5.
5.
ZASADY STATYSTYCZNEJ
ZASADY STATYSTYCZNEJ
ANALIZY WYNIKÓW BADAŃ
ANALIZY WYNIKÓW BADAŃ
5.
5.
ZASADY STATYSTYCZNEJ
ZASADY STATYSTYCZNEJ
ANALIZY WYNIKÓW BADAŃ
ANALIZY WYNIKÓW BADAŃ
5.1.Wstęp
Jak już wspomniano na początku podręcznika, analizę statystyczną można oprzeć o funkcję
gęstości lub o dystrybuantę. W pierwszym przypadku posługiwać się trzeba histogramem
wymagającym podziału na klasy i wyboru liczności klas co prowadzi często do
niejednoznaczności uzyskiwanych wyników. W procesach inżynierskich bardziej jednoznaczne
wyniki daje metoda dystrybuanty empirycznej. W metodzie tej uzyskaną z badań dystrybuantę
empiryczną należy aproksymować dystrybuantą jednego z teoretycznych rozkładów.
Można tego dokonać jedną z trzech metod: metodą graficzną, metodą momentów i metodą
największej wiarygodności.
5.1.Oszacowanie punktowe
Metoda ta polega na zastosowaniu gotowych wzorów służących do oszacowania parametrów
określonego rozkładu. Pomijając całą teorię uzyskiwania odpowiednich wzorów matematycznych
służących do oszacowania (estymacji) odpowiednich parametrów, należy tylko wspomnieć, że
wzory te zwykle uzyskuje się z wykorzystaniem momentów poszczególnych zmiennych
losowych o odpowiednich rozkładach statystycznych (stąd nazwa metoda momentów). Poniżej
zestawiono wybrane sposoby estymacji punktowej dla wybranych rozkładów statystycznych.
5.1.1. Rozkład normalny
Wartość oczekiwana będąca podstawowym parametrem rozkładu normalnego
szacowana jest ze średniej:
n
i
i
x
n
X
1
1
gdzie: n - liczność próbki, x
i
- zaobserwowane realizacje zmiennej losowej.
Odchylenie średnie standardowe wykorzystywane jest jako estymator odchylenia
średniego :
1
)
(
2
n
X
x
S
i
Te dwa estymatory definiują poszukiwaną dystrybuantę rozkładu normalnego.
5.1.1. Rozkład Weibulla
Jedna z metod szacowania parametrów rozkładu Weibulla oparta jest o trzeci moment
centralny, którego nieobciążonym estymatorem jest:
n
i
i
X
x
n
n
n
n
M
1
3
2
3
)
(
)
2
(
)
1
(
Wykorzystując oszacowanie M
3
oblicza się współczynnik skośności z wyrażenia:
3
3
S
M
Dla znanego odczytuje się z tabeli 5.1 parametry k, A, B, D rozkładu Weibulla
(zdefiniowane w tabeli 4.1) oraz oblicza się pozostałe parametry rozkładu z zależności:
A
B
D
gdzie
S
D
X
X
S
A
X
X
m
0
P a r a m e t r
S y m b o l
W z ó r
M e d i a n a
X
X
X
X
m
k
0
0
1
2
(
) ( l n
)
M o d a
~
X
1
1
1
)
(
1
0
0
k
dla
k
X
X
X
k
m
Z r e d u k o w a n y
m o m e n t r z ę d u l
z
l
k
l
k
l
M o m e n t r z ę d u l
(
)
x
X
l
0
k
l
X
X
l
m
1
)
(
0
P i e r w s z y
m o m e n t
( ś r e d n i a )
X
1
1
)
(
0
0
l
dla
k
l
X
X
X
m
W a r i a n c j a
2
k
k
X
X
m
1
1
2
1
)
(
2
2
0
S t a n d a r y z o w a n a
r ó ż n i c a o d X
m
d o X
0
B k
X
X
m
( )
0
k
k
1
1
2
1
1
2
S t a n d a r y z o w a n a
r ó ż n i c a o d X
m
d o
X
A k
X
X
m
( )
)
(
1
1
1
k
B
k
T r z e c i m o m e n t
c e n t r a l n y
3
