Pole elektryczne
Wykład 1
powtórzenie
1
Pole elektryczne
Wykład 1
powtórzenie
1
Zasady zaliczania w semestrze II
Zasady zaliczania w semestrze II
• Przedmiot w tym semestrze jest zaliczany w formie
egzaminu
• Aby zostać dopuszczonym do egzaminu trzeba
wcześniej
zaliczyć
i
uzyskać
wpis
ćwiczeń
rachunkowych i laboratoriów.
• Egzamin – pisemno / ustny – odpowiedź na 3
pytania z zestawu 4-ech, następnie ustnie
odpowiedzi uzupełniające.
• Osoba raz przyłapana na ściąganiu wszystkie
następne zaliczenie będzie odpowiadała ustnie
Terminy poprawek
>>> 28 luty godz. 15.15 sala 2 bud. 5
>>> 18 marzec godz. 15.15 po tym terminie
ważność traci wcze-śniej zaliczona teoria - sala 2
bud. 5
Kolejne terminy poprawek to
11 kwiecień - sala 2 bud. 5 godz. 15.15
16 maj- sala 2 bud. 5
13 czerwiec - sala 2 bud. 5
Przypominam, że każdy ma trzy podejścia do
zaliczenia – nie skorzystanie z możliwości podejścia w
danym terminie = utrata terminu.
4
Elektrostatyka
. Elektryczne własności materiałów. Ładunek.
Indukcja elektrostatyczna. Prawo Coulomba. Pole elektryczne. Natężenie i
potencjał pola elektrycznego. Dipol w polu elektrycznym.
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego. Strumień natężenie pola
elektrycznego. Prawo Gaussa. Zastosowanie prawa Gaussa. Pole
jednorodnie naładowanej warstwy kulistej. Pole układu ładunków
dyskretnych i ciągłych. Pole ładunków w ruchu. Pojemność elektryczna.
Kondensatory. Pole elektryczne w dielektrykach. Dielektryki i prawo
Gaussa. Pole elektryczne na granicy dwóch środowisk.
Stały prąd elektryczny
. Ruch ładunków. Prąd elektryczny.
Natężenie i gęstość prądu. Równanie ciągłości prądu. Siła
elektromotoryczna. Prawo Ohma i prawo Joule’a-Lenza. I i II prawo
Kirchhoffa. Łączenie oporów, kondensatorów i źródeł. Klasyczna teoria
przewodnictwa metali. Prądy w cieczach i gazach. Prawa elektrolizy
Faraday’a.
Magnetostatyka.
Siły magnetyczne działające na ładunek i na
przewodnik z prądem. Wektor indukcji magnetycznej. Pole magnetyczne
prądu stałego. Prawo Ampera. Prawo Gaussa dla magnetyzmu.
Ruch cząstek naładowanych w polach elektrycznym i magnetycznym. Efekt
Halla. Potencjał wektorowy pola magnetycznego. Prawo Biota-Sawarta.
Siła magnetyczna między przewodnikami z prądem.
5
Zmienne pole elektromagnetyczne
- Elektromagnetyzm.
Indukcja elektromagnetyczna. Prawo indukcji Faraday’a. Wirowe pole
elektryczne. Reguła Lenza. Zjawisko samoindukcji (indukcyjność) i indukcji
wzajemnej. Energia i gęstość energii pola elektromagnetycznego.
Równania Maxwella. Równanie Ampera-Maxwella. Prąd przesunięcia. Fale
elektromagnetyczne.
Optyka geometryczna i falowa. Dualizm
korpuskularno – falowy
. Ogólne własności światła. Prawa optyki
geometrycznej. Zasada Fermata. Elementy optyczne. Pryzmat, soczewki.
Przyrządy optyczne. Dyfrakcja i interferencja światła. Siatka dyfrakcyjna.
Promieniowanie cieplne. Wzory Rayleygha-Jeansa i Wiena. Katastrofa
nadfioletowa. Prawo Plancka Efekt fotoelektryczny i efekt Comptona.
Hipoteza de’Broglie. Doświadczenie Davissona i Germera. Funkcja falowa,
zasada nieoznaczoności.
Podstawy budowy atomu.
Podstawy mechaniki kwantowej.
Budowa atomu. Model Schrdingera. Funkcje falowe. Równanie
Schrdingera. Jama i bariera potencjału. Równanie Schrdingera dla
atomu wodoru. Liczby kwantowe. Zakaz Pauliego. Układ okresowy
pierwiastków.
Laser
. Podstawy fizyczne generacji światła laserowego. Budowa lasera.
Szczególne właściwości światła laserowego. Zastosowanie laserów w
technice i nauce
6
Podstawy fizyki ciała stałego
. Struktura ciała stałego.
Rodzaje wiązań. Sieci krystalograficzne, defekty. Podstawy pasmowej
teorii ciał stałych. Półprzewodniki samoistne i domieszkowane. Statystyka
elektronów i dziur w półprzewodniku. Złącze p-n. Przyrządy
półprzewodnikowe, modele pasmowe, podstawy fizyczne pracy diody,
tranzystora bipolarnego, tranzystora polowego (unipolarnego)
Podstawy fizyki jądrowej
. Jądro atomowe. Siły jądrowe. Modele
budowy jądra atomowego. Radioaktywność naturalna i sztuczna. Prawo
rozpadu. Reakcje jądrowe. Energetyka jądrowa. Oddziaływanie
promieniowania z materią
LITERATURA
podstawowa:
Cz. Bobrowski „Fizyka - krótki kurs”
Jay OREAR „Fizyka cz. 1. 2”
D. Holliday R. Resnick „Fizyka t.1,2”
S. Bartnicki i inni „Fizyka ogólna . Ćwiczenia
laboratoryjne cz. I, II”
uzupełniająca:
A. Rogalski „Podstawy fizyki dla elektroników cz. I, II
Z. Raszewski, J. Zieliński, T. Kostrzyński „Wybrane
zagadnienia z fizyki”
Przypominam kilka już wprowadzonych pojęć:
Ładunku elektrycznego nie można zobaczyć –
można o jego istnieniu wnioskować jedynie
poprzez występowanie zjawisk elektrycznych
.
