Wprowadzenie
do ekonometrii
i prognozowania
(5)
Prognozowanie na podstawie
modeli ekonometrycznych
Wprowadzenie
do ekonometrii
i prognozowania
(5)
Prognozowanie na podstawie
modeli ekonometrycznych
GK (WEiP(05) - 2010)
2
Prognozowanie na podstawie
modelu ekonometrycznego
(prognozowanie ekonometryczne)
polega na budowaniu prognozy,
dotyczącej przyszłej wartości zmiennej
objaśnianej (zmiennej prognozowanej)
na podstawie modelu
ekonometrycznego, opisującego w
sposób formalny kształtowanie się
zmiennej prognozowanej w zależności
od zmiennych objaśniających to
kształtowanie się.
GK (WEiP(05) - 2010)
3
Podstawowa reguła prognozowania
ekonometrycznego
to
ekstrapolacja
modelu
ekonometrycznego na okres prognozowania poza
zakres obserwacji (danych empirycznych)
wykorzystanych do oszacowania parametrów
strukturalnych modelu. Prognoza według reguły
podstawowej określana jest zależnością:
gdzie:
y
p
- wartość zmiennej objaśnianej w okresie prognozy
(prognoza),
x
*
- wektor znanych wartości zmiennych objaśniających w
okresie prognozy,
f
– postać analityczna modelu ekonometrycznego,
a
– oszacowania parametrów strukturalnych modelu
ekonometrycznego.
(
)
p
*
y
f x ,a
=
GK (WEiP(05) - 2010)
4
Różnica pomiędzy
estymacją
parametrów
strukturalnych modelu a
prognozowaniem
wartości zmiennej objaśnianej polega na tym,
że estymowanie tych parametrów odbywa się na
podstawie znanych wartości zmiennej
objaśnianej i zmiennych objaśniających (dane
empiryczne), natomiast prognozowanie odbywa
się przy braku możliwości zaobserwowania
rzeczywistych wartości zmiennej objaśnianej i
niekiedy zmiennych objaśniających w okresie,
którego dotyczy prognoza, a wynik
prognozowania (prognoza) jest zawsze
weryfikowany rozwojem wydarzeń.
GK (WEiP(05) - 2010)
5
Warunki predykcji
Dokonywanie predykcji jest możliwe wtedy, gdy:
jest znany model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie
się zmiennej objaśnianej,
model ekonometryczny został wszechstronnie i pozytywnie
zweryfikowany,
relacje między zmiennymi uwzględnionymi w modelu są
stabilne, co oznacza:
•
stałość postaci analitycznej modelu ekonometrycznego,
•
stabilność wartości parametrów strukturalnych
(parametry strukturalne nie zmieniają swoich wartości
przy zmianie wartości zmiennych objaśniających),
•
spełnienie założeń dotyczących składnika losowego
modelu dla okresu prognozy,
zasadna
i dopuszczalna jest ekstrapolacja wartości zmiennej
objaśnianej i zmiennych objaśniających poza zakres obserwacji
wykorzystanych do oszacowania parametrów strukturalnych
modelu,
są dostępne wartości zmiennych objaśniających w okresie
prognozy, tj. w okresie, dla którego jest budowana prognoza
(wielkości założone, planowane lub kreowane w scenariuszach
rozwoju zjawiska opisywanego modelem ekonometrycznym).
GK (WEiP(05) - 2010)
6
Model ekonometryczny stanowiący podstawę
prognozowania musi cechować się stabilnością postaci
analitycznej (poprawnością specyfikacji postaci funkcyjnej) i
stabilnością parametrów. Stabilność postaci analitycznej
modelu zwykle jest rozpatrywana na etapie weryfikacji modelu
(test RESET, test Walda
)
.
Do weryfikacji hipotezy o stabilności parametrów
strukturalnych modelu ekonometrycznego jest najczęściej
wykorzystany
test Chowa
, tzw.
I test Chowa
. Stabilność parametrów strukturalnych modelu
oznacza stałość w czasie (także poza obszarem objętym danymi
empirycznymi) relacji, na których opiera się weryfikowany
model liniowy. Niezmienność (dopuszczalna w praktyce)
parametrów strukturalnych modelu jest warunkiem trafności
uzyskiwanych prognoz na jego podstawie.
