Teoria względności

Teoria względności



Położenie i ruch

Położenie i ruch

•

Względność położenia

Względność położenia

•

Ruchome układy odniesienia

Ruchome układy odniesienia

•

Sformułowanie zasady względności

Sformułowanie zasady względności



Poszukiwanie transformacji łączącej inercjalne układy odniesienia

Poszukiwanie transformacji łączącej inercjalne układy odniesienia

•

Czasoprzestrzeń

Czasoprzestrzeń

•

Transformacja Lorentza

Transformacja Lorentza



Konsekwencje kinematyczne transformacji Lorentza

Konsekwencje kinematyczne transformacji Lorentza

•

Prędkość c jako prędkość graniczna

Prędkość c jako prędkość graniczna

•

Paradoks bliźniąt

Paradoks bliźniąt

•

Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera

•

Skrócenie Lorentza

Skrócenie Lorentza



W stronę dynamiki czyli energia i pęd

W stronę dynamiki czyli energia i pęd

Wykład 

Wykład 

21

21

Jest to zasada 

korespondencji i wraz z 

zasadą względności 

(transformacja Lorentza) 

pozwala znaleźć zasady 

dynamiki oraz poprawną 

postać zasady zachowania 

pędu i energii.

No właśnie. 

Tymczasem II zasada 

dynamiki Newtona 

przewiduje 

nieograniczony 

wzrost prędkości ciała 

poddanego działaniu 

stałej siły.

Nie musimy, a nawet 

nie możemy! 

Należy ją 

zmodyfikować a nie 

odrzucić, przecież dla 

małych prędkości jest 

ona słuszna.

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Może się tylko do niej 

nieograniczenie zbliżyć.

Prędkość c jest 

graniczną wartością 

prędkości cząstki 

materialnej, której nie 

może ona nie tylko 

przekroczyć, ale nawet 

osiągnąć. 

Czyli musimy 

zmienić tę zasadę!

Nowe wzory 

muszą mieć tę 

własność, że dla 

małych prędkości 

przechodzą w 

odpowiednie wzory 

fizyki klasycznej.

Słusznie!

Jest to zadanie, którym 

zajmowaliśmy się przy 

wyznaczaniu prędkości granicznej 

i możesz skorzystać z 

doświadczenia, którego wtedy 

nabyłeś. 

Zasada korespondencji 

w połączeniu z zasadą 

względności jest 

potężnym narzędziem 

teoretycznym, za 

pomocą, którego 

można rzeczywiście 

dojść do niezwykłych 

przewidywań.

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada korespondencji

zasada korespondencji

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Opiszmy więc ruch cząstki 

odbywający się w stałym 

jednorodnym polu 

elektrycznym 

skierowanym wzdłuż osi x.

Zasada korespondencji jest zasadą metodologiczną mówiącą, że skoro ustaliliśmy 

pewne prawidłowości w węższym zakresie zjawisk, to rozszerzając tę domenę i 

szukając nowych, ogólniejszych praw, musimy równocześnie wytłumaczyć, 

dlaczego w dotychczasowych warunkach ujawniły się te uproszczone, odkryte 

wcześniej prawidłowości.

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

Newtona

Newtona

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Jak poprzednio dzielimy 

ruch cząstki na wiele 

etapów, w których zmiana 

prędkości jest mała i do 

każdego etapu możemy 

zastosować prawo 

Newtona.

Świetnie!

To jest właśnie 

zasada 

korespondencji

.

v

F ma

eE m

t

D

=

=

D

wzory klasyczne

Prawo Newtona 

ustala związek 

między v a t w 

każdym kolejno 
rozpatrywanym 

układzie U

n

1

/

1

1

/

1

/

1

1

/

n

n

n

v c
v c

v

c

v c
v c

- D

�

�

- �

�

+D

�

�

=

- D

�

�

+�

�

+D

�

�

prędkość cząstki po n 

etapach:

1

1

v

c

v

c

l

D

-

=

D

+

2

2

1
1

n

n

n

v c

l
l

-

=

+

( )

2

1

2

eE

x

a t

a

m

D =

D

=

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

Newtona

Newtona

Wykład 

Wykład 

21c

21c

n-ty etap 

rozpędzania 

„odbywa” się w 

układzie n-1. 

„Odbywa” się tzn. 

że w tym właśnie 

układzie cząstka 

rozpoczyna ruch z 

prędkością zerową i 

pokonuje drogę x 

w czasie t .

