UNIWERSYTET BYDGOSKI

IM. KAZIMIERZA WIELKIEGO

W BYDGOSZCZY

Wydział Matematyki, Fizyki i Techniki

ANALIZA POWŁOKI SPRĘŻYSTEJ

WALCOWEJ.

Grajkowski Piotr

Multimedialna pomoc

dydaktyczna

- instrukcja do ćwiczeń z

mechaniki technicznej :

ZAKERSU POWŁOKI

SPRĘŻYSTEJ WALCOWEJ

KOLISTEJ

ROZWIĄZANIE

ZAGADNIENIA

NIEJEDNORODNEGO

Wiemy że w przypadku powłok cienkich wypadkowe naprężeń i
przemieszczenia obliczone na podstawie teorii błonowej stanowią bardzo
dobre przybliżenie rozwiązania teorii zgięciowej. Podstawowym celem teorii
zgięciowej jest więc nie ulepszenie powyższych rozwiązań błonowych, lecz
zbadanie naprężeń wywołanych pewnymi obciążeniami brzegowymi, które nie
dają się ująć w ramy teorii błonowej.

Istnieją jednak przypadki gdy pożądane jest rozwiązanie szczególne

równań (1) dla danego obciążenia powierzchniowego ,

Rozwiązanie takie możemy naleźć bez trudu jeśli rozkład obciążeń dany jest
wzorami(2)

a

x

m

p

p

xmn

x





cos

cos



l

a

n

a

x

m

p

p

mn

















,

sin

sin

a

x

m

p

p

rmn

r





sin

cos



,

0

"

2

1

'

'

2

1

2

1

"

2









































D

a

p

w

u

v

k

vw

v

u

v

u

x



,

0

"

2

3

"

)

1

(

2

3

''

2

1

'

2

1

2









































D

a

p

w

v

v

k

w

v

u

v

x







,

0

2

"

2

"

2

3

"

'

'

2

1

'

2

































































D

a

p

w

w

w

w

w

v

u

u

v

k

w

vu

x

IV





(1)

(2)

Gdzie , , są dowolnymi stałymi. Podstawiając wzory [2]

do równań różniczkowych [1] znajdujemy rozwiązanie szczególne w

postaci

z trzema nieznanymi stałymi u

mn

, v

mn

, w

mn

, które należy, oczywiście,

wyznaczyć z równań różniczkowych. Podstawiając [3] do [2] i

opuszczając funkcje trygonometryczne, otrzymujemy następujący

układ trzech równań liniowych na u

mn

, v

mn

, w

mn

a

x

m

u

u

mn





cos

cos



a

x

m

mn









sin

sin



a

x

m

w

w

mn





sin

cos



xmn

mn

mn

mn

p

D

a

w

m

v

k

v

m

v

u

k

m

v

2

2

3

2

2

)

2

1

(

2

1

)

1

(

2

1





























































mn

mn

mn

mn

p

D

a

w

m

k

v

m

k

v

m

u

m

v











2

2

2

2

3

)

3

1

(

2

1

2

1

















































rmn

mn

mn

mn

p

D

a

w

m

m

m

k

m

k

v

m

u

m

v

k

v

2

2

4

2

2

4

2

2

3

)

1

2

2

(

1

2

3

)

2

1

(





























































(3)

(3)

xmn

p

mn

p



rmn

p

,

W każdym konkretnym przypadku możemy z tych równań obliczyć wartości
liczbowe umn, vmn, wmn. Q celu otrzymania wyrażeń na wypadkowe
naprężeń wystarczy teraz podstawić (3) do prawa sprężystości i dwóch
równań w ten sposób otrzymujemy układ wzorów





a

x

m

u

v

w

km

k

m

a

D

N

mn

mn

mn











sin

cos

)

1

(

2















a

x

m

w

k

v

vm

u

a

D

N

mn

mn

mn

x











sin

cos

)

