EKONOMIA

MATEMATYCZNA

ANALIZA
RÓWNOWAGI

ANALIZA STATYCZNA



Analiza równowagi - badanie stanu
równowagi. Proces ten obejmuje między
innymi formułowanie warunków, jakie
muszą być spełnione, aby stan równowagi
miał miejsce oraz wyznaczanie wartości
zmiennych modelu, dla których model
będzie znajdował się w stanie równowagi.

ANALIZA STATYCZNA



O równowadze na rynku mówimy
wtedy, gdy przy danej cenie, wielkość
popytu na określone dobro jest równa
wielkości podaży tego dobra. W takiej
sytuacji na rynku nie występują ani
niedobory, ani nadwyżki danego dobra.

ANALIZA STATYCZNA



Równowaga jest definiowana w ekonomii
jako stan, w którym nie występują
tendencje do zmian. Wszystkie zmienne
danego modelu znajdują się w tzw. stanie
spoczynku. Przy definiowaniu równowagi,
stan spoczynku występuje, gdy wszystkie
wewnętrzne siły modelu zostaną
zrównoważone, natomiast siły
zewnętrzne są ustalone z założenia

ANALIZA STATYCZNA



Oznacza to, iż parametry oraz zmienne
egzogeniczne modelu są w analizie
równowagi traktowane jako stałe. Jeżeli
czynniki zewnętrzne uległy by zmianie,
wówczas stan równowagi może także
ulec zmianie. Równowaga może zatem
być określana tylko w odniesieniu do
szczególnego zbioru wybranych
zmiennych.

ANALIZA STATYCZNA



W przypadku, gdy model zostanie
rozszerzony o dodatkowe zmienne,
położenie równowagi znalezione dla
mniejszego modelu nie jest stanem
równowagi dla modelu większego

ANALIZA STATYCZNA



Zmiany dochodów konsumentów, kosztów
produkcji, podatków mogą powodować
zmianę punktu równowagi. W takiej
sytuacji rynek będzie dążył do nowego
punktu równowagi. Pewne położenie
równowagi może reprezentować stan
optymalny i cel, do którego należy dążyć
(np. do maksymalizacji zysku z punktu
widzenia danej firmy).

ANALIZA STATYCZNA



Stan równowagi nie zawsze jest jednak

stanem pożądanym. Przykładowo

niekorzystna jest sytuacja, kiedy w

gospodarce istnieje równowaga przy

niepełnym zatrudnieniu lub przy bardzo

wysokich stopach procentowych.

Dlatego często rynek może być

sztucznie wyprowadzany z punktu

równowagi w celu osiągnięcia innych,

ważnych celów np. społecznych.

ANALIZA STATYCZNA



Poszukiwanie optymalnego i
pożądanego stanu równowagi nazywa
się równowagą celu



W każdej gospodarce wolnorynkowej na
rynku działają mechanizmy
doprowadzające sytuację rynkową do
punktu równowagi rynkowej.

ANALIZA STATYCZNA



Jeśli dana cena rynkowa różni się od ceny

równowagi, wtedy producenci oraz

konsumenci (sprzedający i kupujący) są

zainteresowani aby zmieniać poziom

swojej działalności: producenci

(sprzedający) zwiększają lub zmniejszają

ilości produktu oferowane na rynku,

natomiast konsumenci (kupujący)

zwiększają lub zmniejszają ilości produktu,

które chcą kupić

ANALIZA STATYCZNA

Cena, przy której rozmiary podaży (ilości
oferowanego produktu) zrównają się z
rozmiarami popytu (ilości produktu, które
konsumenci chcą kupić) nosi nazwę ceny
równowagi rynkowej. Cena równowagi
"oczyszcza" rynek z jakiejkolwiek
nadwyżki popytu bądź podaży - dlatego
nosi ona również nazwę ceny
czyszczącej rynek

ANALIZA STATYCZNA

W przypadku, gdy cena produktu jest
większa od ceny równowagi, przy
danych krzywych popytu i podaży
producenci (sprzedający) dostarczają
na rynek znacznie więcej danego
produktu aniżeli konsumenci (odbiorcy)
chcą kupić. Taka cena jest korzystna dla
producentów. Skłania ich to do
zwiększania podaży na rynek.

