Wykład Chemia kwantowa 3 i 4

background image

Proste modele mechaniki

kwantowej

• Cząstka swobodna
• Cząstka w pudle
• Ruch harmoniczny
• Ruch rotacyjny
• Tunelowanie

background image

E

Hˆ

V

m

V

T

H

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

Interpretacja
Born: amplituda prawdopodobieństwa

2

- gęstość
prawdopodobieństwa

Równanie

Schrödingera

background image

Cząstka swobodna

V = 0

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

m

V

T

H

E

dx

d

m

2

2

2

2

ikx

ikx

Be

Ae

Jeśli B= 0:

2

2

A

Rozwiązanie ogólne:

m

k

E

2

2

2

Jeśli A= B:

kx

A

2

2

2

cos

4

Energia
translacyjna cząstki
swobodnej nie
jest kwantowana

background image

Cząstka swobodna

i

ˆ

j

j

q

p

k

p

e

x

ikx

k

p

e

x

ikx

Gęstość
prawdopodobieństwa

Pęd

background image

Cząstka w pudle

potencjału

V = 0 pomiędzy x= 0 i
x = L

i rośnie do
nieskończoności na
ścianach

kx

D

kx

C

Be

Ae

x

ikx

ikx

k

cos

sin

)

(

Rozwiązanie ogólne:

m

k

E

k

2

2

2

Rozwiązania
dopuszczalne:

musi znikać dla x=0

i x=L

0

0

)

0

(

D

kx

C

x

k

sin

)

(

n

kL

L

0

)

(

background image

Cząstka w pudle
potencjału

...

2

,

1

sin

)

(

n

L

x

n

C

x

n

...

2

,

1

8

2

)

/

(

2

2

2

2

2

n

mL

h

n

m

L

n

E

n

1

*



dV

Normalizacja:

1

2

1

sin

2

0

2

2

0

2

L

C

dx

L

x

n

C

dx

L

L

2

C

2

/

1

L

L

x

L

x

n

L

x

n

0

sin

2

)

(

2

/

1

background image

Cząstka w pudle

potencjału

...

2

,

1

/

2

2

n

L

n

n

L

L

nh

λ

h

p

2

2

2

2

2

n

8

2

mL

h

n

m

p

E

Energia nie może byc
równa zero

n=1: energia punktu
zerowego

background image

Cząstka w pudle

potencjału

L

n

k

e

e

L

i

L

x

n

L

x

ikx

ikx

/

n

/

2

2

1

sin

2

)

(

2

1

2

/

1

Pomiar pędu da dla połowy
pomiarów wartość +k i -k dla

drugiej połowy

Gęstość
prawdopodobieńs
twa

background image

Cząstka w pudle potencjału - 2
wymiary

E

y

x

m





2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

)

,

(

y

Y

x

X

y

x

2

2

2

2

2

2

Y

1

X

1

mE

dy

Y

d

dx

X

d

2

2

2

2

X

1

X

mE

dx

X

d

2

2

2

2

Y

1

Y

mE

dy

Y

d

1

1

1

2

/

1

1

0

sin

2

)

(

1

L

x

L

x

n

L

x

X

n









2

2

2

2

/

1

2

0

sin

2

)

(

2

L

y

L

y

n

L

y

Y

n









background image

...

2

,

1

8

2

,

1

2

2

2

2

2

2
1

2

1

2

1





n

m

h

L

n

L

n

E

n

n

Cząstka w pudle potencjału - 2

wymiary

sin

sin

2

)

,

(

2

2

1

1

2

/

1

2

1

2

1













L

y

n

L

x

n

L

L

y

x

n

n

2

1

0

0

L

y

L

x

Jeśli L

1

=L

2

:

istnieją

stany

zdegenerowane

np. E

12

= E

21

n

1

=1,

n

2

=1

n

1

=1,

n

2

=2

n

1

=2,

n

2

=2

n

1

=2,

n

2

=1

background image

Cząstka w pudle potencjału - 3

wymiary

...

2

,

1

8

3

,

2

,

1

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2
1

2

1

3

2

1





n

m

h

L

n

L

n

L

n

E

n

n

n

















3

3

2

2

1

1

2

/

1

3

2

1

sin

sin

sin

2

)

,

,

(

3

2

1

L

z

n

L

y

n

L

x

n

L

L

L

z

y

x

n

n

n

3

2

1

0

0

0

L

z

L

y

L

x

background image

Ruch

harmoniczny

F = -kx V = kx

2

/2

E

kx

dx

d

m

2

2

2

2

2

1

2

)

(

)

(

2

/

v

v

v

2

y

e

y

H

N

x

4

/

1

2





mk

x

y

v

H

v

0

1

1

2y

2

4y

2

-2

3

8y

3

-12y

Wielomiany Hermite’a H

v

(y)

H

v

-2y H

v

+2v H

v

= 0; H

v+1

=2yH

v

-

2vH

v-1

)

(

2

2

2

2

/

0

2

/

0

0

x

y

e

N

e

N

x

2

2

)

(

2

2

2

2

/

1

2

/

1

1

x

y

xe

N

ye

N

x

background image

1

*



dV

Normalizacja:

v'

v

v!

2

v

2

/

1

v

v'

2

dy

e

H

H

y

1

v!

