Metrologia II

1

Metrologia II

Metrologia II

Wykłady

Metrologia II

2

Wartość = Liczba · Jednostka; W= L · J

UKŁAD JEDNOSTEK SI

Jednostki podstawowe

Lp

Wielkość

Najczęstszy

symbol wielkości

Nazwa

jednostki

Symbol

jednostki

1

Długość

l, s

metr

m

2

Czas

t, τ

sekunda

s

3

Masa

m

kilogram

kg

4

Natężenie

prądu

I, i

amper

A

5

Temperatura

T

kelwin

K

6

Liczność

materii

N

mol

mol

7

Światłość

j

kandela

Cd

Jednostki uzupełniające

8

Kąt płaski

α, β, γ

radian

rad

9

Kąt bryłowy

ω, Ω

steradian

sr

Metrologia II

3

METR – długość drogi przebytej przez światło w próżni w czasie 1/299 792 458
sekundy.

SEKUNDA – czas trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania,
odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu
podstawowego atomu cezu 133.

KILOGRAM – masa międzynarodowego wzorca przechowywanego w
Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres pod Paryżem.
Wzorzec ten wykonano ze stopu platynoirydowego jako walec o średnicy i
wysokości ok. 39 mm. Masa 1 kg może być odtworzona przez porównanie z
międzynarodowym wzorcem z dokładnością 0,002 mg/kg.

AMPER – natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch prostoliniowych,
równoległych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju
umieszczonych w próżni w odległości 1 m wywołuje siłę działającą między tymi
przewodami równą 2·10

-7

N na każdy metr długości przewodu.

KELWIN –

części temperatury termodynamicznej punktu potrójnej wody.

273,16

1

DEFINICJE PODSTAWOWYCH JEDNOSTEK MIAR UKŁADU SI

Metrologia II

4

MOL – ilość substancji układu zwierającego liczbę cząsteczek równą liczbie
atomów zawartych w masie 0,012 kg węgla 12.
Cząstkami mogą być: atomy, cząsteczki, jony, elektrony.

KANDELA – światłość (natężenie światła), jaką ma w kierunku prostopadłym pole
powierzchni 1/6·10

5

m

2

ciała doskonale czarnego, promieniującego w

temperaturze krzepnięcia platyny pod ciśnieniem 101 325 Pa.

RADIAN – płaski kąt środkowy koła wycinający z obwodu tego koła łuk o długości
równej jego promieniowi.

STERADIAN – kąt bryłowy o wierzchołku w środku kuli, wycinający z
powierzchni tej kuli pole równe kwadratowi jej promienia.

Metrologia II

5

Jednostki pochodne wybranych wielkości - mechanicznych

L
p

Wielkość

Nazwa jednostki

miary

Symbol

jednostki

miary

Symbol

jednostki

1

Powierzchnia

metr kwadratowy

m

2

1 m

2

2

Objętość

metr sześcienny

m

3

1 m

3

3

Częstotliwość

Herc, 1 Hz = 1 :

(1s)

Hz

1 Hz = 1 s

-1

4

Prędkość
liniowa

metr na sekundę

m/s

1 m·s

-1

5

Prędkość
kątowa

radian na

sekundę

rad/s

1 rad·s

-1

6

Przyśpieszenie
liniowe

metr na kwadrat

sekundy

m/s

2

1 m·s

-2

7

Przyśpieszenie
kątowe

radian na

kwadrat sekundy

rad/s

2

1 rad·s

-2

8

Gęstość
(masy)

kilogram na metr

sześcienny

kg/m

3

1 kg·m

-3

9

Pęd

kilogramometr na

sekundę

kg·m/s

1 kg·m·s

-1

1
0

Siła

niuton

1 N = 1 kg · (1

m/s

2

)

N

1 N= 1
kg·m· s

-2

1
1

Moment siły

niutonometr

N · m

1 N·m =
= 1 kg·m

2

·s

-2

Metrologia II

6

1
2

Ciśnienie,
naprężenie
mechaniczne

paskal

1 Pa = 1 N : (1
m

2

)

