Proste modele mechaniki
kwantowej
• Cząstka swobodna
• Cząstka w pudle
• Ruch harmoniczny
• Ruch rotacyjny
• Tunelowanie
Proste modele mechaniki
kwantowej
• Cząstka swobodna
• Cząstka w pudle
• Ruch harmoniczny
• Ruch rotacyjny
• Tunelowanie
E
Hˆ
V
m
V
T
H
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
Interpretacja
Born: amplituda prawdopodobieństwa
2
- gęstość
prawdopodobieństwa
Równanie
Schrödingera
Cząstka swobodna
V = 0
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
m
V
T
H
E
dx
d
m
2
2
2
2
ikx
ikx
Be
Ae
Jeśli B= 0:
2
2
A
Rozwiązanie ogólne:
m
k
E
2
2
2
Jeśli A= B:
kx
A
2
2
2
cos
4
Energia
translacyjna cząstki
swobodnej nie
jest kwantowana
Cząstka swobodna
i
ˆ
j
j
q
p
k
p
e
x
ikx
k
p
e
x
ikx
Gęstość
prawdopodobieństwa
Pęd
Cząstka w pudle
potencjału
V = 0 pomiędzy x= 0 i
x = L
i rośnie do
nieskończoności na
ścianach
kx
D
kx
C
Be
Ae
x
ikx
ikx
k
cos
sin
)
(
Rozwiązanie ogólne:
m
k
E
k
2
2
2
Rozwiązania
dopuszczalne:
musi znikać dla x=0
i x=L
0
0
)
0
(
D
kx
C
x
k
sin
)
(
n
kL
L
0
)
(
Cząstka w pudle
potencjału
...
2
,
1
sin
)
(
n
L
x
n
C
x
n
...
2
,
1
8
2
)
/
(
2
2
2
2
2
n
mL
h
n
m
L
n
E
n
1
*
dV
Normalizacja:
1
2
1
sin
2
0
2
2
0
2
L
C
dx
L
x
n
C
dx
L
L
2
C
2
/
1
L
L
x
L
x
n
L
x
n
0
sin
2
)
(
2
/
1
Cząstka w pudle
potencjału
...
2
,
1
/
2
2
n
L
n
n
L
L
nh
λ
h
p
2
2
2
2
2
n
8
2
mL
h
n
m
p
E
Energia nie może byc
równa zero
n=1: energia punktu
zerowego
Cząstka w pudle
potencjału
L
n
k
e
e
L
i
L
x
n
L
x
ikx
ikx
/
n
/
2
2
1
sin
2
)
(
2
1
2
/
1
Pomiar pędu da dla połowy
pomiarów wartość +k i -k dla
drugiej połowy
Gęstość
prawdopodobieńs
twa
Cząstka w pudle potencjału - 2
wymiary
E
y
x
m
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
,
(
y
Y
x
X
y
x
2
2
2
2
2
2
Y
1
X
1
mE
dy
Y
d
dx
X
d
2
2
2
2
X
1
X
mE
dx
X
d
2
2
2
2
Y
1
Y
mE
dy
Y
d
1
1
1
2
/
1
1
0
sin
2
)
(
1
L
x
L
x
n
L
x
X
n
2
2
2
2
/
1
2
0
sin
2
)
(
2
L
y
L
y
n
L
y
Y
n
...
2
,
1
8
2
,
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
n
m
h
L
n
L
n
E
n
n
Cząstka w pudle potencjału - 2
wymiary
sin
sin
2
)
,
(
2
2
1
1
2
/
1
2
1
2
1
L
y
n
L
x
n
L
L
y
x
n
n
2
1
0
0
L
y
L
x
Jeśli L
1
=L
2
:
istnieją
stany
zdegenerowane
np. E
12
= E
21
n
1
=1,
n
2
=1
n
1
=1,
n
2
=2
n
1
=2,
n
2
=2
n
1
=2,
n
2
=1
Cząstka w pudle potencjału - 3
wymiary
...
2
,
1
8
3
,
2
,
1
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
n
m
h
L
n
L
n
L
n
E
n
n
n
3
3
2
2
1
1
2
/
1
3
2
1
sin
sin
sin
2
)
,
,
(
3
2
1
L
z
n
L
y
n
L
x
n
L
L
L
z
y
x
n
n
n
3
2
1
0
0
0
L
z
L
y
L
x
Ruch
harmoniczny
F = -kx V = kx
2
/2
E
kx
dx
d
m
2
2
2
2
2
1
2
)
(
)
(
2
/
v
v
v
2
y
e
y
H
N
x
4
/
1
2
mk
x
y
v
H
v
0
1
1
2y
2
4y
2
-2
3
8y
3
-12y
Wielomiany Hermite’a H
v
(y)
H
v
”
-2y H
v
’
+2v H
v
= 0; H
v+1
=2yH
v
-
2vH
v-1
)
(
2
2
2
2
/
0
2
/
0
0
x
y
e
N
e
N
x
2
2
)
(
2
2
2
2
/
1
2
/
1
1
x
y
xe
N
ye
N
x
1
*
dV
Normalizacja:
v'
v
v!