( )

2

0

t

D �

Sumy 

sprowadzają się 

do sumy postępu 

geometrycznego

( )

( )

( )

( )

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

n

n

n

n

n

n

a t

v

t

x

v

c

v

t

a t

c

t

v

c

-

-

-

-

D

+

D

D

=

-

D +

D

D

=

-

(

)

( )

1

1

2

0

0

2

1

1

2

0

0

2

1

1

1

n

n

k

k

k

k

k

n

n

k

k

k

k

v

x

x

t

v
c

t

t

t

v
c

-

-

=

=

-

-

=

=

=

D

=D

-

=

D

=D

-

�

�

�

�

Z transformacji Lorentza:

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

Newtona

Newtona

Wykład 

Wykład 

21c

21c

1

0
1

1

0

1

1

1

1

1

1

n

n

k

k

n

n

n

k

k

l

l

l

l

l

l

l

l

l

-

=

-

-

-

-

-

=

-

=

-

-

-

=

=

-

-

�

�

2

2

1
1

n

n

n

v c

l
l

-

=

+

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

1 1

2 1

1

1

2 1

n

n

n

n

c t

x

t

t

l l

l

l

l l

l

l

-

-

D

=

�

- - -

�

�

�

-

D

=

�

- + -

�

�

�

-

1

1

v

c

v

c

l

D

-

=

D

+

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

v
c

v

c

v
c

l

l

l
l

l

l

l

l

l

l

-

-

=

=

+

-

�

�

-

- �

�

+

�

�

-

+

=

=

-

+

-

( )

0

v

D �

0

0

lim

lim

1

/

1

1

/

v

v

t

t

c

c

v

a

v c
v c

D �

D �

D

D

=

=

D

- D

-

+D

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

Newtona

Newtona

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

2

2

2

2

1

1

1

1

eEx mc

v
c

mv

eEt

v
c

�

�

�

�

�

�

=

-

�

�

-

�

�

�

�

=

-

1

l �

2

1 /

1 /

2

2

1 /

1 /

1 /

1 /

2

1 /

1 /

c

v c

v c

x

a

v c

v c

c

v c

v c

t

a

v c

v c

�

�

+

-

=

+

-

�

�

-

+

�

�

�

�

+

-

=

-

�

�

-

+

�

�

1

1

n

v
c

v
c

l

-

=

+

2

2

1

2

2

1

1

eE

x

t

m

eEt

mc

=

� �

+ +� �

� �

eE

a

m

=

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki 

Newtona

Newtona

2

2

1

2

2

1

1

eE

x

t

m

eEt

mc

=

� �

+ +� �

� �

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Jeżeli czas t jest krótki tzn. jeżeli cząstka 

się jeszcze zbytnio nie rozpędziła wzór 

upodabnia się do wzoru klasycznego.

2

1

2

eE

x

t

m

�

A jeżeli czas t jest długi?

2

1

2

2

eEt

mc

eE

x

t

ct

eEt

m

mc

>>

�

=

Czyli prędkość cząstki 

dąży do c!

2

2

2

1

1

1

eU mc

v
c

�

�

�

�

�

�

=

-

�

�

-

�

�

�

�

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

energia

energia

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Wyrażenie to dla 

małych prędkości 

v musi przyjmować 

 zwykłą postać.

2

2

2

1

1

1

eEx mc

v
c

�

�

�

�

�

�

=

-

�

�

-

�

�

�

�

Ex U

=

różnica potencjałów

2

2

mv

eU =

klasycznie

2

2

2

2

1

mc

K

mc

v
c

=

-

-

Energia kinetyczna

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

/

1

1

/

1

1

1

/

1

/

1

1

/

1 1 1

2

1

/

1

1

/

v c

K

mc

mc

v

v c

c

v c

mc

v c

v c

mv

mv

mv

v c

v c

�

�

�

�

-

-

�

�

=

-

=

=

�

�

-

-

�

�

�

�

-

-

=

=

-

+

-

=

�

=

+

-

+

-

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

energia

energia

Wykład 

Wykład 

21c

21c

( )

( )

1

2

2

M

m

m

W K

w K

K

+

=

+

+

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

V

v

2

v

1

K

M

W

K

m

K

m

w

w

( )

( )

1

2

2

M

m

m

W K

w K

K

+

=

+

+

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Rozpatrujemy 

rozpad ciała o 

masie M na dwa 
identyczne ciała 

o równych 

masach m. 

Zasada względności 

mówi, że zasada 

zachowania energii 

powinna być słuszna 

w każdym układzie 

odniesienia a w 

szczególności w 

układzie środka masy

?

Układ środka masy 

to taki układ, w 

którym ciało M 

spoczywa.

