnym wierzchołku, w których ramiona
jednego
kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego. Kąty wierzchołkowe w
takiej
parze mają równe miary.
Dwie pary kątów wierzchołkowych powstają w wyniku przecięcia
dwóch
prostych:
Na powyższym rysunku pary kątów wierzchołkowych tworzą: α i γ
oraz β i δ. Jednocześnie dowolny kąt z jednej z par jest przyległy
do dowolnego kąta z drugiej pary.
Kąty w kole
Wierzchołek każdego z tych kątów jest środkiem koła.
Są to kąty środkowe
O
A
B
AOB jest kątem środkowym
opartym na łuku AB.
Wierzchołek każdego z kątów (mniejszy niż 180 stopni) leży na
okręgu, a ramiona przecinają okrąg.
Są to kąty wpisane.
A
B
C
BAC jest kątem wpisanym
opartym na łuku BC.
Kąt wpisany i środkowy oparte
na tym samym łuku
TWIERDZENIE:
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego
na tym samym łuku.
ABC jest kątem wpisanym
opartym na łuku AC.
AOC jest kątem środkowym
opartym na łuku AC.
O
C
A
B
35
o
70
o
Kąty wpisane oparte na tym
samym łuku
30
o
30
o
30
o
30
o
A
B
C
D
E
F
Kąty wpisane
oparte na łuku AF.
ABF
ACF
ADF
AEF
TWIERDZENIE:
Kąty wpisane,oparte na tym
samym łuku,są sobie równe.
Kąt wpisany oparty na
półokręgu
ABC jest kątem wpisanym
opartym na półokręgu.
.
A
B
C
O
TWIERDZENIE:
Kąt wpisany oparty na
półokręgu jest kątem prostym.
Twierdzenie Talesa
Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to
długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu
kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Jeśli odcinki wyznaczone
przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do
odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim
ramieniu kąta, to proste te są równoległe.
|
| |
|
|
| |
|
OA
AB
OC
CD
=
Dwusieczna kąta
• Dwusieczną kąta nazywamy tę półprostą
o początku w wierzchołku kąta, która
dzieli kąt na dwa kąty o równych miarach.
• Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem
wszystkich punktów należących do
obszaru kąta i jednakowo odległych od
jego ramion.
• Jeśli okrąg jest styczny do ramion
niezerowego kąta, to jego środek należy
do dwusiecznej tego kąta.
• Dwusieczna kąta jest półprostą zawarta w
jego osi symetrii.
• Dwusieczne kątów przyległych są
prostopadłe.
Trójkąt
Jest to część płaszczyzny
domknięta i ograniczona łamaną
zamkniętą złożoną z trzech
odcinków. Najprostszy z
wielokątów. Trójkąt jest więc
najmniejszą figurą wypukłą i
domkniętą zawierającą pewne
ustalone trzy niewspółliniowe
punkty płaszczyzny.
Odcinki tworzące łamaną
nazywamy bokami trójkąta, punkty
wspólne dla sąsiednich boków
nazywamy wierzchołkami trójkąta.
Nietrudno zauważyć, że każdy
trójkąt jest jednoznacznie
określony przez swoje wierzchołki.
Często dla wygody jeden z boków
trójkąta nazywamy podstawą,
pozostałe - ramionami. W każdym
trójkącie suma miar kątów
wewnętrznych między bokami
wynosi 180°.
Rodzaje trójkątów ze względu
na kąty
Trójkąt ostrokątny a< 90°, Trójkąt rozwartokątny a>90°,
którego
b< 90°, g< 90°, którego wszystkie jeden kąt wewnętrzny jest
rozwarty.
kąty wewnętrzne są ostre.
Trójkąt prostokątny
trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty, czyli o mierze
90°.
Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego nazywane są
przyprostokątnymi, a trzeci bok przeciwprostokątną. Własności
trójkąta prostokątnego:
• trójkąt prostokątny spełnia twierdzenie Pitagorasa;
• średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego
przeciwprostokątna c.
