Wszystko na temat kątów i

trójkątów

Kąt

to każda z dwóch części płaszczyzn ograniczona

dwiema półprostymi o wspólnym wierzchołku
zwanym wierzchołkiem kąta wraz z tymi
półprostymi – zwanymi ramionami kąta.

Jednostką miary kąta jest stopień [

°

]

Elementy kąta

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich wspólny

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich wspólny

początek wierzchołkiem kąta.

początek wierzchołkiem kąta.

ramiona kąta

wierzchołek kąta

wnętrze kąta

O

K

T

Oznaczenia kątów

O

O

A

A

B

B

AOB

AOB

Kąt AOB

Kąt AOB

wierzchołek kąta

wierzchołek kąta

Rodzaje kątów

Kąt pełny i kąt półpełny

Jeśli ramiona kąta leżą na jednej prostej i są różne, to tworzą one

dwa kąty, które nazywamy półpełnymi. Kąty półpełne są sobie

równe. Jeśli natomiast ramiona pokrywają się, to powstaje jeden

obszar kątowy, który nazywamy kątem pełnym.

Kąt pełny

Kąt pełny, to kąt, którego ramiona pokrywają się, a jego obszar

zawiera wszystkie punkty płaszczyzny.

Kąt pełny ma miarę
360°

Kąt półpełny

Kąt półpełny, to kąt, którego ramiona są półprostymi dopełniającymi

się.

Kąt półpełny ma 180°

Kąt prosty

Kąt prosty, to kąt, który jest połową kąta półpełnego. Kąt

prosty oznacza się kropką. Kąt prosty ma miarę 90°, a
oznacza to, że:

• jest 1/4 kąta pełnego (360°)
• jest połową (1/2) kąta półpełnego (180°)

Kąt prosty ma miarę 90°

Kąt zerowy

Kąt zerowy, to kąt, którego ramiona pokrywają się i który

zawiera tylko punkty należące do ramion.

Kąt ostry

Kąt ostry, to kąt mniejszy od kąta prostego i większy od

kąta zerowego.

Kąt ostry ma 0° - 90°

Kąt rozwarty

Kąt rozwarty, to kąt wypukły większy od kąta prostego i

mniejszy od półpełnego.

Kąt rozwarty ma od 90° -180°

Kąty naprzemianległe

pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych trzecią

prostą

(sieczną) leżące po przeciwnych stronach siecznej i mające

jednakowe

miary, gdy prosta p jest równoległa do prostej q.

Na rysunku: pary kątów 1 i 7 oraz 2 i 8 to kąty naprzemianległe

zewnętrzne, pary 4, 6 i 3, 5 to kąty naprzemianległe wewnętrzne.

Kąty położone tak jak na rysunku obok, nazywamy kątami

odpowiadającymi.

Kąty przyległe

Kąty mające wspólne ramię, których pozostałe ramiona

dopełniają się do prostej. Kąty takie tworzą razem kąt

półpełny. Suma miar kątów przyległych wynosi 180°, z

czego wynika, że kąty wklęsłe nie mają kątów przyległych.

180°

Kąty wierzchołkowe

pary kątów wypukłych o wspólnym wierzchołku, w których ramiona

jednego

kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego. Kąty wierzchołkowe w

takiej

parze mają równe miary.
Dwie pary kątów wierzchołkowych powstają w wyniku przecięcia

dwóch

prostych:

Na powyższym rysunku pary kątów wierzchołkowych tworzą: α i γ
oraz β i δ. Jednocześnie dowolny kąt z jednej z par jest przyległy
do dowolnego kąta z drugiej pary.

Kąty w kole

Wierzchołek każdego z tych kątów jest środkiem koła.

Są to kąty środkowe

O

A

B

AOB jest kątem środkowym
opartym na łuku AB.

Wierzchołek każdego z kątów (mniejszy niż 180 stopni) leży na

okręgu, a ramiona przecinają okrąg.

