dr Tomasz Kowalski

Logika – ćwiczenia 0

Zbiory. Działania na zbiorach.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

2 / 97

Warunki zaliczenia kursu

Zaliczenie wykładu i ćwiczeń (na ocenę)
w oparciu o:

–

trzy 45-minutowe testy

przeprowadzone

na ćwiczeniach,

–

obecność na zajęciach

,

–

aktywność na

zajęciach

.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

3 / 97

Warunki zaliczenia kursu -
szczegóły

Każda z pięciu udokumentowanych obecności –
2 pkt.

Każdy z trzech testów – po 20 pkt.
Punkty za aktywność – maksymalnie 10.

Łącznie do zdobycia 80 pkt.

Liczba punktów

Ocena

0 – 23

brak zaliczenia

24 – 31

dost.

32 – 39

dost. plus

40 – 47

dobry

48 – 55

dobry plus

56 –

b.dobry

Skala
ocen

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

4 / 97

Krzysztof Wieczorek

„Wprowadzenie do

logiki”

Literatura przedmiotu

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

5 / 97

Literatura przedmiotu

Zygmunt

Ziembiński

„Logika

praktyczna”

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

6 / 97

Literatura przedmiotu

Barbara Stanosz

„Ćwiczenia z logiki”

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

7 / 97

Zbiory

Zbiór (inaczej zwany mnogością) to
podstawowe pojęcie w wielu dyscyplinach
nauki.

Przyjmuje się, że jest to pojęcie
pierwotne, tzn. nie wymagające
definiowania.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

8 / 97

Symbolika

teoriomnogościowa

Zbiory oznaczamy dużymi literami: A, B, C, X,
….

Elementy zbioru oznaczamy (na ogół)
małymi literami.

Jeżeli x jest elementem zbioru A (x należy do A),
to piszemy xA;

w przeciwnym przypadku piszemy xA.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

9 / 97

Skorowidz oznaczeń niektórych
zbiorów

R – zbiór liczb rzeczywistych,

W – zbiór liczb wymiernych,

C – zbiór liczb całkowitych,

N – zbiór liczb naturalnych,

N

0

– zbiór liczb naturalnych z dołączonym

zerem,

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

10 / 97

Definiowanie konkretnego

zbioru

Zbiór można określić wypisując wszystkie jego
elementy lub podając własność, którą spełniają
wszystkie jego elementy.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

11 / 97

Przykłady zbiorów

A = { 0, 1, 2, 3, 4 }

= zbiór liczb naturalnych
mniejszych od 5.

B = { a, ą, e, ę, i, o, ó, u, y }

= zbiór samogłosek w języku
polskim.

C = {♠, ♣,

♥

,

♦

}

D = {♔, ♕, ♗, ♘, ♙}

= zbiór kolorów w grach
karcianych.

= zbiór figur szachowych.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

12 / 97

Przykłady zbiorów

A = {x R : x =

x

2

}

= { 0,
1 }

B = {x R : x - 5

> 0}

= (5; +

)

B = {x C : x przy dzieleniu przez 5

daje resztę 2}

= { 2, 7, 12, 17, … }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

13 / 97

Uwaga

Elementami jakiegoś zbioru mogą być nie
tylko „zwykłe” obiekty, ale również inne
zbiory.

Na przykład X = { {a, b}, {c}, {d, e, f, g} }.

Zbiór X ma trzy elementy, które z kolei same też
są zbiorami.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

14 / 97

Zbiór pusty. Zbiór pełny

Zbiór nie zawierający elementów nazywamy

zbiorem pustym

i oznaczamy symbolem .

