FILTRY CYFROWE

WYKŁAD 1

FILTRY CYFROWE

WYKŁAD 1

2

• ROZWÓJ CYFROWEGO PRZETWARZANIA

SYGNAŁU

• PORÓWNANIE UKŁADÓW CYFROWYCH I

ANALOGOWYCH

• DEFINICJA
• KRYTERIA OCENY FILTRÓW
• PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH
• TYPY FILTRÓW
• PROJEKTOWANIE
• REALIZACJA FILTRU NA PROCESORZE

SYGNAŁOWYM

• ZASTOSOWANIE

SPIS TREŚCI

3

ROZWÓJ CYFROWEGO

PRZETWARZANIA SYGNAŁU

• XIX PRZEKSZTAŁCENIE FURIERA I LAPLACE’

DLA SYGNAŁÓW CIĄGŁYCH

• XX LATA 40 POJAWIENIE SIĘ

KOMPUTERÓW(PRZEKSZTAŁCENIE DFT,Z )

• 1965 COOLEY I TUKEY OPRACOWALI ALGORYTM

FFT

• 1980 DSP

• LOGIKA ROZMYTA, ALGORYTMY GENETYCZNE,

SIECI NEURONOWE , ODWZOROWANIA

FRAKTALNE

4

PORÓWNANIE UKŁADÓW CYFROWYCH I ANALOGOWYCH

ZALETY UKŁADÓW CYFROWYCH

CECHY UKŁADÓW

CYFROW

E

ANALOGOW

E

PROGRAMOWALNOŚĆ

+

-

STABILNOŚĆ

+

-

POWTARZALNOŚĆ

+

-

ŁATWOŚĆ IMPLEMANTACJI
ALGORYTMÓW ADAPTACYJNYCH

+

-

KODY KOREKCJI BŁĘDÓW

+

-

FUNKCJ SPECJALNE

+

-

TRANSMISJA, PRZECHOWYWANIE I
KOMPRESJA DANYCH

+

-

5

PORÓWNANIE UKŁADÓW CYFROWYCH I ANALOGOWYCH

WADY UKŁADÓW CYFROWYCH

CECHY UKŁADÓW

CYFROW

E

ANALOGOW

E

POBÓR MOCY

-

+

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW O BARDZO

DUŻYCH CZĘSTOTLIWOŚCIACH

-

+

W SRODOWISKU ANALOGOWYM

UKŁADY MNIEJ ROZBUDOWANE

-

+

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
SŁABYCH I SILNYCH

-

+

NIESKOŃCZONA CZĘSTOTLIWOŚĆ
PRÓBKOWANIA

-

+

BRAK BŁĘDÓW WYNIKAJĄCYCH Z
KWANTYZACJI SYGNAŁU I
WYKORZYSTANIA PROCESORA

-

+

6

DEFINICJA

• FILTRACJA-

PROCES PRZETWARZANIA SYGNAŁU W

DZIEDZINIE CZASU. POLEGA NA REDUKOWANIU I

ODFILTROWYWANIU NIEPORZĄDANYCH SKŁADOWYCH

ZAWARTYCH W SYGNALE WEJŚCIOWYM

• FILTR CYFROWY

-

ALGORYTM LUB PROCES

OBLICZENIOWY W WYNIKU KTÓREGO JEDNA

SEKWENCJA LICZB (TZN.

SYGNAŁ WEJŚCIOWY) ZAMIENIANY JEST W INNĄ

SEKWENCJĘ (TZN. SYGNAŁ WYJŚCIOWY)

• FILTR-

KAŻDE URZĄDZENIE POSIADAJĄCE

SELEKTYWNE CHARAKTERYSTYKI

CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

7

SPOSOBY OPISU

FILTRÓW

Opisując filtry cyfrowe używa się tych samych
zależności co do opisu układów dyskretnych.
Poszukuje się liniowej zależności pomiędzy
dwoma ciągami reprezentującymi sygnały
wejściowe i wyjściowe. Zależność taka nosi
nazwę równania różnicowego i jest jednym ze
sposobów opisu filtrów cyfrowych. Ogólna
postać

liniowego

równania

różnicowego

przedstawiona jest poniżej

:

















M

m

N

n

s

n

s

m

s

T

n

k

y

b

T

m

k

u

a

kT

y

0

1

)

)

((

)

)

((

)

(

















M

m

N

n

s

n

s

m

s

T

n

k

y

b

T

m

k

u

a

kT

y

0

1

)

)

((

)

)

((

)

(

8

SPOSOBY OPISU

FILTRÓW

Filtr cyfrowy opisuje się również

za pomocą splotu dyskretnego

przedstawionego poniżej:

•













m

s

s

s

T

m

k

u

mT

h

kT

y

)

)

((

)

(

)

(

9

SPOSOBY OPISU

FILTRÓW

Można też opisać filtr za pomoc przekształcenia

Z

Funkcja H(z) jest transmitancją liniowego

stacjonarnego

układu

dyskretnego.