Pa

1 Pa =1
kg·m

-1

·s

-2

1
3

Napięcie
powierzchniow
e

niuton na metr

N/m

1 N/m = 1
kg·s

-2

1
4

Energia, praca

dżul

1J = 1 N · 1 m

J

1 J = 1
kg·m

2

·s

-2

1
5

Udarność

dżul na metr

kwadratowy

J/m

2

1 kg·s

-2

1
6

Moc

wat

1 W = 1 J : (1 s)

W

1 W = 1
kg·m

2

·s

-3

1
7

Gęstość mocy

wat na metr

kwadratowy

W/m

2

1 kg·s

-3

1
8

Lepkość
dynamiczna

paskalosekunda

Pa·s

1 kg·m

-1

·s

-1

1
9

Lepkość
kinematyczna

metr kwadratowy

na sekundę

m

2

/s

1 m

2

·s

-1

2
0

Strumień
objętości

metr sześcienny

na sekundę

m

3

/s

1 m

3

·s

-1

2
1

Strumień masy

kilogram na

sekundę

kg/s

1 kg·s

-1

2
2

Gęstość
strumienia
masy

kilogram na

sekundę i metr

kwadratowy

kg/

(s·m

2

)

1 kg·m

-2

·s

-1

Metrologia II

7

Jednostki pochodne wybranych wielkości elektrycznych

Lp

Wielkość

Nazwa jednostki

miary

Symbol

jednost

ki

miary

Zależność od

jednostek

podstawowych i

uzupełniających

1

Ładunek

elektryczny

kulomb

1 C = 1 A·1 s

C

1 C = 1 A·s

2

Napięcie

elektryczne

wolt

1 V = 1 W : (1 A)

V

1 V = 1 kg ·m

2

·s

-3

·A

-

1

3

Pojemność

elektryczna

farad

1 F = 1 C : (1 V)

F

1 F = 1 kg

-1

·m

-

2

·s

4

·A

2

4

Opór

elektryczny

om

1 Ω = 1 V : (1 A)

Ω

1 Ω = 1 kg·m

2

·s

-3

·A

-2

5

Strumień

magnetyczny

weber

1 Wb = 1 V

·1 s

Wb

1 Wb = 1 kg ·m

2

·s

-2

·A

-1

6

Indukcja

magnetyczna

tesla

1 T = 1 Wb : (1 m

2

)

T

1 T = 1 kg ·s

-2

·A

-1

7

Indukcyjność

henr

1 H = 1 V : [1 A :

(1 s)]

H

1 H = 1 kg ·m

2

·s

-2

·A

-2

Metrologia II

8

Wybrane legalne jednostki miar nie należące do układu SI

Lp

.

Wielkość

Nazwa jednostki

miary

Symbol

jednostki

miary

Relacje między

podaną jednostką

a jednostką SI

1

Masa

tona

t

1 t = 1 Mg =

10

3

kg

2

Czas

minuta, godzina,

doba

min; h; d

1 min = 60 s

1 h =

3600 s

1 d =

84600 s

3

Temperatura

stopień Celsjusza

°C

Dla różnicy

temperatur

1 °C = 1 K

t

c

= T

k

– 273,15

4

Kat płaski

stopień; minuta;

sekunda

[°]; [‘]; ["]

5

Powierzchnia

hektar

ha

1 ha = 10

4

m

2

6

Objętość

litr

l

1 l = 10

-3

m

3

7

Prędkość liniowa

kilometr na

godzinę

km/h

8

Prędkość kątowa

obrót na minutę;

obrót na sekundę

obr/min;

obr/s

1 obr/s = 2π rad·s

-1

9

Energia, Praca

kilowatogodzina

kWh

1 kWh = 3,6·10

6

J

10

Moc

woltamper

VA

1VA = 1 W

rad

180

π

1 



rad

60

1

1

'





rad

60

1

1

'

''



1

-

s

m

3,6

1

h

km

1





1

-

s

rad

60

2π

obr/min

1





Metrologia II

9

Spójność jednostek

E = F · l
1 J = 1 N · 1 m
1 N = 1 kg · 1 m/s

2

1 J = kg m

2

s

-2

ROZSZERZANIE ZAKRESU JEDNOSTEK UKŁADU SI

wykładniki dodatnie: (1) – deka

da

; (2) – hekto

h

; (3) – kilo

k

; (6) – mega

M

;

(9) – giga

G

; (12) – tera

T

; (15) – peta

P

; (18) – eksa

E

;

(21) – zeta

Z

; (24) – yotta

Y

wykładniki ujemne: (-1) – decy

d

; (-2) – centy

c

; (-3) – mili

m

; (-6) – mikro

μ

;

(-9) – nano

n

; (-12) – piko

p

; (-15) – femto

f

; (-18) – atto

a

;

(-21) – zepto

z

; (-24) – yocto

y

Zalety układu SI

UNIWERSALNOŚĆ – zapewnia każdej wielkości jednostkę miary, nazwę jednostki, skrót

nazwy

jednostki, wymiar jednostki.

