No Slide Title

Podstawy Automatyki

PODSTAWY AUTOMATYKI

Prowadzący

dr ing. Sebastian

Kula

e-mail: wsk09@wp.pl

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w

Bydgoszczy

wykład II

Podstawy Automatyki

zajęcia realizowane są w ramach

projektu pt. “Mechatronika

kierunkiem przyszłości –

dostosowanie oferty edukacyjnej

Uniwersytetu Kazimierza

Wielkiego do potrzeb rynku

pracy”, Działanie 4.1.1, Programu

Operacyjnego Kapitał Ludzki,

współfinansowanego ze środków

Europejskiego Funduszu

Społecznego”.

Podstawy Automatyki

Plan wykładu

• Modele układów dynamicznych:

-liniowe
-nieliniowe
-LTI (linear time invariant)
-LTV (linear time varying)

• Sposoby ich analizy:

-podstawowe równanie różniczkowe
-model w przestrzeni stanu

• Transmitancja operatorowa i widmowa.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(1)

Układ dynamiczny to taki układ, czyli pewien

zbiór

powiązanych

sobą

elementów

scharakteryzowa-ny

pewną

liczbą

wielkości

nazywanych zmiennymi, w którym conajmniej

jedna z tych zmiennych zmienia się w czasie.
Model matematyczny układu dynamicznego

jest

określony

jako

zbiór

równań

odzwierciedlających zachowanie układu z idealną

dokładnością albo z dużą dokładnością. Model

matematyczny nie jest przypisany do danego

układu dynamicznego. Układ dynamiczny może

być przedstawiony na wiele różnych sposobów i

dlatego

wiele

różnych

modeli

matematycznych.

Podstawy Automatyki

względu

postać

charakterystyk

statycznych

elementów

występujących

układach automatyki dzieli się te układy na:

· Iiniowe (opisane liniowymi równaniami
algebraicznymi, różniczkowymi itp.)

· nieliniowe (opisane nieliniowymi równaniami
algebraicznymi, różniczkowymi itp.)

Modele układów

dynamicznych(2)

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(3)

Układy Iiniowe to takie układy w których ma
zastosowanie zasada superpozycji. Zasada
superpo-zycji

stanowi,

że

odpowiedź

wytwarzana

pomocą

jednoczesnego

stosowania

dwóch

różnych

funkcji

wymuszających  jest  sumą  dwóch  odpowiedzi
indywi-dualnych.  Stąd,  dla  systemu  liniowego,
odpowiedź  na  kilka  wejść  może  być  obliczona
przez  zsumowanie  pojedynczych  wyników  dla
poszczególnych wejść.
W  praktyce  analizy  układów  dynamicznych,
jeżeli wymuszenie i skutek są proporcjonalne, to
sugeruje, że zasada superpozycji jest spełniona
i układ można uznać za liniowy.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(4)

Układ spełnia zasadę superpozycji, jeżeli
odpowiedź na wymuszenie

będące kombinacją liniową wymuszeń u

, u

, ...

, równa się kombinacji liniowej

odpowiedzi y

, y

, ... y

, przy czym y

jest

odpowiedzią układu na wymuszenie u

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(5)

Zasada superpozycji, schemat blokowy:

W  praktyce  wiele  elementów  spełnia  warunek
liniowości  w  ograniczonym  zakresie  pracy.  Dla
małych  odchyleń  od  punktów  pracy  statycznej
w

stanach

dynamicznych

nieliniową

charakterystykę statyczną elementu można
zastąpić prostą.

Podstawy Automatyki

Przykład układu liniowego:

Model pojazdu jednoosiowego pokonującego

próg o znanym profilu opisanym funkcją

czasu.