I test Chowa
wymaga przeprowadzenia trzech estymacji
parametrów strukturalnych za pomocą KMNK: dla całej próby,
tj. dla wszystkich danych empirycznych
(y, X)
oraz dla dwóch
rozłącznych podprób
(y
1
, X
1
)
i
(y
2
, X
2
)
. Pierwsza estymacja jest
estymacją warunkową przy założeniu, że wartości parametrów
strukturalnych są stałe dla całej próby, co oznacza, że wartości
odpowiadających sobie parametrów strukturalnych uzyskane z
estymacji dla podprób są sobie równe.
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
7
Niech I, II i III oznaczają odpowiednio modele dla
całej próby, dla podpróby pierwszej i dla podpróby
drugiej:
Niech wektory oznaczają odpowiednio
oszacowania parametrów strukturalnych modeli I, II i III
uzyskane za pomocą KMNK, a wektory
– reszty tych modeli.
k
1
i
t
it
I
i
I
t
,n
1,2,
t
,
ε
x
α
α
y
I
...
)
(
0
k
1
i
t
it
II
i
II
0
t
,m
1,2,
t
,
ε
x
α
α
y
(II)
...
k
III
III
t
0
i
it
t
i 1
(III)
yα
α x
ε ,
t m 1,m 2,...,n.
=
=
+
+
= +
+
�
III
II
I
a
a
a
,
,
III
II
I
e
e
e
,
,
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
8
Wartość
m
, oznaczająca numer obserwacji
dzielącej próbę na podpróby jest wybierana ze względu na
zachowanie reszt modelu I i:
może być przyjęta w sposób arbitralny,
przyjmuje się , jeżeli wartości bezwzględne reszt
są monotoniczne,
jeżeli wartości reszt wykazują początkowo tendencję
rosnącą, a następnie malejącą (lub odwrotnie), za
wartość m przyjmuje się numer (największej
(najmniejszej) co do wartości bezwzględnej reszty,
jeżeli jest bark jakiejkolwiek prawidłowości wartości
bezwzględnej reszt, przyjmuje się .
Wybrana wartość
m
musi spełniać następujące
nierówności:
m > k+1
oraz
n-m > k+1
.
2
n
m
2
n
m
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
9
Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:
wobec hipotezy alternatywnej
Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:
W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
F
ma rozkład
F-Snedecora o
ν
1
=k+1
i
ν
2
=n-2(k+1)
stopniach swobody.
1
k
1)
2(k
n
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
F
III
T
III
II
T
II
III
T
III
II
T
II
I
T
I
1
I
II
III
H :
a
a
a .
� =
=
III
II
I
0
a
a
a
H
:
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
10
Jeżeli wartość statystyki
F
obliczona z próby jest nie
większa od wartości krytycznej
F
*
, odczytanej z tablic
rozkładu F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności
γ
i stopni swobody
ν
1
i
ν
2
(
F
F
*
)
, to nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że parametry
strukturalne weryfikowanego modelu są stabilne i co
oznacza dalej, że model może być wykorzystywany w
procesie prognozowania. W przeciwnym przypadku, tj. gdy
F
>
F
*
, hipoteza zerowa jest odrzucana.
Rozpatrywany
test Chowa
może być stosowany tylko
w przypadku homoskedastyczności reszt modeli
,
wyrażającej się równością wariancji reszt modeli I,II i III.
W przypadku niespełnienia tego warunku może być
zastosowany albo
test Walda
, albo nadal
test Chowa
, ale
dla skorygowanych danych empirycznych w jednej z
podprób.
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
11
Korekcja danych empirycznych przed ponownym
zastosowaniem
testu Chowa
polega na następującej
transformacji danych np. dla modelu III:
gdzie
oraz
,n
1,
m
t
ε
x
x
,
ε
,
,
y
y
t
*
t
it
*
it
t
*
t
...
III
II
S
S
m
1
t
2
II
2
II
e
S
1
k
m
1
n
1
m
t
2
III
2
III
e
S
1
k
m)
(n
1
i
.
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
12
W wyniku estymacji parametrów strukturalnych
modelu III dla tak skorygowanych danych uzyskuje się
wektor oszacowań parametrów
strukturalnych oraz reszt .
W rozpatrywanym przypadku weryfikowaną hipotezą
jest hipoteza zerowa postaci
wobec
alternatywnej
.
Teraz sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:
która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej
statystyka
F
ma rozkład
F-Snedecora o
ν
1
=k+1
i
ν
2
=n-2(k+1)
stopniach swobody.