SPÓJNOŚĆ – wszystkie jednostki główne układu przyjmują w równaniach

definicyjnych

współczynniki równe jedności.

A

F

p

I

U

R

2

-

1

-

2

s

m

kg

m

1

N

1

Pa

1





A

1

V

1

Ω

1 

Metrologia II

10

REALIZACJA POMIARÓW

WZORZEC – narzędzie pomiarowe odtwarzające jednostkę
miary lub jej
wielokrotność.

PRZYRZĄD POMIAROWY – narzędzie pomiarowe ułatwiające wykonanie
pomiaru czyli

porównanie wartości wielkości mierzonej ze

wzorcem.

PRZETWORNIK POMIAROWY – narzędzie pomiarowe przekształcające wielkość

mierzoną na
wielkość wyjściową , której wartość jest
porównywana ze

wzorcem.

narzędzi
e
pomiaro
we

Źródło

sygnał

u

Przetwo

r-nik

Przyrz

ąd

pomiar

.

Obser

wator

Wzorz

ec

x

y

c

Metrologia II

11

Klasyfikacja metod pomiarowych

Podział metod ze względu na sposób uzyskiwania wyników pomiaru:

- bezpośrednie
- pośrednie
- złożone

Podział metod ze względu na sposób porównywania wartości wielkości mierzonej

i wzorcowej:

- bezpośredniego porównania
- różnicowe
- zerowe
- podstawieniowe

Metrologia II

12

BŁĘDY POMIARU

Rzeczywisty bezwzględny ; x

r

- wartość rzeczywista, x

z

-

wartość zmierzona

Rzeczywisty względny ;

Bezwzględny graniczny ;

Graniczny względny

Wynik pomiaru podaje się w formie:
ponieważ wartość x

r

nie jest znana do wyznaczenia δ

x

korzysta się z warunku:

wówczas można napisać:
lub

r

z

r

x

x

x







r

r

z

rx

x

x

x

|

|







|

|

r

z

gr

x

x

x







)

(

gr

z

gr

z

r

x

x

,

x

x

x









r

x

x

x|

|





r

gr

z

x

x





r

r

z

x

|

x

x

|





z

gr

x

x

x |

|





%

|

|

100

z

gr

x

x

x







Metrologia II

13

Klasyfikacja błędów ze względu na przyczyny ich występowania

- systematyczne
- przypadkowe
- omyłki

Klasyfikacja błędów ze względu na charakter zmienności mierzonych wartości

-

statyczne

- dynamiczne

Klasyfikacja błędów ze względu na warunki odniesienia

- podstawowe
- dodatkowe

Metrologia II

14

OBLICZANIE BŁĘDÓW

Obliczanie błędów systematycznych

Pomiar bezpośredni przyrządem pomiarowym

W tym przypadku wartość błędu jest równa wartości granicznego błędu

bezwzględnego Δx

gr

, który wylicza się znając klasę dokładności δ

m

przyrządu.

Pomiar tej samej wartości x wielkości fizycznej X kilkoma przyrządami o różnej dokładności  
Wyniki poszczególnych pomiarów:

Wynik końcowy

: - -

średnia ważona

















n

i

i

n

i

gri

i

w

w

x

w

x

1

1

;

1

1

gr

z

x

x





;

2

2

gr

z

x

x





grn

zn

x

x





w

w

gr

z

x

x

x

x











_

w

x

_

%

min

max

100

x

x

x

gr

m









%

)

(

min

max

100

x

x

x

m

gr









=>













n

i

i

n

i

zi

i

w

w

x

w

x

1

1

_

2

)

(

gri

i

x

K

w





Metrologia II

15

 

2

2

2

1

1

s

1

s

1

w

w







100

4

3



w

w

10000

5



w

;

;

621

,

16

10000

100

100

1

1

62

,

16

10000

6

,

16

100

7

,

16

100

17

1

16

1

_































w

x

s

62

16,

_



w

x

012

,

0

10000

100

100

1

1

01

,

0

10000

1

,

0

100

1

,

0

100

1

1

1

1

































w

x

s

01

0,





w

x

; Wynik pomiaru: 16,62 ± 0,01 s

Przykład
Czas ruchu pojazdu zmierzyło kilka osób posługując się miernikami o różnej
dokładności. Uzyskano wyniki pomiarów t

1

= 16 ± 1 [s]; t

2

= 17 ± 1 [s]; t

3

= 16,7 ± 0,1

[s]; t

4

= 16,6 ± 0,1 [s]; t

5

= 16,62 ± 0,01 [s]. Obliczyć średni ważony czas ruchu oraz

systematyczny błąd pomiaru.