(

2















a

x

m

mw

k

mu

k

a

v

D

N

mn

mn

mn

x











cos

sin

)

1

(

2

)

1

(

















a

x

m

mw

k

k

mu

a

v

D

N

mn

mn

mn

x











cos

sin

)

1

(

2

)

1

(

















a

x

m

vm

w

v

m

a

K

M

mn

mn











sin

cos

)

1

2

2

2













a

x

m

vm

u

w

vm

a

K

M

mn

mn

mn

x











sin

cos

)

(

2

2

2









a

x

m

mu

mw

a

v

K

M

mn

mn

mn

x











cos

sin

2

1

2

1

)

1

(

2























a

x

m

mw

a

v

K

M

mn

mn

x











cos

sin

)

1

(

2













a

x

m

v

w

m

m

a

K

Q

mn

mn













sin

sin

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2













.

cos

cos

2

1

)

2

1

(

)

(

2

2

2

2

2

a

x

m

m

v

u

m

v

w

m

a

K

Q

mn

mn

mn

x







































( 4 )

a

l





.

sin

cos

,

sin

sin

,

0

l

x

n

p

p

l

x

n

p

p

p

n

r

n

x



















Nie jest to, oczywiście, całkowite rozwiązanie zagadnienia zginania, ponieważ
nie zawiera ono dowolnych stałych, za pomocą których moglibyśmy spełnić
dowolne warunki brzegowe; tym niemniej nasze rozwiązanie spełnia pewne
określone często spotykane warunki brzegowe. Wszystkie wypadkowe
naprężeń i przemieszczenia, które zmieniają się jak sinλx/a znikają dla x = 0 i
x = l; są to między innymi v, w, N

x

i M

x

, a to właśnie są wielkości, które

powinny znikać na brzegu powłoki podpartym przez płaską przeponę, tj.
płaską konstrukcję, nieodkształcone w swej płaszczyźnie i niestawiającą oporu
przemieszczeniom prostopadłym do tej płaszczyzny. W teorii błonowej
korzystaliśmy z warunków v = 0 i N

x

= 0. Oczywiście, nie musieliśmy się

troszczyć o M

x

, ale niepokoił nas fakt, że rozwiązanie błonowe nie zawiera

dostatecznej liczby stałych dla spełnienia warunku w = 0. Obecnie jesteśmy w
posiadaniu rozwiązania, które dla szczególnego obciążenia [4-18] jest lepsze
od rozwiązania błonowego, przy czym nie jest ono skomplikowane. W celu
ustalenia jego ważności i zakresu stosowalności rozpatrzmy pewne wyniki
liczbowe.
Zastosujemy nasze wzory do walca na rys 1 na obydwu końcach
rozpiętości

powłoka jest podparta na przeponach. Załóżmy, że v = 0; poszukiwać

będziemy

odkształceń

i

wypadkowych

naprężeń

wywołanych

obciążeniem

Rys . 1 Walec kołowy

Rozpocznijmy od stosunkowo grubej powłoki t/a = 0,10 i przyjmijmy,

że n = 1. Z równań(3) dla m = 1 wynika, że







cos

2

4

2

2

2

2

2

















va

an

l

n

pl

Etu

n









sin

2

3

4

4

2

2

2

2

3

3

2



















n

a

l

v

n

pl

Et

n









cos

2

)

4

(

4

4

4

2

4

2

2

2

2























n

a

l

n

l

v

a

n

p

Etw

n

u

1,1

=1,987p

1

a

2

/D , υ

1,1

=5,968p

1

a

2

/D, w

1,1

=-6,957p

1

a

2

/D

Wynik ten zbliżony jest do otrzymanego na podstawie wzorów teorii
błonowej

,gdzie

u

1,1

=2p

1

a

2

/D , υ

1,1

=6p

1

a

2

/D, w

1,1

=-7p

1

a

2

/D

Równie dobre przybliżenie otrzymujemy dla sił normalnych i ścinających, a mianowicie