3
0
0
2
0
3
0
)
(
2
)
(
)
(
3
)
(
X
x
X
x
X
x
X
x
W s p ó ł c z y n n i k
a s y m e t r i i
)
(
1
1
2
1
1
2
1
3
3
1
3
3
2
k
B
k
k
k
k
Tabela 5.1. Dane liczbowe do szacowania estymatorów rozkładu Weibulla wg [7]
k
A
B
D
0.5
-0.223607
0.224
0.447113
6.619
1.0
0.000000
1.000
1.000000
2.000
1.5
0.158669
1.631
1.472827
1.072
2.0
0.245598
2.159
1.913046
0.631
2.5
0.296936
2.634
2.336956
0.359
3.0
0.329748
3.081
2.751448
0.168
3.5
0.352096
3.512
3.160028
0.025
4.0
0.368084
3.933
3.564587
-0.087
4.5
0.379976
4.346
3.966282
-0.178
5.0
0.389102
4.755
4.365828
-0.254
5.5
0.395287
5.160
4.763762
-0.319
6.0
0.402069
5.563
5.160494
-0.374
6.5
0.406805
5.963
5.556206
-0.423
7.0
0.410749
6.362
5.951200
-0.465
7.5
0.414075
6.760
6.345521
-0.502
8.0
0.416915
7.156
6.739368
-0.535
8.5
0.419367
7.552
7.132896
-0.566
9.0
0.421497
7.947
7.525930
-0.592
9.5
0.423368
8.342
7.918742
-0.617
10.0
0.425026
8.736
8.311375
-0.638
10.5
0.428495
9.130
8.703660
-0.658
11.0
0.427812
9.524
9.095818
-0.676
11.5
0.429006
9.917
9.488068
-0.692
12.0
0.430073
10.310
9.879791
-0.708
12.5
0.431046
10.703
10.271504
-0.723
13.0
0.431947
11.096
10.663568
-0.733
13.5
0.432751
11.488
11.054852
-0.747
14.0
0.433501
11.880
11.446406
-0.758
14.5
0.434202
12.272
11.838192
-0.769
15.0
0.434827
12.664
12.229133
-0.781
15.5
0.435420
13.056
12.620502
-0.787
16.0
0.435971
13.448
13.011774
-0.796
16.5
0.436486
13.840
13.403097
-0.801
17.0
0.436978
14.232
13.794868
-0.814
17.5
0.437431
14.624
14.186113
-0.817
18.0
0.437830
15.014
14.576417
-0.824
18.5
0.438248
15.407
14.968422
-0.826
19.0
0.438598
15.797
15.358540
-0.842
19.5
0.438952
16.189
15.749647
-0.848
20.0
0.439309
16.581
16.141785
-0.850
20.5
0.439597
16.971
16.531586
-0.853
21.0
0.439899
17.363
16.922745
-0.859
21.5
0.440205
17.755
17.314880
-0.864
Cytat ze STATISTIKI
http://www.statsoft.pl/textbook/stathome.html
Ocena parametru położenia w trójparametrowym
rozkładzie Weibulla stwarza pewne problemy, których
dyskusję znaleźć można u Lawlessa (1982). W
szczególności, jeśli parametr kształtu jest mniejszy od 1,
to
nie
istnieje
rozwiązanie
metodą
największej
wiarygodności. W innych przypadkach natomiast może
się okazać, że funkcja wiarygodności posiada więcej niż
jedno maksimum (tzn. wiele maksimów lokalnych). W tym
ostatnim przypadku Lawless zaleca użycie najmniejszego
czasu awarii (lub wielkości odrobinę mniejszej) jako
wartości parametru położenia.
5.1.1. Rozkład Gumbela
(dwuwykładniczy)
P
a
r
a
m
e
t
r
y
r
o
z
kł
a
d
u
d
w
u
w
y
k
ł
a
d
n
i
c
z
e
g
o
m
o
ż
n
a
o
s
z
a
c
o
w
a
ć
z
z
a
l
e
ż
n
o
ś
c
i
:
ˆ
ˆ
ˆ
n
m
n
y
X
X
S
(
5
.
6
)
g
d
z
i
e
:
i
X
m
t
o
p
a
r
a
m
e
t
r
y
r
o
z
kł
a
d
u
;
n
i
n
y
t
o
o
d
p
o
w
i
e
d
n
i
o
p
o
p
u
l
a
c
y
j
n
e
o
d
c
h
y
l
e
n
i
e
s
t
a
n
d
a
r
d
o
w
e
i
p
o
p
u
l
a
c
y
j
n
a
ś
r
e
d
n
i
a
(
w
a
r
t
o
ś
c
i
t
e
p
o
d
a
j
e
t
a
b
e
l
a
5
.
2
.