Transmitancja jest funkcją zmiennej zespolonej

n

N

n

n

M

m

m

m

z

b

z

a

z

U

z

Y

z

H



















1

0

1

)

(

)

(

)

(

10

ELEMENTY FILTRU

LINIOWEGO CYFROWEGO

sumator wykonujący operacje

arytmetyczne

11

ELEMENTY FILTRU

LINIOWEGO CYFROWEGO

Układ mnożący służy do mnożenia
próbek

sygnałów

przez

współczynniki, które w klasie
stacjonarnych filtrów cyfrowych są
stałymi

12

ELEMENTY FILTRU

LINIOWEGO CYFROWEGO

Sumatory i elementy mnożące są to tzw.
elementy statyczne. w odróżnieniu do
widocznego poniżej rejestru pamięci.
Jest to element opóźniający sygnał o
jedną próbkę należy on do elementów
dynamicznych

13

ELEMENTY FILTRU

LINIOWEGO CYFROWEGO

Podstawowe połączenia tych
elementów to połączenie
równoległe widoczne poniżej:

14

ELEMENTY FILTRU

LINIOWEGO CYFROWEGO

oraz połączenie kaskadowe:

15

KRYTERIA OCENY FILTRÓW

1.

ODPOWIEDŹ

AMPLITUDOWA

2.

ODPOWIEDŹ

FAZOWA

3.

ODPOWIEDŹ

NA SKOK
JEDNOSTKOWY

16

charakterystyka

amplitudowa

Pasmo przepustowe to obszar częstotliwości , w

którym sygnał przechodzi przez układ praktycznie

nie osłabiony. Pasmo to rozciąga się do punktu w

którym amplituda spada poniżej 3dB wartości

nominalnej. Punkt ten nazywany jest

częstotliwością odcięcia f3dB.

17

Charakterystyka

amplitudowa

• Obszar przejściowy

nazywany stromością nachylenia

charakterystyki określa szybkość zmiany wzmocnienia

wraz z częstotliwością, zawiera się między pasmem

przepustowym a zaporowym.

• Pasmo zaporowe

to pasmo częstotliwości, których

amplituda

ma

zostać

zmniejszona

poniżej

zaprojektowanego poziomu.

• Parametry

oceny

filtru

to

tętnienie

pasma

przepustowego i zaporowego oraz stromość nachylenia

charakterystyki. W zależności od przeznaczenia filtru

dopuszcza się pewien

poziom tętnienia jak i określoną

szerokość obszaru przejścia, możliwe jest zaprojektowanie

filtru z bardzo stromą charakterystyką lub taki, który nie

wprowadza zakłóceń w paśmie przepustowym.

18

Charakterystyka fazowa

Charakterystyka fazowa to zależność fazy do

częstotliwości. Odpowiedź fazowa jest ściśle

związana z czasem opóźnienia przechodzącego

przez filtr sygnału dla różnych częstotliwości.

Filtry o liniowej odpowiedzi fazowej opóźniają

wszystkie częstotliwości o taki sam czas. Filtry

o nieliniowej odpowiedzi fazowej opóźniają

różne częstotliwości o różne okresy, co

wprowadza zakłócenia podobne do zjawiska

„rozproszenia” sygnału radiowego wynikające z

nieustannie zmieniającą się drogą emitowanych

fal. Charakterystyka fazowa widoczna jest na

rysunku nie jest to charakterystyka idealnie

liniowa ponieważ widoczne są lekkie oscylacje
fazy

.

19

Odpowiedź na skok

jednostkowy

20

Odpowiedź na skok

jednostkowy

Wyróżnia się tu:

• Czas narastania

odpowiedzi- jest to czas w

którym napięcie wyjściowe osiągnie poziom

90% do swojej wartości maksymalnej (tr)

• Czas ustalania -

czas w jakim napięcie

wyjściowe ustala się w obrębie 5%

odchylenia od swojej wartości końcowej (ts)

• Przerzut

- maksymalna wartość napięcia o

jakie napięcie wyjściowe przewyższa

chwilowo swoją wartość końcową.