Modele układów

dynamicznych(6)

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(7)

Założono,

że

model

przyczepy

został

sporządzony tak iż zawieszenie zawiera liniowy
element

sprężysty

(odkształcenie

wprost

proporcjonalne do siły) i równolegle z nim
połączony

wiskotyczny

element

tłumiący

drgania (siła tłumiąca wprost proporcjonalna do
prędkości).
Z  drugiej  zasady  dynamiki  Newtona  wynika,  że
w  ruchu  postępowym  siła  bezwładności  masy
jest  równa  sumie  wszystkich  sił  zewnętrznych
działających  na  tę  masę  w  kierunku  przyjętym
za dodatni kierunek jej ruchu, tj. w górę.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(8)

Z tego wynika że:

gdzie kolejne człony tak otrzymanego liniowego
równania różniczkowego licząc od lewej strony
równania wyrażają:

- siłę bezwładności masy pojazdu, siła
ta

jest

iloczynem

masy

przyspieszenia

pionowego

działającego na tę masę

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(9)

-  siłę  wiskotycznego  tłumienia  tłumika
drgań łączącego masę z podłożem, siła
ta  jest  iloczynem  stałej  tłumienia
tłumika  drgań  i  różnicy  prędkości
obydwóch końców tłumika
-

siłę

odkształcenia

sprężystego

sprężyny łączącej masę z podłożem,
siła

jest

iloczynem

stałej

sprężystości

sprężyny

różnicy

przemieszczeń

obydwóch

końców

sprężyny

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(10)

Równanie sumy sił po przeniesieniu na jedną
stronę:

można przekształcić do klasycznej postaci

w  której  poszukiwane  przebiegi  pionowego
wychylenia,  prędkości  i  przyspieszenia  masy
pojazdu  występują  na  lewej  stronie  a  zadane  (i
znane)  przebiegi  pionowych  przemieszczeń
punktowego  koła  przemieszczającego  się  ze
stałą  prędkością  po  podłożu  o  znanym  profilu
występują na prawej stronie.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(11)

Układy dynamiczne automatyki, które nie
spełniają

zasady

superpozycji,

nazywać

będziemy nieliniowym.

Krzywe charakterystyczne dla różnych typów

nieliniowości.

Podstawy Automatyki

Przykłady równań będących modelami układów
nieliniowych:

Chociaż wiele zjawisk fizycznych jest często
przedstawianych poprzez równania liniowe, to w
większości

przypadków

ich

rzeczywistych

charakter nie jest w pełni liniowy.

Modele układów

dynamicznych(12)

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(13)

praktyce

wiele

układów

elektromechanicznych,

hydraulicznych,

pneumatycznych,  itd.  wywołuje  i  wy-maga
nieliniowych zależności pomiędzy swoimi zmien-
nymi.  Na  przykład,  wyjście  układu  może  się
nasycić  dla  dużych  sygnałów  wejściowych.
Może  być  nieczu-łość,  która  skutkuje  małymi
sygnałami.      Nieliniowość  kwadratowa  może
występować  na  przykład  w  amorty-zatorach
wykorzystywanych  w  układach  fizycznych.
Charakterystyka  może  być  liniowa  przy  niskiej
prędkości działania, ale może stać się nieliniowa
przy  wysokich  prędkościach,  a  siła  tłumienia
może być proporcjonalna do kwadratu prędkości
pracy.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(14)

Przykład układu nieliniowego:

Wahadło oscylacyjne, L-długość, M-masa oraz

zależność momentu obrotowego T od kąta.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(15)

Linearyzacja  układów  nieliniowych.  W
automatyce  normalny  tryb  pracy  układu  może
się  odbywać  wokół  punktu  równowagi,  a  za
sygnały  mogą  być  uznane  małe  sygnały
oscylujące wokół równowagi. (Należy podkreślić,
że  istnieje  wiele  wyjątków  od  takiej  sytuacji.)
Jednakże,  jeśli  system  działa  w  obrębie  punktu
równowagi  i  jeśli  sygnały  związane  są  małe,  to
możliwe

jest

aproksymowanie

układu

nieliniowego  modelem  liniowym.  Taki  model
liniowy jest równoważny modelowi nieliniowemu
w  ograniczonym  zakresie  działania.  Taki  model
zlinearyzowany  (LTI)  jest  bardzo  ważny  w
automatyce.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(16)

Stosowane  są  dwie  metody  linearyzacji.  Jeżeli
tak  jak  w  układzie  istnieje  punkt  pracy  od
którego  stan  nie  powinien  się  znacznie  oddalać
to

stosujemy

metodę

stycznej.