)
.
Tabela 5.2. Dane liczbowe do oszacowania parametrów rozkładu dwuwykładniczego wg [7]
n
n
y
n
n
n
y
n
8
0.484
0.904
49
0.548
1.159
9
0.490
0.929
50
0.549
1.161
10
0.495
0.950
51
0.549
1.162
11
0.500
0.968
52
0.549
1.164
12
0.503
0.983
53
0.550
1.165
13
0.507
0.997
54
0.550
1.167
14
0.510
1.010
55
0.550
1.168
15
0.513
1.021
56
0.551
1.170
16
0.516
1.032
57
0.551
1.171
17
0.518
1.041
58
0.551
1.172
18
0.520
1.049
59
0.552
1.173
19
0.522
1.057
60
0.552
1.175
20
0.524
1.063
62
0.553
1.177
21
0.525
1.070
64
0.553
1.179
22
0.527
1.075
66
0.554
1.181
23
0.528
1.081
68
0.554
1.183
24
0.529
1.086
70
0.555
1.185
25
0.531
1.091
72
0.555
1.187
26
0.532
1.096
74
0.556
1.189
27
0.533
1.100
76
0.556
1.191
28
0.534
1.105
78
0.556
1.192
29
0.535
1.109
80
0.557
1.194
30
0.536
1.112
82
0.557
1.195
31
0.537
1.116
84
0.558
1.197
32
0.538
1.119
86
0.558
1.198
33
0.539
1.123
88
0.558
1.199
34
0.540
1.125
90
0.559
1.201
35
0.540
1.128
92
0.559
1.202
36
0.541
1.131
94
0.559
1.203
37
0.542
1.134
96
0.560
1.204
38
0.542
1.136
98
0.560
1.206
39
0.543
1.139
100
0.560
1.206
40
0.544
1.141
150
0.565
1.225
41
0.544
1.144
200
0.567
1.236
42
0.545
1.146
250
0.569
1.243
43
0.545
1.148
300
0.570
1.248
44
0.546
1.150
400
0.571
1.254
45
0.546
1.152
500
0.572
1.259
46
0.547
1.154
750
0.574
1.265
47
0.547
1.156
1000
0.575
1.269
48
0.548
1.157
0.577
1.283
5.1.Metoda graficzna
Każdy rozkład statystyczny zmiennej losowej X o dystrybuancie F(x) posiada sobie tylko
właściwą siatkę funkcyjną o odciętej
)
(
1
X
(5.7a)
i rzędnej
)]
(
[
2
x
F
(5.7b)
w której to siatce dystrybuanta F(x) jest linią prostą o równaniu
b
a
(5.8)
Współrzędne siatek funkcyjnych i równania prostych dla wybranych rozkładów
statystycznych zestawiono w tabeli 5.3.
T a b e l a 5 . 3 . W s p ół r z ę d n e l i n i o w e w y b r a n y c h r o z k ł a d ó w s t a t y s t y c z n y c h
R o z kł a d / w s p ó ł r z ę d n e
R ó w n a n i e p r o s t e j
n o r m a l n y
)]
(
[
x
F
Y
x
x
y
1
W e i b u l l a
d l a s i a t k i u n i w e r s a l n e j
}
{
]
[
)
(
1
1
ln
ln
x
F
l n ( x - X
o
)
)
ln(
)
ln(
0
0
X
x
k
X
X
k
y
m
W e i b u l l a d l a s i a t k i o
u s t a l o n y m p a r a m e t r z e
k
k
x
F
)]
(
1
ln[
x
0
0
0
X
X
x
X
X
X
y
m
m
w y kł a d n i c z y
)]
(
1
ln[
x
F
x
0
0
0
X
X
x
X
X
X
y
m
m
d w u w y kł a d n i c z y
}
{
]
[
)
(
1
1
ln
ln
x
F
x
x
X
y
m
r ó w n o m i e r n y
F ( x )
x
c
d
c
x
y
p o tę g o w y
l g [ F ( x ) ]
l g ( x )
)
lg(
)
lg(
c
x
y
W
y
k
o
r
z
y
s
t
u
ją
c
w
s
p
ó
ł
r
z
ę
d
n
e
i
,
k
t
ó
r
e
p
o
w
y
k
o
r
z
y
s
t
a
n
i
u
t
r
a
n
s
f
o
r
m
a
c
j
i
o
k
r
eś
l
o
n
y
c
h
w
z
o
r
a
m
i
z
t
a
b
e
l
i
5
.