*
III
a
*
III
e
*
III
II
I
0
a
a
a
:
H
*
III
II
I
1
a
a
a
:
H
1
k
1)
2(k
n
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
F
III
T
III
II
T
II
III
T
III
II
T
II
I
T
I
*
*
*
*
Warunki predykcji
GK (WEiP(05) - 2010)
13
Wartości zmiennej prognozowanej, tj. zmiennej
objaśnianej w okresie prognozowania (prognozy) mogą być
określane za pomocą jednej liczby lub za pomocą
przedziału liczbowego, który z określonym
prawdopodobieństwem zawiera rzeczywistą wartość
zmiennej prognozowanej. W pierwszym przypadku mówi
się o
prognozie punktowej
, a w drugim – o
prognozie
przedziałowej
.
Niech oszacowany model ekonometryczny, który
będzie wykorzystywany do prognozowania ma postać:
oraz niech wektor oznacza wektor
wartości zmiennych objaśniających w okresie
prognozowanym, tj. w okresie, dla którego będzie
wyznaczana prognoza.
k
1
i
it
i
0
t
,n
1,2,
t
,
x
a
a
y
...
ˆ
*
k
*
2
*
1
T
*
x
,
,
x
,
x
1,
x
...
Prognoza punktowa
GK (WEiP(05) - 2010)
14
Prognoza punktowa
Prognozę punktową
y
p
wyznacza się jako:
a w zapisie wektorowym
W przypadku występowania
autokorelacji składnika
losowego
parametry strukturalne modelu muszą być
estymowane z zastosowaniem jednej z dostępnych metod,
najlepiej za pomocą Uogólnionej Metody Najmniejszych
Kwadratów Aitkena. Niech
a
oznacza wektor oszacowań
parametrów strukturalnych modelu uzyskany metodą
odpowiednią dla przypadku występowania autokorelacji
składnika losowego. Ze względu na autokorelację, między
składnikami losowymi zachodzi relacja:
gdzie
oznacza rząd autokorelacji, a
t
– proces czysto losowy.
k
1
i
i
i
0
p
,n
1,2,
t
,
x
a
a
y
.
...
*
p
T
*
y
x a.
=
t
0
s
t s
t
s 1
t
1,
2,...,n.
,
t
t
t
e
b
b e
x
-
=
= +
+
=
+
� +
�
GK (WEiP(05) - 2010)
15
Prognoza punktowa
Parametry
i
,
(
i=0,1,2,…,
) można oszacować za pomocą
KMNK, używając zamiast nieznanych wielkości
t
, reszt
modelu
e
t
.
Prognozę wartości składnika losowego w okresie
prognozy
T
otrzymuje się z zależności:
gdzie
b
i
są ocenami parametrów strukturalnych
i
.
Prognoza zmiennej prognozowanej
y
T
p
w okresie
prognozy
T
jest wyznaczana z zależności:
Jak wynika z powyższego, do wyznaczenia prognozy
zmiennej prognozowanej została zastosowana reguła
prognozy prostej z poprawką, która została wyznaczona z
wykorzystaniem reguły prostej.
p
T
0
s
T s
s 1
T n,
b
b e ,
t
e
-
=
>
= +
�
�
k
p
*
p
T
0
i it
T
i 1
T n
y
a
a x
,
.
e
=
>
= +
+
�
GK (WEiP(05) - 2010)
16
Prognoza punktowa
Średniokwadratowy błąd prognozy ex ante
dla
rozpatrywanego przypadku wyznacza się z zależności:
gdzie:
x
*
- wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie
prognozowania,
- estymator wariancji składnika losowego modelu.
Średni względny błąd
predykcji (prognozy) ex ante
wyraża się zależnością:
Błędy ex post
(np. ME, MAE, Thiela) wyznacza się ze
znanych zależności.
(
)
(
)
1
2
T
T
p
e
*
*
S
S 1 x X X
x ,
-
=
+
2
e
S
p
p
p
S
v
.
y
=
GK (WEiP(05) - 2010)
17
Zbyt wielkie różnice pomiędzy prognozami a
rzeczywistymi wartościami (zaobserwowanymi) zmiennej
objaśnianej, stwierdzone na podstawie analiz miar
ex
post
błędów prognozowania poddają w wątpliwość
przydatność modelu do prognozowania ze względu na
niestabilność parametrów strukturalnych w odniesieniu
do okresów prognozowania. Do zweryfikowania tej oceny
może być zastosowany rozpatrywany wcześniej
test
Chowa
.