Jeżeli

natomiast przewidujemy pracę w pewnym
przedziale zmienności zmiennej niezależnej to
stosujemy metodę siecznej.

Interpretacja
linearyzacji

metodą

stycznej.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(17)

Metoda  stycznej  polega  na  przybliżeniu
funkcji nieliniowej linią prostą styczną do niej w
przyjętym punkcie nominalnym. Jeżeli zależność
nieliniowa  podana  jest  w  formie  analitycznej  to
stosujemy  rozwinięcie  funkcji  w  szereg  Taylora
wokół  przyjętego  punktu  pracy  i  uwzględniamy
tylko dwa pierwsze wyrazy:

Następnym krokiem w zadaniach automatyki
jest

przesunięcie

początku

układu

współrzędnych do punktu styczności przez
podstawienie:

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(18)

Metoda siecznej polega na zastąpieniu
krzywej

zadanym

przedziale

prostą

przecinającą krzywą w wybranych dwóch
punktach. Przy funkcji podanej analitycznie
mamy:

Interpretacja
linearyzacji

metodą

siecznej.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(19)

Układy dynamiczne liniowe stacjonarne o
parametrach skupionych LTI (linear time
invariant)

opisywane

są

równaniami

różniczkowymi zwykłymi, liniowymi o stałych
współczynnikach.

Brak jest przykładów rzeczywistych układów
dynamicznych LTI. LTI to model wystarczający
dla

szerokiej

grupy

typowych

obiektów

przemysłowych w założonym zakresie pracy.

Podstawy Automatyki

Modele układów

dynamicznych(20)

LTV  (linear  time-varying)  -  układy,  które  są
reprezentowane  przez  równania  różniczkowe,
których  współczynniki  są  funkcjami  czasu
nazywa  się  układami  liniowo  zmiennymi  w
czasie.  Na  przykład  układ  kontroli  systemu
lotów statków kosmicznych będzie układem LTV
liniowym  zmienny  w  czasie.  (Masa  statku
kosmicznego  zmienia  się  co  jest  spowodowane
zużyciem paliwa.)

Podstawy Automatyki

Obiekty

układów

dynamicznych

parametrach skupionych - np. opisywane

równaniami

różniczkowymi

zwyczajnymi.

Parametry obiektu nie zależą od współrzędnych

przestrzennych.

Obiekty

układów

dynamicznych

parametrach rozłożonych - np. opisywane

równaniami

różniczkowymi

cząstkowymi.

Parametry obiektu zależą od współrzędnych

przestrzennych. Na przykład tarcie w układach

przemieszczeń liniowych - obrabiarki CNC.

Modele układów

dynamicznych(21)

Podstawy Automatyki

Sposoby ich analizy

Układy automatyki i ich elementy są układami

dynamicznymi.

Równania

układów

dynamicznych opisujące ich funkcjonowanie

wynikają z ogólnych praw fizyki. Wykorzystanie

tych praw prowadzi najczęściej do równań

różniczkowych zwyczaj-nych. Najbardziej

ogólnym prawem dla układów o różnorodnej

naturze

(mechanicznych,

elektrycznych,

hydraulicznych, pneumatycznych itp.) jest

zasada Hamiltona, z której wynikają równania

Lagrange'a o postaci:

Podstawy Automatyki

Równanie różniczkowe(1)

przy czym:

- energia kinetyczna układu,

- energia potencjalna,

P- moc strat w układzie,

- współrzędna uogólniona,

/dt - prędkość uogólniona,

- pobudzenie związane ze współrzędną

uogólnioną

Współrzędnymi uogólnionymi są:

· przesunięcie x lub kąt obrotu a w układach

mechanicznych

ładunek

elektryczny

układach

elektrycznych,

· objętość V w układach pneumatycznych i

hydraulicznych.