7
11.1. Ładunek elektryczny
Podstawową
własnością
ładunku
elektrycznego jest to, że mamy do czynienia z
dwoma
jego
rodzajami.
Ładunek
doznaje
odpychania od dowolnego innego z tej samej
grupy, natomiast jest przyciągany przez dowolny
ładunek z innej grupy.
Powiemy, że jeśli dwa małe elektrycznie
naładowane ciała A i B umieszczone w pewnej
odległości od siebie odpychają się oraz jeśli A przyciąga
trzecie naelektryzowane ciało C, to z pewnością można
stwierdzić, że ciała B i C również się przyciągają.
Fizycy współcześni traktują istnienie dwu rodzajów
ładunków jako przejaw istnienia przeciwstawnych stanów tej
samej wielkości fizycznej.
Które z ładunków są ujemne, a które
dodatnie?
Jest rzeczą czysto umowną, które z
ładunków nazwiemy dodatnimi, a które ujemnymi.
Zgodnie z umową elektrony mają ujemny ładunek.
8
Ładunki
elektryczne
podlegają
dwóm
fundamentalnym prawom:
> Ładunek podlega prawu zachowania.
> Ładunek może przybierać jedynie
wartości będące (co do modułu) wielokrotnością
ładunku elektronu.
9
11.4 Prawo Coulomba
W roku 1785 Coulomb na podstawie doświadczeń
z
wagą
skręceń
wypowiada
prawo
dotyczące
oddziaływania
dwu
nieruchomych,
punktowych
ładunków elektrycznych. Zgodnie z tym prawem:
Dwa
nieruchome
punktowe
ładunki
elektryczne odpychają się lub przyciągają z siłą
proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a
odwrotnie proporcjonalną do ich odległości.
Wyrazimy to przy pomocy równania:
12
12
2
12
2
1
12
r
r
r
q
q
k
F
gdzie q
1
i q
2
są wielkościami skalarnymi określającymi
wielkość i znak ładunków. Wielkość jest siłą
działającą na ładunek, zaś wektor
jest skierowany od ładunku q
2
do q
1
12
F
12
r
10
Znając
r
i
o
możemy określić przenikalność
elektryczną każdego ośrodka materialnego:
(7.3)
Fakt, że oddziaływanie ładunków zależy od
ośrodka, tłumaczy się zjawiskiem polaryzacji
elektrycznej ośrodka.
Mianowicie, ładunek q
1
wprowadzony do ośrodka
zostaje otoczony płaszczem ładunków przeciwnego
znaku, które neutralizują częściowo ładunek q
1
. To
samo zachodzi dla drugiego ładunku q
2
, w rezultacie
czego siła ich oddziaływania ulega zmniejszeniu. W
związku z tym
względne przenikalności
elektryczne ośrodków są zawsze większe od
jedności
r
o
11
11.5 Natężenie pola elektrycznego
Przestrzeń otaczająca ładunki elektryczne
posiada taką właściwość, że na umieszczone w
dowolnym jej punkcie inne ładunki działa siła.
Mówimy, że wokół ładunków elektrycznych istnieje pole
elektryczne.
Istnienie pola elektrycznego można wykryć
wprowadzając do przestrzeni w której ono działa
ładunek próbny q
0
. W polu elektrycznym na ładunek
próbny działa siła .
Umożliwia to wprowadzenie
pojęcia: natężenia pola elektrycznego.
Natężenie pola elektrycznego definiuje się jako
stosunek siły , działającej na dodatni ładunek próbny
q
0
, do wartości tego ładunku.
F
E
F
0
q
F
E
Natężenie pola elektrycznego jest
wektorem.
W
każdym
punkcie
przestrzeni wektor może mieć inną
wartość i inny kierunek.
(7.4)
12
Jednostką natężenia pola w układzie SI,
wynikającą ze wzoru (7.4) jest [N/C], jednakże w
praktyce przyjęło się używać jednostki równoważnej
[V/m].
J = W·s = V ·A· s
m
V
s
A
m
s
A
V
s
A
m
/
J
C
N
(7.5)
13
Jeżeli pole elektryczne jest wytwarzane przez pewną
liczbę ładunków punktowych
to
wówczas siła działająca na ładunek próbny q
o
wynosi:
(7.6)
Widać, że siła jest proporcjonalna do q
o
.
Zatem natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez układ
ładunków
o postaci:
(7.7)
jest wektorową sumą natężeń pól pochodzących od
każdego z ładunków układu
(7.8)
N
j
2
1
q
,
...
q
,
,...
q
,
q
o
F
oj
oj
2
oj
j
N
1
j
o
oj
oj
2
oj
j
o
N
1
j
o
r
r
r
q
4
q
r
r
r
q
q
4
1
F
o
F
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
q
,
,...
q
,
,...
q
,
q
oj
oj
2
oj
j
N
1
j
o
o
r
r
r
q
4
1
q
F
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
E
,...
E
...
E
E
z
,
y
,
x
E
14
N
j
2
1
E
,...
E
...
E
E
z
,
y
,
x
E
Widzimy, że natężenie pola elektrycznego E(x,y,z)
w danym punkcie ośrodka zależy jedynie od
rozkładu przestrzennego ładunków i właściwości
elektrycznych ośrodka ().
N
j
2
1
q
,
,...
q
,
,...
q
,
q
15
11.6. Linie sił pola elektrycznego
Michael Faraday, nie doceniając przedstawienia
pola elektry-cznego jako wektora, operował zawsze
pojęciem linii sił.