Przyjmuje się, że parametry strukturalne modelu
wykorzystywanego do prognozowania zostały oszacowane
na podstawie
n
danych empirycznych oraz dla niego
zostały obliczone reszty
e
n
(wektor). Na podstawie tego
modelu wykonano prognozy dla
m
,
(m > 1
) okresów
prognozowania, a po zaobserwowaniu ich realizacji,
jeszcze raz zostały oszacowane parametry strukturalne
tego modelu, teraz już na podstawie
n+m
danych
empirycznych oraz obliczane reszty
e
n+m
(wektor).
Prognoza punktowa
GK (WEiP(05) - 2010)
18
Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:
przy hipotezie alternatywnej postaci:
.
Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest statystyka
postaci:
W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
F
ma
rozkład
F-Snedecora o
ν
1
=m
i
ν
2
=n-(k+1)
stopniach swobody. Jeżeli
zachodzi nierówność
F
F*
(
F*
wartość krytyczna, odczytana
z tablic rozkładu
F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności
γ
i stopni
swobody
ν
1
i
ν
2
), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej, co oznacza, że różnice pomiędzy prognozami a
rzeczywistymi realizacjami zmiennej objaśnianej nie
wynikają z niestabilności parametrów strukturalnych
modelu.
n
m
n
0
a
a
H
:
n
m
n
1
a
a
:
H
m
1)
(k
n
e
e
e
e
e
e
F
n
T
n
n
T
n
m
n
T
m
n
Prognoza punktowa
GK (WEiP(05) - 2010)
19
Prognoza przedziałowa
może być wyznaczana na
podstawie modelu ekonometrycznego, dla którego została
pozytywnie zweryfikowana hipoteza o rozkładzie
normalnym składnika losowego. Do wyznaczania prognozy
przedziałowej jest wykorzystywany
średni błąd predykcji
ex ante
, a
przedział predykcji
dla nieznanej wartości
y
*
na
poziomie ufności
1-γ
(wiarygodność prognozy) wyraża się
zależnością:
gdzie
t
γ,n-k-1
jest kwantylem rzędu
γ
o
ν=n-k-1
stopniach
swobody rozkładu
t-Studenta.
W praktyce często jest również wykorzystywana
prognoza
przedziałowa dla wartości oczekiwanej prognozy
E(y
*
)
, która wyraża się zależnością:
gdzie
.
p
1
k
γ,n
p
p
1
k
γ,n
p
S
t
y
,
S
t
y
*
1
T
T
*
e
y
x
X
X
x
S
S
p
p
p
y
1
k
γ,n
1
p
y
1
k
γ,n
1
p
S
t
y
,
S
t
y
Prognoza przedziałowa
Należy sporządzić prognozę zmiennej
y
na okres
T = 13
(T=n+2) z wykorzystaniem prostej (podstawowej) reguły
prognozowania
przyjmując, że zmienna prognozowana zależy
od dwóch zmiennych objaśniających
x
1
oraz
x
2
i zależność ta jest
modelowana za pomocą jednorównaniowego liniowego modelu
ekonometrycznego, estymowanego za pomocą KMNK.
Oszacować błąd prognozy:
•ex ante
,
•
jako średnią z modułów błędów prognoz wygasłych (błędów
ex
post
).
Dane empiryczne charakteryzujące tę zależność są podane w
poniższej tabeli:
GK (WEiP(05) - 2010)
20
t
y
x
1
x
2
1
64
22
9,2
2
73
19
10,5
3
76
18
11,0
4
81
16
11,7
5
90
14
13,4
6
98
13
14,5
7
105
11
15,3
8
110
11
17,8
9
116
10
18,5
10
127
9
20,5
11
135
6
21,7
Przykład
Rozwiązanie.
Spełnienie powyższej zasady wymaga, aby prognozy wygasłe
były sporządzane w okresie równym 2 (zgodnie z założeniami
zadania).
1.Estymacja modelu liniowego
na podstawie wszystkich danych empirycznych:
GK (WEiP(05) - 2010)
21
Przykład
Zasada:
Prognozy wygasłe używane do oszacowania
błędu prognozy (autentycznej, tj. poszukiwanej w
zadaniu) muszą być sporządzane według takiej samej
reguły i na taką samą odległość jak prognoza
autentyczna.
t
0
1 1t
2 2t
t
t=1,2,...,11
y
x
x
,
a
a
a
e
= +
+
+
t
1t
2t
t=1,2,...,11
ˆy 65,890136 1,645323x
3,662131x ,
=
-
+
2. Prognoza jest obliczana jako zwykła ekstrapolacja zmiennej
prognozowanej na okres
T=13 (n+2)
. Ze względu na brak
informacji o wartościach zmiennych objaśnianych w okresie
prognozowania, ustalono je na drodze liniowej ekstrapolacji
na okres prognozowania i otrzymano:
Stąd prognoza:
3. Średniokwadratowy błąd prognozy
ex ante
:
GK (WEiP(05) - 2010)
22
Przykład
*
*
1T
2T
T n 2 11 2 13
x
4,0, x
23,8,
= + =
+ =
=
=
p
T
T
T=13.