Podstawy Automatyki

Sygnałami

wejściowymi

(pobudzeniami,

wymuszenia-mi) w wymienionych układach są,

odpowiednio: siła f, moment obrotowy M,

napięcie u, ciśnienie p.
Elementami

magazynującymi

energie

kinetyczną, są: poruszające się ciało o masie m

układach

mechanicznych,

cewka

indukcyjności L w układach elektrycznych,

bezwładność m

cieczy i gazów w układach

hydraulicznych i pneumatycznych.
Elementami

magazynującymi

energie

potencjalną

są:

elementy

sprężyste

sprężystości C

lub C

, kondensator o

pojemności C w układach elektrycznych,

napełniany zbiornik, komora pneumatyczna o

określonej ściśliwości.

Równanie różniczkowe(2)

Podstawy Automatyki

Równanie różniczkowe(3)

Elementami powodującymi straty energii są:

tarcie mechaniczne, rezystancja elektryczna,

opory przepły-wu cieczy i gazów.

Podstawy Automatyki

Przykład: równanie dynamiki dla czwórnika RLC

Energią kinetyczną gromadzoną w cewce o

indukcyjności

jest

energia

pola

magnetycznego określona zależnością

Równanie różniczkowe(5)

Podstawy Automatyki

Energia pola elektrostatycznego kondensatora

jest energią potencjalną.

Moc strat wyraża się wzorem

na tej podstawie otrzymujemy

a po uwzględnieniu

Równanie różniczkowe(6)

Podstawy Automatyki

Równanie różniczkowe liniowe o stałych

parametrach

opisujące

dynamikę

stacjonarnego układu liniowego z jednym

sygnałem wejściowym u(t) i jednym sygnałem

wyjściowym y(t) nazywa się równaniem

wejście- wyjście takiego układu. Uzyskuje się

je z zasady równowagi dynamicznej, odnoszącej

się do rozpatrywanego układu.

Ogólna postać równania różniczkowego

liniowego.

Równanie różniczkowe(7)

Podstawy Automatyki

Przykład: równanie wejścia - wyjścia czwórnika

Równanie równowagi napięć wynikające z KVL:

Prąd płynący przez kondensator C:

Równanie różniczkowe(8)

Podstawy Automatyki

Równanie różniczkowe(9)

Po podstawieniu otrzymujemy następującą

postać równania wejście - wyjście (rów.

różniczkowe I rzędu):

przy czym:

Jeżeli jako sygnał wyjściowy przyjmiemy i(t) to

równanie wejście - wyjście ma postać:

lub

Podstawy Automatyki

Równanie różniczkowe(10)

Przykład: równanie wejście - wyjście układu

masa - sprężyna

Sygnałem wejściowy (wymuszeniem) jest siła

f(t), a sygnałem wyjściowym (odpowiedzią)

przesunięcie x(t). Na podstawie zasad fizyki

mamy:

Jest to równanie wejście - wyjście różniczkowe II

rzędu o współczynnikach:

Podstawy Automatyki

Model w przestrzeni stanu(1)

Do opisu własności dynamicznych powszechnie

jest stosowany opis w przestrzeni stanu.

Schemat układu blokowy można przedstawić

jak na rysunku:

Podstawy Automatyki

Model w przestrzeni stanu(2)

Gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
u(t)- wektor sterowania
x(t)- wektor zmiennych stanu
y(t)- wektor sygnałów wyjściowych
a- macierz stanu
b- macierz wejść
c- macierz wyjść
d- macierz transmisyjna

Podstawy Automatyki

Model w przestrzeni stanu(3)

Najprostszym układem dynamicznym jest

układ stacjonarny, liniowy, o jednym magazynie

energii -jednej zmiennej stanu x i jednej

zmiennej wejściowej u. Podstawowym modelem

matematycznym takiego układu jest równanie

stanu:

zadaniach

automatyki

najczęściej

rozpatruje się wpływ sterowania na stan przy

starcie

układu

zerowych

warunków

początkowych.