Zbiór składający się ze wszystkich elementów
rozpatrywanych w danym zagadnieniu nazywamy

zbiorem pełnym

(

przestrzenią

lub

uniwersum

) i

oznaczamy X lub U.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

15 / 97

Zależności między zbiorami

Dwa dowolne zbiory X i Y mogą
pozostawać w następujących
zależnościach:

1. X = Y (zbiór X jest równy zbiorowi Y),

2. X  Y (zbiór X zawiera się w zbiorze

Y),

3. X )( Y (zbiór X jest rozłączny ze zbiorem
Y),

4. X # Y (zbiór X krzyżuje się ze
zbiorem Y).

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

16 / 97

Równość (identyczność)

zbiorów

Mówimy, że dwa zbiory są sobie równe lub że są
identyczne, gdy mają dokładnie te same
elementy.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

17 / 97

Równość zbiorów - przykłady

A – zbiór liczb
parzystych,

A = B

2

{ :

}

B

x x x

=

=

{0,1},

A=

A = B

B – zbiór liczb podzielnych
przez 2.

= { 0,
1 }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

18 / 97

Równość zbiorów - przykłady

A = {a, e, i, o, u}

A = {1, 2, 3, 4 }

A =
B

A = B

Kolejność występowania elementów w
zapisie zbioru, jak i „powtarzanie się”
elementów nie są istotne.

B = {e, o, u, a, i}

B = {1, 1, 2, 3, 4, 4, 4 }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

19 / 97

Ćwiczenie 1

A = zbiór wszystkich miast, które były
stolicą Polski

A



B

B = { Gniezno, Poznań, Warszawa,
Gdańsk }

Czy zbiory A i B są sobie równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

20 / 97

Ćwiczenie 1

A = zbiór państw sąsiadujących z Polską

A = B

B = {Rosja, Litwa, Białoruś, Ukraina, Słowacja,
Czechy, Niemcy}

Czy zbiory A i B są sobie równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

21 / 97

Ćwiczenie 1

A = zbiór liczb równych swojej
odwrotności

A = B

B = zbiór liczb, których kwadrat jest
równy 1

Czy zbiory A i B są sobie równe?

= { -1, 1 }

= { -1, 1 }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

22 / 97

Ćwiczenie 2

A = {a, b, a} B = {a, b}

Zbiory te są sobie
równe.

Jakie warunki powinny być spełnione,
aby poniższe zbiory były równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

23 / 97

Ćwiczenie 2

A = {b, c} B = {b, c, d}

d = b lub
d = c

Jakie warunki powinny być spełnione,
aby poniższe zbiory były równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

24 / 97

Ćwiczenie 2

A = {{a}, {a,b}} B =
{{c}, {c,d}}

a = c i b =
d

Jakie warunki powinny być spełnione,
aby poniższe zbiory były równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

25 / 97

Ćwiczenie 2

A = { {a,b}, c} B =
{{a}, c}

a = b

Jakie warunki powinny być spełnione,
aby poniższe zbiory były równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

26 / 97

Ćwiczenie 2

A = { {a,b}, {d}} B =
{{a}}

a = b = d

Jakie warunki powinny być spełnione,
aby poniższe zbiory były równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

27 / 97

Ćwiczenie 2

A = { {a,



},

b

} B =

{{



}}

a =



i b =

{



}

Jakie warunki powinny być spełnione,
aby poniższe zbiory były równe?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

28 / 97

Inkluzja (zawieranie się)

zbiorów

Jeżeli każdy element zbioru A jest elementem
zbioru B, to mówimy, że A jest

podzbiorem

zbioru B (A zawiera się w B) i zapisujemy A
 B (lub A  B).

B

A

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

29 / 97

Zawieranie się zbiorów -

przykłady

A – zbiór liczb podzielnych
przez 4,

A  B

2

{ :

}

B

x x x

=

=

{0},

A=

A  B

B – zbiór liczb parzystych.

= { 0,
1 }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

30 / 97

Zawieranie się zbiorów -

przykłady

A – zbiór mieszkańców
Koszalina,

A  B

A  B

B – zbiór mieszkańców Pomorza
Środkowego.