• Tętnienie

- oscylacje wokół średniej

wartości końcowej

21

PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH

ZE WZGLĘDU NA RODZAJ PRZETWARZANYCH INFORMACJI

DZIELIMY NA:

•PASMOWE

;

(ŚRODKOWOZAPOROWE,ŚRODKOWOPRZEPUSTOEWE)

•GÓRNOPRZEPUSTOWE

•DOLNOPRZEPUSTOWE

22

PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH

•NIEREKURSYWNE

(O SKOŃCZONEJ DOPOWIEDZI

IMPULSOWEJ SOI);

•REKURSYWNE

( O NIESKOŃCZONEJ

ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ)

-LINIOWE CHARAKTERYSTYKI
FAZOWE,
-STABILNE,

-FILTRY NIŻSZYCH RZĘDÓW CZYLI

WYMAGAJĄCE MNIEJSZEJ LICZBY

MNOŻEŃ I SZYBSZE,POSIADAJĄ

LEPSZE CHARAKTERYSTYKI

AMPLITUDOWE,

PORÓWNANIE SOI19 I NOI4

ZE WZGLĘDU NA SPOSÓB PRZETWARZANYCH INFORMACJI

DZIELIMY NA:

23

Filtry nierekursywne

Filtry

nierekursywne

o

skończonej

odpowiedzi impulsowej (

SOI

)( ang.

finite

impulse response FIR).

Są to filtry w

strukturze których nie występuje pętla
sprzężenia

zwrotnego,

każda

próbka

odpowiedzi nie zależy od poprzednich a
jedynie

od

próbek

wymuszenia.

W

rezultacie

odpowiedź

impulsowa

dowolnego filtru nierekursywnego ma
zawsze skończoną liczbę próbek. Układy te
są zawsze stabilne i charakteryzują się
liniowymi charakterystykami fazowymi.

);

0

(

0

h

a

K





24

Filtry nierekursywne

Filtry

SOI

opisuje

równanie

różniczkowe:

Transmitancja

:









M

m

s

m

s

T

m

k

u

a

kT

y

0

)

)

((

)

(



























M

m

M

m

m

M

m

m

s

m

m

z

z

K

z

mT

h

z

a

z

H

0

1

1

0

)

1

(

)

(

)

(

);

0

(

0

h

a

K





);

0

(

0

h

a

K





25

Filtry nierekursywne

Parametry projektowe to zera z

m

transmitancji,

wszystkie bieguny leżą zawsze w początku

układu współrzędnych

Przykładową strukturę

filtru SOI przedstawia rysunek

26

Filtry rekursywne

Filtry

rekursywne

o

nieskończonej

odpowiedzi impulsowej (

NOI

) (ang.

infinite

impulse response IIR

). Są to filtry w

strukturze

których

występuje

pętla

sprzężenia

zwrotnego,

każda

próbka

odpowiedzi zależy od poprzednich .W

rezultacie odpowiedź impulsowa dowolnego

filtru rekursywnego może mieć nieskończoną

liczbę próbek. Filtry te charakteryzują się

lepszymi charakterystykami amplitudowymi

przy niższych rzędzie filtru niż filtry SOI.

27

Filtry rekursywne

Filtry NOI opisuje równanie

różniczkowe

Transmitancja:

















M

m

N

n

s

n

s

m

s

T

n

k

y

b

T

m

k

u

a

kT

y

0

1

)

)

((

)

)

((

)

(

;

)

1

(

)

1

(

1

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

1

1

0

a

K

z

p

z

z

K

z

b

z

a

z

U

z

Y

z

H

N

j

j

M

i

i

N

n

n

n

m

m

m

m







































28

Filtry rekursywne

Parametrami projektowymi filtrów NOI są

bieguny p

j

i zera z

i

transmitancji H(z)

29

Porównanie charakterystyki amplitudowej

filtrów SOI 19 rzędu i NOI 4 rzędu.

NOI pomimo niższego rzędu charakteryzuje się
mniejszym

tętnieniem

pasm,

zaporowego

i

przepustowego

oraz

większą

stromością

charakterystyki. Należy przy tym nie zapominać, że
filtry SOI posiadają się liniowa charakterystyką
fazową, co jest trudne do osiągnięcia stosując filtr
NOI.