Zmienna

dostępna

dla

obserwatora y może zależeć od stanu i

sterowania. Opisujemy to równaniem wyjścia:

Podstawy Automatyki

Model w przestrzeni stanu(4)

Układ posiadający n magazynów energii i

podlegający jednemu sterowaniu u można opisać

układem n równań pierwszego stopnia:

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(1)

Transformacja

Laplace'a

przyporządkowuje

danej funkcji czasu f(t) funkcję zmiennej

zespolonej F(s) określonej wzorem:

gdzie s - zmienna zespolona.

Funkcję F(s) = L{f(t)} nazywa się transformatą

Laplace'a funkcji f(t).

Przekształcenie Laplace'a jest przekształceniem

liniowym, co oznacza, że:

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(2)

Przykłady obliczania transformaty Laplace'a

podstawowych sygnałów:

Skok jednostkowy

Obliczenia

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(5)

Przykład obliczeń TL dla obwodu RL.

Równanie różniczkowe

pierwszego rzędu:

W chwili t=0 obiekt ten został poddany

działaniu skokowo zmiennego napięciowego

sygnału wejściowego o przyroście równym 6 V.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(6)

Warunek początkowy dla stanu tego obwodu w

chwili t = 0 wynosi:

Sygnałem wyjściowym z tego obiektu jest

przebieg natężenia prądu w obwodzie.

podstawieniu

wartości

liczbowych

niejednorodne

równanie

różniczkowe

warunkiem początkowym i(0)=0.5 przybiera

postać:

Wyznaczamy

Transformatę

Laplace'a

transformując

obie

strony

równania

różniczkowego.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(7)

Obliczenia

Ostatecznie

transformata

Laplace’a

poszukiwanego równania sygnału wyjściowego

wynosi:

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(8)

Posługując

się

twierdzeniem

dotyczącym

granicznej o wartości końcowej

można z równania transformaty bezpośrednio

obliczyć wartość końcową w funkcji czasu

Podstawy Automatyki

Równanie wejście - wyjście układu ma postać:

poddaniu

powyższego

równania

przekształceniu

Laplace'a

przy

założeniu

zerowych warunków początkowych:

Przekształci się ono w równanie operatorowe o
postaci:

Transmitancja operatorowa i

widmowa(9)

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(11)

Funkcja

operatorowa

G(s),

nazywana

transmitancją  operatorową  obiektu  liniowego,
jest to stosunek transformaty Laplace'a sygnału
wyjściowego  (odpowiedzi)  do  transformaty
Laplace'a  sygnału  wejściowego  (wymuszenia)
przy zerowych warunkach początkowych.

Transmitancja (funkcja) operatorowa nie zależy
od natury fizycznej obiektu, określa ona jedynie
związki

analityczne

między

transformatą

sygnału wejściowego U(s) i transformatą
sygnału wyjściowego Y(s).

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(12)

Jeżeli

warunki

początkowe

równania

różniczkowego opisującego własności obiektu w
dziedzinie  funkcji  czasu  są  zerowe  i  obiekt  jest
opisany  równaniem  różniczkowym  liniowym  to
transmitancja  operatorowa  nie  zależy  od
rodzaju ani od przebiegu sygnałów i jest równie
kompletnym  opisem  własności  dynamicznych
członu  jak  równanie  różniczkowe  jednorodne
opisujące  własności  tego  członu  w  dziedzinie
funkcji czasu.
Mnożąc  transmitancję  operatorową  członu  G(s)
przez  transformatę  sygnału  wejściowego  U(s)
otrzymuję

się

transformatę

sygnału

wyjściowego Y(s)=.G(s)* U(s).

