HYDROLOGIA,

METEOROLOGIA

I KLIMATOLOGIA

Cz. II – HYDROLOGIA

W 6 – Wody podziemne

3

M. Nawalany

Prawo zachowania masy

Objętość kontrolna, stan
ustalony:

- składowa x strumienia masy
wody

x

q

~















2

~

m

S

M

q

s

kg

gdzie:

M [kg/s] – wydatek (przepływ)
masowy
S [m

2

] – pole powierzchni przez którą

przepływa wydatek M

Prawo zachowania masy – c.d.

Związek pomiędzy strumieniem masowym a strumieniem
objętościowym q :

q

~

ρ

q

q

~





gdzie:



[kg/m

3

] – gęstość cieczy.

Prawo ciągłości dla ośrodków porowatych ma postać:

 

 

q

~

div

t

n











Z postaci tej widać, że woda może być gromadzona w ośrodku
albo wskutek zmiany gęstości, albo wskutek zmiany geometrii
ośrodka, czyli zmiany wartości n.

Przypadki prawa ciągłości

1. Przypadek ogólny:

2. Przypadek szczególny - płyn nieściśliwy (



= const.),

brak zmian geometrii ośrodka (n =const.),

stąd

oraz

czyli:

0

z

q

y

q

x

q

z

y

x



















Człon reprezentuje nadmiar masy wpływającej nad
masą wypływająca z elementarnej objętości w jednostce
czasu.

 

q

div~



 

 

q

~

div

t

n











 

0







t

n



 

0

q

div 

 

 

0

~





q

div

q

div



Prawo Darcy

Eksperyment
Darcy:

W doświadczeniu
zaobserwowano,
że:

Q ~ A,

Q ~ H = H

2

– H

1

,

Q ~ 1/L

Wynika stąd, że:

L

H

k

A

Q

q











Prawo Darcy – c.d.

Prawo Darcy w najprostszej
postaci :

x

k

q

x











y

k

q

y











z

k

q

z











Równanie przepływu wód podziemnych

Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ciągłości otrzymuje się
trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:















































































z

k

z

y

k

y

x

k

x

t

S

S

Dwuwymiarowe przybliżenie płaskie przepływu wód
podziemnych:

)

(

)

(

~

~

~

2

1

z

q

z

q

y

T

y

x

T

x

t

S

z

z



























































gdzie:
S [-] – współczynnik wodopojemności sprężystej: S = S

S

l,

T

i

[m

2

/s] – współczynnik przewodności hydraulicznej: T

i

= k

i

l

















2

1

,

,

,

1

,

,

~

z

z

dz

t

z

y

x

l

t

y

x

–

wysokość hydrauliczna uśredniona

po miąższości warstwy wodonośnej

Przykład – dopływ do rowu

Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ
swobodny jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodonośnej przy
braku zasilania infiltracyjnego oraz podsiąku opisany jest prostym
równaniem Laplace’a.

0

x

)

x

(

H

2

2

2







Przykład – dopływ do rowu – c.d.

Rozwiązanie ogólne ma postać:

C

Bx

x

H





)

(

2

Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych H(0) =
H

1

, H(L) = H

2

- parametry B oraz C wynoszą odpowiednio:

,

2

1

2

2

L

H

H

B





2

1

H

C 

Stąd rozwiązanie
szczególne:

2

1

2

1

2

2

2

)

(

H

x

L

H

H

x

H







Rozwiązanie to nazywa się PARABOLĄ
DUPUITA.

Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:

x

x

H

Dk

x

x

H

x

DkH

Q

x

















)

(

2

1

)

(

)

(

~

2

















L

H

H

kD

Q

x

2

2

2

1

2

~

Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych

Mechanizmy transportu masy wyrażone jako strumienie masy
(kg/m

2

/s):

1. Transport adwekcyjny

2. Transport dyfuzyjny

3. Transport dyspersyjny

VC

J

adw



x

C

D

J

dyf

x

dyf









y

C

D

J

dyf

y

dyf









z

C

D

J

dyf

z

dyf









x

C

D

J

dysp

xx

x

dysp









,

y

C

D

J

dysp

yy

y

dysp









,

z

C

D

J

dsp

zz

z

dysp

zz









,

,

Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania
masy: równanie transportu masy w wodach podziemnych.

r

C

V

z

C

V

y

C

V

x

z

C

D

z

y

C

D

y

x

C

D

x

t

C

z

y

x

zz

yy

xx



























































































Przykład – dopływ zanieczyszczeń do studni

Dana jest studnia zupełna ujmująca wodę w obszarze rolniczym z
warstwy wodonośnej o zwierciadle napiętym. Warstwa wodonośna jest
jednorodna i izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody
te infiltrując wymywają z powierzchni pestycydy używane do ochrony
roślin. W warstwie wodonośnej pestycydy ulegają biodegradacji
zgodnie z prawem rozpadu:

 

t

exp

C

)

t

(

C

0







Czyli:

5

.

0

2

ln

T





gdzie: - okres połowicznego rozpadu.

5

.

0

T

Dane są: H, n, k, T

0.5

, Q

0

, c

0

.

Poszukuje się stężenia wody
pobieranej przez studnię przy
założeniu, że jedynym
mechanizmem transportu masy
pestycydu jest adwekcja.

1

N

Hn

1

c

Q

M

c

0

0

w









Stężenie pestycydu w wodzie
pobieranej w studni wynosi:

[kg/m

3

]