Są to kąty wpisane.

A

B

C

BAC jest kątem wpisanym
opartym na łuku BC.

Kąt wpisany i środkowy oparte

na tym samym łuku

TWIERDZENIE:

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego

na tym samym łuku.

ABC jest kątem wpisanym
opartym na łuku AC.

AOC jest kątem środkowym
opartym na łuku AC.

O

C

A

B

35

o

70

o

Kąty wpisane oparte na tym

samym łuku

30

o

30

o

30

o

30

o

A

B

C

D

E

F

Kąty wpisane

oparte na łuku AF.

ABF

ACF
ADF
AEF

TWIERDZENIE:

Kąty wpisane,oparte na tym

samym łuku,są sobie równe.

Kąt wpisany oparty na

półokręgu

ABC jest kątem wpisanym
opartym na półokręgu.

.

A

B

C

O

TWIERDZENIE:

Kąt wpisany oparty na

półokręgu jest kątem prostym.

Twierdzenie Talesa

Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to

długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu

kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków

wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Jeśli odcinki wyznaczone

przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do

odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim

ramieniu kąta, to proste te są równoległe.

|

| |

|

|

| |

|

OA

AB

OC

CD

=

Dwusieczna kąta

• Dwusieczną kąta nazywamy tę półprostą

o początku w wierzchołku kąta, która

dzieli kąt na dwa kąty o równych miarach.

• Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem

wszystkich punktów należących do

obszaru kąta i jednakowo odległych od

jego ramion.

• Jeśli okrąg jest styczny do ramion

niezerowego kąta, to jego środek należy

do dwusiecznej tego kąta.

• Dwusieczna kąta jest półprostą zawarta w

jego osi symetrii.

• Dwusieczne kątów przyległych są

prostopadłe.

Trójkąt

Jest to część płaszczyzny

domknięta i ograniczona łamaną

zamkniętą złożoną z trzech

odcinków. Najprostszy z

wielokątów. Trójkąt jest więc

najmniejszą figurą wypukłą i

domkniętą zawierającą pewne

ustalone trzy niewspółliniowe

punkty płaszczyzny.

Odcinki tworzące łamaną

nazywamy bokami trójkąta, punkty

wspólne dla sąsiednich boków

nazywamy wierzchołkami trójkąta.

Nietrudno zauważyć, że każdy

trójkąt jest jednoznacznie

określony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków

trójkąta nazywamy podstawą,

pozostałe - ramionami. W każdym

trójkącie suma miar kątów

wewnętrznych między bokami

wynosi 180°.

Rodzaje trójkątów ze względu

na kąty

Trójkąt ostrokątny a< 90°, Trójkąt rozwartokątny a>90°,

którego

b< 90°, g< 90°, którego wszystkie jeden kąt wewnętrzny jest

rozwarty.

kąty wewnętrzne są ostre.

Trójkąt prostokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty, czyli o mierze

90°.

Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego nazywane są

przyprostokątnymi, a trzeci bok przeciwprostokątną. Własności

trójkąta prostokątnego:

• trójkąt prostokątny spełnia twierdzenie Pitagorasa;

• średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego

przeciwprostokątna c.

• W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma jak sama nazwa mówi

miarę 90 stopni. Jeśli pozostałe kąty leżące przy podstawie są

równej miary wtedy trójkąt prostokątny jest również trójkątem

równoramiennym.