30

TYPY FILTRÓW

•BESSELA

•BUTTERWORTHA

•CZEBYSZEWA (

I

,

II

)

•CAUERA

(ELIPTYCZNY)

31

Filtr Butterwortha

Filtr

Butterwortha

charakteryzuje

się

płaskim

pasmem

przepustowym,

nieliniowością charakterystyki fazowej oraz
małą stromością charakterystyki, którą można
zwiększyć zwiększając rząd filtru co jednak
radykalnie zwiększa ilość obliczeń

32

Filtr Butterwortha

Filtr opisany jest wzorem:

N- rząd filtru;



a

-częstotliwość kątowa;



ap

-częstotliwość graniczna;

Filtr Butterwortha wykorzystywany jest rzadko

zarówno z powodu nie spełnienia wymagań na

ostre

nachylenie

charakterystyki

jak

i

nieodpowiedniej odpowiedzi fazowej

N

ap

a

a

a

j

H

2

2

1

1

)

(



























33

Filtr Czebyszewa

Filtr Czebyszewa charakteryzuje się tętnieniami

pasma

przepustowego

oraz

zaporowego,

nieliniowością

charakterystyki

fazowej

i

większą w porównaniu z filtrem Butterwortha

stromością charakterystyki. Filtr opisany jest

wzorem:



-

stała określająca ilość tętnień w paśmie przepustowym;

T

N

(



a )-wielomian Czebyszewa;

)

(

1

1

)

(

2

2

2

a

N

a

a

T

j

H











34

Filtr Czebyszewa

Filtr Czebyszewa stanowi ulepszenie filtru

Butterwortha w stosunku do nachylenia
charakterystyki, tym niemniej obydwa te filtry
mają niezadowalającą odpowiedz fazową a
filtr

Czebyszewa

nawet

gorszą.

Filtr

Czebyszewa jest też czasem nazywany

filtrem

o równomiernym falowaniu

, gdyż tętnienia w

obrębie całego pasma przepustowego są
jednakowe. Ponadto gęstość ich wzrasta wraz
ze wzrostem rzędu filtru.

35

Filtr Eliptyczny

(Cauera)

Charakteryzuje się dużą nieliniowością
charakterystyki fazowej oraz dużą stromością
nachylenia charakterystyki. W paśmie
przepustowym jak i zaporowym występują
tętnienia. Filtr Eliptyczny można stosować
tylko tam, gdzie faza nie stanowi istotnego
parametru projektowego.

)

(

1

1

)

(

2

2

2

a

N

a

a

U

j

H











)

(

2

a

N

U



)

(

2

a

N

U



)

(

2

a

N

U



funkcja Jacobiego

36

Charakterystyka fazowa filtrów Bessela,

Butterwortha,Eliptycznego, Czebyszewa I

i drugiego Czebyszewa II.

37

Charakterystyka amplitudowa filtrów

Bessela, Butterwortha,Eliptycznego,

Czebyszewa I i drugiego Czebyszewa II

38

Odpowiedź na funkcję skoku

jednostkowego filtrów Bessela,

Butterwortha, Eliptycznego,

Czebyszewa I i drugiego

Czebyszewa II.

39

PROJEKTOWANIE FILTRÓW

CYFROWYCH

Podczas

projektowania

filtrów

osiągnięcie

właściwej odpowiedzi amplitudowej jest tylko
częścią problemu. Nieodpowiednia odpowiedź
fazowa może nastręczyć wielu kłopotów w
różnorodnych zastosowaniach w szczególności w
systemach audio. Przychodzą tu z pomocą filtry
Bessela,

które

mają

wyjątkowo

płaską

charakterystykę odpowiedzi fazowej w całym
paśmie przepustowym. W celu osiągnięcia dobrej
odpowiedzi fazowej trzeba poświęcić stromość
nachylenia charakterystyki amplitudowej.

40

PROJEKTOWANIE FILTRÓW CYFROWYCH

•OKREŚLENIE SPECYFIKACJI

(W ZALEŻNOŚCI OD ZASTOSOWANIA

WYMAGANIA, KTÓRE MUSI SPEŁNIAĆ FILTR);

•ROZWIĄZANIE PROBLEMU APROKSYMACJI

(POŻĄDANY PRZEBIEG NALEŻY PRZYBLIŻYĆ W

KLASIE LINIOWYCH STACJONARNYCH I

STABILNYCH UKŁADÓW DYSKRETNYCH)

•REALIZACJA

(POSZUKUJE SIĘ STRUKTURY FILTRU, KTÓRA

SPEŁNIA OKREŚLONE SPECYFIKACJE I

CHARAKTERYZUJE SIĘ MAŁĄ ZŁOŻONOŚCIĄ

SPRZĘTOWĄ I OBLICZENIOWĄ );

