FILTRY CYFROWE
WYKŁAD 1
FILTRY CYFROWE
WYKŁAD 1
FILTRY CYFROWE
WYKŁAD 1
FILTRY CYFROWE
WYKŁAD 1
2
• ROZWÓJ CYFROWEGO PRZETWARZANIA
SYGNAŁU
• PORÓWNANIE UKŁADÓW CYFROWYCH I
ANALOGOWYCH
• DEFINICJA
• KRYTERIA OCENY FILTRÓW
• PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH
• TYPY FILTRÓW
• PROJEKTOWANIE
• REALIZACJA FILTRU NA PROCESORZE
SYGNAŁOWYM
• ZASTOSOWANIE
SPIS TREŚCI
3
ROZWÓJ CYFROWEGO
PRZETWARZANIA SYGNAŁU
• XIX PRZEKSZTAŁCENIE FURIERA I LAPLACE’
DLA SYGNAŁÓW CIĄGŁYCH
• XX LATA 40 POJAWIENIE SIĘ
KOMPUTERÓW(PRZEKSZTAŁCENIE DFT,Z )
• 1965 COOLEY I TUKEY OPRACOWALI ALGORYTM
FFT
• 1980 DSP
• LOGIKA ROZMYTA, ALGORYTMY GENETYCZNE,
SIECI NEURONOWE , ODWZOROWANIA
FRAKTALNE
4
PORÓWNANIE UKŁADÓW CYFROWYCH I ANALOGOWYCH
ZALETY UKŁADÓW CYFROWYCH
CECHY UKŁADÓW
CYFROW
E
ANALOGOW
E
PROGRAMOWALNOŚĆ
+
-
STABILNOŚĆ
+
-
POWTARZALNOŚĆ
+
-
ŁATWOŚĆ IMPLEMANTACJI
ALGORYTMÓW ADAPTACYJNYCH
+
-
KODY KOREKCJI BŁĘDÓW
+
-
FUNKCJ SPECJALNE
+
-
TRANSMISJA, PRZECHOWYWANIE I
KOMPRESJA DANYCH
+
-
5
PORÓWNANIE UKŁADÓW CYFROWYCH I ANALOGOWYCH
WADY UKŁADÓW CYFROWYCH
CECHY UKŁADÓW
CYFROW
E
ANALOGOW
E
POBÓR MOCY
-
+
PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW O BARDZO
DUŻYCH CZĘSTOTLIWOŚCIACH
-
+
W SRODOWISKU ANALOGOWYM
UKŁADY MNIEJ ROZBUDOWANE
-
+
PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
SŁABYCH I SILNYCH
-
+
NIESKOŃCZONA CZĘSTOTLIWOŚĆ
PRÓBKOWANIA
-
+
BRAK BŁĘDÓW WYNIKAJĄCYCH Z
KWANTYZACJI SYGNAŁU I
WYKORZYSTANIA PROCESORA
-
+
6
DEFINICJA
• FILTRACJA-
PROCES PRZETWARZANIA SYGNAŁU W
DZIEDZINIE CZASU. POLEGA NA REDUKOWANIU I
ODFILTROWYWANIU NIEPORZĄDANYCH SKŁADOWYCH
ZAWARTYCH W SYGNALE WEJŚCIOWYM
• FILTR CYFROWY
-
ALGORYTM LUB PROCES
OBLICZENIOWY W WYNIKU KTÓREGO JEDNA
SEKWENCJA LICZB (TZN.
SYGNAŁ WEJŚCIOWY) ZAMIENIANY JEST W INNĄ
SEKWENCJĘ (TZN. SYGNAŁ WYJŚCIOWY)
• FILTR-
KAŻDE URZĄDZENIE POSIADAJĄCE
SELEKTYWNE CHARAKTERYSTYKI
CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
7
SPOSOBY OPISU
FILTRÓW
Opisując filtry cyfrowe używa się tych samych
zależności co do opisu układów dyskretnych.