3
,
są
w
s
p
ó
ł
r
z
ę
d
n
y
m
i
l
i
n
i
o
w
y
m
i
d
l
a
d
a
n
e
g
o
r
o
z
k
ł
a
d
u
,
m
o
ż
n
a
z
a
s
t
o
s
o
w
a
ć
m
e
t
o
dę
n
a
j
m
n
i
e
j
s
z
y
c
h
k
w
a
d
r
a
t
ó
w
d
l
a
o
k
r
e
ś
l
e
n
i
a
p
a
r
a
m
e
t
r
ó
w
p
r
o
s
t
e
j
(
5
.
8
)
:
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
x
x
n
y
x
x
y
x
a
1
1
2
1
1
1
1
2
2
)
(
ˆ
(
5
.
9
a
)
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
x
x
n
y
x
y
x
n
b
1
1
2
1
1
1
2
)
(
ˆ
(
5
.
9
b
)
g
d
z
i
e
z
a
x
i
i
y
i
p
o
d
s
t
a
w
i
a
s
ię
w
a
r
t
o
ś
c
i
o
b
l
i
c
z
o
n
e
z
t
a
b
e
l
i
5
.
3
p
r
z
y
p
o
d
s
t
a
w
i
e
n
i
u
z
a
F
(
x
)
i
x
o
d
p
o
w
i
e
d
n
i
c
h
p
r
a
w
d
o
p
o
d
o
b
i
eń
s
t
w
z
p
r
ó
b
y
i
w
a
r
t
o
ś
c
i
z
m
i
e
n
n
e
j
l
o
s
o
w
e
j
u
z
y
s
k
a
n
y
c
h
z
b
a
d
a
ń
.
O
s
z
a
c
o
w
a
n
e
w
s
p
ół
c
z
y
n
n
i
k
i
a
ˆ
i
b
ˆ
p
r
o
s
t
e
j
p
o
z
w
a
l
a
ją
w
y
k
r
e
ś
l
i
ć
d
y
s
t
r
y
b
u
a
n
t
ę
r
o
z
k
ł
a
d
u
w
j
e
g
o
s
i
a
t
c
e
f
u
n
k
c
y
j
n
e
j
o
r
a
z
w
y
z
n
a
c
z
yć
p
a
r
a
m
e
t
r
y
r
o
z
k
ł
a
d
u
w
e
d
ł
u
g
w
z
o
r
ó
w
p
o
d
a
n
y
c
h
w
t
a
b
e
l
i
5
.
4
.
T a b e l a 5 . 4 . O k r e ś l e n i e p a r a m e t r ó w w y b r a n y c h r o z k ł a d ó w n a p o d s t a w i e z n a j o m o ś c i
w s p ó ł c z y n n i k ó w r ó w n a n i a p r o s t e j w s i a t c e f u n k c y j n e j
R o z k ł a d
P a r a m e t r y
n o r m a l n y
b
b
a
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
W e i b u l l a
d l a s i a t k i
u n i w e r s a l n e j
b
a
X
X
b
k
m
ˆ
ˆ
exp
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
W e i b u l l a d l a s i a t k i o
u s t a l o n y m
p a r a m e t r z e k
b
a
X
b
X
X
m
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
0
0
w y k ł a d n i c z y
b
a
X
b
X
X
m
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
0
0
d w u w y k ł a d n i c z y
b
a
X
b
m
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r ó w n o m i e r n y
b
a
d
b
a
c
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p o t ę g o w y
)
ˆ
ˆ
(
10
ˆ
ˆ
ˆ
b
a
c
b
P
r
z
y
kł
a
d
5
.
1
.
D
a
n
e
są
w
y
n
i
k
i
b
a
d
a
ń
z
m
i
e
n
n
e
j
l
o
s
o
w
e
j
j
a
k
w
p
i
e
r
w
s
z
y
c
h
t
r
z
e
c
h
k
o
l
u
m
n
a
c
h
t
a
b
e
l
k
i
5
.
5
.
D
a
n
e
t
e
o
p
r
a
c
o
w
a
n
o
m
e
t
o
dą
g
r
a
fi
c
z
n
ą
d
l
a
t
r
ó
j
p
a
r
a
m
e
t
r
o
w
e
g
o
r
o
z
k
ł
a
d
u
W
e
i
b
u
l
l
a
,
k
t
ó
r
y
m
a
d
w
a
r
o
d
z
a
j
e
s
i
a
t
e
k
f
u
n
k
c
y
j
n
y
c
h
.