Obliczenia

Przyjęto stałą K = 1 [s

2

], wówczas wartości wag dla poszczególnych pomiarów

wynoszą:

Metrologia II

16

Pomiar bezpośredni przyrządem pomiarowym z uwzględnieniem

źródeł błędów w prostym torze pomiarowym

ŹRÓDŁA BŁĘDÓW W PROSTYM TORZE POMIAROWYM

błąd pobrania błąd przyrządu błąd odczytu

błąd opr.

E

v

E

R

R

E

E











1

1

Źródło

wielkości

mierzonej

Doprowadze

nie do

przyrządu

pomiaroweg

o

Przyrząd

pomiarowy

Obserwator

Opracowanie

wyniku

Wynik

Przykład pomiaru napięcia źródła woltomierzem

E

R

E

R

V

V

I

E

v

R

R

E

I





E

v

R

I

R

I

E









v

R

I

U





,

,

poprawka

E

E

v

v

R

I

IR

R

I

R

I

E

U

E























v

E

E

R

R

U

U

R

I

U

E











E

E

v

R

R

R

E

E









dokładność pomiaru

Metrologia II

17

Zasady zaokrąglania wyników pomiarów

W przypadku danych pochodzących z pomiaru liczba miejsc znaczących w wyniku jest

określona przez najmniejszą jednostkę wielkości mierzonej. Przy zaokrąglaniu zostawia się

jedynie cyfry znaczące wg następujących zasad:

1. Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa od 5 lub równa 5 ale za nią są jeszcze
cyfry większe od zera, to ostatnią z zachowanych cyfr należy zwiększyć o 1.

np. 0,3736 → 0,374; 0,37353 → 0,374.

2. Jeżeli odrzuconą cyfrą jest 5, a za nią nie ma cyfr większych od zera to ostatnią cyfrę,
jeśli jest parzysta zachowuje się bez zmiany, jeśli jest nieparzysta zwiększa się o 1.

np. 0,3735 → 0,374; 0,3785 → 0,378.

3. Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5 to ostatnia z pozostałych cyfr nie
ulega zmianie.

np. 0,3791 → 0,379

Metrologia II

18

Zasady wykonywania działań na liczbach, które są wynikami pomiarów

1. Przy odejmowaniu i dodawaniu składniki zaokrągla się do rzędu o jeden niższego niż
rząd

najmniej dokładnej liczby, zaś w wyniku zachowuje się tyle cyfr dziesiętnych ile

jest w

składniku o najmniejszej liczbie cyfr dziesiętnych.

np. 0,335 + 2,21 + 24,6 ≈ 0,34 + 2,21 + 24,6 ≈ 27,15 ≈ 27,2

2. Przy mnożeniu i dzieleniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących ile występuje w
liczbie o najmniejszej liczbie cyfr znaczących.

np. 26,8 : 1,28 = 20,9375 ≈ 20,9

3. Przy potęgowaniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących ile cyfr zawiera
podstawa

potęgowa.

4. Przy logarytmowaniu w wyniku należy podać tyle cyfr ile cyfr zawiera liczba
logarytmowana.

5. Przy pierwiastkowaniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr, ile cyfr znaczących występuje w

liczbie pierwiastkowanej.

7

31

6969

31

63

5

np.

2

,

,

,





.

,

,

,

894

1

894426

1

42

78

lg

np.





72

1

723

1

97

2

np.

,

,

,





Metrologia II

19

Pomiary pośrednie z wykorzystaniem pomiarów bezpośrednich

Wielkość Y jest związana z wielkościami

X

1

, X

2

,…, X

n

zależnością:

Y = f (X

1

, X

2

,…, X

n

)

(1)

Wyznaczyć graniczny błąd pomiaru

Δy

gr

wielkości

Y

, której wartość y określono w sposób

pośredni z zależności (1) na podstawie znajomości wartości:

x

1

, x

2

,… x

n

zmierzonych

bezpośrednio, jeżeli graniczne błędy tych pomiarów wynosiły:

Δx

1

, Δx

2

,… Δx

n

.

