Teoria chaosu a rynki

Teoria chaosu a rynki

kapitałowe

kapitałowe

Wprowadzenie

Wprowadzenie

Od najdawniejszych czasów ludzie próbowali nadać

Od najdawniejszych czasów ludzie próbowali nadać

życiu strukturę i uporządkować je. Stworzyliśmy

życiu strukturę i uporządkować je. Stworzyliśmy

kalendarze i zegary, które regulują właściwą

kalendarze i zegary, które regulują właściwą

organizację i koordynację codziennych czynności.

organizację i koordynację codziennych czynności.

Aby uporządkować wiedzę wydajemy encyklopedie,

Aby uporządkować wiedzę wydajemy encyklopedie,

słowniki książki, gazety. Jednak niezależnie od

słowniki książki, gazety. Jednak niezależnie od

stopnia precyzji regulacji prawnych bądź

stopnia precyzji regulacji prawnych bądź

organizacyjnych, tam gdzie mamy do czynienia z

organizacyjnych, tam gdzie mamy do czynienia z

systemami naturalnymi, wciąż mamy problemy ze

systemami naturalnymi, wciąż mamy problemy ze

zrozumieniem sił stojących za tymi strukturami.

zrozumieniem sił stojących za tymi strukturami.

Świat nie jest uporządkowany!

Świat nie jest uporządkowany!

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

Wprowadzenie

Wprowadzenie

Nie ma porządku w przyrodzie, nie ma go też w ludzkich

Nie ma porządku w przyrodzie, nie ma go też w ludzkich

tworach zwanych instytucjami. Brak porządku jest

tworach zwanych instytucjami. Brak porządku jest

szczególnie wyraźny systemach gospodarczych oraz na

szczególnie wyraźny systemach gospodarczych oraz na

rynkach kapitałowych.

rynkach kapitałowych.

W celu wyjaśnienia natury rynków opracowano modele

W celu wyjaśnienia natury rynków opracowano modele

dzięki, którym ich funkcjonowanie miało stać się

dzięki, którym ich funkcjonowanie miało stać się

bardziej przejrzyste. Modele te z konieczności

bardziej przejrzyste. Modele te z konieczności

upraszczają rzeczywistość i w rezultacie nie

upraszczają rzeczywistość i w rezultacie nie

sprawdzają się. Wyjaśniają jedynie część struktury, ale

sprawdzają się. Wyjaśniają jedynie część struktury, ale

resztę pozostawiają bez odpowiedzi a często rodzą

resztę pozostawiają bez odpowiedzi a często rodzą

więcej pytań.

więcej pytań.

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

Teoria chaosu

Teoria chaosu

Definicja:

Definicja:

„

„

(…) to zespół wyników matematycznych, który ma własne

(…) to zespół wyników matematycznych, który ma własne

życie - niezależnie od tego czy stosuje się, czy nie do

życie - niezależnie od tego czy stosuje się, czy nie do

obserwowanych zjawisk.” Ivar Ekeland

obserwowanych zjawisk.” Ivar Ekeland

Teoria chaosu bada jak możliwa jest następująca

Teoria chaosu bada jak możliwa jest następująca

synteza:

synteza:

PROSTY UKŁAD WIELKA NIEPEWNOŚĆ

PROSTY UKŁAD WIELKA NIEPEWNOŚĆ

o znanej budowie i zasadzie wynikająca z dziwnego sposobu w

o znanej budowie i zasadzie wynikająca z dziwnego sposobu w

jaki

jaki

działania, małej złożoności + mechanizmy osiągają w czasie ruchu

działania, małej złożoności + mechanizmy osiągają w czasie ruchu

(np. rzut kostką)

(np. rzut kostką)

swobodę, której nie miały na początku

swobodę, której nie miały na początku

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/matematyka/c_fraktale_i_chaos

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/matematyka/c_fraktale_i_chaos

Fraktale finansowe -

Fraktale finansowe -

wprowadzenie

wprowadzenie

Prawa rządzące ekonometrią od bardzo dawna

Prawa rządzące ekonometrią od bardzo dawna

interesowały nie tylko ekonomistów, ale również

interesowały nie tylko ekonomistów, ale również

fizyków i matematyków. Przeświadczenie o możliwości

fizyków i matematyków. Przeświadczenie o możliwości

znalezienia uniwersalnego prawa pozwalającego

znalezienia uniwersalnego prawa pozwalającego

opisać dynamikę rynku z jednej strony i

opisać dynamikę rynku z jednej strony i

skomplikowanych układów fizycznych z drugiej,

skomplikowanych układów fizycznych z drugiej,

wynikało z obserwowanych podobieństw pomiędzy

wynikało z obserwowanych podobieństw pomiędzy

procesami fizycznymi a zachowaniem np. indeksu

procesami fizycznymi a zachowaniem np. indeksu

giełdowego. Pragnienie połączenia na pozór nie

giełdowego. Pragnienie połączenia na pozór nie

związanych z sobą zagadnień, zaowocowało

związanych z sobą zagadnień, zaowocowało

powstaniem nowej dziedziny nauki ekonofizyki.