Poszukuje się liniowej zależności pomiędzy
dwoma ciągami reprezentującymi sygnały
wejściowe i wyjściowe. Zależność taka nosi
nazwę równania różnicowego i jest jednym ze
sposobów opisu filtrów cyfrowych. Ogólna
postać
liniowego
równania
różnicowego
przedstawiona jest poniżej
:
M
m
N
n
s
n
s
m
s
T
n
k
y
b
T
m
k
u
a
kT
y
0
1
)
)
((
)
)
((
)
(
M
m
N
n
s
n
s
m
s
T
n
k
y
b
T
m
k
u
a
kT
y
0
1
)
)
((
)
)
((
)
(
8
SPOSOBY OPISU
FILTRÓW
Filtr cyfrowy opisuje się również
za pomocą splotu dyskretnego
przedstawionego poniżej:
•
m
s
s
s
T
m
k
u
mT
h
kT
y
)
)
((
)
(
)
(
9
SPOSOBY OPISU
FILTRÓW
Można też opisać filtr za pomoc przekształcenia
Z
Funkcja H(z) jest transmitancją liniowego
stacjonarnego
układu
dyskretnego.
Transmitancja jest funkcją zmiennej zespolonej
n
N
n
n
M
m
m
m
z
b
z
a
z
U
z
Y
z
H
1
0
1
)
(
)
(
)
(
10
ELEMENTY FILTRU
LINIOWEGO CYFROWEGO
sumator wykonujący operacje
arytmetyczne
11
ELEMENTY FILTRU
LINIOWEGO CYFROWEGO
Układ mnożący służy do mnożenia
próbek
sygnałów
przez
współczynniki, które w klasie
stacjonarnych filtrów cyfrowych są
stałymi
12
ELEMENTY FILTRU
LINIOWEGO CYFROWEGO
Sumatory i elementy mnożące są to tzw.
elementy statyczne. w odróżnieniu do
widocznego poniżej rejestru pamięci.
Jest to element opóźniający sygnał o
jedną próbkę należy on do elementów
dynamicznych
13
ELEMENTY FILTRU
LINIOWEGO CYFROWEGO
Podstawowe połączenia tych
elementów to połączenie
równoległe widoczne poniżej:
14
ELEMENTY FILTRU
LINIOWEGO CYFROWEGO
oraz połączenie kaskadowe:
15
KRYTERIA OCENY FILTRÓW
1.
ODPOWIEDŹ
AMPLITUDOWA
2.
ODPOWIEDŹ
FAZOWA
3.
ODPOWIEDŹ
NA SKOK
JEDNOSTKOWY
16
charakterystyka
amplitudowa
Pasmo przepustowe to obszar częstotliwości , w
którym sygnał przechodzi przez układ praktycznie
nie osłabiony. Pasmo to rozciąga się do punktu w
którym amplituda spada poniżej 3dB wartości
nominalnej. Punkt ten nazywany jest
częstotliwością odcięcia f3dB.
17
Charakterystyka
amplitudowa
• Obszar przejściowy
nazywany stromością nachylenia
charakterystyki określa szybkość zmiany wzmocnienia
wraz z częstotliwością, zawiera się między pasmem
przepustowym a zaporowym.
• Pasmo zaporowe
to pasmo częstotliwości, których
amplituda
ma
zostać
zmniejszona
poniżej
zaprojektowanego poziomu.
• Parametry
oceny
filtru
to
tętnienie
pasma
przepustowego i zaporowego oraz stromość nachylenia
charakterystyki. W zależności od przeznaczenia filtru
dopuszcza się pewien
poziom tętnienia jak i określoną
szerokość obszaru przejścia, możliwe jest zaprojektowanie
filtru z bardzo stromą charakterystyką lub taki, który nie
wprowadza zakłóceń w paśmie przepustowym.
18
Charakterystyka fazowa
Charakterystyka fazowa to zależność fazy do
częstotliwości. Odpowiedź fazowa jest ściśle
związana z czasem opóźnienia przechodzącego
przez filtr sygnału dla różnych częstotliwości.
Filtry o liniowej odpowiedzi fazowej opóźniają
wszystkie częstotliwości o taki sam czas. Filtry
o nieliniowej odpowiedzi fazowej opóźniają
różne częstotliwości o różne okresy, co
wprowadza zakłócenia podobne do zjawiska
„rozproszenia” sygnału radiowego wynikające z
nieustannie zmieniającą się drogą emitowanych
fal. Charakterystyka fazowa widoczna jest na
rysunku nie jest to charakterystyka idealnie
liniowa ponieważ widoczne są lekkie oscylacje
fazy
.
19
Odpowiedź na skok
jednostkowy
20
Odpowiedź na skok
jednostkowy
Wyróżnia się tu:
• Czas narastania
odpowiedzi- jest to czas w
którym napięcie wyjściowe osiągnie poziom
90% do swojej wartości maksymalnej (tr)
• Czas ustalania -
czas w jakim napięcie
wyjściowe ustala się w obrębie 5%
odchylenia od swojej wartości końcowej (ts)
• Przerzut
- maksymalna wartość napięcia o
jakie napięcie wyjściowe przewyższa
chwilowo swoją wartość końcową.