W takim układzie 

prędkości obu 

cząstek m będą 

po rozpadzie 

równe i 

przeciwnie 

skierowane

2

2

2

2

1

m

mc

K

mc

v
c

=

-

-

0 2

2

m

W

w

K

+ =

+

1

2

2

2

1

1

v V

v V

v

v

vV

vV

c

c

+

-

=

=-

+

-

W układzie doniesienia w 

którym układ środka masy 

porusza się z dowolną 

prędkością V

2

2

2

2

2

2

1

mc

W

w

mc

v
c

�

�

�

�

�

�

-

=

-

�

�

-

�

�

�

�

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

Mc

mc

mc

Mc

V

v

v

V

c

c

c

c

-

+

=

�

��

�

-

-

-

-

�

��

�

�

��

�

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

Mc

mc

mc

W

w

Mc

mc

mc

V

c

v V

v V

vV

vV

c

c

c

c

-

+

-

=

-

+

-

�

�

�

�

-

�

�

�

�

+

-

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

+

-

�

�

�

�

�

�

�

�

Zasada zachowania energii w 

układzie środka masy

2

2

2

2

2

2

1

mc

W

w

mc

v
c

�

�

�

�

�

�

-

=

-

�

�

-

�

�

�

�

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

1

1

mc

Mc

v

V

c

c

�

��

�

�

��

�

�

��

�

-

-

=

�

��

�

-

-

�

��

�

�

��

�

2

2

2

2

2

1

mc

Mc

v
c

=

-

Wzór musi być 

słuszny dla 

dowolnej 

prędkości

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

mc

W

w

mc

Mc

mc

M

m c

v
c

-

=

-

=

-

=

-

-

zmiana energii 

wewnętrznej

Prawda, że to 

genialne!

Wszystko się 

wyjaśni jeżeli 

korzystając z 

niego zapiszesz 

zasadę 

zachowania 

energii całkowitej 

(

)

2

2

2

2

2

2

2

wew

E

W

w Mc

mc

M

m c

mc

D

= -

=

-

=

-

=D

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Jest to jeden z 

najważniejszyc

h wzorów 

szczególnej 

teorii 

względności!

?

Energia wewnętrzna ciała 

jest całkowicie wyznaczona 

przez jego masę!!!

( )

( )

1

2

2

m

m

M

W

w K

K

K

-

=

+

-

( )

(

)

( )

(

)

1

2

2

2

2

M

m

m

K

Mc

K

mc

K

mc

+

=

+

+

+

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

( )

( )

1

2

2

m

m

M

W

w K

K

K

-

=

+

-

( )

(

)

( )

(

)

1

2

2

2

2

M

m

m

K

Mc

K

mc

K

mc

+

=

+

+

+

W fizyce klasycznej z równaniem tym nie można wiele zrobić ponieważ energie 

wewnętrzne nie są określone przez mechaniczne charakterystyki 

rozpatrywanego ciała. Zależą one np. od temperatury i bez znajomości 

szczegółowych własności ciał nie potrafimy powiedzieć ile energii kinetycznej 

zamieni się na energię wewnętrzną w wyniku zderzenia dwóch ciał.

W teorii względności równanie wyrażające zasadę zachowania energii nie 

zawiera żadnych nieznanych wielkości.

Ciało spoczywające ma energię kinetyczną równą zeru, czyli jego całkowita 

energia w tym stanie równa się jego energii wewnętrznej.

Energia wewnętrzna nazywa się energią spoczynkową ciała.

Piękny wynik, 

ale niestety 

często mylnie 

interpretowany

.

Nie może być mowy o zamianie 

„masy na energię”. Niczego na 

energię nie można zamienić. 

Można tylko zmienić postać 

energii z wewnętrznej na 

kinetyczną. Towarzyszy temu 

zmniejszenie masy i to wszystko.

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

E mc

=

?

To znaczy, że to zupełnie tak 

samo jak przy zamianie energii 

potencjalne wody na energię 

kinetyczną. Towarzyszy temu 

zmniejszenie wysokości ale jest 

absurdem mówienie o zamianie 

wysokości na energię

Brawo!

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

/

1

/

M

Mc

E K

Mc

Mc

Mc

v c

v c

�

�

=

+

=

-

+

=

�

�

-

-

�

�

(

)

(

)

2

2

i

i

j

j

pocz

konc

K Mc

K

mc

+

=

+

�

�

Energia całkowita ciała jest sumą energii kinetycznej i energii spoczynkowej.

i

j

pocz

konc

E

E

=

� �

Zasada zachowania energii

(

)

2

K

m c

D =- D

Wzrost lub ubytek energii kinetycznej produktów 

reakcji w stosunku do energii kinetycznej cząstek 

pierwotnych pochodzi całkowicie z ubytku lub 

wzrostu sumy mas mnożonej przez c

2

.

 

Ponadto, energia nie zostaje uzyskana 

lecz 

wyzwolona

 

co oznacza, że przy 

zamianie energii wewnętrznej na 

kinetyczną staje się ona łatwiej 

dostępna, bardziej widoczna i bardziej 

użyteczna. I nie ma mowy o 

powstawaniu energii – energia jako 

wielkość zachowana nie może z 

niczego powstać ani w nic się 

zamienić!  