:

Rozwiązania ścisłe

Teoria błonowa

N

ф1,1

=-0,989 p

1

a

N

ф1,1

=-p

1

a

N

x1,1

=-1,993 p

1

a

N

x1,1

= - 2p

1

a

N

фx1,1

=1,993 p

1

a

N

фx1,1

=+2p

1

a

N

xф1,1

=1,990 p

1

a

Ta nieoczekiwanie dobra zgodność dla przypadku raczej grubej powłoki

utwierdza na w przekonaniu o prawidłowości wyników teorii błonowej

stosowanej do powłok obciążonych w sposób ciągły, odpowiednimi

warunkami brzegowymi. Oczywiście, momenty i poprzeczne siły

ścinające są bardzo małe. Oto dane liczbowe:

M

ф1,1

=0

M

ф1,1

=7,44 x 10

-3

p

1

a

2

M

ф1,1

=2,480 x 10

-3

p

1

a

2

M

ф1,1

=0,823 x 10

-3

p

1

a

2

Q

ф1,1

=-0,823 x 10

-3

p

1

a

Q

ф1,1

=9,93 x 10

-3

p

1

a

Wpływ „małych” członów w równaniach [4-9] jest tutaj znaczny, ale mimo to nie
bardzo istotny ze względu na mały wpływ momentów zginających. Gdy
obliczymy mimośrody M/N , okaże się, że stanowią one tylko kilka procent
grubości t.

Rozpatrzmy teraz powłokę o tych samych globalnych wymiarach, ale o

wiele cieńszą. Przyjmijmy, że k = 10

-4

, co odpowiada

2

10

46

,

3

/







a

t

.

Dla n = 1 siły normalne i ścinające są równe siłom otrzymanym na

podstawie teorii błonowej z o wiele większą dokładnością od tej, którą można
otrzymać używając suwaka logarytmicznego, a momenty są nawet mniejsze
niż w poprzednim przykładzie.

Gdy jednak przyjmiemy n = 10, przemieszczenia są następujące:

Teoria zgięciowa

Teoria błonowa

u

1,10

=+0,980 x 10

-3

p

10

a/D

u

1,10

=+2 x 10

-3

p

10

a/D

υ

1,10

=+29,85 x 10

-3

p

10

a/D

υ

1,10

=+40,2 x 10

-3

p

10

a/D

W

1,10

=-510 x 10

-3

p

10

a/D

u

1,10

=- 1040 x 10

-3

p

10

a/D

Liczby te wskazują na znaczny spadek odkształceń wywołany sztywnością na
zginanie powłoki. Siły normalne i ścinające również są mniejsze, a mianowicie
mamy:

Teoria zgięciowa

Teoria błonowa

N

ф1,10

=-0,480p

10

a

N

ф1,10

=-p

10

a

N

ф1,10

=-0,00470p

10

a

N

ф1,10

=-0,02p

10

a

N

ф1,10

=+0,1490p

10

a

N

ф1,10

=+0,20p

10

a

N

ф1,10

=+0,1485p

10

a

Powyższe wyniki liczbowe można łatwo zrozumieć jeśli będziemy pamiętać, że
dla n = 10 powłoka jest podzielona przez 9 okręgów na 10 pasm przenoszących
na zmianę dodatnie i ujemne obciążenia. Szerokość takiego pasma w naszym
przypadku wynosi w przybliżeniu 10t. Wobec powyższego wydaje się rozsądne
przypuszczenie, że obciążenie normalne nie jest już przenoszone dokoła powłoki
przez siły równoleżnikowe ale że jego część – tutaj nieco więcej niż połowa –
przenoszona jest przez siły poprzeczne Qx do sąsiedniej strefy z obciążeniem o
przeciwnym znaku. Wynika stąd fakt, że momenty zginające są teraz
„ważniejsze”. Rzeczywiście, mają one w przybliżeniu takie same wartości jak w
poprzednim przypadku, mimo że powłoka jest o wile cieńsza i naprężenia
błonowe są mniejsze. Momenty te są następujące:



N

M

ф1,10

=0 M

ф1,10

= 5,10x10

-3

p

10

a

2

,

M

ф1,10

= 0,495 x 10

-3

p

10

a

2

, M

ф1,10

= 0,480 x 10

-3

p

10

a

2

 











0

0

cos

cos

m

xmn

n

x

a

x

m

p

p





 











0

0

sin

sin

m

mn

n

a

x

m

p

p









 











0

0

sin

cos

m

rmn

n

r

a

x

m

p

p





Trzy mimośrody nie są istotne, lecz dla siły podłużnej
mamy

M

x

/N

x

= -31,4t

Można łatwo sobie wyobrazić, że silne zginanie w kierunku

równoleżnikowym będzie miało miejsce jeśli obciążenie będzie miało duże m i n

= 1 oraz, że zarówno moment zginający jak i skręcający będą znaczne, jeśli

zarówno m jak i n są duże.

Powyższe fakty stanowią właśnie ograniczenie stosowalności rozwiązań

niniejszego punktu. Obciążenie typu opisanego równaniem [4-18] nieczęsto

spotyka się w zastosowaniach, ale dowolne obciążenie możemy przedstawić w

postaci szeregu podwójnego członów tego rodzaju

 











0

0

cos

cos

m

xmn

n

a

x

m

u

u





 











0

0

sin

sin

m

mn

n

a

x

m









 











0

0

sin

cos

m

mn

n

a

x

m

w

w





Wzory stanowią rozwiązanie dla każdego członu powyższego szeregu i za
pomocą superpozycji otrzymujemy:

oraz analogiczne wyrażenia na wypadkowe naprężeń. Ze względu na
to, że nawet nieciągłe obciążenia można przedstawić przez
podwójny szereg Fouriera o powyższej postaci, wydaje się, że
jesteśmy obecnie w posiadaniu dość ogólnego rozwiązania
zagadnienia zginania, przynajmniej dla pewnej klasy użytecznych
warunków brzegowych. Z czysto matematycznego punktu widzenia
jest to stwierdzenie na pewno prawdziwe, ale dla zastosowań sama
zbieżność szeregu nie wystarcza. Zbieżność ta musi być tak dobra,
aby sumę szeregu można było otrzymać z dokładnością suwaka
logarytmicznego korzystając jedynie z niewielkiej liczby członów.
Rozwiązanie podane w niniejszym punkcie spełnia ten warunek
jedynie w przypadku powłok grubościennych. Jeśli t/a jest małe, to
tylko szeregi na N są szybko zbieżne, podczas gdy szeregi na M i Q
mają współczynniki, które z początku silnie wzrastają na skutek
zjawiska wyjaśnionego powyżej na przykładzie liczbowym i potrzeba
dość znacznej liczby członów do osiągnięcia dobrych wyników
liczbowych. W tego rodzaju przypadkach celowe jest uniknięcie
szeregu Fouriera przez odpowiednie złożenie rozwiązania błonowego
z rozwiązaniem jednorodnym

.

POWŁOKA SPRĘŻYSTA

WALCOWA KOLISTA

Z

w

Eh

dx

w

d

D

dx

d

















2

2

2

2

2



Z

w

Eh

dx

w

d

D





2

4

4







2

2

2

2

4

1

3

4

h

D

Eh















D

Z

w

dx

w

d





4

4

4

4



- Przy założeniu, że grubość powłoki jest stała; równanie

Zapisano w następującej formie

Gdzie:

Równanie (1) zapisano w formie uproszczonej

(3)

(1a)

(1b
)

(2)









 

x

f

x

C

x

C

e

x

C

x

C

e

w

x

x

























sin

cos

sin

cos

4

3

2

1

 

x

f

4

3

2

1

,

,

,

C

C

C

C

WNIOSEK
Równanie jest analogiczne dla pręta pryzmatycznego o sztywności na
zginanie D na ciągłym sprężystym podłożu, który obciążono
obciążeniem ciągłym o wartośći Z