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(13)

Przykład

wyznaczania

transmitancji

operatorowej.

Model pojazdu jednoosiowego pokonującego

próg o różnej postaci w chwili t = 0 (impuls

szpilkowy, skok jednostkowy, przebieg liniowo

narastający, przebieg harmoniczny)

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(14)

Obiekt opisuje zwyczajne równanie różniczkowe
drugiego  rzędu,  w  którym  funkcje  pionowego
wychylenia  masy  m  pojazdu  będące  funkcjami
sygnału  wyjściowego  występują  na  lewej
stronie  a  zadane  funkcje  czasu  wymuszające
pionowe  drgania  podłoża  i  będące  zmiennym
sygnałem wejściowym f(t) występują na prawej
stronie równania.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(15)

Po wprowadzeniu do równania ω

lub T

oraz D lub T

Zapis równania różniczkowego przybiera inną,
w pełni równoważną.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(16)

lub

tak

otrzymanym

zapisie

równań

różniczkowych

kompletne

własności

dynamiczne  tego  przetwornika  drgań  opisują
tylko  dwie  wielkości  niezależne  od  rodzaju
sygnałów  wejściowych  i  wyjściowych:  częstość
kątowa  nie  tłumionych  drgań  własnych  ω

lub

stała czasowa T

oraz stopień tłumienia drgań D

lub stała czasowa T

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(17)

Przy

założeniu

zerowych

warunków

początkowych po dokonaniu Transformaty
Laplace'a otrzymuje się następujące równania:

A z nich transmitancję operatorową G(s):

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(22)

Przykład:

Jeżeli założymy, że q to wejście a q

wyjście to

funkcja przejścia ma postać:

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(23)

W układach automatyki mogą wystąpić trzy
elementarne połączenia członów: szeregowe,
równoległe i z pętlą sprzężenia zwrotnego.

Szeregowe połączenie członów i jego

transmitancja zastępcza.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(24)

Równoległe połączenie członów i jego

transmitancja zastępcza.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(25)

Połączenie członów w układzie sprzężenia

zwrotnego i jego transmitancja zastępcza.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(26)

Jeżeli na wejście obiektu liniowego opisanego
równaniem wejście - wyjście podamy sygnał
sinusoidalny

przekształceniach

otrzymamy:

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(27)

Wielkość zespoloną G(jω), określoną przez
stosunek sinusoidalnego sygnału wejściowego
zapisanego

postaci

zespolonej

sinusoidalnego

sygnału

wyjściowego

zapisanego w postaci zespolonej przy zerowych
warunkach

początkowych

nazywa

się

transmitancją

widmową

rozpatrywanego

obiektu.
Można  interpretować  transmitancję  widmową
jako powstałą z transmitancji operatorowej G(s)
przez  podstawienie  zamiast  zmiennej  s,
zmiennej jω. Gdzie j jest jednostką urojoną, a ω
jest  liczbą  rzeczywistą  częstotliwością  kątową
(pulsacją) mierzoną w [rad/s].

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(28)

Transmitancja widmowa określa sposób obróbki
w danym bloku sygnału harmonicznego o
pulsacji ω. Jeżeli wymuszenie ma postać
u(t)=A

(t)sin(ωt) to przebieg odpowiedzi ma

postać y(t)=A

(t)sin[(ωt)+φ(ω)], zatem moduł

transmitancji widmowej M=A

(ω)/A

(ω) określa

wzmocnienie sygnałów harmonicznych, a
argument

φ(ω)

przesunięcie

fazy

tych

sygnałów.

Podstawy Automatyki

Transmitancja operatorowa i

widmowa(29)

Zachodzą relacje:

Iloczynom

modułów,

występującym

szeregowym połączeniu członów odpowiadają
sumy charakterystyk logarytmicznych.

Document Outline