• W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma jak sama nazwa mówi
miarę 90 stopni. Jeśli pozostałe kąty leżące przy podstawie są
równej miary wtedy trójkąt prostokątny jest również trójkątem
równoramiennym.
Trójkąt egipski jest trójkątem prostokątnym o stosunkach długości
boków 3:4:5. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w
piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach:
3, 4, 5. Taki trójkąt ma:
Obwód równy 12
Pole równe 6
dalej
Trójkąt prostokątny
• a, b - długości przyprostokątnych,
• c - długość przeciwprostokątnej,
• α, β - miary kątów ostrych,
• h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną c
Życiorys Pitagorasa z Samos
Pitagoras prawdopodobnie urodził się około 580 roku p.n.e. a
zmarł w około roku 496 p.n.e. Był greckim matematykiem i
filozofem. Przyczynił się do znacznego rozwoju matematyki i
astronomii. Był również twórcą kierunku filozoficznego
zwanego pitagoreizmem. Pitagoras nie pozostawił po sobie
żadnych prac, zatem trudno jest wyodrębnić odkrycia
samego matematyka od dzieł jego uczniów. W 530 roku
p.n.e. Pitagoras założył w Krotonie związek religijno-naukowy
mający w swym dorobku wiele osiągnięć naukowych.
Matematyk dużo podróżował. Był również w Babilonie i
Fenicji, gdzie napotkał tabliczki z pismem klinowym,
zainteresował się twierdzeniem, które później udowodnił.
Zatem nie on je wymyślił, lecz tylko udowodnił. Również od
Babilończyków przejął również średnią arytmetyczną,
geometryczną i harmoniczną oraz złoty podział odcinka.
dalej
Pitagoras
dalej
Twierdzenie Pitagorasa
W
dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych
jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy
kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego
trójkąta
będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na
rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu
kwadratu "fioletowego„ (rys.1).
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa jest również prawdziwe i brzmi:
jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi
długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt ten jest prostokątny
.
dalej
2
2
2
a b
c
+ =
Trójkąt prostokątny o bokach a, b i c Jeden z dowodów
Euklidesa
(rys.1)
Trójkąty przystające
Cechy przystawania trójkątów, to warunki konieczne i
wystarczające na to, aby dwa trójkąty były przystające, czyli
takie same. Przystawanie figur geometrycznych oznaczamy
symbolem
≡.
1. Cecha bbb (bok-bok-bok) - jeżeli trzy boki jednego
trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego
trójkąta, to trójkąty są przystające.
2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) - jeżeli dwa boki i kąt między
nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm
bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta,
to trójkąty są przystające.
3. Cecha kbk (kąt-bok-kąt) - jeżeli bok i dwa kąty do niego
przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i
dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to
trójkąty są przystające.
Rodzaje trójkątów
Trójkąt różnoboczny
Trójkąt, którego każdy bok jest innej długości, to trójkąt różnoboczny.
Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości
trzeciego boku.
|AB| < |AC| + |BC|,
|AC| < |AB| + |BC|,
|BC| < |AB| + |AC|.
Trójkąt równoramienny
Trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach
równej długości. Te dwa boki zwane są
ramionami, a trzeci bok podstawą trójkąta
równoramiennego. Posiada co najmniej
jedną oś symetrii - przecinającą podstawę
w połowie długości oraz przechodzącą
przez wierzchołek kąta łączącego
ramiona. W trójkącie równoramiennym
kąty przy podstawie są przystające i
równe. Wysokość dzieli podstawę i kąty
przy wierzchołku trójkąta
równoramiennego na dwie równe części.
Szczególnymi przypadkami trójkąta
równoramiennego są:
• trójkąt równoboczny - wówczas dowolnie
obrana podstawa ma długość równą
długości każdego z ramion
• równoramienny trójkąt prostokątny - kąt
prosty może być zawarty jedynie
pomiędzy ramionami o tej samej długości.
Długość podstawy wynosi zawsze
• równoramienny trójkąt rozwartokątny -
kąt rozwarty znajduje się zawsze między
ramionami tej samej długości; podstawa
jest dłuższa od każdego z ramion.