Zresztą ciągle jeszcze
linie sił są wygodną formą
modelowego opisu pola elektrycznego
. Będziemy je
używać do tego celu, ale nie będziemy ich
wykorzystywać do rozważań ilościowych.
Zależność pomiędzy liniami sił a wektorem
natężenia pola elektrycznego jest następująca:
1. Styczna do linii sił w dowolnym punkcie pola
wyznacza kierunek natężenia pola w tym punkcie.
2. Linie sił wykreśla się tak, aby liczba linii na
jednostkę powierzchni przekroju była proporcjonalna do
wielkości . Gdy linie leżą blisko siebie, jest duże,
a gdy są odległe, jest małe.
E
E
E
E
16
Rysunek obok przedstawia linie sił
dla
jednorodnej
płaszczyzny
naładowanej dodatnio.
Założenie,
że
rozpatrujemy
płaszczyznę
nieskończoną,
oznacza, że w przypadku płytki o
wymiarach
skończonych
rozważamy
tylko
te
punkty,
których odległość od płytki jest
mała w porównaniu z odległością
od
najbliższego
jej
brzegu.
Dodatni
ładunek
próbny,
umieszczony przed taką płytką,
oddalałby się od niej wzdłuż linii
prostopadłej
do
płaszczyzny
płytki.
+
+
+
+
+
+
+
+
A więc
wektor natężenia pola elektrycznego w
każdym punkcie blisko płytki musi być do niej
prostopadły.
Linie
sił
są
rozmieszczone
równomiernie, co oznacza, że ma tę samą
wartość dla wszystkich punktów przestrzeni
leżących blisko powierzchni płytki. Pole takie
nazywamy polem jednorodnym
.
E
17
Na rysunku 7.6 pokazano przebieg linii sił różnych pól
elektrycznych. Linie pola zaczynają się zawsze na
ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych.
W niektórych przypadkach linie pola biegną do
nieskończoności; uważamy wtedy, że odpowiednie
ładunki, na których te linie się kończą, znajdują się
nieskończenie daleko.
+
+
_
_
a ) b ) c )
+
+
+ + +
_ _ _
+
_
_
_
_
_
_
d ) e ) f )
18
11.7 Strumień pola elektrycznego
Zatem strumieniem elementarnym
natężenia pola elektrycznego przez element
powierzchni nazywamy iloczyn skalarny
(7.15)
gdzie jest to wektor prostopadły do
elementu powierzchni ds, o długości równej polu
tego elementu. W układzie SI strumień wyrażamy
w [Vm].
E
d
E
s
d
cos
ds
E
s
d
E
d
E
s
d
d s
E
S
Definicja strumienia
pola elektrycznego
19
Aby obliczyć strumień pola elektrycznego
przez dowolną powierzchnię S należy zsumować
wszystkie strumienie elementarne
przenikające
powierzchnię S.
Wobec powyższego, strumień przez daną
powierzchnię S nazywamy całką powierzchniową o
postaci:
(7.16)
E
E
d
S
,
E
S
S
,
E
s
d
E
20
11.8 Prawo Gaussa
Wyprowadzimy prawo Gaussa w najprostszym
przypadku, dla ładunku punktowego q otoczonego kulą
o promieniu r i środku pokrywającym się z położeniem
ładunku. Strumień
E
dla tego układu jest
(11)
Jak widzimy strumień pola nie zależy od wielkości
powierzchni.
Pokażemy teraz, że zawsze całkowity strumień
natężenia pola elektrycznego ładunku punktowego
przez powierzchnię dowolnego kształtu będzie równy
r
o
r
o
q
r
r
q
r
E
S
d
E
E
2
2
2
4
4
1
4
r
o
/
q
21
W przypadku ładunku o gęstości objętościowej (x,y,z)
(14)
Prawo Gaussa brzmi: strumień natężenia
pola
elektrycznego
przez
dowolną
powierzchnię
zamkniętą
równa
się
iloczynowi
całkowitego
ładunku
zamkniętego w tej powierzchni przez
o
r
.
.
V
r
o
S
dV
S
d
E
1
q/
o
r
22
11.11
Napięcie i potencjał
Ze wzoru (7.5)
wynika, że na ładunek q
0
znajdujący się w polu
elektrycznym działa siła
. Siła ta może
wykonać pracę przesuwając ładunek.
Elementarna
praca
wykonywana
przez
siłę
elektryczną przy przesunięciu ładunku na elemencie
drogi wynosi
(7.24)
Praca sił pola elektrycznego na drodze między
punktami A i B wyrazi się zatem wzorem
(7.25)
E
q
F
0
l
d
l
d
E
q
l
d
F
dW
0
l
d
E
q
l
d
F
W
B
A
0
B
A
AB
r
r
r
q
4
1
r
r
q
r
q
q
4
1
q
F
E
2
o
2
o
o
23
Można wykazać, że pole elektrostatyczne,
tzn. takie które nie zmienia się w czasie, jest
polem potencjalnym, czyli że siły elektryczne są
siłami zachowawczymi. Oznacza to, że wartość pracy
W
AB
nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B.
Z własności sił potencjalnych wiadomo też, że praca
takich sił na drodze zamkniętej jest równa zeru
.
Powyższe sprawdzimy dla najprostszego przypadku
przesuwania ładunku próbnego q
0
w polu ładunku
punktowego Q po drodze ABCDA, zaznaczonej na
rysunku 7.10.
Q
A
B
C
D
Rys.7.10. Całkowita praca na drodze
zamkniętej ABCDA potrzebna na
przesunięcie ładunku q
0
w polu
elektrycznym ładunku Q jest równa
zeru – co oznacza, że pole elektryczne
jest polem potencjalnym
.