• Tętnienie
- oscylacje wokół średniej
wartości końcowej
21
PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH
ZE WZGLĘDU NA RODZAJ PRZETWARZANYCH INFORMACJI
DZIELIMY NA:
•PASMOWE
;
(ŚRODKOWOZAPOROWE,ŚRODKOWOPRZEPUSTOEWE)
•GÓRNOPRZEPUSTOWE
•DOLNOPRZEPUSTOWE
22
PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH
•NIEREKURSYWNE
(O SKOŃCZONEJ DOPOWIEDZI
IMPULSOWEJ SOI);
•REKURSYWNE
( O NIESKOŃCZONEJ
ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ)
-LINIOWE CHARAKTERYSTYKI
FAZOWE,
-STABILNE,
-FILTRY NIŻSZYCH RZĘDÓW CZYLI
WYMAGAJĄCE MNIEJSZEJ LICZBY
MNOŻEŃ I SZYBSZE,POSIADAJĄ
LEPSZE CHARAKTERYSTYKI
AMPLITUDOWE,
PORÓWNANIE SOI19 I NOI4
ZE WZGLĘDU NA SPOSÓB PRZETWARZANYCH INFORMACJI
DZIELIMY NA:
23
Filtry nierekursywne
Filtry
nierekursywne
o
skończonej
odpowiedzi impulsowej (
SOI
)( ang.
finite
impulse response FIR).
Są to filtry w
strukturze których nie występuje pętla
sprzężenia
zwrotnego,
każda
próbka
odpowiedzi nie zależy od poprzednich a
jedynie
od
próbek
wymuszenia.
W
rezultacie
odpowiedź
impulsowa
dowolnego filtru nierekursywnego ma
zawsze skończoną liczbę próbek. Układy te
są zawsze stabilne i charakteryzują się
liniowymi charakterystykami fazowymi.
);
0
(
0
h
a
K
24
Filtry nierekursywne
Filtry
SOI
opisuje
równanie
różniczkowe:
Transmitancja
:
M
m
s
m
s
T
m
k
u
a
kT
y
0
)
)
((
)
(
M
m
M
m
m
M
m
m
s
m
m
z
z
K
z
mT
h
z
a
z
H
0
1
1
0
)
1
(
)
(
)
(
);
0
(
0
h
a
K
);
0
(
0
h
a
K
25
Filtry nierekursywne
Parametry projektowe to zera z
m
transmitancji,
wszystkie bieguny leżą zawsze w początku
układu współrzędnych
Przykładową strukturę
filtru SOI przedstawia rysunek
26
Filtry rekursywne
Filtry
rekursywne
o
nieskończonej
odpowiedzi impulsowej (
NOI
) (ang.
infinite
impulse response IIR
). Są to filtry w
strukturze
których
występuje
pętla
sprzężenia
zwrotnego,
każda
próbka
odpowiedzi zależy od poprzednich .W
rezultacie odpowiedź impulsowa dowolnego
filtru rekursywnego może mieć nieskończoną
liczbę próbek. Filtry te charakteryzują się
lepszymi charakterystykami amplitudowymi
przy niższych rzędzie filtru niż filtry SOI.
27
Filtry rekursywne
Filtry NOI opisuje równanie
różniczkowe
Transmitancja:
M
m
N
n
s
n
s
m
s
T
n
k
y
b
T
m
k
u
a
kT
y
0
1
)
)
((
)
)
((
)
(
;
)
1
(
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
1
1
0
a
K
z
p
z
z
K
z
b
z
a
z
U
z
Y
z
H
N
j
j
M
i
i
N
n
n
n
m
m
m
m
28
Filtry rekursywne
Parametrami projektowymi filtrów NOI są
bieguny p
j
i zera z
i
transmitancji H(z)
29
Porównanie charakterystyki amplitudowej
filtrów SOI 19 rzędu i NOI 4 rzędu.
NOI pomimo niższego rzędu charakteryzuje się
mniejszym
tętnieniem
pasm,
zaporowego
i
przepustowego
oraz
większą
stromością
charakterystyki. Należy przy tym nie zapominać, że
filtry SOI posiadają się liniowa charakterystyką
fazową, co jest trudne do osiągnięcia stosując filtr
NOI.