ˆ
y
y
65,890136 1,645323 4,0 3,662131 23,8 146,4676,
+�-==
(
)
[
]
1
2
T
T
S
S
1 x
X X
x
p
e
*
*
60,826099
1,986105
2,226719
1
1 1 4,0 23,8
1,986105 0,0663063 0,0715544
4,0
2,226719 0,0715544 0,0828094 23,8
1,9325297
1,7234.
-
=
+
=
-
-
=
� +
-
�
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
4. Prognozy wygasłe i ich błędy.
W celu uzyskania możliwie największej liczby ocen błędów
prognoz wygasłych o okresie prognozowania podanym w
treści zadania
(T=n+2)
przy zachowaniu warunków KMNK,
przyjmuje się, że pod uwagę będą brane kolejne
„początkowe” podzbiory danych empirycznych. Przyjmuje
się także, iż pierwszy taki podzbiór będzie liczył
5
obserwacji, drugi –
6
itd., a ostatni
9
obserwacji.
Poszczególne podzbiory danych empirycznych,
wyestymowane na ich podstawie kolejne modele oraz
odpowiadające im prognozy zostały zestawione poniżej:
GK (WEiP(05) - 2010)
23
Przykład
t
y
x
1
x
2
1
64
22
9,2
2
73
19
10,5
3
76
18
11,0
4
81
16
11,7
5
90
14
13,4
t
1t
2t
p
7
7
t=1,2,...,5,
ˆy
51,5376 1,16209x
4,15466x ,
ˆ
y
y
102,0885
=
-
+
=
=
GK (WEiP(05) - 2010)
24
Przykład
t
y
x
1
x
2
1
64
22
9,2
2
73
19
10,5
3
76
18
11,0
4
81
16
11,7
5
90
14
13,4
6
98
13
14,5
t
y
x
1
x
2
1
64
22
9,2
2
73
19
10,5
3
76
18
11,0
4
81
16
11,7
5
90
14
13,4
6
98
13
14,5
7
105
11
15,3
2t
t
1t
p
8
8
t=1,2,...,6,
ˆy
39,13688 0,88026x
4,81579x ,
ˆy
115,1750
y
=
-
+
= =
2t
t
1t
p
9
9
t=1,2,...,7,
ˆy
41,9332 1,01771x
4,79562x ,
ˆy 120,0679
y
=
=
-
+
=
GK (WEiP(05) - 2010)
25
Przykład
t
y
x
1
x
2
1
64
22
9,2
2
73
19
10,5
3
76
18
11,0
4
81
16
11,7
5
90
14
13,4
6
98
13
14,5
7
105
11
15,3
8
110
11
17,8
t
y
x
1
x
2
1
64
22
9,2
2
73
19
10,5
3
76
18
11,0
4
81
16
11,7
5
90
14
13,4
6
98
13
14,5
7
105
11
15,3
8
110
11
17,8
9
116
10
18,5
t
1t
2t
p
10
10
t=1,2,...,8,
ˆy
90,96074 2,31996x
2,53026x ,
ˆ
y
y
121,2554
=
=
-
+
=
1t
t
2t
p
11
11
t=1,2,...,9,
ˆy
80,7798 2,04876x
2,99781x ,
ˆ
y
y
132,1056
=
-
+
=
=
5. Zestawienie błędów prognozy
ex post
dla prognoz
wygasłych:
6. Zestawienie błędów
ex ante
i
ex post
:
• Błąd
ex ante
:
1,7234
,
• Błąd
ex post
na podstawie prognoz wygasłych
:
4,1587
.
GK (WEiP(05) - 2010)
26
Przykład
t
y
x
1
x
2
Prognoz
a
Błąd
prognozy
Moduł błędu
7
105 11,2 15,3
102,088
5
2,9115
2,9115
8
110 11,0 17,8
115,175
0
-5,1750
5,1750
9
116 10,4 18,5
120,067
9
-4,0679
4,0679
10
127
9,3
20,5
121,255
4
5,7446
5,7446
11
135
6,7
21,7
132,105
6
2,8944
2,8944
Błąd ex post
(MAE)
4,1587
27
GK (WEiP(05) - 2010)