24
Q
A
B
C
D
Odcinki AB i CD tej drogi leżą
na liniach sił pola, odcinki BC i DA –
na łukach kół, które w każdym swym
punkcie są prostopadłe do linii sił.
Praca sił pola na odcinku AB jest
równa
co
do
wartości,
lecz
przeciwna co do znaku względem
pracy wykonanej na odcinku CD.
Prace na odcinkach BC i AD są równe zeru ze
względu na prostopadłość kierunków siły i przesunięcie.
A zatem całkowita praca na drodze zamkniętej ABCDA
jest równa zeru.
Zdefiniujemy obecnie napięcie elektryczne U
AB
między punktami A i B, mianowicie
(7.26)
Napięciem elektrycznym między punktami A i
B nazywamy stosunek pracy W
AB
wykonanej przy
przesunięciu ładunku q
0
z punktu A do B do
wielkości tego ładunku.
0
AB
AB
q
W
U
25
Napięciem elektrycznym między punktami A i B
nazywamy stosunek pracy W
AB
wykonanej przy
przesunięciu ładunku q
0
z punktu A do B do wielkości
tego ładunku
.
Należy podkreślić, że niezależność pracy od
kształtu drogi umożliwia jednoznaczne określenie
napięcia między danymi punktami A i B.
Przejdziemy teraz do określenia potencjału:
Potencjałem danego punktu A nazywamy napięcie
między punktem A i punktem nieskończenie odległym.
Zatem
potencjał V
A
jest związany z pracą
przesunięcia ładunku q
0
od punktu A do
nieskończoności
0
A
A
q
W
V
26
Aby uzyskać zależność między napięciem a
potencjałem rozważmy pracę wykonaną na drodze od
punktu A do nieskończoności, a następnie od
nieskończoności do B (rys.7.11). Praca ta wynosi
B
A
0
B
0
A
0
B
0
A
0
B
A
B
A
V
V
q
V
q
V
q
U
q
U
q
W
W
W
A
B
q
0
F
Rys.7.11.
Praca
przesunięcia
ładunku q
0
od punktu A do punktu
, a następnie do punktu B jest
równa pracy na drodze AB
Z drugiej strony, ponieważ praca nie zależy od wyboru
drogi, musi być ona równa pracy na odcinku AB, czyli:
Z porównania ostatnich dwóch związków wynika, że
AB
0
AB
U
q
W
B
A
AB
V
V
U
27
B
A
AB
V
V
U
Napięcie
między
dwoma
punktami
pola
elektrycznego równa się różnicy potencjału tych
punktów.
Z wzorów definicyjnych napięcia elektrycznego (7.26) i
potencjału (7.27) wynika, że napięcie i potencjał mają
wspólną jednostkę.
Jednostka ta:
nazywa się
woltem [V].
V
s
A
s
V
A
C
J
28
Linie pola elektrycznego i przekroje powierzchni
ekwipotencjalnych dla pola jednorodnego i ładunku punktowego
29
11.12
Pojemność elektryczna i kondensatory
30
11.12
Pojemność elektryczna i kondensatory
Kondensatorem nazywamy dwa blisko siebie
położone przewodniki o różnych potencjałach i
przeciwnych ładunkach.
Interesuje nas związek
między ładunkiem Q na jednej z płytek a różnicą
potencjału między nimi. Okazuje się, że
dla ustalonej
pary przewodników stosunek ładunku do różnicy
potencjałów jest stały. Stałą tę nazywamy
pojemnością kondensatora i oznaczamy przez C.
2
1
V
V
Q
C
Rozpatrzymy
dwie
przewodzące
płytki
o
jednakowych rozmiarach ustawione równoległe w
odległości d od siebie (rys.7.14). Niech powierzchnia
każdej z płytek wynosi S. Niech na jednej płytce
znajduje się ładunek Q, a na drugiej –Q. Potencjały obu
płytek wynoszą odpowiednio V
1
i V
2
.
31
Po podstawieniu (7.38) do (7.33) otrzymujemy wzór na
pojemność kondensatora płaskiego
(7.39)
W jednostkach układu SI ładunek Q we wzorze (7.33)
wyraża się w kulombach [C], potencjał zaś w woltach
[V]. W układzie tym jednostką pojemności jest farad
[F]. Farad jest jednostką bardzo, bardzo dużą.
Kondensator jedno faradowy miałby gigantyczne
rozmiary. Dlatego też zazwyczaj w praktyce stosuje się
jednostki mniejsze: mikrofarady i pikofarady .
d
S
C
r
o
32
11.13
Gęstość energii pola elektrycznego
Załóżmy, że początkowo nie naładowany kondensator
stopniowo ładowano, przy czym różnica potencjałów
wzrastała od 0 do . Ładunek na okładkach
kondensatora będzie wzrastał od 0 do , gdzie
= C. Praca wykonana przy przemieszczaniu
ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do
naładowanej dodatnio wynosi
Całkowita praca, czyli energia zmagazynowana w
kondensatorze
(4.35)
o
V
o
Q
o
Q
o
V
Vdq
dW
C
Q
dq
C
q
dq
V
W
o
V
0
Q
o
o
2
0
2
1
Interesujące jest aby przekształcić wzór (4.35) i
zapisać energię zgromadzoną w kondensatorze nie
w zależności od ładunku, ale w zależności od
natężenia pola elektrycznego.
33
Energia zużyta na przemieszczenie ładunku
gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora, a
gęstość energii pola elektrycznego wynosi
o
r
E
2
/2
(J/m3).
Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej
złożonych rozważań wynika, że całkowita energia
konieczna do uformowania dowolnego rozkładu
ładunków, jest równa dokładnie całce po
o
r
E
2
/2
liczonej po całej przestrzeni V, gdzie E jest polem
utworzonym przez taki rozkład ładunku
(4.37)
Wobec tego wyrażenie (4.36) ma bardziej ogólne
znaczenie i pozwala przyjąć fizyczną interpretację
energii zgromadzonej w jednostce objętości pola
elektrycznego.
dV
E
W
r
o
2
2
2
2
1
E
w
r
o
(4.36
)
34
11.14 Dielektryki
W poprzednich punktach generalnie rozważaliśmy
pola utworzone przez ładunki w przewodnikach
znajdujących się w próżni. Wiadomo, że jeżeli między
okładkami kondensatora umieścimy substancję, to
pojemność kondensatora wzrasta do C’. Wówczas
biorąc stosunek C’ do C możemy określić względną
przenikalność dielektryczną substancji
(4.38)
We wzorze tym C jest pojemnością kondensatora
próżniowego.
C
'
C
r
35
Dielektryki są to ciała, w których ładunki nie mają
możliwości
swobodnego
przemieszczania.
Jeżeli
dielektryk
umieścimy
w
zewnętrznym
polu
elektrycznym, to na jego granicach indukują się ładunki
(rys. 4.12) na skutek ograniczonego przesunięcia
ładunków w skali mikroskopowej.
Zjawisko to nazywa
się polaryzacją dielektryka
.
Efekt polaryzacji jest
Efekt polaryzacji jest
jakościowo podobny do powstania łańcucha dipoli
jakościowo podobny do powstania łańcucha dipoli. Na
jednym końcu łańcucha dipole mają ładunki dodatnie, a
na drugim ujemne, a więc dielektryk jako całość
wykazuje istnienie
ładunków
na
swoich
powierzchniach prostopadłych do
kierunku linii sił pola. Ładunki te
nazywa się ładunkami związa-
nymi. Po usunięciu zewnętrznego
pola elektrycznego ładunek na
powierzchniach dielektryka znika.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
Rys. 4.12. Powstanie ładunku
indukowanego' na powierzchni
dielektryka umieszczonego między
okładkami kondensatora.
36
Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia się wartość
natężenia pola w ośrodku dielektrycznym w stosunku do
tego natężenia pola, jakie istnieje w danym obszarze
”wypełnionym” próżnią. Jest to wynik nałożenia się na
pole zewnętrzne dodatkowego pola wytworzonego przez
ładunki związane.
Przed opisem ilościowym tego zjawiska, omówimy
rodzaje polaryzowalności dielektryka.
W cząsteczkach niektórych dielektryków (np. H
2
,
Cl
2
, CCl
4
, węglowodory) elektrony są rozmieszczone
niejednorodnie dookoła jąder. W cząsteczkach tych
środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych, przy
braku zewnętrznego pola elektrycznego, pokrywają się i
moment dipolowy równa się zeru. Z tego powodu
cząsteczki
takich
dielektryków
nazywamy
niespolaryzowanymi.
Jeśli
niespolaryzowaną
cząstkę
dielektryka
umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym, to
następuje rozsunięcie środków ciężkości ładunku
następuje rozsunięcie środków ciężkości ładunku
dodatniego i ujemnego cząsteczki
dodatniego i ujemnego cząsteczki i wzbudzi się w niej
moment dipolowy
37
Moment elektryczny dipola takiego dielektryka równa
się
(4.39)
gdzie jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.
Kierunek wektora pokrywa się z kierunkiem
wektora natężenia zewnętrznego pola
elektrycznego.
E
p
o
e
e
p
E
38
Liczną grupę stanowią
Liczną grupę stanowią cząsteczki o samoistnym
cząsteczki o samoistnym
momencie dipolowym
momencie dipolowym
, w których środek ciężkości
, w których środek ciężkości
średniego ładunku dodatniego nie pokrywa się z
średniego ładunku dodatniego nie pokrywa się z
środkiem ciężkości średniego ładunku ujemnego
środkiem ciężkości średniego ładunku ujemnego
.
Przykładem mogą być cząsteczka H
2
O (również NH
3
, HCl,
CH
3
Cl) w której atomy wodoru i tlenu rozłożone są
niesymetrycznie.
Takie
cząsteczki
nazywamy
spolaryzowanymi. W wyniku nieuporządkowanego ruchu
cieplnego cząsteczek, wektory ich momentów dipolowych
wykazują chaotyczną orientację i wypadkowy moment
dipolowy w dowolnej objętości dielektryka równa się
zeru.
Jednak
pod
wpływem
zewnętrznego
pola
elektrycznego, cząsteczki dielektryka dążą do zajęcia
takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów
dipolowych był zgodny z kierunkiem wektora .
Pojawia się więc orientacja momentów dipolowych
cząsteczek przeważnie wzdłuż linii sił pola. Orientacja ta
jest tym większa, im silniejsze jest pole elektryczne w
dielektryku oraz im słabszy jest ruch cieplny cząsteczek,
tj. im niższa jest temperatura.
Powyższe zjawisko nosi
nazwę
polaryzacji
skierowanej
dielektryka
o
cząsteczkach spolaryzowanych.
e
p
e
p
E
39
40
Cząsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu
elektrycznym momenty dipolowe indukowane w wyniku
odkształcenia orbit elektronowych. Zachodzi wówczas
tzw.
polaryzacja elektronowa dielektryka.
W dielektrykach jonowych (krystalicznych) typu
NaCl, CsCl; wszystkie jony dodatnie przesuwają się pod
wpływem
pola
elektrycznego
w
kierunku
odpowiadającym kierunkowi natężenia , natomiast
wszystkie jony ujemne w kierunku przeciwnym. Ten
rodzaj polaryzacji nosi
nazwę polaryzacji jonowej
.
E
41
Jako wskaźnik ilościowy polaryzacji dielektryka
służy wektor polaryzacji
.