powstaniem nowej dziedziny nauki ekonofizyki.

P

P

. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Fraktale finansowe,

Teoria i praktyka,

Teoria i praktyka,

nr 10 (178)

nr 10 (178)

październik 2005

październik 2005

Fraktale finansowe - historia

Fraktale finansowe - historia



1900 r - Model Bachaliera

1900 r - Model Bachaliera

Pierwszy zaproponowany model dynamiki cen akcji;

Pierwszy zaproponowany model dynamiki cen akcji;

odwołuje się do chaotycznego ruchu cząsteczki

odwołuje się do chaotycznego ruchu cząsteczki

Brownowskiej.

Brownowskiej.



Lata 70–te XX wieku

Lata 70–te XX wieku

Benoit Mandelbrot wprowadza pojecie fraktala.

Benoit Mandelbrot wprowadza pojecie fraktala.

Zauważył również niezwykłe podobieństwo wykresów

Zauważył również niezwykłe podobieństwo wykresów

cen rozważanych na różnych skalach czasowych.

cen rozważanych na różnych skalach czasowych.

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Fraktale finansowe,

Teoria i praktyka,

Teoria i praktyka,

nr 10 (178)

nr 10 (178)

październik 2005

październik 2005

Fraktale - definicja

Fraktale - definicja

Nazwa

Nazwa

fraktal

fraktal

pochodzi od łacińskiego słowa

pochodzi od łacińskiego słowa

fractus

fractus

i

i

oznacza „złamany” lub „cząstkowy”.

oznacza „złamany” lub „cząstkowy”.

Fraktale są obiektami, których nie można opisać za

Fraktale są obiektami, których nie można opisać za

pomocą precyzyjnej definicji. Właściwie można jedynie

pomocą precyzyjnej definicji. Właściwie można jedynie

mówić o obiektach posiadających określone cechy, przy

mówić o obiektach posiadających określone cechy, przy

czym liczba tych cech zależy od konkretnego fraktala.

czym liczba tych cech zależy od konkretnego fraktala.

Najważniejszą własnością jest

Najważniejszą własnością jest

samopodobieństwo

samopodobieństwo

.

.

Innymi słowy: fragment obiektu odpowiednio

Innymi słowy: fragment obiektu odpowiednio

powiększony (przeskalowany) przypomina całość.

powiększony (przeskalowany) przypomina całość.

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Fraktale finansowe,

Teoria i praktyka,

Teoria i praktyka,

nr 10 (178) październik

nr 10 (178) październik

2005

2005

Własności fraktali

Własności fraktali



Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie. Niezależnie

Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie. Niezależnie

od tego jak mały jego fragment będziemy oglądać -

od tego jak mały jego fragment będziemy oglądać -

będzie on równie skomplikowany jak całość.

będzie on równie skomplikowany jak całość.



Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę jaką

Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę jaką

jest ich 'nieskończone samopodobieństwo'. Oznacza to,

jest ich 'nieskończone samopodobieństwo'. Oznacza to,

że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio

że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio

powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub

powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub

jego znaczną część.

jego znaczną część.



Jednocześnie fraktale mają prosty opis i często są

Jednocześnie fraktale mają prosty opis i często są

otrzymywane przez powtarzanie nieskończenie wiele

otrzymywane przez powtarzanie nieskończenie wiele

razy tej samej operacji.

razy tej samej operacji.