A – { Polska, Litwa, Łotwa},

B – zbiór państw nadbałtyckich.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

31 / 97

Własności inkluzji

2. Jeżeli x A, to { x }  A.
3. A  A.

5. Jeżeli A  B oraz B  A, to A = B.

B

A

C

1. Dla każdego zbioru A mamy   A.

4. Jeżeli A  B oraz B  C, to A  C.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

32 / 97

Ćwiczenie 3

A = { a, b, c, d }

B  A

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = { a, d }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

33 / 97

Ćwiczenie 3

A = 

A  B

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = { a, d }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

34 / 97

Ćwiczenie 3

A = { x  N; x > 5 }

A  B i B

 A

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = {x  N; x

2

> 25 }

A = B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

35 / 97

Ćwiczenie 3

A

=

zbiór krasnoludków

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = zbiór czarownic

Oba zbiory są puste!

A  B i B

 A

A = B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

36 / 97

Ćwiczenie 3

A = { {a} }

Żaden z
nich.

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = { a }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

37 / 97

Ćwiczenie 3

A = zbiór kwadratów

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = zbiór rombów o równych
przekątnych

A  B i B

 A

A = B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

38 / 97

Ćwiczenie 3

A = zbiór kwadratów

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = zbiór prosto

k

ą

tów

A  B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

39 / 97

Ćwiczenie 3

A = zbiór wielok

ą

tów o

obwodzie 4

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = zbiór kwadratów o polu 1

B  A

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

40 / 97

Ćwiczenie 3

A = zbiór państw afrykańskich

Który z podanych zbiorów jest podzbiorem
drugiego?

B = { Egipt, Maroko, Jemen }

Żaden z
nich.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

41 / 97

Zbiory rozłączne

Zbiory A i B nazywamy

rozłącznymi

, gdy nie

mają żadnego elementu wspólnego.

Rozłączność (w logice) oznaczamy symbolem: )(.

X

B

A

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

42 / 97

Zbiory rozłączne - przykłady

A = {a, b, c} i B = {d, e},

C = zbiór ssaków, D = zbiór płazów.

A )( B

C )( D

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

43 / 97

Ćwiczenie 4

Czy zbiory A i B są rozłączne?

A = zbiór mieszkańców
Koszalina

B = zbiór posłów na Sejm

Nie.
Zbiory mają wspólny element.

Jest nim np. poseł

Gawłowski.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

44 / 97

Ćwiczenie 4

A = zbiór ssaków

Czy zbiory A i B są rozłączne?

B = zbiór gadów

Tak

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

45 / 97

Ćwiczenie 4

Czy zbiory A i B są rozłączne?

Tak

A = 

B = { a, d }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

46 / 97

Krzyżowanie się zbiorów

Zbiory się krzyżują gdy mają pewne elementy
wspólne, ale oprócz nich w każdym zbiorze znajdują
się również takie obiekty, których nie ma w drugim.

Na oznaczenie krzyżowania używamy znaku: #.

A

B

.

x

.

z

.

y

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

47 / 97

Zbiory krzyżujące się -

przykłady

A = {a, b, c} i B = {b, d,},

Element wspólny: b.

A # B

Elementy tylko w zbiorze A : a, c.

Element tylko w zbiorze B : d.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

48 / 97

Ćwiczenie 5

Czy zbiory A i B krzyżują się?

A = zbiór liczb podzielnych
przez 2

B = zbiór liczb podzielnych
przez 3

Tak

Elementem wspólnym jest np. 6.

Elementem tylko w zbiorze A jest
np. 2.

Elementem tylko w zbiorze B
jest np. 9.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

49 / 97

Ćwiczenie 5

Czy zbiory A i B krzyżują się?

A = zbiór państw europejskich

B = zbiór państw – członków
NATO

Tak

Elementem wspólnym jest np.
Polska.

Elementem tylko w zbiorze A jest np.
Szwajcaria.

Elementem tylko w zbiorze B
jest np. USA.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

50 / 97

Ćwiczenie 5

Czy zbiory A i B krzyżują się?

A = zbiór studentów PK

B = zbiór mieszkańców
Koszalina

Tak

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

51 / 97

Ćwiczenie 6

Sprawdzić, jakie zachodzą stosunki między
zbiorami:

Zaczynamy od sprawdzenia, w jakich stosunkach do
innych zbiorów pozostaje A.