Wektorem polaryzacji nazywamy granicę stosunku
momentu
elektrycznego
określonej
objętości
dielektryka do tej objętości, gdy ta ostatnia dąży
do zera
(4.40)
gdzie N oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości V
dielektryka, a moment elektryczny i-tego dipola.
W przypadku dielektryka jednorodnego o cząsteczkach
niespolaryzowanych, umieszczonego w jednorodnym
polu elektrycznym,
(4.41)
gdzie oznacza liczbę cząsteczek w jednostce
objętości.
N
1
=
i
ei
V
e
p
V
lim
P
1
0
e
P
ei
p
e
o
e
p
N
P
o
N
42
Wynika stąd, że wektory wszystkich
cząsteczek
wykazują
jednakowy
kierunek,
odpowiadający kierunkowi wektora natężenia
pola w dielektryku. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy
(4.42)
Współczynnik
nazywamy podatnością
dielektryczną substancji.
ei
p
E
E
E
N
P
o
o
o
e
o
e
N
43
11.15 Twierdzenie Gaussa w przypadku obecności
dielektryków. Wektor indukcji elektrycznej
Stwierdziliśmy, że w dielektryku na pole
elektryczne
ładunków
swobodnych
nakłada
się
dodatkowe pole elektryczne. Z tego względu wektor
natężenia pola elektrycznego powinien zależeć od
właściwości elektrycznych dielektryka. Okazuje się, że
wartość liczbowa jest zawsze odwrotnie
proporcjonalna do stałej dielektrycznej ośrodka. Z
tego
względu
w
celu
jednoznacznego
scharakteryzowania pola elektrycznego celowe jest
wprowadzenie takiej wielkości , która by nie
zależała od stałej dielektrycznej danej substancji.
Można z łatwością wykazać, że warunek ten spełnia
wielkość wektorowa zdefiniowana następująco:
(4.43)
E
D
o
Wielkość nazywamy wektorem indukcji
elektrycznej
E
E
D
D
44
Wektor charakteryzuje zatem to pole
elektryczne, które wytwarzają w danej substancji
same tylko ładunki swobodne
. Ładunki związane,
powstające w dielektryku, mogą jednak wywołać
zmianę rozkładu w przestrzeni ładunków swobodnych
wytwarzających pole.
W układzie jednostek SI indukcję elektryczna mierzy się
w C/m
2
.
Strumień indukcji elektrycznej
w dowolnym
środowisku
przez element powierzchni jest określony
przez iloczyn skalarny
:
D
j
j
D
S
d
D
d
gdzie wektor określa pole i orientację j-tego
elementu powierzchni, a jest uśrednionym
wektorem indukcji elektrycznej dla j-tego elementu.
j
S
d
j
D
45
zwią
swob
S
o
q
q
S
d
E
Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole
elektryczne,
natomiast
ładunki
związane
wytwarzają pole wewnętrzne spolaryzowanego
dielektryka.
Rozpatrzymy warstwę jednorodnego dielektryka
zawartą między dwoma nieskończonymi równoległymi
płaszczyznami, naładowanymi do stałych gęstości
powierzchniowych ładunków swobodnych +
, –
(rys.
4.11). W wyniku polaryzacji dielektryka na jego
powierzchniach AA' i BB' powstają ładunki związane,
których gęstości powierzchniowe są równe odpowiednio
i . Na skutek tego pole elektryczne
ładunków związanych jest skierowane przeciwnie
względem pola zewnętrznego , wytworzonego przez
ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego
p
p
p
E
o
E
p
o
E
E
E
46
Dzięki założeniu równoległości wszystkich dipoli,
iloczyn
równy jest modułowi wektora
polaryzacji. W związku z tym
(4.48)
gdzie jest wektorem jednostkowym normalnym do
powierzchni S.
W celu uzyskania ogólnej sumy ładunków związanych,
znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S,
należy wyrażenie (4.48) scałkować po powierzchni S
(4.49)
W związku z tym, twierdzenie Gaussa dla dowolnej
substancji spolaryzowanej, zgodnie ze wzorem (4.47),
zapisujemy w postaci
,
stąd
(4.50)
e
o
p
N
S
d
P
S
n
P
S
cos
P
q
e
e
e
zwią
n
S
d
P
q
S
e
zwią
S
d
P
q
S
d
E
S
e
swob
S
o
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
47
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
Wstawiając tu
z równania (4.45) otrzymujemy
Ponieważ równanie to powinno być spełnione dla
dowolnej zamkniętej powierzchni S, przeto
(4.51)
Uwzględniając (4.42) mamy
(4.52)
swob
q
S
S
e
o
S
d
D
S
d
P
E
e
o
P
E
D
E
E
E
D
e
o
e
o
o
1
E
E
N
P
o
o
o
e
48
Z drugiej strony, w myśl definicji (4.43), wektor
równy jest
Zatem
(4.53)
Stała
dielektryczna
równa
się
podatności
dielektrycznej zwiększonej o 1
. Obydwie te
wielkości są bezwymiarowe. Dla próżni
, a
.
D
E
D
r
o
e
r
1
1
r
0
e
49
12.1 Natężenie prądu elektrycznego
Przez
przepływ
prądu
elektrycznego
rozumiemy
ruch
ła-dunków
elektrycznych.
Czynnikiem wywołującym ten ruch jest istnienie
napięcia, czyli różnicy potencjałów.
W każdym zamkniętym obwodzie prądu można
wyróżnić
źródło
(czyli tzw. część wewnętrzną obwodu)
wytwarzające różnicę potencjałów między dwoma
biegunami, dodatnim i ujemnym, oraz
odbiorniki prądu
(czyli tzw. część zewnętrzną obwodu, utworzoną z
przewodników elektryczności).