2
a b
=
b
b
a
a
Trójkąt równoboczny
• Trójkąt równoboczny ma
wszystkie boki równej długości
• Wszystkie kąty są równe i mają
miarę 60°
• Wysokość trójkąta
równobocznego dzieli go na dwa
przystające trójkąty prostokątne
• Wysokości trójkąta i dwusieczne
jego kątów zawierają się w
symetralnych boków tego
trójkąta
• Wysokość trójkąta
równobocznego
• Wysokości trójkąta
równobocznego dzielą się w
stosunku 1:2
• Punkt przecięcia wysokości jest
środkiem okręgu wpisanego w
trójkąt oraz środkiem okręgu
opisanego na trójkącie
• Promień okręgu wpisanego w
trójkąt
• Promień okręgu opisanego na
trójkącie
3
6
a
r =
3
3
a
r =
Ważne elementy
Wysokość trójkąta
prosta przechodząca przez jeden z wierzchołków trójkąta i prostopadła do prostej
zawierającej przeciwległy mu bok, zwany podstawą wysokości. Punkt przecięcia
wysokości
z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu
prostokątnego
wierzchołka na podstawę.
Długością wysokości nazywa się odległość między wierzchołkiem trójkąta, a
spodkiem odpowiadającej mu wysokości (jest to również odległość wierzchołka
trójkąta od niezawierającej go podstawy). Niekiedy słowem wysokość określa
się też odcinek ograniczony wierzchołkiem i spodkiem wysokości albo długość tego
odcinka.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wszystkie mają
odcinek
wspólny z wnętrzem trójkąta,
w trójkącie prostokątnym dwie z jego wysokości zawierają przyprostokątne,
dalej
a w trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości znajdują się poza
trójkątem
i są prostopadłe do prostych wyznaczonych przez boki wychodzące
z wierzchołka kąta rozwartego.
dalej
Wysokości lub ich przedłużenia w każdym
trójkącie przecinają się w jednym punkcie:
• w trójkącie ostrokątnym - punkt ten leży
wewnątrz trójkąta
• w trójkącie prostokątnym - pokrywa się z
wierzchołkiem kąta prostego
• w trójkącie rozwartokątnym - leży na zewnątrz
Symetralna odcinka
prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.
Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny
jednakowo oddalonych od końców odcinka.
Równoważnie - prosta będąca zbiorem punktów punktów
równooddalonych od
obu końców odcinka. Poprawność drugiej definicji wynika z
twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą
Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii
odcinka.
Konstrukcja symetralnej odcinka
Dwusieczna
półprosta, która dzieli kąt na dwie figury przystające.
Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i
zawarta
jest w jego osi symetrii.
Dwusieczna kąta Konstrukcja dwusiecznej
Środkowa trójkąta
odcinek łączący wierzchołek trójkąta
ze
środkiem przeciwległego boku.
Środkowe trójkąta przecinają się
w jednym punkcie dzielącym każdą
ze
środkowych w stosunku 2:1, licząc od
poszczególnych wierzchołków (co
udowodniono niżej).
Punkt przecięcia się środkowych jest
środkiem ciężkości trójkąta
(barycentrum). Oznacza to, że jako
punkt podparcia jest on punktem
równowagi przy założeniu, że masa
trójkąta jednorodna tzn. że jest
rozłożona równomiernie (każde dwie
części o jednakowym polu ważą tyle
samo).
Środkowe w trójkącie oznaczone kolorem
czerwonym.
Pole i obwód trójkąta
P∆ = ½ Podstawa ∙ wysokość
Obwód trójkąta
Ob = a + b + c
a, b, c - długości boków trójkąta
1
2
P
a h
=
�
V
Okrąg wpisany w trójkąt
Okrąg nazywamy wpisanym w
trójkąt,
jeżeli każdy bok trójkąta jest
styczny do tego okręgu. W każdy
trójkąt można wpisać okrąg – mówi
o
tym twierdzenie:
Dwusieczne kątów
wewnętrznych trójkąta
przecinają się w jednym
punkcie, który jest
środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
Okrąg opisany na trójkącie
Okrąg jest opisany na trójkącie (a trójkąt wpisany w okrąg), jeżeli
każdy
wierzchołek trójkąta znajduje się na okręgu. Środkiem okręgu
opisanego
na trójkącie jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.