ANALIZA STATYCZNA

Równocześnie wysoka cena jest
niekorzystna dla kupujących i ogranicza
ich popyt na dany produkt. W rezultacie
powstaje na rynku nadmiar produktu
równy wielkości nadwyżki podaży nad
popytem

ANALIZA STATYCZNA



Nadmiar produktu na rynku oznacza, że część
wytworzonego produktu nie znajduje
nabywców (nie może być sprzedana). W
magazynach producentów (sprzedających)
gromadzą się zapasy niesprzedanych
produktów. Utrzymywanie zapasów pociąga za
sobą określone koszty rzeczywiste (np.
utrzymanie magazynów i ludzi w nich
pracujących) oraz koszty alternatywne
(zamrożony w zapasach kapitał, który mógłby
być wykorzystany do innych celów)

ANALIZA STATYCZNA



Producenci chcąc sprzedać powstały na
rynku nadmiar produktu muszą zgodzić
się na obniżenie ceny. Wielkość
nadmiaru zmniejsza się wraz z
obniżeniem bieżącej ceny w kierunku
ceny równowagi. Równocześnie niższa
cena skłania konsumentów (kupujących)
do zwiększania zakupów (popytu)

ANALIZA STATYCZNA



W innym przypadku, gdy cena rynkowa

produktu ustaliła się na poziomie poniżej

ceny równowagi, sytuacja jest bardziej

korzystna dla konsumentów, a mniej

korzystna dla producentów. Skłania to

sprzedających do oferowania stosunkowo

małych ilości produktu na rynku,

natomiast kupujący są zainteresowani

nabyciem dużych ilości produktu

ANALIZA STATYCZNA



Przy takiej cenie na rynku powstaje
niedobór produktu równy nadwyżce
popytu nad podażą. Brak produktu będzie
zmniejszać się w miarę jak kupujący będą
ograniczać swój popyt, natomiast
producenci (sprzedający) będą zwiększać
ilość oferowanych produktów, przy
jednoczesnym wzroście ceny

ANALIZA STATYCZNA

Wyższa cena wpływa jednak
negatywnie na popyt zmniejszając jego
rozmiary. W miarę jak cena rynkowa
wzrasta w kierunku ceny równowagi
zanika względny niedobór produktu na
rynku

ANALIZA STATYCZNA



Nadmiar i brak produktu mają charakter
względny. Występują one na rynku przy
określonych cenach i zanikają w miarę
jak decyzje sprzedających i kupujących
poprzez odpowiednie ustalanie ceny
doprowadzają sytuację rynkową do
stanu równowagi. Procesy te noszą
nazwę mechanizmu rynkowego

ANALIZA STATYCZNA



Mechanizm rynkowy wynika z
wzajemnych zależności między ceną,
popytem i podażą i polega na tym, że
jakakolwiek nierównowaga między tymi
elementami rynku uruchamia siły (reakcje
sprzedających i kupujących) kierujące
popyt i podaż do stanu równowagi
osiąganego przy cenie równowagi
rynkowej

ANALIZA STATYCZNA



Zmiany stanu równowagi
Równowaga rynkowa jest stabilna
jedynie w warunkach danej krzywej
popytu i podaży. Cena i punkt
równowagi zmieniają się wraz ze
zmianami (przesuwaniem się) krzywych
popytu lub/i krzywych podaży

ANALIZA STATYCZNA



Do najważniejszych czynników, które
poza ceną danego produktu mają
wpływ na kształtowanie się wielkości
podaży należą: ceny czynników
produkcji, technologię, podatki i
subsydia, przewidywania cen,
poziom konkurencji oraz ilość
przedsiębiorstw w danej gałęzi

ANALIZA STATYCZNA



Do najważniejszych czynników
wpływających na zmiany popytu
rynkowego (poza ceną) zaliczamy:
dochody, gusty i preferencje
konsumentów, ceny dóbr
substytucyjnych i komplementarnych,
przewidywania cen relatywnych,
liczbę ludności, efekty
naśladownictwa i demonstracji

ANALIZA STATYCZNA

W przypadku, gdy rozważamy model
izolowanego rynku jednego dobra,
mówimy o tzw. częściowej
równowadze rynkowej. Model
liniowy rynku oznacza, że popyt i
podaż wyrażone są za pomocą funkcji
liniowych. 

