Modele

typu

autoregresyjnego

odgrywają ważną rolę wśród modeli
prognostycznych.

Stanowią

one

podklasę

modeli

trendów

stochastycznych.
Określają związek funkcyjny między
wartościami zmiennej prognozowanej w
okresie (momencie) t a wartościami tej
samej zmiennej z okresów (momentów)
poprzednich t-1, t-2, t-3......t-p z
dokładnością składnika losowego.

Modele autoregresyjne są bardzo

często stosowane, gdyż:

•

w prognozowaniu wielu zjawisk
gospodarczych można zauważyć dużo
sytuacji

wskazujących

na

występowanie opóźnień w przebiegu
niektórych zjawisk w czasie

•

rezygnuje się w nich ze stosowania wielu
zmiennych objaśniających, co jest istotne
gdy wiemy jakie zmienne należałoby włączyć
do zbioru zmiennych objaśniających danego
modelu, ale istnieją trudności z zebraniem
odpowiednich danych liczbowych

.

1.

Trudność polega na określeniu parametru

p, który oznacza „maksymalne odchylenie w
czasie” (rząd autoregresji), przy którym
zmienne opóźnione mogą jeszcze wpływać
na zmienną prognozowaną. Od tego zależy
jak daleko sięgamy w przeszłość przy
uwzględnianiu

opóźnionych

wartości

zmiennej prognozowanej.

2. Trudność pojawia się przy estymacji

parametrów

określonego

modelu

autoregre-syjnego.
Zmienne opóźnione występujące w roli
zmiennych objaśniających często są
silnie skorelowane i nie zawsze można
więc wykorzystać klasyczną metodę
najmniejszych kwadratów (KMNK)

•

Szeregów stacjonarnych

tj. szeregów gdzie występują jedynie
wahania losowe wokół średniej,

•

Szeregów niestacjonarnych

sprowadzalnych do stacjonarnych przez
obliczenie kolejnych różnic

-

Modele autoregresji AR (p)

- Modele średniej ruchomej MA (q)

- Modele mieszane autoregresji i średniej
ruchomej ARMA (p,q)

- Model zintegrowany autoregresji ARIMA
(p,d,q)

Model autoregresji rzędu p, w skrócie AR (p),

określamy wzorem:

Y

t

=α

0

+ α

1

Y

t-1

+ α

2

Y

t-2

+...+ α

p

Y

t-

p

+ε

t

gdzie:

y

t

, y

t-1

, y

t-2

, ... ,y

t-p

–

wartość zmiennej

prognozowanej w momencie lub okresie t, t-1, t-

2, ..., t-p

α

o

, α

1

, α

2

, ... , α

t-p

–

parametry modelu

ε

t

–

proces resztowy (biały szum)

p

–

rząd autoregresji, czyli maksymalne

opóźnienie zmiennej objaśnianej

Proces resztowy w modelu autoregresyjnym jest
procesem białego szumu, co oznacza, że
charakteryzuje się następującymi
właściwościami:

1.

E(ε

t

) = 0 (średnia procesu jest równa zero)

2.

D

2

(ε

t

) = σ

2

(wariancja procesu jest stała w czasie)

3.

K(ε

t

, ε

s

) = 0 dla t≠s (kowariancja pomiędzy

obserwacjami z okresu t i s jest równa zero, co

oznacza brak autokorelacji
Proces spełniający powyższe trzy własności

nazywamy białym szumem.

•

Budowa tego modelu jest oparta na założeniu,

iż

występuje

autokorelacja

między

wartościami zmiennej prognozowanej a jej

wartościami opóźnionymi w czasie.

•

Za jego pomocą można modelować zarówno

szeregi stacjonarne i niestacjonarne.

•

Wartość średnia stacjonarnego procesu AR

(p) jest stała. Dla procesu przedstawionego w

postaci odchyleń od średniej wynosi ona zero.

Również wariancja jest stała.

MA - ang. moving average,

średnia ruchoma

•

bieżąca (w okresie t) wartość s

stacjonarnego szeregu czasowego
Yt,

zależy od q

poprzedzających wartości

reszt

losowych.

Model średniej ruchomej MA (q),

określamy wzorem:

Y

t

=

α

0

+e

1

-

α

1

e

t-1

–

α

2

e

t-2

- ... –

α

q

e

t-q

gdzie:

α

o

,

α

1

, ...,

α

q

– parametry modelu

q

– wielkość opóźnienia

e

1,

e

t-1,

e

t-q

-

wartości reszt losowych

•

Modele średniej ruchomej wykorzystywane
są do prognozowania krótkookresowego,
jeśli w szeregu czasowym występują duże
wahania przypadkowe przy braku trendu
(lub słabo zarysowanym trendzie) i wahań
sezonowych.