Zbiory A i B nie mają żadnego wspólnego elementu, więc
są rozłączne:

A )
( B.

W przypadku A i C mamy: każdy element A jest
elementem C, a więc A zawiera się w C:

A  C.

W przypadku A i D
podobnie:

A 

D.

A = {1, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 3, 4},
D = {1, 2, 4}.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

52 / 97

Ćwiczenie 6

Sprawdzić, jakie zachodzą stosunki między
zbiorami:

Przechodzimy do zbadania, w jakich zależnościach
do innych zbiorów pozostaje B.
Ponieważ stosunek pomiędzy B i A już znamy,
zaczynamy od B i C.

Mamy tutaj: każdy element B jest elementem C, a
więc

B  C.

W przypadku B i D jest tak: zbiory te mają wspólny
element oraz każdy z nich ma przynajmniej jeden
inny element, zatem

B #
D.

A = {1, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 3, 4},
D = {1, 2, 4}.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

53 / 97

Ćwiczenie 6

Sprawdzić, jakie zachodzą stosunki między
zbiorami:

Pozostało nam jeszcze określenie stosunku pomiędzy
zbiorami C i D.

Każdy element D jest elementem C,
czyli

D  C.

A = {1, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 3, 4}, D
= {1, 2, 4}.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

54 / 97

Uwaga

Pomiędzy zbiorami może zachodzić
jeszcze jeden stosunek, trochę innego
typu niż omówione wyżej.

Może się zdarzyć, że jeden zbiór sam jest elementem
innego zbioru, czyli: A  B.

Aby tak było, zbiór B musi szczególnym rodzajem
zbioru – takim, którego elementy (przynajmniej
niektóre) są zbiorami.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

55 / 97

Przykład

A = {1, 4},

B = { 2, {1, 4}, 5 }.

A  B

A = zbiór ludzi urodzonych w listopadzie

B = zbiór, którego elementami są

zbiory ludzi urodzonych w tym

samym miesiącu.

A  B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

56 / 97

Uwagi

Bardzo istotne jest, aby nie mylić zawierania się
zbiorów, czyli zależności A  B oraz bycia

elementem (należenia), czyli A  B.

Pierwsza zależność, inkluzja (), oznacza, że

każdy element zbioru A jest również
elementem zbioru B.

Należenie () natomiast, oznacza, że sam

zbiór A, jako całość, jest elementem zbioru
B.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

57 / 97

Uwagi cd.

Stosunek należenia (jeśli zachodzi), jest
zależnością, która występuje niejako obok
„zwykłych”, omawianych wyżej relacji
między zbiorami.

Znaczy to, że pewien zbiór A należąc do
zbioru B (będąc elementem B) może
jednocześnie być z nim rozłączny, zawierać
się w nim lub krzyżować.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

58 / 97

Ćwiczenie 7

W jakich stosunkach pozostają do siebie zbiory:

A )( B i A  B,
A # C i A 

C,

A  D i A  D,

B # C,

B # D,

C # D.

A = {a, b},
B = { {a, b}, {c, d,
e} },
C = {{a, b}, a, d},
D = {a, b, {a, b} }.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

59 / 97

Działania na zbiorach

Na zbiorach można wykonywać różne działania,
w wyniku których powstają nowe zbiory.

Najważniejsze z nich, to:

1. iloczyn,

2. suma,

3. różnica,

4. dopełnienie.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

60 / 97

Iloczyn (część wspólna)

zbiorów

Iloczynem

(

częścią wspólną

)

zbiorów

A i B

nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych
elementów, które należą do A i należą do B.
Zbiór ten oznaczamy symbolem AB .

X

A

B

AB

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

61 / 97

Przykład

{

}

7,8,9,10,11 ,

A=

{

}

6,8,10,12 .

