Teoria chaosu a rynki kapitałowe

Wprowadzenie

Od najdawniejszych czasów ludzie próbowali nadać

życiu strukturę i uporządkować je. Stworzyliśmy

kalendarze i zegary, które regulują właściwą

organizację i koordynację codziennych czynności.

Aby uporządkować wiedzę wydajemy encyklopedie,

słowniki książki, gazety. Jednak niezależnie od

stopnia precyzji regulacji prawnych bądź

organizacyjnych, tam gdzie mamy do czynienia z

systemami naturalnymi, wciąż mamy problemy ze

zrozumieniem sił stojących za tymi strukturami.

Świat nie jest uporządkowany!

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Wprowadzenie

Nie ma porządku w przyrodzie, nie ma go też w ludzkich

tworach zwanych instytucjami. Brak porządku jest

szczególnie wyraźny systemach gospodarczych oraz na

rynkach kapitałowych.

W celu wyjaśnienia natury rynków opracowano modele

dzięki, którym ich funkcjonowanie miało stać się

bardziej przejrzyste. Modele te z konieczności

upraszczają rzeczywistość i w rezultacie nie

sprawdzają się. Wyjaśniają jedynie część struktury, ale

resztę pozostawiają bez odpowiedzi a często rodzą

więcej pytań.

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Teoria chaosu

Definicja:

„

(…) to zespół wyników matematycznych, który ma własne

życie - niezależnie od tego czy stosuje się, czy nie do

obserwowanych zjawisk.” Ivar Ekeland

Teoria chaosu bada jak możliwa jest następująca

synteza:

PROSTY UKŁAD WIELKA NIEPEWNOŚĆ

o znanej budowie i zasadzie wynikająca z dziwnego sposobu w

jaki

działania, małej złożoności + mechanizmy osiągają w czasie ruchu

(np. rzut kostką)

swobodę, której nie miały na początku

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/matematyka/c_fraktale_i_chaos

Fraktale finansowe -

wprowadzenie

Prawa rządzące ekonometrią od bardzo dawna

interesowały nie tylko ekonomistów, ale również

fizyków i matematyków. Przeświadczenie o możliwości

znalezienia uniwersalnego prawa pozwalającego

opisać dynamikę rynku z jednej strony i

skomplikowanych układów fizycznych z drugiej,

wynikało z obserwowanych podobieństw pomiędzy

procesami fizycznymi a zachowaniem np. indeksu

giełdowego. Pragnienie połączenia na pozór nie

związanych z sobą zagadnień, zaowocowało

powstaniem nowej dziedziny nauki ekonofizyki.

. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Teoria i praktyka,

nr 10 (178)

październik 2005

Fraktale finansowe - historia



1900 r - Model Bachaliera

Pierwszy zaproponowany model dynamiki cen akcji;

odwołuje się do chaotycznego ruchu cząsteczki

Brownowskiej.



Lata 70–te XX wieku

Benoit Mandelbrot wprowadza pojecie fraktala.

Zauważył również niezwykłe podobieństwo wykresów

cen rozważanych na różnych skalach czasowych.

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Teoria i praktyka,

nr 10 (178)

październik 2005

Fraktale - definicja

Nazwa

fraktal

pochodzi od łacińskiego słowa

fractus

oznacza „złamany” lub „cząstkowy”.

Fraktale są obiektami, których nie można opisać za

pomocą precyzyjnej definicji. Właściwie można jedynie

mówić o obiektach posiadających określone cechy, przy

czym liczba tych cech zależy od konkretnego fraktala.

Najważniejszą własnością jest

samopodobieństwo

Innymi słowy: fragment obiektu odpowiednio

powiększony (przeskalowany) przypomina całość.

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Teoria i praktyka,

nr 10 (178) październik

2005

Własności fraktali



Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie. Niezależnie

od tego jak mały jego fragment będziemy oglądać -

będzie on równie skomplikowany jak całość.



Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę jaką

jest ich 'nieskończone samopodobieństwo'. Oznacza to,

że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio

powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub

jego znaczną część.



Jednocześnie fraktale mają prosty opis i często są

otrzymywane przez powtarzanie nieskończenie wiele

razy tej samej operacji.

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

Wymiar fraktalny

Definicja:

Wymiar fraktalny

(nazywany czasami

wymiarem

samopodobieństwa

) ma wiele definicji. Większość z nich

opiera się na własności samopodobieństwa. Wyróżnia się

również pojęcie

wymiaru Minkowskiego

. Fraktale, o ile

dobrze ,,wyczuwalne" intuicyjnie, nie posiadają

przejrzystego i jednoznacznego matematycznie

określenia.

Główne przyczyny takiej sytuacji to:



istnieniem wielu różnych definicji wymiarów,



istnieniem różnych typów samopodobieństwa,



istnieniem fraktali, których nie można opisać rekurencyjną

zależnością,



brakiem precyzyjnego określenia ,,nieregularności".

http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node129.html

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny zależy od tego, w jaki sposób obiekt

lub szereg czasowy wypełnia przestrzeń. Fraktal

będzie wypełniał ja nierównomiernie, ponieważ jego

elementy są ze sobą związane lub skorelowane. Aby

wyznaczyć wymiar fraktalny, należy zmierzyć, jak

obiekt zagęszcza się w przestrzeni.

Istnieje wiele metod obliczania wymiaru, ale wszystkie z

nich zakładają ustalenie objętości lub powierzchni

kształtu fraktalnego oraz tego jak zmienia się on przy

powiększeniu powierzchni lub objętości.