Trójkąt egipski jest trójkątem prostokątnym o stosunkach długości

boków 3:4:5. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w

piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach:

3, 4, 5. Taki trójkąt ma:

Obwód równy 12
Pole równe 6

dalej

Trójkąt prostokątny
• a, b - długości przyprostokątnych,
• c - długość przeciwprostokątnej,
• α, β - miary kątów ostrych,
• h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną c

Życiorys Pitagorasa z Samos

Pitagoras prawdopodobnie urodził się około 580 roku p.n.e. a

zmarł w około roku 496 p.n.e. Był greckim matematykiem i

filozofem. Przyczynił się do znacznego rozwoju matematyki i

astronomii. Był również twórcą kierunku filozoficznego

zwanego pitagoreizmem. Pitagoras nie pozostawił po sobie

żadnych prac, zatem trudno jest wyodrębnić odkrycia

samego matematyka od dzieł jego uczniów. W 530 roku

p.n.e. Pitagoras założył w Krotonie związek religijno-naukowy

mający w swym dorobku wiele osiągnięć naukowych.

Matematyk dużo podróżował. Był również w Babilonie i

Fenicji, gdzie napotkał tabliczki z pismem klinowym,

zainteresował się twierdzeniem, które później udowodnił.

Zatem nie on je wymyślił, lecz tylko udowodnił. Również od

Babilończyków przejął również średnią arytmetyczną,

geometryczną i harmoniczną oraz złoty podział odcinka.

dalej

Pitagoras

dalej

Twierdzenie Pitagorasa

W

dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych

jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy
kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego

trójkąta

będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na
rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu
kwadratu "fioletowego„ (rys.1).

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa jest również prawdziwe i brzmi:
jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi
długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt ten jest prostokątny

.

dalej

2

2

2

a b

c

+ =

Trójkąt prostokątny o bokach a, b i c Jeden z dowodów

Euklidesa

(rys.1)

Trójkąty przystające

Cechy przystawania trójkątów, to warunki konieczne i

wystarczające na to, aby dwa trójkąty były przystające, czyli

takie same. Przystawanie figur geometrycznych oznaczamy

symbolem

≡.

1. Cecha bbb (bok-bok-bok) - jeżeli trzy boki jednego

trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego

trójkąta, to trójkąty są przystające.

2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) - jeżeli dwa boki i kąt między

nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm
bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta,
to trójkąty są przystające.

3. Cecha kbk (kąt-bok-kąt) - jeżeli bok i dwa kąty do niego

przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i
dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to
trójkąty są przystające.

Rodzaje trójkątów

Trójkąt różnoboczny

Trójkąt, którego każdy bok jest innej długości, to trójkąt różnoboczny.
Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości

trzeciego boku.

|AB| < |AC| + |BC|,
|AC| < |AB| + |BC|,
|BC| < |AB| + |AC|.

Trójkąt równoramienny
Trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach

równej długości. Te dwa boki zwane są

ramionami, a trzeci bok podstawą trójkąta

równoramiennego. Posiada co najmniej

jedną oś symetrii - przecinającą podstawę

w połowie długości oraz przechodzącą

przez wierzchołek kąta łączącego

ramiona. W trójkącie równoramiennym

kąty przy podstawie są przystające i

równe. Wysokość dzieli podstawę i kąty

przy wierzchołku trójkąta

równoramiennego na dwie równe części.

Szczególnymi przypadkami trójkąta

równoramiennego są:

• trójkąt równoboczny - wówczas dowolnie

obrana podstawa ma długość równą

długości każdego z ramion

• równoramienny trójkąt prostokątny - kąt

prosty może być zawarty jedynie

pomiędzy ramionami o tej samej długości.

Długość podstawy wynosi zawsze

• równoramienny trójkąt rozwartokątny -

kąt rozwarty znajduje się zawsze między

ramionami tej samej długości; podstawa

jest dłuższa od każdego z ramion.

