Fale w ośrodkach sprężystych

Fale mechaniczne

Jeśli jakimś miejscu ośrodka sprężystego wywołamy drganie,
to drgająca cząstka pociągnie za sobą kolejne cząstki i ruch drgający będzie
się przenosić od cząstki do cząstki z pewną prędkością v.

Takie rozchodzenie się drgań w ośrodku nazywamy falą.

Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy

falami mechanicznymi

. Należy podkreślić, że poszczególne cząstki ośrodka

nie przemieszczają się, wykonują tylko drgania wokół swoich położeń
równowagi.

Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię
Dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu
samej materii.

Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek –
właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.

Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się
fali wyróżnia się:

fale poprzeczne - jeśli drgania zachodzą w kierunku prostopadłym

do kierunku rozchodzenia się fali;

fale podłużne - jeśli drgania zachodzą w kierunku równoległym

do kierunku rozchodzenia się fali.

Podczas rozchodzenia się fali w drganiach biorą udział nie tylko
cząstki leżące na osi

jak na poprzednich rysunkach, lecz układ cząstek znajdujących się
w pewnej objętości

.

Zbiór punktów, do których fala dochodzi w danej chwili nazywamy czołem fali.

Zbiór punktów drgających w tej samej fazie nazywamy powierzchnią falową.

Przez każdy punkt biorący udział w ruchu falowym można przeprowadzić
powierzchnię falową.

Powierzchni falowych jest, więc, nieskończenie wiele,
ale czoło fali jest tylko jedno.

Spośród wszystkich możliwych kształtów powierzchni falowych wyróżniamy takie,
które są płaszczyznami i powierzchniami kulistymi. Fale takie nazywamy
odpowiednio falą płaską i falą kulistą.

Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie
fala poprzeczna.
W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją

y = f(x),

t = 0

y – przemieszczenie cząsteczek sznura

W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu.

Po czasie t fala przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali).
Zatem po czasie t równanie krzywej ma postać

y = f(x



vt)

Oznacza to, że w chwili t w punkcie x = vt, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0
W punkcie x = 0.
Mamy, więc, równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.

Jeżeli śledzimy wybraną część fali, czyli określoną fazę,
to musimy zbadać jak zmienia się w czasie wybrana wartość y
(np. maksimum - amplituda).

Chcemy, żeby y było cały czas takie samo,
więc argument x



- vt musi być taki sam, a to oznacza,

że gdy czas rośnie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo).

Fala w lewo jest, więc, opisana równaniem y = f(x+vt).

Podsumowując, dla wybranej fazy mamy

x



vt = const.

Różniczkując względem czasu

0

d

d



 v

t

x

v



t

x

d

d

To jest

prędkość fazowa

.

Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x),
a dla danego miejsca sznura x mamy równanie

f(t)

Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie.

Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją

x

A

y





2

sin



gdzie A jest maksymalnym wychyleniem

Zauważmy, że wychylenie jest takie samo w punktach x, x +



, x + 2



, x + 3



itd.,



jest długością fali (odległość między punktami o tej samej fazie).

Jeżeli fala biegnie w prawo, to po czasie t

)

(

2

sin

t

x

A

y

v









Otrzymaliśmy równanie fali biegnącej.

Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą



, więc:



= vT

stąd











 



T

t

x

A

y





2

sin

Widać, że w danej chwili taka sama faza jest

w punktach x, x +



, x + 2



, x + 3



itd.,

oraz, że w danym miejscu faza powtarza się

w chwilach t, t + T, t +2T, itd.

Często wprowadza się dwie nowe wielkości:

liczbę falową k = 2/



i częstość



 = 2/T

Wówczas y = Asin(kx-



t) lub y = Asin(kx+



t) dla fal biegnących

w prawo i lewo.

prędkość fazowa fali v jest dana wzorem

v =



/T =



/k

,

a dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.