2
v
2
/
1
v
v'
2
dy
e
H
H
y
1
v!
2
N
N
N
v
2
/
1
2
v
v
v'
2
v
v
v'
2
v
2
2
dy
e
H
H
dx
e
H
H
y
y
1/2
v
2
/
1
v
)
v!
2
(
1
N
)
(
)
v!
2
(
)
(
)
(
2
/
v
1/2
-
v
1/2
2
/
v
v
v
2
2
y
y
e
y
H
e
y
H
N
x
Oscylator harmoniczny
Oscylator
harmoniczny
)
(
)
v!
2
(
)
(
2
/
v
1/2
-
v
1/2
v
2
y
e
y
H
x
2...
1,
0,
v
)
2
1
(v
2
/
1
v
m
k
E
v
1
v
E
E
2
/
0
E
Energia poziomu
zerowego
Oscylator
harmoniczny
Wartości średnie
ΨdV
A
Ψ
a
ˆ
*
0
x
2
/
1
2
)
(
)
2
/
1
v
(
mk
x
v
2
/
1
E
2
1
)
2
/
1
v
(
2
1
)
2
/
1
v
(
2
1
m
k
V
V
b
k
b
E
2
ax
V
Twierdzenie
wirialne:
Ruch rotacyjny
.
V = 0
Klasycznie
:
J
z
= ±pr,
E=J
z
2
/(2I)
hr
pr
J
z
Dozwolone są
tylko niektóre
długości fali:
l
m
r
2
2...
1,
0,
2
z
l
l
l
m
m
h
m
hr
J
A
więc:
I
m
I
J
E
l
2
2
2
2
2
z
2
/
1
m
)
2
(
)
(
l
l
im
e
Ruch rotacyjny
E
y
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
IE
d
d
I
2
/
1
2
/
1
m
)
2
(
)
2
(
)
(
IE
m
e
l
im
l
l
)
(
)
2
(
m
m
l
l
l
l
l
l
l
l
im
im
im
im
e
e
e
e
2
m
2
/
1
2
2
/
1
)
2
(
m
)
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
l
l
l
m
2
m
m
)
1
)(
(
)
2
(
2m
l
musi być dodatnią lub ujemną
parzystą liczbą całkowitą, a więc
m
l
=
0, ±1, ±2,...
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
r
r
r
r
x
y
x
Współrzędne cylindryczne:
Ruch
rotacyjny
Energia jest skwantowana:
I
m
I
J
E
l
2
2
2
2
2
z
Energia jest
niezależna od
kierunku rotacji:
stany o danym |m
l
| są
podwójnie
zdegenerowane (z
wyjątkiem m
l
= 0).
Gęstość
prawdopodobieństwa:
2
1
)
2
(
)
2
(
*
2
/
1
2
/
1
m
m
l
l
l
l
im
im
e
e
Położenie cząstki jest
całkowicie nieokreślone, bo
znamy dokładnie pęd
Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach
E
m
z
y
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
,
(
2
2
2
2
2
1
2
r
r
r
r
sin
sin
1
sin
1
2
2
2
2
ψ
mE
-
ψ
Λ
r
2
2
2
2
1
2
2
2
-
IE
ε
Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach
)
(
)
(
)
,
(
d
d
d
d
d
d
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
sin
sin
sin
1
d
d
d
d
d
d
2
2
2
1
l
m
d
d
2
2
sin
sin
sin
l
m
d
d
d
d
Rozwiązanie:
sferyczne funkcje
harmoniczne:
..., -l
l, l-
..., m
,
,
l
Y
l
m
l
l
,
1
2
1
0
)
,
(
,
Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach
)
,
(
,
l
m
l
Y
I
l
l
E
2
)
1
(
2
I
J
E
2
:
Klasycznie
2
A więc
moment
pędu =
2
/
1
)]
1
(
[
l
l
Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach
z-owa składowa momentu
pędu
, .....,-l
l, l-
m
m
l
l
1
Kwantowanie przestrzenne
Spin
Moment pędu o
liczbie
kwantowej l ma
2l+1 orientacji
Stern i Gerlach 1921
l=1/2?
Spin - wewnętrzny moment
pędu
)
(
2
1
-
lub
)
(
2
1
2
/
1
s
m
s
Spin połówkowy
-
fermiony
Spin całkowity -
bozony
Tunelowani
e
Prawdopodobieństwo
transmisji:
1
2
)
1
(
16
)
(
1
L
L
e
e
T
2
/
1
)
(
2
/
E
V
m
V
E