S
i
a
t
k
a
u
n
i
w
e
r
s
a
l
n
a
w
y
m
a
g
a
u
p
r
z
e
d
n
i
e
g
o
o
k
r
eś
l
e
n
i
a
p
a
r
a
m
e
t
r
u
p
r
z
e
s
u
n
i
ę
c
i
a
X
o
,
a
s
i
a
t
k
a
o
u
s
t
a
l
o
n
y
m
p
a
r
a
m
e
t
r
z
e
k
s
z
t
ał
t
u
k
w
y
m
a
g
a
u
p
r
z
e
d
n
i
e
g
o
o
k
r
eś
l
e
n
i
a
t
e
g
o
p
a
r
a
m
e
t
r
u
.
W
o
b
y
d
w
u
p
r
z
y
p
a
d
k
a
c
h
d
l
a
o
k
r
eś
l
e
n
i
a
t
y
c
h
p
a
r
a
m
e
t
r
ó
w
w
y
k
o
r
z
y
s
t
a
n
o
o
s
z
a
c
o
w
a
n
i
a
p
u
n
k
t
o
w
e
(
r
o
z
d
z
.
5
.
2
.
1
)
u
z
y
s
k
u
ją
c
o
d
p
o
w
i
e
d
n
i
o
893
.
88
ˆ
0
X
o
r
a
z
612
.
3
ˆ
k
.
W
y
k
o
r
z
y
s
t
u
ją
c
t
e
d
a
n
e
-
w
o
p
a
r
c
i
u
o
w
z
o
r
y
z
t
a
b
e
l
i
5
.
3
-
o
b
l
i
c
z
o
n
o
w
a
r
t
oś
c
i
i
x
ˆ
o
r
a
z
i
y
ˆ
z
e
s
t
a
w
i
o
n
e
w
k
o
l
u
m
n
a
c
h
4
i
5
d
l
a
s
i
a
t
k
i
u
n
i
w
e
r
s
a
l
n
e
j
i
w
k
o
l
u
m
n
a
c
h
6
i
7
d
l
a
s
i
a
t
k
i
o
u
s
t
a
l
o
n
y
m
p
a
r
a
m
e
t
r
z
e
k
s
z
t
ał
t
u
(
t
a
b
e
l
a
5
.
5
)
.
P
o
d
s
t
a
w
i
a
ją
c
t
e
w
a
r
t
o
ś
c
i
d
o
w
z
o
r
ó
w
5
.
9
o
s
z
a
c
o
w
a
n
o
p
a
r
a
m
e
t
r
y
a
ˆ
i
b
ˆ
p
r
o
s
t
e
j
5
.
8
.
Z
n
a
ją
c
p
a
r
a
m
e
t
r
y
a
ˆ
i
b
ˆ
-
w
y
k
o
r
z
y
s
t
u
ją
c
w
z
o
r
y
z
t
a
b
e
l
i
5
.
4
-
o
s
z
a
c
o
w
a
n
o
p
o
s
z
u
k
i
w
a
n
e
p
a
r
a
m
e
t
r
y
t
e
o
r
e
t
y
c
z
n
e
g
o
r
o
z
kł
a
d
u
W
e
i
b
u
l
l
a
.
W
y
n
i
k
i
o
b
l
i
c
z
e
ń
z
i
l
u
s
t
r
o
w
a
n
o
r
y
s
u
n
k
a
m
i
5
.
1
i
5
.
2
o
d
p
o
w
i
e
d
n
i
o
d
l
a
s
i
a
t
k
i
u
n
i
w
e
r
s
a
l
n
e
j
i
d
l
a
s
i
a
t
k
i
o
u
s
t
a
l
o
n
y
m
p
a
r
a
m
e
t
r
z
e
k
s
z
t
ał
t
u
.
J
a
k
w
i
d
a
ć
w
o
b
u
p
r
z
y
p
a
d
k
a
c
h
u
z
y
s
k
a
n
o
w
y
n
i
k
i
n
i
e
c
o
r
óż
n
e
,
c
o
j
e
s
t
w
p
r
z
y
p
a
d
k
u
o
s
z
a
c
o
w
a
ń
s
t
a
t
y
s
t
y
c
z
n
y
c
h
z
r
o
z
u
m
i
ał
e
i
o
c
z
e
k
i
w
a
n
e
-
o
b
a
s
p
o
s
o
b
y
w
y
k
o
r
z
y
s
t
a
n
i
a
m
e
t
o
d
y
g
r
a
fi
c
z
n
e
j
d
l
a
r
o
z
k
ł
a
d
u
W
e
i
b
u
l
l
a
w
y
c
h
o
d
zą
z
o
d
r
ę
b
n
y
c
h
z
a
ł
o
ż
e
ń
.