Zgodnie z tradycją
, za kierunki prądu w obwodzie
zewnętrznym przyjmuje się kierunek od potencjału
wyższego – dodatniego, do niższego – ujemnego, czyli
za umowny kierunek prądu przyjmuje się kierunek
ruchu ładunków dodatnich.
50
„
Mechanizm przewodzenia”
W czasie przepływu prądu przez przewodniki
metalowe mamy do czynienia z ruchem swobodnych
elektronów, a więc nośników prądu poruszających się
od potencjału niższego do wyższego, czyli w kierunku
przeciwnym do umownie przyjętego.
W
elektrolitach
wchodzących
w
skład
zewnętrznej części obwodu mamy do czynienia z
ruchem jonów dodatnich (tzw. kationów) do elektrody
ujemnej (katody) i jonów ujemnych (tzw. anionów) do
elektrody dodatniej (anody). W tym przypadku mówimy
o prądzie jonowym.
W półprzewodnikach może występować
przewodnictwo elektronowe oraz dziurowe.
W gazach występuje zarówno przewodnictwo
jonowe, jak i elektronowe.
51
Przez natężenie prądu elektrycznego (zwanego też
krótko prądem elektrycznym) rozumiemy stosunek
ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój
przewodnika do czasu przepływu:
(9.1)
gdzie I oznacza natężenie prądu elektrycznego, Q –
ładunek elektryczny,
t – czas przepływu.
W przypadku prądu stałego, tj. prądu płynącego w
jednym kierunku, gdy jego natężenie jest stałe w
czasie
(9.2)
Jednostką natężenia prądu elektrycznego
jest amper [A]. Jest to jedna z podstawowych
jednostek układu SI,
dt
dQ
I
t
Q
I
52
12.2. Prawo Ohma
Prawo Ohma, sformułowane w roku 1827 w
oparciu
o
doświadczenia,
mówi
o
prostej
proporcjonalności prądu I płynącego przez przewodnik
do napięcia U przyłożonego na jego końcach.
(9.3)
a
więc
(9.4)
gdzie R oznacza współczynnik proporcjonalności zwany
oporem elektrycznym przewodnika. Wyrażany on jest w
omach [].
Równanie (9.4) przedstawia matematyczny zapis prawa
Ohma.
Prawo Ohma mówi, że stosunek napięcia U między
dwoma punktami przewodnika do natężenia I
przepływającego przezeń prądu jest wielkością
stałą (R) i nie zależy ani od napięcia U, ani od
natężenia I prądu.
R
V
V
R
U
I
2
1
I
U
R
53
Ze względu na opór właściwy ciała dzieli się umownie
na następujące grupy:
-
metale
, będące bardzo dobrymi przewodnikami
(opór właściwy rzędu 10
-8
),
-
półprzewodniki
( rzędu 10
-6
),
-
elektrolity
( rzędu 10
-1
) oraz
-
izolatory
( rzędu 10
10
).
Odwrotność oporu właściwego przewodnika nosi
nazwę przewodności elektrycznej właściwej (lub
konduktywności):
Jednostką konduktywności jest siemens na metr [S/m].
1
m
m
m
m
54
Prawo Ohma jest ściśle słuszne tylko wtedy,
jeśli dany przewodnik znajduje się w stałej
temperaturze.
Ponieważ przepływający prąd wydziela
w przewodniku ciepło, temperatura jego wzrasta i opór
zmienia się. O fakcie tym należy pamiętać stosując
prawo Ohma.
12.3.a Ciepło Joule'a
Elektron przewodnictwa przy zderzeniu z atomem
traci energię pobraną od pola elektrycznego. Energia ta
przekształca się w chaotyczny ruch atomów, tzn. w
ciepło. Ponieważ energia kinetyczna elektronów nie
wzrasta, stratę energii ładunku dq na skutek zderzeń
przy pokonaniu różnicy potencjałów V, zapiszemy w
postaci
Dzieląc teraz obie strony tego wyrażenia przez dt,
mamy
Vdq
dE
cie
VI
dt
dq
V
dt
dE
cie
55
czyli straty mocy elektrycznej wynoszą
(5.10)
Wyrażenie (5.10) możemy zapisać w postaci
zamieniając V na IR,
lub jako
zamieniając I na V/R.
Wielkość P przedstawia moc elektryczną, która
przekształca się w ciepło.
Energia prądu elektrycznego
w lampach przekształca się w ciepło i światło.
VI
P
R
I
P
2
R
V
P
2
56
Zależność
oporu
od
temperatury
dla
przewodnika wyraża się w przybliżeniu wzorem:
(9.7)
gdzie R
0
– opór w temperaturze odniesienia T
0
(zwykle
273 K), zaś – tzw. temperaturowy współczynnik
oporu. W tabeli 9.2 zebrano wartości liczbowe
temperaturowych
współczynników
oporu
elektrycznego dla kilku szerzej stosowanych
przewodników elektrycznych.
0
0
T
T
1
R
R
Rodzaj
materiału
Współczynnik
temperaturowy
oporu [1/K]
Rodzaj materiału
Współczynnik
temperaturowy
oporu [1/K]
Srebro
Miedź
Glin
Cynk
Żelazo
3,610
-3
3,910
-3
4,010
-3
3,810
-3
4,510
-3
Manganin
Konstantan
Rtęć
Wolfram
Węgiel
0,0110
-3
0,00510
-3
0,910
-3
4,110
-3
0,810
-3
57
12.7 Prąd elektryczny w elektrolitach
12.7.1
Elektrolity
Czyste ciecze (z wyjątkiem roztopionych metali)
są złymi przewodnikami prądu elektrycznego
.
Stają
się one dobrymi przewodnikami po rozpuszczeniu
w nich kwasów, zasad i soli
.
Takie roztwory
nazywamy elektrolitami
.