30
TYPY FILTRÓW
•BESSELA
•BUTTERWORTHA
•CZEBYSZEWA (
I
,
II
)
•CAUERA
(ELIPTYCZNY)
31
Filtr Butterwortha
Filtr
Butterwortha
charakteryzuje
się
płaskim
pasmem
przepustowym,
nieliniowością charakterystyki fazowej oraz
małą stromością charakterystyki, którą można
zwiększyć zwiększając rząd filtru co jednak
radykalnie zwiększa ilość obliczeń
32
Filtr Butterwortha
Filtr opisany jest wzorem:
N- rząd filtru;
a
-częstotliwość kątowa;
ap
-częstotliwość graniczna;
Filtr Butterwortha wykorzystywany jest rzadko
zarówno z powodu nie spełnienia wymagań na
ostre
nachylenie
charakterystyki
jak
i
nieodpowiedniej odpowiedzi fazowej
N
ap
a
a
a
j
H
2
2
1
1
)
(
33
Filtr Czebyszewa
Filtr Czebyszewa charakteryzuje się tętnieniami
pasma
przepustowego
oraz
zaporowego,
nieliniowością
charakterystyki
fazowej
i
większą w porównaniu z filtrem Butterwortha
stromością charakterystyki. Filtr opisany jest
wzorem:
-
stała określająca ilość tętnień w paśmie przepustowym;
T
N
(
a )-wielomian Czebyszewa;
)
(
1
1
)
(
2
2
2
a
N
a
a
T
j
H
34
Filtr Czebyszewa
Filtr Czebyszewa stanowi ulepszenie filtru
Butterwortha w stosunku do nachylenia
charakterystyki, tym niemniej obydwa te filtry
mają niezadowalającą odpowiedz fazową a
filtr
Czebyszewa
nawet
gorszą.
Filtr
Czebyszewa jest też czasem nazywany
filtrem
o równomiernym falowaniu
, gdyż tętnienia w
obrębie całego pasma przepustowego są
jednakowe. Ponadto gęstość ich wzrasta wraz
ze wzrostem rzędu filtru.
35
Filtr Eliptyczny
(Cauera)
Charakteryzuje się dużą nieliniowością
charakterystyki fazowej oraz dużą stromością
nachylenia charakterystyki. W paśmie
przepustowym jak i zaporowym występują
tętnienia. Filtr Eliptyczny można stosować
tylko tam, gdzie faza nie stanowi istotnego
parametru projektowego.
)
(
1
1
)
(
2
2
2
a
N
a
a
U
j
H
)
(
2
a
N
U
)
(
2
a
N
U
)
(
2
a
N
U
funkcja Jacobiego
36
Charakterystyka fazowa filtrów Bessela,
Butterwortha,Eliptycznego, Czebyszewa I
i drugiego Czebyszewa II.
37
Charakterystyka amplitudowa filtrów
Bessela, Butterwortha,Eliptycznego,
Czebyszewa I i drugiego Czebyszewa II
38
Odpowiedź na funkcję skoku
jednostkowego filtrów Bessela,
Butterwortha, Eliptycznego,
Czebyszewa I i drugiego
Czebyszewa II.
39
PROJEKTOWANIE FILTRÓW
CYFROWYCH
Podczas
projektowania
filtrów
osiągnięcie
właściwej odpowiedzi amplitudowej jest tylko
częścią problemu. Nieodpowiednia odpowiedź
fazowa może nastręczyć wielu kłopotów w
różnorodnych zastosowaniach w szczególności w
systemach audio. Przychodzą tu z pomocą filtry
Bessela,
które
mają
wyjątkowo
płaską
charakterystykę odpowiedzi fazowej w całym
paśmie przepustowym. W celu osiągnięcia dobrej
odpowiedzi fazowej trzeba poświęcić stromość
nachylenia charakterystyki amplitudowej.