•

Nazwa średnia ruchoma może być myląca,
gdyż wagi

1, -

1, - α

1

1

, -

, - α

2

2

, ..., -

, ..., - α

p

p

nie muszą

się sumować do jedności ani nie muszą być
dodatnie.

•

Proces średniej ruchomej MA (q)
zawsze jest stacjonarny, niezależnie od
wielkości parametrów. Średnia jest
równa wyrazowi wolnemu α

0

.

Parametry operatora:

powinny

tworzyć ciąg zbieżny.

O modelu średniej ruchomej MA, który spełnia
powyższy warunek mówi się, że jest odwracalny.
Warunek ten jest spełniony, jeżeli pierwiastki
wielomianu leżą poza okręgiem jednostkowym.

π (B) = α
(B)

-1

Aby osiągnąć większą elastyczność w
dopasowaniu modelu do szeregu
czasowego czasem celowe jest połączenie
modelu AR (p) z modelem MA (q), które
prowadzi do powstania modelu
autoregresji i średniej ruchomej
ARMA(p,q).

Model ARMA jest procesem stacjonarnym.
Wynika to z faktu, że składniki MA nie mają
wpływu

na

jego

ewentualną

niestacjonarność.

Ze względu na to, że każdy proces AR jest
procesem

odwracalnym,

warunki

odwracalności procesu ARMA są identyczne
jak dla procesu MA. Zatem proces ARMA jest
odwracalny.

Proces

Funkcja autokorelacji

Funkcja

autokorelacji

cząstkowej

AR (p)

Nieskończona, zanikająca

(zanikające funkcje

wykładnicze oraz/lub

sinusoidy tłumione)

Skończona, urywa się

po odstępie p

MA (q)

Skończona, urywa się po

odstępie q

Nieskończona,

zanikająca

(zdominowana przez

zanikające funkcje

wykładnicze oraz/lub

sinusoidy tłumione)

ARMA (p, q)

Nieskończona, zanikająca (po

pierwszych q – p odstępach

zanikające funkcje

wykładnicze oraz/lub

sinusoidy tłumione)

Nieskończona,

zanikająca (po

pierwszych p –q

odstępach dominują

zanikające funkcje

wykładnicze oraz/lub

sinusoidy tłumione)

Modele

ARIMA

stosowane

są

do

stacjonarnych

szeregów

czasowych.

Stosuje się je do zmiennych, dla których
istnieje duża liczba informacji (zaleca się,
aby szereg zawierał co najmniej 50
obserwacji dla modeli nie sezonowych, zaś
dla modeli sezonowych jeszcze więcej) oraz
które są stabilne w czasie tzn. nie występują
w nich skoki.

Jeżeli szereg nie jest stacjonarny, to

dokonuje się jego przekształcenia w szereg
stacjonarny poprzez operację różnicowania.

•

Polega ona na d-krotnym obliczaniu różnic

sąsiednich wyrazów szeregu, czyli:

•

pierwsza różnica

(d=1) wynosi

y

t

-y

t-1

,

•

druga różnica

(d=2) wynosi (y

t

-y

t-1

) - (y

t-

1

-y

t-2

),

•

kolejne, analogicznie aż do uzyskania

szeregu stacjonarnego.

•

Parametr d ustala się na takim

poziomie, aby szereg czasowy otrzymany

w wyniku tej operacji był stacjonarny.

Budowane modele, dla w ten sposób
przekształconych szeregów, określa się
odpowiednio do modeli prezentowanych
wcześniej mianem zintegrowanych modeli:

•

autoregresji ARI (p, d),

•

średniej ruchomej IMA (d, q),

•

autoregresji i średniej ruchomej ARIMA (p,
d, q).

Wszystkie modele autoregresji i średniej

można zapisać przy użyciu uniwersalnej
notacji ARIMA (p, d, q),

gdzie:
p

– rząd autoregresji (wielkość opóźnienia),

d – rząd operatora różnicy (krotność

różnicowania),

q – wielkość opóźnienia średniej ruchomej.

•

Modele ARIMA stosuje się, gdy w szeregu

czasowym:

•

występuje stały poziom zmiennej prognozowanej

i wahania przypadkowe (szereg stacjonarny),

•

występuje tendencja rozwojowa i wahania

przypadkowe (ich zastosowanie jest poprzedzane

przekształceniem

pierwotnego

szeregu

czasowego w szereg stacjonarny),

•

występują wahania sezonowe, przypadkowe i

ewentualnie tendencja rozwojowa.

Używanie do budowy prognoz modeli ARIMA,
wymaga znacznej wiedzy prognosty np. o
sposobach szacowania modeli nieliniowych, z
drugiej strony, nie gwarantuje to uzyskania w
każdym

przypadku

lepszych

bądź

porównywalnych wyników z otrzymywanymi
innymi, prostszymi metodami. Dlatego modele
te

są

dość

rzadko

stosowane

w

prognozowaniu gospodarczym.