Jest
on równo oddalony od wierzchołków trójkąta.
Opis konstrukcji:
Konstruuję symetralne boków trójkąta ABC. Punkt przecięcia się
symetralnych
oznaczam literą O.
Rysuję promień R okręgu opisanego na trójkącie- odcinek OA (lub OB,
lub
OC) i zakreślam okrąg o środku w punkcie O i promieniu R. Jest to
okrąg
opisany na trójkącie ABC.
Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym leży
wewnątrz
tego trójkąta.
Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym leży na
zewnątrz trójkąta.
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest
środkiem przeciwprostokątnej.
Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie
stosunki długości
boków do sinusów
przeciwległych
kątów są równe
średnicy okręgu
opisanego a tym
trójkącie.
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
a
b
g
=
=
=
c
a
b
R
O
a
b
g
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
a
b
g
=
=
=
Twierdzenie cosinusów
W trójkącie kwadrat
dowolnego boku równa
się sumie kwadratów
dwóch pozostałych
boków pomniejszonej o
podwójny iloczyn tych
boków i cosinusa kąta
zawartego między
nimi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 cos
2 cos
2 cos
a
b
c
ab
b
a
c
ac
c
a
b
ab
a
b
g
= + -
= + -
= + -
c
b
a
a
b
g
A
B
C
W szczególnym przypadku, gdy trójkąt jest
prostokątny i γ jest kątem prostym,
twierdzenie to sprowadza się do
twierdzenia Pitagorasa, ponieważ cosinus
kąta prostego jest równy zeru, czyli
2
2
2
a
b
c
+ =
Zadania
1
. Kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego ma 100° . Oblicz
pozostałe kąty.
Rozwiązanie:
Kąty w trójkącie
Odp: Kąty w trójkącie mają miarę : 40°, 40°, 100°.
100°
α
α
100 180
2
180 100
2
80 / :2
40
a a
a
a
a
+ +
=
=
-
=
=
o
o
o
o
o
o
2
. Wiedząc, że RK || SL, znajdź miary kątów v, x, y, z.
Rozwiązanie:
Ponieważ .
50
o
R
K
S
L
v
x
y
z
116
o
50
o
116
180 ,
x
więc
+ =
o
o
180 116
64
x =
-
=
o
o
o
Rozważmy teraz . Suma kątów w trójkącie jest równa
180°,zatem
Ponieważ proste KR i LS są równoległe, więc
Miarę kąta v wyznaczamy, rozpatrując kąt :
Odp: Miary kątów to : v = 40° , x = 64° , y = 116°, z = 50° .
KLR
V
180 (50 64 ) 66
y =
-
+
=
o
o
o
o
116 ,
:
KLS
czyli
=
o
S
116 ,
y z
stąd
+ =
o
116 66
50
z =
-
=
o
o
o
LSR
V
180 (50 90 ) 40
v =
-
+
=
o
o
o
o
3
. Oblicz pole okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o
przyprostokątnych 4cm i 3cm.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia Pitagorasa:
r
r
r
3
4
c
2
2
2
2
2
3 4
9 16
25
25 5
c
c
c
c
+ =
+ =
=
=
=
Pole trójkąta:
Pole okręgu wpisanego:
Odp: Promień okręgu wpisanego ma długość 1cm.
2
1
1
4 3 6
2
2
P
a h
cm
=
�= ��=
2
2 6
12
1 .
3 4 5 12
P
r
cm
a b c
�
=
=
=
=
+ +
+ +
4
. Oblicz obwód i pole prostokąta, w którym przekątna ma długość
8cm, a krótszy bok 4cm.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Obwód prostokąta:
Ob = 2a + 2b
2
2
2
2
2
2
4
8
16 64
64 16
48
48
16 3
4 3
a
a
a
a
a
a
+ =
+ =
= -
=
=
=
�
=
8
a
4
Obwód prostokąta:
Pole prostokąta:
Odp: Prostokąt ma obwód i pole .