•IMPLEMENTACJA

(FILTR MUSI BYĆ ZAPROJEKTOWANY PRZY UŻYCIU

OKREŚLONEGO SPRZĘTU IOPROGRAMOWANIA np

UKŁADY VLSI, ASIC,PROCESOR SYGNAŁOWY)

41

REALIZACJA FILTRU NA PROCESORZE SYGNAŁOWYM

FILTR

DOLNOPRZEPUSTOWY

USUWAJĄCY WYŻSZE

CZĘSTOTLIWOŚCI (SZUM)

PROCES

PRÓBKOWANIA,

PAMIĘTANIA I

KWANTYZACJI

SYGNAŁU

OPROGRAMOWAN

IE PROCESORA

SYGNAŁOWEGO W

JĘZYKU

ASEMBLERA LUB

JĘZYKACH

WYŻSZYCH

RZĘDÓW

KONWERSJA C/A

FILTR

WYGŁADZAJĄCY

42

KONWERSJA ANALOGOWO-

CYFROWA

Proces konwersji analogowo-cyfrowej

można podzielić na trzy podstawowe
etapy

a

mianowicie

filtrowanie

antyaliasingowe,

próbkowanie

i

kwantyzacja.

43

KONWERSJA ANALOGOWO-

CYFROWA

Filtrowanie antyalisingowe jest niezbędne

gdyż widmo sygnału jest ze względu na

zniekształcenia i szumy bardzo szerokie,

dolnoprzepustowy

filtr

analogowy

stosowany jest w celu ograniczenia

szerokości widma rzeczywistego sygnału.

Zastosowanie tego typu filtracji ma na

celu zapobieżenie zjawiska nakładania się

widm

powstających

w

wyniku

ich

powielania

podczas

wykonywania

próbkowania

sygnału.

44

KONWERSJA ANALOGOWO-

CYFROWA

Powielanie widma (brak filtru

antyaliasinkowego)

45

KONWERSJA ANALOGOWO-

CYFROWA

Efekt zastosowania filtru

antyaliasinkowego

46

Sygnał analogowy można próbkować z
dowolną szybkością i otrzymuje się ciąg
wartości dyskretnych.
Należy sobie jednak zadać pytanie:
na

ile

dobrze

te

wartości

reprezentują sygnał oryginalny ?

Odpowiedź

na

to

pytanie

daje

teoria

próbkowania. Jeśli wybierzemy zbyt krótki
okres próbkowania, to proces przetwarzania
sygnału będzie mało efektywny i drogi.
Natomiast, jeśli okres próbkowania będzie
zbyt długi, to możemy utracić informacje
zawarte w sygnale.

47

Ilustracja procesu

próbkowania

zbyt wolne

próbkowania

48

Sygnał powinien być tym szybciej próbkowany,
im szybciej ulega zmianom, tzn. im wyższe
zawiera

składowe

częstotliwościowe.

Fundamentalne twierdzenie w teorii sygnałów
dyskretnych, tzn. twierdzenie o próbkowaniu
lub twierdzenie Shannona-Kotielnikowa,
które zostało odkryte przez Whittakera w
1915r na gruncie teorii interpolacji. W formie
przydatnej

do

zagadnień

przetwarzania

sygnałów

zostało

sformułowane

przez

Kotielnikowa w 1933r. Jego doniosłość w teorii
przetwarzania sygnałów uznano jednak dzięki
fundamentalnej pracy Shannona z 1949r

49

częstotliwość próbkowania ω

s

musi być co najmniej

dwa razy

większa

od

maksymalnej

pulsacji ω

g

zawartej w widmie

sygnału ciągłego, aby sygnał
można było odtworzyć z sygnału
próbkowanego.

Maksymalna dopuszczalna w widmie

sygnału ciągłego pulsacja ω

s

/2 nosi

nazwę

pulsacji Nyquista

50

REALIZACJA FILTRU NA PROCESORZE SYGNAŁOWYM

GENERATOR

PROCESOR

SYGNAŁOWY

TMS 320C31

KOMPUTER

OSCYLOS

KOP

51

ZASTOSOWANIE FILTRÓW

`

•TELEKOMUNIKACJA;

•ELEKTROAKUSTYKA;

•PRZETWARZANIE OBRAZU;

•AUTOMATYCE I ROBOTYCE;