I. ETAP – Identyfikacja

II.ETAP – Estymacja

III.ETAP – Weryfikacja

IV.ETAP - Prognozowanie

Najczęściej identyfikacja modelu ARIMA

przeprowadzana jest w formie analizy

danych

prognozowanego

szeregu

czasowego o co najmniej 50 obserwacjach.

Porównuje się tu przebieg teoretycznych

funkcji

autokorelacji

i

autokorelacji

cząstkowej z empirycznymi funkcjami

autokorelacji i autokorelacji cząstkowej,

otrzymanymi

na

podstawie

wartości

prognozowanego szeregu czasowego.

I ETAP- IDENTYFIKACJA

•

W

celu

ustalenia,

które

wartości

empirycznych

funkcji

autokorelacji

i

autokorelacji cząstkowej są różne od zera,
najczęściej

wykorzystuje

się

błędy

standardowe estymatorów tych funkcji.

•

Generalnie przyjmuje się, że wartości
empirycznych

funkcji

autokorelacji

i

autokorelacji cząstkowej są różne od zera,
jeżeli ich wartości bezwzględne są większe
niż dwa razy odpowiedni błąd standardowy.



























































n

t

t

k

n

t

k

t

t

k

y

y

y

y

y

r

y

1

_

1

_

_

(k = 0, 1,
… ,K)

gdzie:
n

–

długość analizowanego szeregu

czasowego,

-

średnia

arytmetyczna szeregu

czasowego.

y

4

n

K 

k

j

k

k

k

j

k

k

j

k

j

k

j

r

r

r

r

r































,

)

1

(

1

,

2

2

,

1

1

,

...









Autokorelacje

cząstkowe

można

estymować

wykorzystując

równanie

Yule’a-Walkera:

gdzie:
j= 1,…,k
k= 1,2,…,K

• polega na estymacji parametrów wstępnie

przyjętego modelu ARIMA (p,d,q),

• parametry modeli AR (p) mogą być

szacowane klasyczną metodą najmniejszych

kwadratów lub wykorzystując układ równań

Yule’a-Walkera,

• do szacowania parametrów modeli MA (q) i

ARMA (p,q) – z uwagi żę są one nieliniowe –

stosuje się na ogół procedury iteracyjne,

polegające na poszukiwaniu takich wartości

ocen parametrów modelu, dla których suma

kwadratów reszt modelu jest najmniejsza.

Podstawą weryfikacji najczęściej są

reszty modelu:

t

t

t

y

y

e

^





t

y

^

-

ocena

wartości

szeregu

czasowego

uzyskana z oszacowanego modelu.

Badamy zazwyczaj funkcję autokorelacji reszt

r

e

(k). Jeśli model jest poprawny, to współczynniki

autokorelacji reszt nie powinny istotnie różnić się

od 0 dla k > 1.

gdzie:

Jakość modelu można ocenić na podstawie K
pierwszych współczynników autokorelacji
reszt. Wykorzystujemy wtedy statystykę
określoną wzorem:

)

(

)

(

1

2

k

r

d

n

Q

K

k

e









gdzie:

n

–

liczba wyrazów wyjściowego szeregu

czasowego

,

d

–

rząd operatora różnicy (krotność

różnicowania).

Jeżeli dobrany model jest odpowiedni, to
statystyka ta ma w przybliżeniu rozkład

χ

2

o

K-p-q

stopniach swobody.

Zatem przy z góry ustalonym poziomie
istotności α model odrzucimy, jeśli wartość
tej statystyki będzie większa lub równa
wartości krytycznej

χ

2α, K-p-q

omawianego

testu.

Odpowiednio

dobrany

model

może

być

wykorzystany do celów prognostycznych.

W procedurze tej realizacje zmiennych

Y

n+j

(j=1,2,...,h-1),

którymi

nie

dysponujemy,

zastępujemy ich prognozami

y

pn+j

,

natomiast jako

realizację zmiennych

e

n-j

przyjmujemy błędy

reszt modelu, przy czym nieznane realizacje tej
zmiennej zastępujemy zerami (czyli wartością
oczekiwaną zakłócenia losowego).

•

Cieślak

M.

(red.),

Prognozowanie

gospodarcze, Warszawa 2005

•

Zelias A., Pawełek B., Wanat S.,
Prognozowanie ekonomiczne, Warszawa
2008

•

Milo

W.

(red.),

Prognozowanie

i

symulacja, Łódź 2002

•

Sobczyk M. (red.), Prognozowanie teoria
przykłady zadania, Warszawa 2008

•

Kośko M., Osińska M., Stempińska J.,
Ekonometria współczesna, Toruń 2007

Dziękujemy

za uwagę 