2

N

N

N

v

2

/

1

2

v

v

v'

2

v

v

v'

2

v

2

2



dy

e

H

H

dx

e

H

H

y

y

1/2

v

2

/

1

v

)

v!

2

(

1

N



)

(

)

v!

2

(

)

(

)

(

2

/

v

1/2

-

v

1/2

2

/

v

v

v

2

2

y

y

e

y

H

e

y

H

N

x



Oscylator harmoniczny

background image

Oscylator
harmoniczny

)

(

)

v!

2

(

)

(

2

/

v

1/2

-

v

1/2

v

2

y

e

y

H

x



2...

1,

0,

v

)

2

1

(v

2

/

1

v

m

k

E

v

1

v

E

E

2

/

0

E

Energia poziomu
zerowego

background image

Oscylator
harmoniczny

Wartości średnie

ΨdV

A

Ψ

a



ˆ

*

0

x

2

/

1

2

)

(

)

2

/

1

v

(

mk

x

v

2

/

1

E

2

1

)

2

/

1

v

(

2

1

)

2

/

1

v

(

2

1

m

k

V

V

b

k

b

E

2

ax

V

Twierdzenie
wirialne:

background image

Ruch rotacyjny

.

V = 0
Klasycznie
:

J

z

= ±pr,

E=J

z

2

/(2I)

hr

pr

J

z

Dozwolone są
tylko niektóre
długości fali:

l

m

r

2

2...

1,

0,

2

z

l

l

l

m

m

h

m

hr

J

A
więc:

I

m

I

J

E

l

2

2

2

2

2

z

2

/

1

m

)

2

(

)

(

l

l

im

e

background image

Ruch rotacyjny

E

y

x

m





2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

IE

d

d

I

2

/

1

2

/

1

m

)

2

(

)

2

(

)

(

IE

m

e

l

im

l

l

)

(

)

2

(

m

m

l

l

l

l

l

l

l

l

im

im

im

im

e

e

e

e

2

m

2

/

1

2

2

/

1

)

2

(

m

)

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

l

l

l

m

2

m

m

)

1

)(

(

)

2

(

2m

l

musi być dodatnią lub ujemną

parzystą liczbą całkowitą, a więc

m

l

=

0, ±1, ±2,...

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

r

r

r

r

x

y

x

Współrzędne cylindryczne:

background image

Ruch

rotacyjny

Energia jest skwantowana:

I

m

I

J

E

l

2

2

2

2

2

z

Energia jest
niezależna od
kierunku rotacji:
stany o danym |m

l

| są

podwójnie
zdegenerowane (z
wyjątkiem m

l

= 0).

Gęstość
prawdopodobieństwa:

2

1

)

2

(

)

2

(

*

2

/

1

2

/

1

m

m

l

l

l

l

im

im

e

e

Położenie cząstki jest
całkowicie nieokreślone, bo
znamy dokładnie pęd

background image

Ruch rotacyjny w trzech

wymiarach

E

m

z

y

x

m





2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

)

,

(

2

2

2

2

2

1

2

r

r

r

r

sin

sin

1

sin

1

2

2

2

2

ψ

mE

-

ψ

Λ

r

2

2

2

2

1

2

2

2

-

IE

ε



background image

Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach

)

(

)

(

)

,

(



d

d

d

d

d

d

sin

sin

sin

2

2

2

2

2

2

sin

sin

sin

1

d

d

d

d

d

d

2

2

2

1

l

m

d

d

2

2

sin

sin

sin

l

m

d

d

d

d

Rozwiązanie:

sferyczne funkcje
harmoniczne:

..., -l

l, l-

..., m

,

,

l

Y

l

m

l

l

,

1

2

1

0

)

,

(

,

background image

Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach

)

,

(

,

l

m

l

Y

I

l

l

E

2

)

1

(

2

I

J

E

2

:

Klasycznie

2

A więc

moment
pędu =

2

/

1

)]

1

(

[ 

l

l

background image

Ruch rotacyjny w trzech
wymiarach

z-owa składowa momentu
pędu

, .....,-l

l, l-

m

m

l

l

1

 

Kwantowanie przestrzenne

background image

Spin

Moment pędu o
liczbie
kwantowej l ma
2l+1 orientacji

Stern i Gerlach 1921

l=1/2?

Spin - wewnętrzny moment
pędu

)

(

2

1

-

lub

)

(

2

1

2

/

1

s

m

s

Spin połówkowy
-

fermiony

Spin całkowity -

bozony

background image

Tunelowani

e

Prawdopodobieństwo
transmisji:

1

2

)

1

(

16

)

(

1

L

L

e

e

T

2

/

1

)

(

2

/

E

V

m

V

E


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład Chemia kwantowa 11
Wykład Chemia kwantowa 2
Wykład Chemia kwantowa 6 6
Wykład Chemia kwantowa (3)
Wykład Chemia kwantowa (2)
Wykład Chemia kwantowa 7
Wykład Chemia kwantowa 11
Wykład 9 CHEMIA ORGANICZNA
Zakres materiału obowiązujący na II kolokwium wykładowe, Chemia ogólna i nieorganiczna, giełdy
WYKŁAD 1 chemia, Chemia
wykłady chemia sem 1
Rzeczy których nie ma u piegusa wykład chemia( 02 2014
WYKŁAD chemia gips

więcej podobnych podstron