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

Najstarsze fraktale

Najstarsze fraktale

Płatek Kocha

Płatek Kocha

I etap

I etap

II etap

II etap

Najstarsze fraktale

Najstarsze fraktale

Fraktale Sierpińskiego:

Fraktale Sierpińskiego:

dywan trójkąt piramida

dywan trójkąt piramida

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

Fenomen fraktali

Fenomen fraktali

Fenomen fraktali

Fenomen fraktali

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny

Definicja:

Definicja:

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny

(nazywany czasami

(nazywany czasami

wymiarem

wymiarem

samopodobieństwa

samopodobieństwa

) ma wiele definicji. Większość z nich

) ma wiele definicji. Większość z nich

opiera się na własności samopodobieństwa. Wyróżnia się

opiera się na własności samopodobieństwa. Wyróżnia się

również pojęcie

również pojęcie

wymiaru Minkowskiego

wymiaru Minkowskiego

. Fraktale, o ile

. Fraktale, o ile

dobrze ,,wyczuwalne" intuicyjnie, nie posiadają

dobrze ,,wyczuwalne" intuicyjnie, nie posiadają

przejrzystego i jednoznacznego matematycznie

przejrzystego i jednoznacznego matematycznie

określenia.

określenia.

Główne przyczyny takiej sytuacji to:

Główne przyczyny takiej sytuacji to:



istnieniem wielu różnych definicji wymiarów,

istnieniem wielu różnych definicji wymiarów,



istnieniem różnych typów samopodobieństwa,

istnieniem różnych typów samopodobieństwa,



istnieniem fraktali, których nie można opisać rekurencyjną

istnieniem fraktali, których nie można opisać rekurencyjną

zależnością,

zależnością,



brakiem precyzyjnego określenia ,,nieregularności".

brakiem precyzyjnego określenia ,,nieregularności".

http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node129.html

http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node129.html

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny zależy od tego, w jaki sposób obiekt

Wymiar fraktalny zależy od tego, w jaki sposób obiekt

lub szereg czasowy wypełnia przestrzeń. Fraktal

lub szereg czasowy wypełnia przestrzeń. Fraktal

będzie wypełniał ja nierównomiernie, ponieważ jego

będzie wypełniał ja nierównomiernie, ponieważ jego

elementy są ze sobą związane lub skorelowane. Aby

elementy są ze sobą związane lub skorelowane. Aby

wyznaczyć wymiar fraktalny, należy zmierzyć, jak

wyznaczyć wymiar fraktalny, należy zmierzyć, jak

obiekt zagęszcza się w przestrzeni.

obiekt zagęszcza się w przestrzeni.

Istnieje wiele metod obliczania wymiaru, ale wszystkie z

Istnieje wiele metod obliczania wymiaru, ale wszystkie z

nich zakładają ustalenie objętości lub powierzchni

nich zakładają ustalenie objętości lub powierzchni

kształtu fraktalnego oraz tego jak zmienia się on przy

kształtu fraktalnego oraz tego jak zmienia się on przy

powiększeniu powierzchni lub objętości.

powiększeniu powierzchni lub objętości.

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny

Dobrym przykładem są linie brzegowe które pod względem

Dobrym przykładem są linie brzegowe które pod względem

geometrycznym podobne są do szeregów czasowych.

geometrycznym podobne są do szeregów czasowych.

Mandelbrot twierdził, ze nigdy nie uda nam się naprawdę

Mandelbrot twierdził, ze nigdy nie uda nam się naprawdę

zmierzyć długości linii brzegowej, ponieważ wynik będzie

zmierzyć długości linii brzegowej, ponieważ wynik będzie

zależał od długości miarki jaką się posłużymy.

zależał od długości miarki jaką się posłużymy.

Przykład:

Przykład:

Obliczanie wymiaru

Obliczanie wymiaru

fraktalnego

fraktalnego

Wymiar fraktalny ustala się mierząc stopień

Wymiar fraktalny ustala się mierząc stopień

postrzępienia linii. Należy policzyć liczbę okręgów o

postrzępienia linii. Należy policzyć liczbę okręgów o

określonej średnicy, które potrzebne są do pokrycia

określonej średnicy, które potrzebne są do pokrycia

całej linii brzegowej. Następnie zwiększamy ustaloną

całej linii brzegowej. Następnie zwiększamy ustaloną

średnice okręgów i liczymy raz jeszcze. Jeżeli

średnice okręgów i liczymy raz jeszcze. Jeżeli

przeprowadzimy odpowiednią liczbę takich operacji,

przeprowadzimy odpowiednią liczbę takich operacji,

zauważymy że liczba okręgów jest związana

zauważymy że liczba okręgów jest związana

wykładniczo z długością promienia:

wykładniczo z długością promienia:

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

 

























r

2

1

log

logN

D

1

D

r

2

N

Obliczanie wymiaru

Obliczanie wymiaru

fraktalnego

fraktalnego

Przykład:

Przykład:

Płatek Kocha

Płatek Kocha

D= 1,26

D= 1,26

Porównanie wymiaru fraktalnego

Porównanie wymiaru fraktalnego

i odchylenia standardowego

i odchylenia standardowego

S1 i S2 to szeregi stóp

S1 i S2 to szeregi stóp

zwrotu. S2 nie ma

zwrotu. S2 nie ma

rozkładu normalnego.

rozkładu normalnego.

