Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Matematyczny opis zachowania się

Matematyczny opis zachowania się

obiektów regulacji i poszczególnych

obiektów regulacji i poszczególnych

urządzeń automatyki jest niezbędny do

urządzeń automatyki jest niezbędny do

przeprowadzenia

analizy

i

syntezy

przeprowadzenia

analizy

i

syntezy

działania układów automatyki. Opis ten

działania układów automatyki. Opis ten

nazywany

jest

nazywany

jest

modelem

modelem

matematycznym

matematycznym

.

.

Układy dzielimy na statyczne i dynamiczne

Układy dzielimy na statyczne i dynamiczne

Statyczny – układ opisany równaniem

Statyczny – układ opisany równaniem

algebraicznym np. opornik

algebraicznym np. opornik

Dynamiczny - układ najczęściej opisany

Dynamiczny - układ najczęściej opisany

równaniem różniczkowym lub

równaniem różniczkowym lub

całkowym

całkowym

Ri

u 

dt

di

L

Ri

u





Właściwości ciągłego elementu lub

Właściwości ciągłego elementu lub

układu liniowego o parametrach stałych

układu liniowego o parametrach stałych

można opisać za pomocą równania

można opisać za pomocą równania

różniczkowego

liniowego

o

stałych

różniczkowego

liniowego

o

stałych

współczynnikach, którego postać ogólna

współczynnikach, którego postać ogólna

jest następująca:

jest następująca:

u

b

dt

du

b

dt

u

d

b

dt

u

d

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

m

m

m

m

m

n

n

n

n

0

1

1

1

1

m

0

1

1

1

1

-

n

n

...

b

y

a

+

a

+

...

+

a

a























Z równania wynika charakterystyka statyczna

Z równania wynika charakterystyka statyczna

(w stanie ustalonym wszystkie pochodne są

(w stanie ustalonym wszystkie pochodne są

równe zero)

równe zero)

u

a

b

y

0

0



Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Właściwości dynamiczne ocenia się zwykle na

Właściwości dynamiczne ocenia się zwykle na

podstawie przebiegów y(t) nastepujących po

podstawie przebiegów y(t) nastepujących po

wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego

wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego

x(t). Wyznaczenie tych przebiegów wymaga

x(t). Wyznaczenie tych przebiegów wymaga

rozwiązania równania, co można wykonać

rozwiązania równania, co można wykonać

dwiema metodami:

dwiema metodami:

Metoda klasyczna

Metoda klasyczna

polega na wprowadzeniu

polega na wprowadzeniu

równania

charakterystycznego,

obliczeniu

równania

charakterystycznego,

obliczeniu

pierwiastków tego równania i wyznaczeniu

pierwiastków tego równania i wyznaczeniu

stałych na podstawie warunków początkowych.

stałych na podstawie warunków początkowych.

Metoda druga, tzw. metoda operatorowa

Metoda druga, tzw. metoda operatorowa

,

,

która pozwala znacznie uprościć tok obliczeń.

która pozwala znacznie uprościć tok obliczeń.

Idea metody operatorowej polega na znalezieniu

Idea metody operatorowej polega na znalezieniu

przekształcenia pozwalającego zastąpić równania

przekształcenia pozwalającego zastąpić równania

różniczkowo-całkowe

zwykłymi

równaniami

różniczkowo-całkowe

zwykłymi

równaniami

algebraicznymi

algebraicznymi

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

Transmitancją operatorową nazywamy wielkość

Transmitancją operatorową nazywamy wielkość

zdefiniowaną

jako

stosunek

transformaty

zdefiniowaną

jako

stosunek

transformaty

Laplace’a odpowiedzi Y(s) do transformaty U(s),

Laplace’a odpowiedzi Y(s) do transformaty U(s),

prze zerowych warunkach początkowych.

prze zerowych warunkach początkowych.

)

(

)

(

)

(

s

U

s

Y

s

G



Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

Transmitancją operatorową Gij(s) (układu

Transmitancją operatorową Gij(s) (układu

wielowymiarowego) między j-tym wejściem i i-tym

wielowymiarowego) między j-tym wejściem i i-tym

wyjściem nazywamy stosunek transformaty Laplaca j-

wyjściem nazywamy stosunek transformaty Laplaca j-

tej odpowiedzi (Yj(s)) do transformaty Laplaca i-tego

tej odpowiedzi (Yj(s)) do transformaty Laplaca i-tego

wymuszenia (Ui(s)) przy:

wymuszenia (Ui(s)) przy:

-zerowych warunkach początkowych

-zerowych warunkach początkowych

-założeniu że tylko j-te wymuszenie jest niezerowe a

-założeniu że tylko j-te wymuszenie jest niezerowe a

wszystkie pozostałe są równe zeru

wszystkie pozostałe są równe zeru

i=1...p

i=1...p

j=1...m.

j=1...m.

)

(

)

(

)

(

s

U

s

Y

s

G

j

i

ij



)

(

)

(

)

(

1

2

21

s

U

s

Y

s

G



Przykładowo:

Przykładowo:

Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

Ogólna postać transmitancji operatorowej

Ogólna postać transmitancji operatorowej

równania różniczkowego liniowego o stałych

równania różniczkowego liniowego o stałych

współczynnikach, przy założeniu n>m

współczynnikach, przy założeniu n>m

0

1

1

1

-

n

n

0

1

1

1

m

a

+

a

+

...

+

a

a

...

b

G(s)

s

s

s

b

s

b

s

b

s

n

n

m

m

m



















u

b

dt

du

b

dt

u

d

b

dt

u

d

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

m

m

m

m

m

n

n

n

n

0

1

1

1

1

m

0

1

1

1

1

-

n

n

...

b

y

a

+

a

+

...

+

a

a























)

...

b

)(

(

)

a

+

a

+

...

+

a

y(s)(a

0

1

1

1

m

0

1

1

1

-

n

n

b

s

b

s

b

s

s

u

s

s

s

n

m

m

n

n



















Zasady rachunku operatorowego:

transmitancja operatorowa