0

Ogólne rozwiązanie równania jest

następujące

gdzie

- szczególne rozwiązanie
równania

- stałe
całkowanie

0



Z

 

0



x

f

0

2

1



C

C

Zadanie 1
Analiza powłoki sprężystej walcowej kolistej
Rozważmy długą okrągłą rurę, która poddana jest działaniu
momentów M

o

i sił poprzecznych Q

0

(rys.2) jednostajnie rozłożonych

wzdłuż krawędzi x=0.
a)nie ma ciśnienia rozłożonego na powierzchni powłoki

b) siły przyłożone do końca powłoki x=0 wywołują miejscowe zginanie,
które zanika; w przypadku gdy odległość x od obciążonego końca rury
wzrasta, wynika wniosek, że:

Rys.1





x

C

x

C

e

w

x







sin

,

cos

4

3







0

0

2

2

)

0

(

M

dx

w

d

D

M

x

x

x



























0

0

3

3

0

0

Q

dx

w

d

D

dx

dM

Q

x

x

x

x

x







































Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

Stałe całkowite C

3

i C

4

wyznaczamy z warunków na obciążonym końcu rury

(6)

(5)

D

M

C

2

0

4

2













x

o

x

Cos

Q

x

x

M

D

e

W













0

2

cos

sin

2













0

0

3

3

2

1

M

Q

D

C











Otrzymujemy stałe:

Ostatecznie zapisano.

(7)

(8)





0

3

0

2

1

Q

M

D

W

o

x

























0

2

0

2

0

2

1

sin

cos

cos

2

2

Q

M

D

x

x

Q

x

M

D

e

dx

d

o

x

o

o

x

x













































 





x

x

e

x

x











sin

cos 





 





x

x

e

x

x











sin

cos 





 

x

e

x

Q

x







cos





 

x

e

x

x









sin





Maksymalne. wygięcie otrzymano na obciążonym końcu

Kąt pochylenia stycznej do odkształconej na końcu obciążonym
otrzymane przez zróżniczkowanie równanie .

Ostatecznie

(12)

(11)

(9)

 

 





x

V

Q

x

M

D

W

o











0

3

2

1







 

 





x

Q

x

Q

M

D

dx

dw

o











0

2

2

2

1





 

 





x

Q

x

M

D

dx

w

d

o

o













2

2

2

1

'

2







 

 





x

Q

x

M

D

dx

w

d

o











0

3

3

2

1





 

x





 

x





 

x

Q



 

x





Wyrażenie na ugięcie i ich pochodne określono wzorem:

Wartości liczbowe
funkcji

podano w tab. 1

TABELA NR1

β

x

γ

Ψ

σ

ζ

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

0,066

7

0,043

9

0,024

4

0,008

0

-

0,005

6

-

0,179

4

-

0,167

5

-

0,154

8

-

0,141

6

-

0,128

2

-

0,056

3

-

0,061

8

-

0,065

2

-

0,066

8

-

0,066

9

0,123

0

0,105

7

0,089

5

0,074

8

0,061

3

Tablice funkcji: γ, Ψ ,σ, ζ

 

x





Funkcje

i

 

x





Rys .3 Wykres

2

2

dx

w

d

D

M

x





WNIOSEK:

 Z wykresu (rys.3) i tab. 1 widać że funkcje które określają
zginanie powłoki zbliżają się do zera, gdy wartość staje się
duża.

x



• Oznacza, to że zginanie w powłoce ma rzeczywiście charakter

miejscowy

x

M

x

M

M

M















W

Eh

N





• Momet ugięcie w szukanym z równania (12)

moment zginający

a wartość

W ten sposób oblicza się wszystkie naprężenia w powłoce.

DZIĘKUJE ZA UWAGĘ