S1 nie ma żadnego

S1 nie ma żadnego

trendu, natomiast w

trendu, natomiast w

szeregu S2 trend jest

szeregu S2 trend jest

wyraźnie widoczny.

wyraźnie widoczny.

Wyraźnie widać, że wykres

Wyraźnie widać, że wykres

S1 będzie bardziej

S1 będzie bardziej

zygzakowaty niż S2.

zygzakowaty niż S2.

Wymiar fraktalny jest

Wymiar fraktalny jest

zatem sposobem na

zatem sposobem na

ilościowe uchwycenie

ilościowe uchwycenie

tego, co ich różni.

tego, co ich różni.

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki

Teoria chaosu a rynki

kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle,

kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle,

ceny ryzyko

ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

S1

S1

S2

S2

obser

obser

wacje

wacje

1

1

+2

+2

+1

+1

2

2

-1

-1

+2

+2

3

3

-2

-2

+3

+3

4

4

+2

+2

+4

+4

5

5

-1

-1

+5

+5

6

6

+2

+2

+6

+6

Łączna stopa

Łączna stopa

zwrotu

zwrotu

+1,93

+1,93

+22,8

+22,8

3

3

Odchylenie

Odchylenie

standardowe

standardowe

1,7

1,7

1,71

1,71

Wymiar

Wymiar

fraktalny

fraktalny

1,42

1,42

1,13

1,13

Fraktalne szeregi czasowe

Fraktalne szeregi czasowe

W sytuacji, gdy wszelkie dotychczasowe informacje

W sytuacji, gdy wszelkie dotychczasowe informacje

znalazły już odzwierciedlenie w obecnych cenach,

znalazły już odzwierciedlenie w obecnych cenach,

ruchy rynku mają charakter przypadkowy. Zamiana

ruchy rynku mają charakter przypadkowy. Zamiana

cen z dowolnego dnia jest niezależna od zmian z dnia

cen z dowolnego dnia jest niezależna od zmian z dnia

poprzedniego. Hipoteza zakłada, że wszyscy

poprzedniego. Hipoteza zakłada, że wszyscy

inwestorzy reagują na nową informacje natychmiast,

inwestorzy reagują na nową informacje natychmiast,

dlatego przyszłość nie jest w żaden sposób związana

dlatego przyszłość nie jest w żaden sposób związana

z przeszłością oraz teraźniejszością.

z przeszłością oraz teraźniejszością.

Szeroko zakrojone badania nad obciążonym błądzeniem

Szeroko zakrojone badania nad obciążonym błądzeniem

przypadkowym prowadził Hurst w latach 40-stych, a

przypadkowym prowadził Hurst w latach 40-stych, a

następnie Mandelbrot. Dziś nazywamy je fraktalnym

następnie Mandelbrot. Dziś nazywamy je fraktalnym

szeregiem czasowym.

szeregiem czasowym.

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

Wskaźnik Hursta

Wskaźnik Hursta

Wskaźnik Hursta jest na tyle uniwersalny, że z powodzeniem

Wskaźnik Hursta jest na tyle uniwersalny, że z powodzeniem

można go używać we wszelkich szeregach czasowych.

można go używać we wszelkich szeregach czasowych.

Jego stosowanie wiąże się z niewielką liczą założeń.

Jego stosowanie wiąże się z niewielką liczą założeń.

Pozwala na on klasyfikować szeregi czasowe. Możliwe jest

Pozwala na on klasyfikować szeregi czasowe. Możliwe jest

odróżnianie szeregów losowych od nielosowych, nawet

odróżnianie szeregów losowych od nielosowych, nawet

jeśli te pierwsze będą szeregami niegaussowskimi (tzn.

jeśli te pierwsze będą szeregami niegaussowskimi (tzn.

nie spełniającymi warunków rozkładu normalnego). Hurst

nie spełniającymi warunków rozkładu normalnego). Hurst

odkrył, że większość zjawisk naturalnych podlega

odkrył, że większość zjawisk naturalnych podlega

obciążonemu błądzeniu przypadkowemu, czyli trendowi

obciążonemu błądzeniu przypadkowemu, czyli trendowi

połączonemu z szumem. Miarą siły trendu oraz poziomu

połączonemu z szumem. Miarą siły trendu oraz poziomu

szumu jest to jak przeskalowany zakres zmienia się wraz

szumu jest to jak przeskalowany zakres zmienia się wraz

ze zmianą odcinka czasu, którego dotyczy, to znaczy, jak

ze zmianą odcinka czasu, którego dotyczy, to znaczy, jak

wysoko H znajduje się ponad 0,5.

wysoko H znajduje się ponad 0,5.