2

a b

=

b

b

a

a

Trójkąt równoboczny

• Trójkąt równoboczny ma

wszystkie boki równej długości

• Wszystkie kąty są równe i mają

miarę 60°

• Wysokość trójkąta

równobocznego dzieli go na dwa

przystające trójkąty prostokątne

• Wysokości trójkąta i dwusieczne

jego kątów zawierają się w

symetralnych boków tego

trójkąta

• Wysokość trójkąta

równobocznego

• Wysokości trójkąta

równobocznego dzielą się w

stosunku 1:2

• Punkt przecięcia wysokości jest

środkiem okręgu wpisanego w

trójkąt oraz środkiem okręgu

opisanego na trójkącie

• Promień okręgu wpisanego w

trójkąt

• Promień okręgu opisanego na

trójkącie

3

6

a

r =

3

3

a

r =

Ważne elementy

Wysokość trójkąta

prosta przechodząca przez jeden z wierzchołków trójkąta i prostopadła do prostej
zawierającej przeciwległy mu bok, zwany podstawą wysokości. Punkt przecięcia

wysokości

z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu

prostokątnego

wierzchołka na podstawę.
Długością wysokości nazywa się odległość między wierzchołkiem trójkąta, a
spodkiem odpowiadającej mu wysokości (jest to również odległość wierzchołka
trójkąta od niezawierającej go podstawy). Niekiedy słowem wysokość określa
się też odcinek ograniczony wierzchołkiem i spodkiem wysokości albo długość tego
odcinka.

Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wszystkie mają

odcinek

wspólny z wnętrzem trójkąta,

w trójkącie prostokątnym dwie z jego wysokości zawierają przyprostokątne,

dalej

a w trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości znajdują się poza

trójkątem

i są prostopadłe do prostych wyznaczonych przez boki wychodzące
z wierzchołka kąta rozwartego.

dalej

Wysokości lub ich przedłużenia w każdym

trójkącie przecinają się w jednym punkcie:

• w trójkącie ostrokątnym - punkt ten leży

wewnątrz trójkąta

• w trójkącie prostokątnym - pokrywa się z

wierzchołkiem kąta prostego

• w trójkącie rozwartokątnym - leży na zewnątrz

Symetralna odcinka

prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny
jednakowo oddalonych od końców odcinka.

Równoważnie - prosta będąca zbiorem punktów punktów

równooddalonych od

obu końców odcinka. Poprawność drugiej definicji wynika z
twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą

Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii
odcinka.

Konstrukcja symetralnej odcinka

Dwusieczna

półprosta, która dzieli kąt na dwie figury przystające.
Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i

zawarta

jest w jego osi symetrii.

Dwusieczna kąta Konstrukcja dwusiecznej

Środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta

ze

środkiem przeciwległego boku.
Środkowe trójkąta przecinają się
w jednym punkcie dzielącym każdą

ze

środkowych w stosunku 2:1, licząc od
poszczególnych wierzchołków (co
udowodniono niżej).

Punkt przecięcia się środkowych jest
środkiem ciężkości trójkąta
(barycentrum). Oznacza to, że jako
punkt podparcia jest on punktem
równowagi przy założeniu, że masa
trójkąta jednorodna tzn. że jest
rozłożona równomiernie (każde dwie
części o jednakowym polu ważą tyle
samo).

Środkowe w trójkącie oznaczone kolorem

czerwonym.

Pole i obwód trójkąta

P∆ = ½ Podstawa ∙ wysokość

Obwód trójkąta
Ob = a + b + c

a, b, c - długości boków trójkąta

1

2

P

a h

=

�

V

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg nazywamy wpisanym w

trójkąt,

jeżeli każdy bok trójkąta jest
styczny do tego okręgu. W każdy
trójkąt można wpisać okrąg – mówi

o

tym twierdzenie:

Dwusieczne kątów

wewnętrznych trójkąta

przecinają się w jednym

punkcie, który jest

środkiem okręgu

wpisanego w ten trójkąt.

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg jest opisany na trójkącie (a trójkąt wpisany w okrąg), jeżeli

każdy

wierzchołek trójkąta znajduje się na okręgu. Środkiem okręgu

opisanego

na trójkącie jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

Jest

on równo oddalony od wierzchołków trójkąta.

Opis konstrukcji:

Konstruuję symetralne boków trójkąta ABC. Punkt przecięcia się

symetralnych

oznaczam literą O.