(8 3 8)
+
2 4 3 2 4 8 3 8
Ob
cm
= �
+ �=
+
4 3 4 16 3 .
P ab
cm
=
=
�=
2
16 3cm
5
. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie 6cm i
ramieniu 4cm.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Odp: Wysokość trójkąta równoramiennego wynosi
2
2
2
2
2
2
3
4
9 16
16 9
7
7
h
h
h
h
h
cm
+ =
+ =
= -
=
=
7 .
cm
4
4
h
6
3
3
6
. Oblicz miary kątów i .
Rozwiązanie:
Trójkąt AOB jest równoramienny (|OA| = |OB|,
bo to są promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty
przy podstawie są równe.
a
b
70 180
2
180 70
55
a a
a
a
+ +
=
=
-
=
o
o
o
o
o
A
B
O
C
a
b
70°
70°
a
a
Trójkąt ABC jest oparty na średnicy AC dlatego
kąt ABC = 90°.
Odp:
55 ,
35.
a
b
=
=
o
o
90
55
90
90 55
35
a b
b
b
b
+ =
+ =
=
-
=
o
o
o
o
o
o
7
. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym dane są kąty i
oraz bok c = 4.
Rozwiązanie:
Kąt
50
a =
o
67
b =
o
180 (50 67 ) 180 117
63
g =
-
+
=
-
=
o
o
o
o
o
o
c
a
g
B
50
o
67
o
A
C
b
Długość boków a i b obliczamy korzystając z twierdzenia
sinusów:
zatem
zatem
Odp: Długość boków wynosi a 3,44 ,b 4,13 ,c = 4.
,
sin
sin
a
c
a
g
=
sin
4sin50
3,44
sin
sin63
c
a
a
g
�
=
=
�
o
o
sin
sin
b
c
b
g
=
sin
4sin67
4,13.
sin
sin63
c
b
b
g
�
=
=
�
o
o
�
�
8
. Rozwiąż trójkąt mając dane , b = 6, .
Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć bok c, korzystamy z twierdzenia cosinusów:
2
2
2
2
2
2
2 cos ,
3
(2 3)
6 2 2 3 6 cos30 12 36 24 3
12
2
c
a
b
ab
c
g
= + -
=
+ - �
��
= + -
� =
o
2 3
a =
30
g =
o
A
B
C
b
a
c
a
b
g
Stąd .
Odp: Zatem szukany trójkąt jest trójkątem równoramiennym o
Bokach , b = 6, i kątach , , .
12 2 3
c =
=
2 3
a =
2 3
c =
30
a =
o
30
g =
o
120
b =
o
9
. Oblicz miary kątów w trójkącie, jeżeli ich wzajemny
stosunek wynosi 3:2:4.
Rozwiązanie:
3x, 2x, 4x – miary kątów trójkąta. Suma kątów w trójkącie
wynosi
180°.
Odp: Trójkąt ma kąty o miarach 60° , 40° , 80° .
3
2
4
180
9
180 / :9
20
x
x
x
x
x
+ + =
=
=
o
o
o
3
3 20
60
2
2 20
40
4
4 20 80
x
x
x
= � =
= � =
= � =
o
o
o
o
o
o
10
. Oblicz pozostałe boki w tym trójkącie.
Rozwiązanie:
Wartości funkcji trygonometrycznej
Twierdzenie sinusów:
60
o
4
c
b
75
o
45
o
60
o
4
sin45
sin60
b
=
o
o
4
sin45
sin75
c
=
o
o
Odp: Pozostałe boki trójkąta mają długość b = 4,9, c = 5,46.
4
0,71 0,87
0,71
4 0,87
0,71
3,48/ :0,71
4,9
b
b
b
b
=
= �
=
=
4
0,71 0,97
0,71
4 0,97
0,71
3,88/ :0,71
5,46
c
c
c
c
=
= �
=
=
wróć
Wykonała:
Dominika Farys
2c