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa

Warszawa

1997

1997

Wykładnik Hursta (H)

Wykładnik Hursta (H)

R/S – analiza przeskalowanego zakresu (rescaled range

R/S – analiza przeskalowanego zakresu (rescaled range

analysis)

analysis)

N –liczba obserwacji

N –liczba obserwacji

a – stała

a – stała

Wpływ teraźniejszości na przyszłość:

Wpływ teraźniejszości na przyszłość:

C – miara korelacji

C – miara korelacji

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997





H

N

a

R/S





1

2

C

1

2H







Wykładnik Hursta

Wykładnik Hursta

H<0,5 – szereg losowy.

H<0,5 – szereg losowy.

Zdarzenia są

Zdarzenia są

przypadkowe i wzajemnie

przypadkowe i wzajemnie

nieskorelowane;

nieskorelowane;

H=0,5 – teraźniejszość nie

H=0,5 – teraźniejszość nie

ma wpływu na przyszłość;

ma wpływu na przyszłość;

H>0,5 – mamy do czynienia

H>0,5 – mamy do czynienia

z szeregiem

z szeregiem

wzmacniającym trend.

wzmacniającym trend.

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki

Teoria chaosu a rynki

kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny

kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny

ryzyko

ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

Zastosowanie - rynek akcji

Zastosowanie - rynek akcji

Analiza R/S pozwala ustalić dwie rzeczy: wartość wykładnika

Analiza R/S pozwala ustalić dwie rzeczy: wartość wykładnika

Hursta oraz przeciętną długość cyklu. Wartość H różna od

Hursta oraz przeciętną długość cyklu. Wartość H różna od

0,5 oznacza, że rozkład prawdopodobieństwa nie

0,5 oznacza, że rozkład prawdopodobieństwa nie

normalny. Jeśli 0,5 < H < 1 szereg ma wymiar fraktalny.

normalny. Jeśli 0,5 < H < 1 szereg ma wymiar fraktalny.

Fraktalne szeregi czasowe zachowują się inaczej niż

Fraktalne szeregi czasowe zachowują się inaczej niż

szeregi będące błądzeniem przypadkowym.

szeregi będące błądzeniem przypadkowym.

Podsumowanie

Podsumowanie

Zapoznaliśmy się z dowodami świadczącymi o tym, że rynki

Zapoznaliśmy się z dowodami świadczącymi o tym, że rynki

kapitałowe są systemami nieliniowymi. Współczesne

kapitałowe są systemami nieliniowymi. Współczesne

teorie nie biorą jednak tego pod uwagę. Przeoczenie to

teorie nie biorą jednak tego pod uwagę. Przeoczenie to

sprawia, że prawomocność owych teorii zostaje poważnie

sprawia, że prawomocność owych teorii zostaje poważnie

osłabiona. Nie mniej jednak nie dysponujemy jeszcze

osłabiona. Nie mniej jednak nie dysponujemy jeszcze

pełnym modelem zachowania rynku. Potrzebna jest nowa

pełnym modelem zachowania rynku. Potrzebna jest nowa

teoria rynków kapitałowych uwzględniająca wszystkie

teoria rynków kapitałowych uwzględniająca wszystkie

nieliniowe efekty. Zachowania nieliniowe są najbardziej

nieliniowe efekty. Zachowania nieliniowe są najbardziej

wyraźne na rynkach akcji, obligacji i walut.

wyraźne na rynkach akcji, obligacji i walut.

Przed nami jeszcze wiele pracy!

Przed nami jeszcze wiele pracy!

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa

Warszawa

1997

1997

Literatura

Literatura

Edgar E. Peters

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe

spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Warszawa 1997

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Fraktale finansowe,

Teoria i

Teoria i

praktyka,

praktyka,

nr 10 (178) październik 2005

nr 10 (178) październik 2005

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/matematyka/c_fraktale_i_chaos

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/matematyka/c_fraktale_i_chaos

http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node129.html

http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node129.html