Rysuję promień R okręgu opisanego na trójkącie- odcinek OA (lub OB,

lub

OC) i zakreślam okrąg o środku w punkcie O i promieniu R. Jest to

okrąg

opisany na trójkącie ABC.

Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym leży

wewnątrz

tego trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym leży na

zewnątrz trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest

środkiem przeciwprostokątnej.

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie

stosunki długości

boków do sinusów

przeciwległych

kątów są równe

średnicy okręgu

opisanego a tym

trójkącie.

2

sin

sin

sin

a

b

c

R

a

b

g

=

=

=

c

a

b

R

O

a

b

g

2

sin

sin

sin

a

b

c

R

a

b

g

=

=

=

Twierdzenie cosinusów

W trójkącie kwadrat

dowolnego boku równa

się sumie kwadratów

dwóch pozostałych

boków pomniejszonej o

podwójny iloczyn tych

boków i cosinusa kąta

zawartego między

nimi.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 cos
2 cos
2 cos

a

b

c

ab

b

a

c

ac

c

a

b

ab

a

b

g

= + -

= + -

= + -

c

b

a

a

b

g

A

B

C

W szczególnym przypadku, gdy trójkąt jest

prostokątny i γ jest kątem prostym,

twierdzenie to sprowadza się do

twierdzenia Pitagorasa, ponieważ cosinus

kąta prostego jest równy zeru, czyli

2

2

2

a

b

c

+ =

Zadania

1

. Kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego ma 100° . Oblicz

pozostałe kąty.

Rozwiązanie:

Kąty w trójkącie

Odp: Kąty w trójkącie mają miarę : 40°, 40°, 100°.

100°

α

α

100 180

2

180 100

2

80 / :2

40

a a

a
a

a

+ +

=

=

-

=

=

o

o

o

o

o

o

2

. Wiedząc, że RK || SL, znajdź miary kątów v, x, y, z.

Rozwiązanie:

Ponieważ .

50

o

R

K

S

L

v

x

y

z

116

o

50

o

116

180 ,

x

więc

+ =

o

o

180 116

64

x =

-

=

o

o

o

Rozważmy teraz . Suma kątów w trójkącie jest równa
180°,zatem

Ponieważ proste KR i LS są równoległe, więc

Miarę kąta v wyznaczamy, rozpatrując kąt :

Odp: Miary kątów to : v = 40° , x = 64° , y = 116°, z = 50° .

KLR

V

180 (50 64 ) 66

y =

-

+

=

o

o

o

o

116 ,

:

KLS

czyli

=

o

S

116 ,

y z

stąd

+ =

o

116 66

50

z =

-

=

o

o

o

LSR

V

180 (50 90 ) 40

v =

-

+

=

o

o

o

o

3

. Oblicz pole okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o

przyprostokątnych 4cm i 3cm.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Pitagorasa:

r

r

r

3

4

c

2

2

2

2

2

3 4
9 16

25

25 5

c

c

c

c

+ =

+ =

=

=

=

Pole trójkąta:

Pole okręgu wpisanego:

Odp: Promień okręgu wpisanego ma długość 1cm.

2

1

1

4 3 6

2

2

P

a h

cm

=

�= ��=

2

2 6

12

1 .

3 4 5 12

P

r

cm

a b c

�

=

=

=

=

+ +

+ +

4

. Oblicz obwód i pole prostokąta, w którym przekątna ma długość

8cm, a krótszy bok 4cm.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Pitagorasa:

Obwód prostokąta:

Ob = 2a + 2b

2

2

2

2

2

2

4

8

16 64

64 16

48

48

16 3

4 3

a
a
a
a
a
a

+ =
+ =

= -
=

=

=

�

=

8

a

4

Obwód prostokąta:

Pole prostokąta:

Odp: Prostokąt ma obwód i pole .