40
PROJEKTOWANIE FILTRÓW CYFROWYCH
•OKREŚLENIE SPECYFIKACJI
(W ZALEŻNOŚCI OD ZASTOSOWANIA
WYMAGANIA, KTÓRE MUSI SPEŁNIAĆ FILTR);
•ROZWIĄZANIE PROBLEMU APROKSYMACJI
(POŻĄDANY PRZEBIEG NALEŻY PRZYBLIŻYĆ W
KLASIE LINIOWYCH STACJONARNYCH I
STABILNYCH UKŁADÓW DYSKRETNYCH)
•REALIZACJA
(POSZUKUJE SIĘ STRUKTURY FILTRU, KTÓRA
SPEŁNIA OKREŚLONE SPECYFIKACJE I
CHARAKTERYZUJE SIĘ MAŁĄ ZŁOŻONOŚCIĄ
SPRZĘTOWĄ I OBLICZENIOWĄ );
•IMPLEMENTACJA
(FILTR MUSI BYĆ ZAPROJEKTOWANY PRZY UŻYCIU
OKREŚLONEGO SPRZĘTU IOPROGRAMOWANIA np
UKŁADY VLSI, ASIC,PROCESOR SYGNAŁOWY)
41
REALIZACJA FILTRU NA PROCESORZE SYGNAŁOWYM
FILTR
DOLNOPRZEPUSTOWY
USUWAJĄCY WYŻSZE
CZĘSTOTLIWOŚCI (SZUM)
PROCES
PRÓBKOWANIA,
PAMIĘTANIA I
KWANTYZACJI
SYGNAŁU
OPROGRAMOWAN
IE PROCESORA
SYGNAŁOWEGO W
JĘZYKU
ASEMBLERA LUB
JĘZYKACH
WYŻSZYCH
RZĘDÓW
KONWERSJA C/A
FILTR
WYGŁADZAJĄCY
42
KONWERSJA ANALOGOWO-
CYFROWA
Proces konwersji analogowo-cyfrowej
można podzielić na trzy podstawowe
etapy
a
mianowicie
filtrowanie
antyaliasingowe,
próbkowanie
i
kwantyzacja.
43
KONWERSJA ANALOGOWO-
CYFROWA
Filtrowanie antyalisingowe jest niezbędne
gdyż widmo sygnału jest ze względu na
zniekształcenia i szumy bardzo szerokie,
dolnoprzepustowy
filtr
analogowy
stosowany jest w celu ograniczenia
szerokości widma rzeczywistego sygnału.
Zastosowanie tego typu filtracji ma na
celu zapobieżenie zjawiska nakładania się
widm
powstających
w
wyniku
ich
powielania
podczas
wykonywania
próbkowania
sygnału.
44
KONWERSJA ANALOGOWO-
CYFROWA
Powielanie widma (brak filtru
antyaliasinkowego)
45
KONWERSJA ANALOGOWO-
CYFROWA
Efekt zastosowania filtru
antyaliasinkowego
46
Sygnał analogowy można próbkować z
dowolną szybkością i otrzymuje się ciąg
wartości dyskretnych.
Należy sobie jednak zadać pytanie:
na
ile
dobrze
te
wartości
reprezentują sygnał oryginalny ?
Odpowiedź
na
to
pytanie
daje
teoria
próbkowania. Jeśli wybierzemy zbyt krótki
okres próbkowania, to proces przetwarzania
sygnału będzie mało efektywny i drogi.
Natomiast, jeśli okres próbkowania będzie
zbyt długi, to możemy utracić informacje
zawarte w sygnale.
47
Ilustracja procesu
próbkowania
zbyt wolne
próbkowania
48
Sygnał powinien być tym szybciej próbkowany,
im szybciej ulega zmianom, tzn. im wyższe
zawiera
składowe
częstotliwościowe.
Fundamentalne twierdzenie w teorii sygnałów
dyskretnych, tzn. twierdzenie o próbkowaniu
lub twierdzenie Shannona-Kotielnikowa,
które zostało odkryte przez Whittakera w
1915r na gruncie teorii interpolacji. W formie
przydatnej
do
zagadnień
przetwarzania
sygnałów
zostało
sformułowane
przez
Kotielnikowa w 1933r. Jego doniosłość w teorii
przetwarzania sygnałów uznano jednak dzięki
fundamentalnej pracy Shannona z 1949r
49
częstotliwość próbkowania ω
s
musi być co najmniej
dwa razy
większa
od
maksymalnej
pulsacji ω
g
zawartej w widmie
sygnału ciągłego, aby sygnał
można było odtworzyć z sygnału
próbkowanego.
Maksymalna dopuszczalna w widmie
sygnału ciągłego pulsacja ω
s
/2 nosi
nazwę
pulsacji Nyquista
50
REALIZACJA FILTRU NA PROCESORZE SYGNAŁOWYM
GENERATOR
PROCESOR
SYGNAŁOWY
TMS 320C31
KOMPUTER
OSCYLOS
KOP
51
ZASTOSOWANIE FILTRÓW
`
•TELEKOMUNIKACJA;
•ELEKTROAKUSTYKA;
•PRZETWARZANIE OBRAZU;
•AUTOMATYCE I ROBOTYCE;