R
a
z
z
a
k
ł
a
d
a
s
i
ę
z
n
a
j
o
m
o
ś
ć
p
a
r
a
m
e
t
r
u
p
r
z
e
s
u
n
i
ę
c
i
a
a
d
r
u
g
i
r
a
z
z
a
kł
a
d
a
s
i
ę
z
n
a
j
o
m
o
ś
ć
p
a
r
a
m
e
t
r
u
k
s
z
t
a
ł
t
u
.
T
a
b
e
la
5
.
5
.
D
a
n
e
d
o
p
r
z
y
kła
d
u
S
z
e
r
e
g
k
u
m
u
la
c
y
jn
y
S
ia
t
k
a
f
u
n
k
c
y
jn
a
u
n
iw
e
r
s
a
ln
a
S
ia
t
k
a
f
u
n
k
c
y
jn
a
o
u
s
t
a
lo
n
y
m
p
a
r
a
m
e
t
r
z
e
k
s
z
t
ałt
u
k
x
i
i
i
n
)
(
ˆ
i
x
F
i
y
ˆ
i
x
ˆ
i
y
ˆ
i
x
ˆ
1
2
0
1
0
.
0
4
8
-3
.
0
2
0
3
.4
3
7
0
.
4
3
3
1
2
0
1
2
5
2
0
.
0
9
5
-2
.
3
0
2
3
.5
8
6
0
.
5
2
9
1
2
5
1
3
0
2
0
.
0
9
5
-2
.
3
0
2
3
.7
1
6
0
.
5
2
9
1
3
0
1
3
5
4
0
.
1
9
0
-1
.
5
5
4
3
.8
3
1
0
.
6
5
1
3
5
1
4
0
6
0
.
2
8
6
-1
.
0
8
9
3
.9
3
4
0
.
7
4
1
4
0
1
4
5
9
0
.
4
2
9
-0
.
5
8
1
4
.0
2
7
0
.
8
5
2
1
4
5
1
5
0
1
2
0
.
5
7
1
-0
.
1
6
6
4
.1
1
3
0
.
9
5
5
1
5
0
1
5
5
1
4
0
.
6
6
7
0
.
0
9
4
4
.1
9
1
1
.
0
2
6
1
5
5
1
6
0
1
7
0
.
8
1
0
0
.
5
0
6
4
.2
6
4
1
.
1
5
1
6
0
1
6
5
1
8
0
.
8
5
7
0
.
6
6
6
4
.3
3
2
1
.
2
0
2
1
6
5
1
7
0
1
9
0
.
9
0
5
0
.
8
5
5
4
.3
9
6
1
.
2
6
7
1
7
0
1
7
5
2
0
0
.
9
5
2
1
.
1
1
3
4
.4
5
6
1
.
3
6
1
1
7
5
0.1
1
10
100
1 10
3
6
4
2
0
y i
y i
pr (
)
x
,
,
xu
i u i x
R y s . 5 . 1 . W y k r e s d y s t r y b u a n t y e m p i r y c z n e j ( p u n k t y ) i t e o r e t y c z n e j ( l i n i a c ią g ł a ) w
u n i w e r s a l n e j s i a t c e f u n k c y j n e j r o z kł a d u W e i b u l l a ( X
o
= 8 8 . 8 9 3 ) :
212.
4
ˆ
;
099.
154
ˆ
;
893.
88
ˆ
;
212.
4
ˆ;
598.
17
ˆ
0
k
X
X
b
a
m
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
R y s . 5 . 2 . W y k r e s d y s t r y b u a n t y e m p i r y c z n e j ( p u n k t y ) i t e o r e t y c z n e j ( l i n i a c ią g ł a ) w s i a t c e
f u n k c y j n e j r o z kł a d u W e i b u l l a o u s t a l o n y m p a r a m e t r z e k s z t ał t u k ( k = 3 . 6 1 2 ) :
612.
3
ˆ
;
715.
153
ˆ
;
576.
96
ˆ
;
018.
0
ˆ
;
690.
1
ˆ
0
k
X
X
b
a
m