B =

A B

� =

Wyznaczyć część wspólną zbiorów:

{

}

8,10

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

62 / 97

Uwaga

A )( B  A  B =

.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

63 / 97

Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B

nazywamy zbiór złożony

z tych i tylko tych elementów, które należą do A
lub należą do B. Zbiór ten oznaczamy symbolem
AB .

X

A

B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

64 / 97

Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B

nazywamy zbiór złożony

z tych i tylko tych elementów, które należą do A
lub należą do B. Zbiór ten oznaczamy symbolem
AB .

X

A

B

AB

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

65 / 97

Przykład

{

}

7,8,9,10,11 ,

A=

{

}

6,8,10,12 .

B =

A B

� =

Wyznaczyć sumę zbiorów:

{

}

6,7,8,9,10,11,12

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

66 / 97

Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów

A i B

nazywamy zbiór

złożony z tych i tylko tych elementów, które
należą do A i nie należą do B. Zbiór ten
oznaczamy symbolem A \ B lub symbolem A -
B.

X

A

B

A \ B

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

67 / 97

Przykład

{

}

7,8,9,10,11 ,

A=

{

}

6,8,10,12 .

B =

A \ B =

Wyznaczyć różnicę A \ B zbiorów:

{ 7, 9,
11 }.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

68 / 97

Dopełnienie zbioru

Różnicę X \ A, w przypadku, gdy X jest
przestrzenią, nazywamy

dopełnieniem zbioru A

i oznaczamy symbolem A

/

.

X

A

A

/

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

69 / 97

Przykład

{

}

1,3,5,7,9 ,

A=

{

}

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 .

X =

A

/

=

Wyznaczyć dopełnienie zbioru A w
przestrzeni X:

X \ A
=

{ 2, 4, 6, 8,
10 }.

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

70 / 97

Ćwiczenie 8

Zakładając, że różne małe litery oznaczają różne
elementy nie będące zbiorami wyznaczyć zbiory: A
 B, A  B oraz A \ B, jeżeli:

A = { a, b, c }

B = { a, c, d }

A  B =

A  B =

A \ B =

{ a, c }

{ a, b, c, d }

{ b }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

71 / 97

Ćwiczenie 8

Zakładając, że różne małe litery oznaczają różne
elementy nie będące zbiorami wyznaczyć zbiory: A
 B, A  B oraz A \ B, jeżeli:

A = { {a, b},
c, d }

B = { a, c }

A  B =

A  B =

A \ B =

{ c }

{ {a, b}, c , d
, a }

{ {a, b},
d }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

72 / 97

Ćwiczenie 8

Zakładając, że różne małe litery oznaczają różne
elementy nie będące zbiorami wyznaczyć zbiory: A
 B, A  B oraz A \ B, jeżeli:

A = { {a}, a }

B = { {a}, {b} }

A  B =

A  B =

A \ B =

{{a}}

{a , {a}, {b} }

{a }

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

73 / 97

T. Kowalski: Logika – wykład 6: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

73 / 81

Podzbiory zbioru liczb
rzeczywistych

Przedział domknięty [a,b] = {x: a  x  b}

a

b

Przedział otwarty (a,b) = {x: a < x < b}

a

b

Przedział lewostronnie domknięty [a,b) ={x: a  x <

b}

a

b

Przedział prawostronnie domknięty (a,b] = {x: a < x 

b}

a

b

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

74 / 97

T. Kowalski: Logika – wykład 6: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

74 / 81

Przykład

[ 1;3],

(2;4)

A

B

= -

=

/

/

,

,

\ ,

\ ,

,

.