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Wymiar fraktalny

Dobrym przykładem są linie brzegowe które pod względem

geometrycznym podobne są do szeregów czasowych.

Mandelbrot twierdził, ze nigdy nie uda nam się naprawdę

zmierzyć długości linii brzegowej, ponieważ wynik będzie

zależał od długości miarki jaką się posłużymy.

Przykład:

Obliczanie wymiaru

fraktalnego

Wymiar fraktalny ustala się mierząc stopień

postrzępienia linii. Należy policzyć liczbę okręgów o

określonej średnicy, które potrzebne są do pokrycia

całej linii brzegowej. Następnie zwiększamy ustaloną

średnice okręgów i liczymy raz jeszcze. Jeżeli

przeprowadzimy odpowiednią liczbę takich operacji,

zauważymy że liczba okręgów jest związana

wykładniczo z długością promienia:

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

 













log

logN

Porównanie wymiaru fraktalnego

i odchylenia standardowego

S1 i S2 to szeregi stóp

zwrotu. S2 nie ma

rozkładu normalnego.

S1 nie ma żadnego

trendu, natomiast w

szeregu S2 trend jest

wyraźnie widoczny.

Wyraźnie widać, że wykres

S1 będzie bardziej

zygzakowaty niż S2.

Wymiar fraktalny jest

zatem sposobem na

ilościowe uchwycenie

tego, co ich różni.

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki

kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle,

ceny ryzyko

Warszawa 1997

obser

wacje

-1

-2

-1

Łączna stopa

zwrotu

+1,93

+22,8

Odchylenie

standardowe

1,7

1,71

Wymiar

fraktalny

1,42

1,13

Fraktalne szeregi czasowe

W sytuacji, gdy wszelkie dotychczasowe informacje

znalazły już odzwierciedlenie w obecnych cenach,

ruchy rynku mają charakter przypadkowy. Zamiana

cen z dowolnego dnia jest niezależna od zmian z dnia

poprzedniego. Hipoteza zakłada, że wszyscy

inwestorzy reagują na nową informacje natychmiast,

dlatego przyszłość nie jest w żaden sposób związana

z przeszłością oraz teraźniejszością.

Szeroko zakrojone badania nad obciążonym błądzeniem

przypadkowym prowadził Hurst w latach 40-stych, a

następnie Mandelbrot. Dziś nazywamy je fraktalnym

szeregiem czasowym.

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

Wskaźnik Hursta

Wskaźnik Hursta jest na tyle uniwersalny, że z powodzeniem

można go używać we wszelkich szeregach czasowych.

Jego stosowanie wiąże się z niewielką liczą założeń.

Pozwala na on klasyfikować szeregi czasowe. Możliwe jest

odróżnianie szeregów losowych od nielosowych, nawet

jeśli te pierwsze będą szeregami niegaussowskimi (tzn.

nie spełniającymi warunków rozkładu normalnego). Hurst

odkrył, że większość zjawisk naturalnych podlega

obciążonemu błądzeniu przypadkowemu, czyli trendowi

połączonemu z szumem. Miarą siły trendu oraz poziomu

szumu jest to jak przeskalowany zakres zmienia się wraz

ze zmianą odcinka czasu, którego dotyczy, to znaczy, jak

wysoko H znajduje się ponad 0,5.

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa

1997

Wykładnik Hursta (H)

R/S – analiza przeskalowanego zakresu (rescaled range

analysis)

N –liczba obserwacji

a – stała

Wpływ teraźniejszości na przyszłość:

C – miara korelacji

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997





R/S











Wykładnik Hursta

H<0,5 – szereg losowy.

Zdarzenia są

przypadkowe i wzajemnie

nieskorelowane;

H=0,5 – teraźniejszość nie

ma wpływu na przyszłość;

H>0,5 – mamy do czynienia

z szeregiem

wzmacniającym trend.

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki

kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny

ryzyko

Warszawa 1997

Zastosowanie - rynek akcji

Analiza R/S pozwala ustalić dwie rzeczy: wartość wykładnika

Hursta oraz przeciętną długość cyklu. Wartość H różna od

0,5 oznacza, że rozkład prawdopodobieństwa nie

normalny. Jeśli 0,5 < H < 1 szereg ma wymiar fraktalny.

Fraktalne szeregi czasowe zachowują się inaczej niż

szeregi będące błądzeniem przypadkowym.

Podsumowanie

Zapoznaliśmy się z dowodami świadczącymi o tym, że rynki

kapitałowe są systemami nieliniowymi. Współczesne

teorie nie biorą jednak tego pod uwagę. Przeoczenie to

sprawia, że prawomocność owych teorii zostaje poważnie

osłabiona. Nie mniej jednak nie dysponujemy jeszcze

pełnym modelem zachowania rynku. Potrzebna jest nowa

teoria rynków kapitałowych uwzględniająca wszystkie

nieliniowe efekty. Zachowania nieliniowe są najbardziej

wyraźne na rynkach akcji, obligacji i walut.

Przed nami jeszcze wiele pracy!

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa

1997

Literatura

Edgar E. Peters

Teoria chaosu a rynki kapitałowe, nowe

spojrzenie na cykle, ceny ryzyko

Warszawa 1997

P. Oświęcimka, St. Drożdż, J. Kwapień

Fraktale finansowe,

Teoria i

praktyka,

nr 10 (178) październik 2005

http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/wstep.html

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/matematyka/c_fraktale_i_chaos

http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node129.html

Document Outline