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

(

)

2

K

m c

D =- D

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Nie koniecznie. 
Zmiana energii 

kinetycznej 

zależy również od 

wielkości m, 

która może być 

bardzo mała. 

c

2

 jest ogromną 

liczbą czyli 

uzyskana energia 

jest bardzo duża!

I jeszcze jedno w teorii względności nie 

obowiązuje prawo zachowania masy. 

Podstawowe znaczenie dla wszystkich 

procesów ma prawo zachowania energii 

całkowitej, w ramach którego jest możliwa 

zamiana energii wewnętrznej na kinetyczną 

(lub odwrotnie).

Towarzyszy temu zmiana sumy mas wszystkich 

ciał obecnych na początku i na końcu procesu.

 I to wszystko co trzeba na ten temat wiedzieć!

Żadnej energomasy, żadnej równoważności 

masy i energii, żadnej materializacji i 

dematerializacji, żadnego mistycyzmu!

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania energii

zasada zachowania energii

Wykład 

Wykład 

21c

21c

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

1

i

i

i

v V

v

Vv

c

�

+

=

�

+

2

1

i

i

i

V V

V

VV

c

�

+

=

�

+

Rozpatrzmy teraz proces, w którym dowolna liczba ciał początkowych w wyniku 

dowolnego oddziaływania przekształca się w zbiór ciał końcowych.

V – prędkość 

układu U` 

względem układu U

m

1

 v

1

m

2

 v

2

m

3

 v

3

m

4

 v

4

m

5

 v

5

m

i

 v

i

M

1

 V

1

M

2

 V

2

M

i

 V

i

M

3

 V

3

M

4

 V

4

M

5

 V

5

Dzięki tym relacjom 

(transformacja Lorentza) można 

ustalić związek całkowitej energii 

danego ciała w układzie U z jego 

całkowitą energią w układzie U`.

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

vV

mc

mc

mc

c

E

V

vV

v V

c

v V

c

c c

vV

c

c

vV

mc

mc

mv

c

V

V

v

V

v

v

c

c

c

c

c

V

�

�

�

+

�

�

�

�

=

=

=

=

�

�

�

�

�

� �

�

-

+

-

+

�

� �

�

�

�

�+

�

� �

�

-

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

=

=

+

=

�

�

�

�

�

�

��

� �

� �

�

�

�

�

�

-

-

-

-

-

�

��

� �

� �

�

�

�

�

�

�

��

� �

� �

�

�

�

�

�

=

-

2

2

2

2

1

mv

E V

v

c

c

�

�

�

�

�

�

�

�+

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

0

pocz

konc

pocz

konc

E

E

E

E

�

�

-

=

-

=

�

�

� �

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Skorzystamy teraz z zasady względności, czyli zażądamy aby zasada zachowania 

energii całkowitej była spełniona zarówno w układzie U jak w układzie U`

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

1

1

1

1

i i

i i

pocz

konc

i

i

mv

MV

E V

E V

V

v

V

V

c

c

c

c

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

+

-

+

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

-

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2

2

1

1

2

2

1

1

l

n

j

j

i i

i

j

i

j

mv

MV

V

v

c

c

=

=

�

�

=

�

�

�

�

�

�

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

Wykład 

Wykład 

21c

21c

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

l

n

j j

i i

pocz

konc

i

j

i

j

mv

MV

V

E

E

V

V

V

v

c

c

c

c

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

=

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

-

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

�

�

0

0

2

2

1

mv

v

c

�

�

�

�

-

�

�

�

�

Z zasady zachowania energii i zasady względności wynika, że w 

danym procesie oddziaływania nie ulega zmianie suma 

następujących wielkości:

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

2

2

1

mv

mv

v

c

�

�

�

-

�

�

�

�

Wykład 

Wykład 

21c

21c

dla małych prędkości

2

2

1

mv

p

v

c

=

�

�

-

�

�

�

�

v

uv

W stronę dynamiki

W stronę dynamiki

2

2

2

1

mc

E

v

c

=

�

�

-

�

�

�

�

Wykład 

Wykład 

21c

21c

Energia spoczynkowa: mc

2

2

2

1

mv

p

v

c

=

�

�

-

�

�

�

�

v

uv

Masa „spoczynkowa”: m

Teoria względności

Teoria względności

podsumowanie

podsumowanie

Wykład 

Wykład 

21

21

5. Prędkość c jako prędkość graniczna

2. Zasada względności

3. Czasoprzestrzeń

4. Transformacja Lorentza

1. Układy inercyjne

6. Zasada korespondencji

Wykład 

Wykład 

21

21

No to poruszanie się 

w czasoprzestrzeni 

mamy na jakiś czas 

„z głowy”!