Czysta woda np. w temperaturze pokojowej ma opór
właściwy
po rozpuszczeniu zaś w niej chlorku potasu (KCl) w
stężeniu odpowiadającym jednej cząsteczce KCl na
pięćset tysięcy cząsteczek wody opór właściwy maleje
do
, a więc 35 000 razy
. Oznacza to, że w
roztworze wodnym siły wiązań chemicznych
cząsteczek rozpuszczalnych w wodzie ulegają
osłabieniu.
m
10
5
,
2
5
m
7
58
W takich warunkach (pod wpływem cząstek H
2
O)
cząsteczka AB, składająca się z dwóch różnych
pierwiastków A i B, pod wpływem ruchów termicznych
cząstek elektrolitu zostaje rozerwana na cząstkę
dodatnio naładowaną A
+
- kation i ujemnie naładowaną
B
-
- anion. Proces taki nazywamy
dysocjacją.
Proces
odwrotny – łączenie się anionów i kationów w cząstki
obojętne – nazywamy
rekombinacją
. Oba te procesy
możemy opisać równaniem
B
A
AB
Elektrolity są to zatem roztwory (przede wszystkim
wodne) kwasów, zasad i soli.
W wyniku przepływu prądu elektrycznego przez
elektrolity na elektrodzie ujemnej – katodzie –
wydzielają się takie substancje jak wodór, metale oraz
grupy takie jak NH
4
.
Na elektrodzie dodatniej – anodzie – wydzielają się:
tlen, reszty kwasowe oraz grupa OH
.
Wydzielanie się
substancji w wyniku przepływu prądu przez elektrolit
nazywamy elektrolizą.
59
12.7.2
Elektroliza
Przy przepływie prądu elektrycznego przez
elektrolit na elektrodach woltametru (czyli naczynia, w
którym odbywa się elektroliza) wydzielają się
substancje chemiczne. Oznacza to, że w procesie
elektrolizy transportowi ładunku towarzyszy transport
masy. Z prawa zachowania ładunku wynika, że: do
wydzielenia masy jednego mola dowolnego pierwiastka
potrzebny jest przepływ ładunku Q
o`
(9.15)
gdzie:
– to liczba Avogadra, w –
wartościowość danego pierwiastka, e – ładunek
elementarny.
e
w
N
Q
A
o
mol
/
1
10
02
,
6
N
23
A
Pamiętamy oczywiście, że w 1 molu substancji czyli w jednej
gramocząsteczce (lub w jednym gramoatomie) jest tyle cząstek (lub
atomów), ile wynosi liczba Avogadra. Ponadto pamiętamy, że
wartościowością pierwiastka nazywamy liczbę atomów wodoru,
którą w związku chemicznym zastępuje jeden atom danego
pierwiastka.
60
12.7.3 Prawa elektrolizy Faradaya
Prawa przewodnictwa elektrolitycznego zostały
ustalone doświadczalnie przez Faradaya w 1836 r. i
podane w postaci dwóch następujących praw:
Pierwsze prawo Faradaya
wyraża związek
między ilością substancji wydzielającej się na
elektrodzie, natężeniem prądu i czasem przepływu
prądu przez elektrolit. Prawo to ma następującą prostą
treść
: masa substancji m wydzielającej się na
elektrodzie
jest
wprost
proporcjonalna
do
natężenia prądu I i do czasu jego przepływu t:
(9.16)
gdzie k oznacza współczynnik proporcjonalności, który
zależy tylko od rodzaju wydzielającej się substancji i
składu elektrolitu.
Iloczyn natężenia prądu I przez czas t daje ilość
ładunku elektrycznego Q, który przepłynął przez
elektrolit
(9.17)
kIt
m
Q
It
61
skąd można pierwsze prawo Faradaya przedstawić w
postaci
(9.18)
tj.
masa wydzielającej się substancji m jest
proporcjonalna do przepływającej przez elektrolit
ilości ładunku Q
. Współczynnik k nazywa się
równoważnikiem
elektrochemicznym
wydzielanej
substancji.
Ponieważ dla Q = 1 mamy
więc
równoważnik elektrochemiczny równa się
liczbowo masie substancji wydzielającej się przy
przejściu przez elektrolit jednostki ładunku
elektrycznego.
kQ
m
k
m
W układzie SI równoważnik elektrochemiczny wyraża
liczbowo masę produktu elektrolizy wydzieloną na
elektrodzie przez prąd o natężeniu 1 ampera w ciągu 1
sekundy, czyli podczas przepływu przez elektrolit
ładunku 1 kulomba.
62
R
F
1
k
(9.25)
Drugie prawo Faradaya mówi, że współczynniki
elektrochemiczne poszczególnych pierwiastków są
wprost
proporcjonalne
do
ich
równoważników
chemicznych.
Jak
widzimy
z
(9.25)
współczynnikiem
proporcjonalności jest odwrotność stałej Faradaya.
Podstawiając z drugiego prawa Faradaya (9.25)
wartość równoważnika elektrochemicznego k do
wyrażenia na pierwsze prawo Faradaya (9.18)
otrzymamy wzór łączący oba prawa Faradaya
(9.27)
Q
w
M
F
1
m
63
Q
w
M
F
1
m
Stąd wynika, że jeżeli w procesie elektrolizy, na
elektrodzie wydziela się jeden gramorównoważnik
substancji (tj. masa m równa liczbowo M/w) to przez
elektrolit przepływa ładunek elektryczny Q liczbowo
równy stałej F.
Innymi słowy stała Faradaya F równa się liczbowo
ilości ładunku elektrycznego Q, który przepływając
przez elektrolit, wydziela na elektrodzie jeden
gramorównoważnik substancji.
Różne
pomiary
różnych
równoważników
elektrochemicznych
wykazały,
że
wartość
stałej
Faradaya F wynosi:
ważnik
gramorówno
kulombów
494
96
F
64