(8 3 8)

+

2 4 3 2 4 8 3 8

Ob

cm

= �

+ �=

+

4 3 4 16 3 .

P ab

cm

=

=

�=

2

16 3cm

5

. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie 6cm i

ramieniu 4cm.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Pitagorasa:

Odp: Wysokość trójkąta równoramiennego wynosi

2

2

2

2

2

2

3

4

9 16

16 9

7

7

h
h
h
h
h

cm

+ =
+ =

= -
=

=

7 .

cm

4

4

h

6

3

3

6

. Oblicz miary kątów i .

Rozwiązanie:

Trójkąt AOB jest równoramienny (|OA| = |OB|,
bo to są promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty
przy podstawie są równe.

a

b

70 180

2

180 70

55

a a

a

a

+ +

=

=

-

=

o

o

o

o

o

A

B

O

C

a

b

70°

70°

a

a

Trójkąt ABC jest oparty na średnicy AC dlatego
kąt ABC = 90°.

Odp:

55 ,

35.

a

b

=

=

o

o

90

55

90

90 55
35

a b

b

b
b

+ =

+ =

=

-

=

o

o

o

o

o

o

7

. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym dane są kąty i

oraz bok c = 4.

Rozwiązanie:

Kąt

50

a =

o

67

b =

o

180 (50 67 ) 180 117

63

g =

-

+

=

-

=

o

o

o

o

o

o

c

a

g

B

50

o

67

o

A

C

b

Długość boków a i b obliczamy korzystając z twierdzenia

sinusów:

zatem

zatem

Odp: Długość boków wynosi a 3,44 ,b 4,13 ,c = 4.

,

sin

sin

a

c

a

g

=

sin

4sin50

3,44

sin

sin63

c

a

a

g

�

=

=

�

o

o

sin

sin

b

c

b

g

=

sin

4sin67

4,13.

sin

sin63

c

b

b

g

�

=

=

�

o

o

�

�

8

. Rozwiąż trójkąt mając dane , b = 6, .

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć bok c, korzystamy z twierdzenia cosinusów:

2

2

2

2

2

2

2 cos ,

3

(2 3)

6 2 2 3 6 cos30 12 36 24 3

12

2

c

a

b

ab

c

g

= + -

=

+ - �

��

= + -

� =

o

2 3

a =

30

g =

o

A

B

C

b

a

c

a

b

g

Stąd .

Odp: Zatem szukany trójkąt jest trójkątem równoramiennym o
Bokach , b = 6, i kątach , , .

12 2 3

c =

=

2 3

a =

2 3

c =

30

a =

o

30

g =

o

120

b =

o

9

. Oblicz miary kątów w trójkącie, jeżeli ich wzajemny

stosunek wynosi 3:2:4.

Rozwiązanie:

3x, 2x, 4x – miary kątów trójkąta. Suma kątów w trójkącie

wynosi

180°.

Odp: Trójkąt ma kąty o miarach 60° , 40° , 80° .

3

2

4

180

9

180 / :9

20

x

x

x

x

x

+ + =

=

=

o

o

o

3

3 20

60

2

2 20

40

4

4 20 80

x

x
x

= � =

= � =
= � =

o

o

o

o

o

o

10

. Oblicz pozostałe boki w tym trójkącie.

Rozwiązanie:

! KLIK !

Wartości funkcji trygonometrycznej

Twierdzenie sinusów:

60

o

4

c

b

75

o

45

o

60

o

4

sin45

sin60

b

=

o

o

4

sin45

sin75

c

=

o

o

Odp: Pozostałe boki trójkąta mają długość b = 4,9, c = 5,46.

4

0,71 0,87

0,71

4 0,87

0,71

3,48/ :0,71

4,9

b

b
b

b

=

= �
=

=

4

0,71 0,97

0,71

4 0,97

0,71

3,88/ :0,71

5,46

c

c
c

c

=

= �
=

=

wróć

Wykonała:

Dominika Farys

2c