ANALIZA STATYCZNA

Rozważając model jednego dobra,
należy uwzględnić trzy zmienne:



wielkość popytu na dane dobro:Qd



wielkość podaży dobra: Qs



cenę dobra: P

ANALIZA STATYCZNA



Aby model znajdował się w stanie równowagi, musi
być spełniony warunek równowagi rynkowej, popyt
musi być równy podaży:
Qd = Qs (matematyczny zapis warunku
równowagi) 
gdzie,
Qd = a - bP (a, b > 0)  
wzór ogólny na funkcję popytu
Qs = -c + dP (c, d > 0)
wzór ogólny na funkcję podaży

ANALIZA STATYCZNA



Dany jest model rynku jednego dobra

zapisany w postaci układu dwóch

równań liniowych przedstawiających

funkcje popytu i podaży:
Qd = 14 - 2p     Qs = - 7 + 3p



Wyznaczyć punkt równowagi rynkowej

na tym rynku

ANALIZA STATYCZNA



W celu wyznaczenia punktu równowagi
rynkowej rozwiązujemy następujący układ
równań



Rozwiązaniem układu jest























s

d

s

d

Q

Q

p

Q

p

Q

3

7

2

14

6

,

5

2

,

4







s

d

Q

Q

p

ANALIZA STATYCZNA



Aby model rynku jednego dobra, w
którym funkcje popytu i/lub podaży
nie są funkcjami liniowymi,
znajdował się w równowadze, musi być
spełniony taki sam warunek równowagi
rynkowej jak w przypadku modelu
liniowego



Qd = Qs

ANALIZA STATYCZNA



Dany jest model rynku jednego,

izolowanego dobra, zapisany w postaci

układu dwóch równań nieliniowych:



Qd = 110 - p

2

      Qs = -18 + p

2



Wyznaczyć punkt równowagi rynkowej

na tym rynku.

ANALIZA STATYCZNA



W celu wyznaczenia punktu równowagi
rynkowej rozwiązujemy następujący układ
równań























s

d

s

d

Q

Q

p

Q

p

Q

2

2

18

110

46

64

110

8

lub

8

64

128

2

18

110

2

2

2

2



























s

d

Q

Q

p

p

p

p

p

p

ANALIZA STATYCZNA



Dotychczas zostały omawiane problemy
wyznaczania cen i wartości równowagi
rynkowej dla modeli uwzględniających
jedno dobro. W realnym świecie dobra
zwykle są wzajemnie ze sobą
powiązane. Dlatego funkcja popytu i
podaży danego dobra powinna
uwzględniać także ceny innych dóbr

ANALIZA STATYCZNA



Zapis takiego modelu będzie miał wówczas
następującą postać





































2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

2

2

1

1

p

p

Q

p

p

Q

p

b

p

b

b

Q

p

a

p

a

a

Q

s

d

s

d













ANALIZA STATYCZNA



Aby rynku dwóch dóbr, zaistniała
równowaga rynkowa, na każdym z tych
rynków musi wystąpić równowaga.
Oznacza to, że dla każdego dobra nie
mogą wystąpić nadwyżki ani niedobory.
Warunek równowagi na takim rynku,
można zapisać następująco













2

2

1

1

s

d

s

d

Q

Q

Q

Q

ANALIZA STATYCZNA

Rozwiązaniem takiego modelu będą dwie ceny

i wielkości równowagi rynkowej

odrębne dla rynku pierwszego dobra oraz
drugiego

2

1

, p

p

2

1

,

d

d

Q

Q

ANALIZA STATYCZNA



Wyznacz stan równowagi dla
poniższego modelu rynku dwóch dóbr





































2

2

1

1

2

1

2

2

2

8

3

2

15

2

2

1

1

p

Q

p

p

Q

p

Q

p

p

Q

s

d

s

d

ANALIZA STATYCZNA



Ponieważ



Rozwiązując układ równań otrzymujemy













2

2

1

1

s

d

s

d

Q

Q

Q

Q

4

,

5

6

,

8

2

1

2

1









d

d

Q

Q

p

p

ANALIZA STATYCZNA



W modelu ogólnej równowagi rynkowej, w
którym występuje n – dóbr, funkcje popytu i
podaży danego dobra i zależą od cen wszystkich
dóbr w gospodarce. Można to zapisać w
następujący sposób

n

i

p

p

p

Q

Q

p

p

p

Q

Q

n

s

s

n

d

d

i

i

i

i

,...,

2

,

1

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2

1

2

1















ANALIZA STATYCZNA



Warunek ogólnej równowagi rynkowej jest
następujący



Podobnie jak w poprzednich modelach, stan
równowagi na rynku n - dóbr wystąpi, gdy dla
każdego z tych dóbr wielkość popytu będzie
równa wielkości podaży, a więc nie będzie
żadnych nawyczek czy niedoborów na rynku

n

i

Q

Q

i

i

s

d

,...,

2

,

1

,