A B

A B A B

B A

A

B

�

�

Zaznaczyć na osi liczbowej te zbiory, a następnie
wyznaczyć
 zbiory:

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

75 / 97

T. Kowalski: Logika – wykład 6: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

75 / 81

Przykład

[ 1;3],

(2;4)

A

B

= -

=

A

0

1

2

3

4

5

-1

-2

0

1

2

3

4

5

-1

-2

B

/

/

\
\

A B
A B
A B

B A

A

B

� =
� =

=
=

=
=

(2 ; 3]
[ -1; 4)

[-1 ; 2]
(3 ; 4)

(

; 1) (3;

)

- �- � +�

(

;2] [4;

)

- � � +�

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

76 / 97

Prawa rachunku zbiorów

A  A = A
A  A = A

(A  B)

/

= A

/



B

/

I prawo de Morgana dla zbiorów-

dopełnienie sumy dwóch zbiorów
jest iloczynem dopełnień tych

zbiorów

(A  B)

/

= A

/



B

/

II prawo de Morgana dla zbiorów –
dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów

jest sumą dopełnień tych zbiorów

A  B = B  A

przemienność dodawania zbiorów

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

77 / 97

Prawa rachunku zbiorów

(A  B)  C= A (B  C)

łączność dodawania

zbiorów

A  B = B  A

przemienność

mnożenia zbiorów

(A  B) C = A (B  C)

łączność mnożenia

zbiorów

A (B  C) = (A  B)  (A 
C)

rozdzielność

mnożenia zbiorów
wzgl. ich dodawania

A (B  C) = (A  B)  (A 
C)

rozdzielność

dodawania zbiorów
wzgl. ich mnożenia

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

78 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

79 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

80 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

81 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

82 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

83 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

84 / 97

Przykład dowodu

Pokazać, że
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

Wykorzystamy diagramy Venna:

A B

C

A B

C

=

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

85 / 97

Prawa de Morgana

(A  B)

/

= A

/

 B

/

X : 1, 2, 3, 4

B

A

3

4

1

2

X

Dowód – metodą sektorową z użyciem
diagramów Venna

Dopełnienie sumy dwóch

zbiorów jest równe części

wspólnej dopełnień

A : 1, 2
B : 2, 3

AB :1, 2, 3

L =

(AB)

/

:

4

A

/

: 3, 4

P =

A

/

 B

/

:

L = P

B

/

: 1, 4

4

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

86 / 97

Diagram Venna dla trzech

zbiorów

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

8

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

87 / 97

Diagram Venna dla trzech

zbiorów

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

8

Z jakich sektorów składa się
zbiór:

A (B  C)

1, 2, 4,
5, 6

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

88 / 97

Diagram Venna dla trzech

zbiorów

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

8

Z jakich sektorów składa się
zbiór:

A \ (B  C)

1

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

89 / 97

Diagram Venna dla trzech

zbiorów

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

8

Z jakich sektorów składa się
zbiór:

A  (B \ C)

1, 2, 3,

4, 5

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

90 / 97

Diagram Venna dla trzech

zbiorów

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

8

Z jakich sektorów składa się
zbiór:

(A  B) \ C

1, 2, 3

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

91 / 97

Diagram Venna dla 4 zbiorów

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

92 / 97

Koła z liczbami

Trzy koła tak się przecinają, że tworzą w każdym
z nich
po cztery pola.

6

4

1

Trzeba w nie wpisać liczby od 1 do 7, aby ich suma w
każdym kole wynosiła 16.

Trzy liczby zostały już
wpisane.

2

3

5

7

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

93 / 97

Z życia studentów

Profesor na końcu wykładu z logiki:

- Czy są jakieś pytania?

Student:

Profesor (z zaciekawieniem):

- Czy może pan profesor coś powtórzyć?

- Od którego momentu?
Student:

- Od dzień dobry!!!

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

94 / 97

O studencie

Student znajduje na korytarzu zeszyt.

Przez chwilę mu się przygląda:

- Przyda się, nie przyda, skserować warto!

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

95 / 97

O studentce

Rozmawiają dwie studentki:

- Którego wolisz: Pawła, czy Karola ?

- A który przyszedł?

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

96 / 97

Hipokryta

Kto to jest hipokryta? - pyta pani na lekcji.

- Ja wiem - zgłasza się Jaś - to jest uczeń, który
twierdzi, że lubi chodzić do szkoły

T. Kowalski: Logika – Ćwiczenia 0: Zbiory. Działania na
zbiorach.

Slajd nr

97 / 97