Wartość zmierzoną y wyznacza się z zależności:

Wartość rzeczywistą y

o

określa zależność:

Błąd bezwzględny wielkości mierzonej pośrednio:

Błędy bezwzględne wielkości mierzonych bezpośrednio:

Po przekształceniach

)

(

2

1

n

x

x

x

f

y

,...,

,



)

(

0

20

10

0

n

x

x

x

f

y

,...,

,



)

(

)

(

0

20

10

2

1

0

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

y

y

y

,...

,

,...

,











,

10

1

1

x

x

Δ x





,

20

2

2

x

x

x







0

n

n

n

x

x

x







,

1

1

10

x

x

x







,

2

2

20

x

x

x







n

n

n

x

x

x







0

,

Metrologia II

20

Po rozwinięciu odjemnika w szereg Taylora w otoczeniu punktów x

i0

jest:

Wykonując działania przy opuszczeniu wyrażeń zawierających iloczyny małych co do wartości
błędów granicznych

Δx

i

lub ich potęgi o wykładnikach większych niż dwa otrzymuje się

wyrażenie:

Błąd bezwzględny wielkości mierzonej pośrednio można zapisać:

)

,.......,

,

(

)

,......,

,

(

n

n

n

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f

y

y

y























2

2

1

1

2

1

0





 















]

!

1

!

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

n

m

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

m

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

x

x

x

f

x

x

x

f

y

,......,

,

......

.....

.....

,......,

,

......

,......,

,

......

,......,

,

,......,

,

)

(

)

(

































































































































n

n

n

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

y

,.....,

,

......

2

1

2

2

1

1









































zwane różniczką zupełną.

Metrologia II

21

Maksymalna wartość błędu granicznego wynosi:

zależność wyraża prawo

Prawdopodobny błąd bezwzględny pomiaru:

n

n

gr

X

Y

x

X

Y

x

X

Y

x

y





























......

2

2

1

1

(2)











































m

m

X

Y

x

X

Y

x

X

Y

x

y

.........

max

2

2

1

1

sumowania
błędów

2

2

2

2

2

1

1

































































m

m

x

X

Y

x

X

Y

x

X

Y

y

.........

Metrologia II

22

SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ZALEŻNOŚCI FUNKCYJNYCH

1.

Suma

Y = X

1

+ X

2

2.

Różnica

Y = X

1

– X

2

3.

Iloraz

Y = X

1

/ X

2

4.

Iloczyn

Y = X

1

· X

2

;

2

2

2

1

2

1



























x

x

x

x

x

y

gr

gr

gr

|

|

|

|





;

2

1

1

2

|

|

|

|

gr

gr

gr

x

x

x

x

y





















;

2

1

gr

gr

gr

x

x

y













2

1

2

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr

















|

|

|

|





;

2

1

gr

gr

gr

x

x

y













2

1

2

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr

















|

|

|

|































2

2

1

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr































2

2

1

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr

Metrologia II

23

Przykład pośredniego pomiaru rezystancji metodą techniczną

I

U

R

z



V

V

R

R

R

U

I

U

I

I

U

I

U

R











A

z

A

A

R

R

R

I

IR

U

I

U

U

R













Dla obu przypadków po wyeliminowaniu błędów systematycznych należy wyznaczyć błąd
graniczny ΔR wynikający z pomiaru pośredniego, zgodnie z prawem sumowania się błędów:

I

U

I

U

I

U

R

U

I

R

I

R





























2

I

v

Metrologia II

24

Przykład
Na podstawie bezpośrednich pomiarów napięcia U na oporniku i płynącego przez niego prądu
I

wyznaczono rezystancję R opornika z zależności: Parametr przyrządów:

woltomierz: zakres U

max

= 100 V, klasa dokładności

amperomierz: zakres

I

max

= 500 mA, klasa dokładności

Wyznaczyć rezystancję R jeżeli odczyty z przyrządów wynoszą

I

U

R 

2

,

0



mU



1

,

0



mU



V

74



z

U

mA

400



z

I

Rozwiązanie
Błąd graniczny pomiaru napięcia

V

2

0

100

V

100

2

0

100

,

%

%

,

%

max











U

U

mU

gr



Błąd graniczny pomiaru prądu

:

mA

5

0

100

mA

500

1

0

100

,

%

%

,

%

max











I

I

mI

gr



Wyznaczona wartość rezystancji:

Ω

185

A

4

0

V

74







,

z

z

z

I

U

R

Błąd graniczny wyznaczenia rezystancji:





Ω

5

2

Ω

3125

2

Ω

5

0

A

005

0

A

16

0

V

74

A

4

0

V

2

0

2

2

,

,

,

,

,

,

,



























































































gr

z

z

z

gr

gr

gr

gr

I

I

U

I

U

I

I

R

U

U

R

R

Wynik pomiaru

]

Ω

[

5

,

2

185

Metrologia II

25

Błędy przypadkowe

Podczas realizacji n pomiarów pewnej wielkości X w tych samych warunkach
uzyskano zbiór wartości { x

1

, x

2

, ….,x

i

, ….,x

n

}, nazwany próbą losową, w której liczba

pomiarów n nazywa się licznością próby. Finałem przeprowadzonego eksperymentu ma
być uzyskanie wyniku pomiaru, to znaczy wyznaczenie wartości zmierzonej x

z

oraz

błędu granicznego Δx

gr,

określającego niepewność pomiaru; wynik podawany jest jako

gr

z

x

x





W przedziale

mieści się wartość rzeczywista x

r

mierzonej

wielkości z określonym prawdopodobieństwem P.





gr

z

gr

z

x

x

x

x









,

Przykład
Wykonano serię pomiarów manometrem

,

o liczności próby n = 100 tej samej wartości

ciśnienia dokonując odczytów na skali przyrządu. Odczytano następujące wartości ciśnień: n

1

= 30 odczytów p

1

= 2 kPa; n

2

= 20 odczytów p

2

= 1,99 kPa; n

3

= 20 odczytów p

3

= 2,01 kPa;

n

4

= 10 odczytów p

4

= 1,89 kPa; n

5

= 10 odczytów p

5

= 2,02; n

6

= 5 odczytów p

6

=

1,97 kPa; n

7

= 5 odczytów p

7

= 2,02 kPa. Prawdopodobieństwa uzyskania określonej wartości

ciśnienia wynoszą: P

1

= 0,3; P

2

= 0,2; P

3

= 0,2; P

4

= 0,1; P

5

= 0,1; P

6

= 0,05; P

7

= 0,05.

Rozkład prawdopodobieństw przedstawia rysunek.

1,97 1,9

8

1,99 2,0

0

2,0
1

2,0
2

2,0
3

p

0,0
5

0,1

0,
2

0,
3

P(p
)

Najbardziej prawdopodobna wartość ciśnienia wynosi
p = 2 kPa. Jest to średnia arytmetyczna
uzyskana ze wszystkich 100 pomiarów, obliczona z
zależności

n

p

p

n

i

i







1

p

Metrologia II

26

Wykonując pomiary ma się do czynienia ze skończoną ich liczbą, wówczas mówi
się o zmiennej losowej dyskretnej, która może przybierać jedynie określone
wartości ze skończonego zbioru. Przy występowaniu błędów przypadkowych
wyniki jak i błędy pomiaru są zmiennymi losowymi dyskretnymi. Zmienną losową
dyskretną można opisać za pomocą funkcji p(x) rozkładu prawdopodobieństwa,
która określa prawdopodobieństwo z jakim zmienna losowa X przyjmuje
określoną wartość x
p(x) = P [X = x]
Rozkład prawdopodobieństwa spełnia następujące warunki:

0  p(x)  1





i

i

x

p

1

)

(

















b

i

x

a

i

x

i

x

p

b

X

a

P

)

(

Rozkład prawdopodobieństwa można przedstawić za pomocą funkcji F(x) zwanej dystrybuantą zmiennej losowej.

Wartość tej funkcji jest prawdopodobieństwem zdarzenia, polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmuje wartość

mniejszą od argumentu tej funkcji lub równą mu.

F(x) = P(X  x)

F(x)

x

Wartość dystrybuanty w punkcie x jest równa sumie wartości funkcji
rozkładu prawdopodobieństwa, dla tych argumentów x

i,

które są mniejsze

lub równe x.

)

(

)

(







x

i

x

i

x

p

x

F

Metrologia II

27

Zmienne losowe ciągłe

Zmienna losowa

X ciągła w określonym przedziale może przyjąć dowolną wartość i

charakteryzuje ją funkcja f(x) zwana gęstością prawdopodobieństwa. Gęstość
prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo P = f(x)dx przyjęcia przez zmienną
losową X wartości w przedziale (x, x + dx). Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną
losową X wartości w określonym przedziale (x

1

, x

2

) jest całką z funkcji f(x) w tym

przedziale:













2

1

)

(

2

1

x

x

dx

x

f

x

X

x

P

Pole obszaru pod wykresem funkcji gęstości prawdopodobieństwa w odpowiednim
przedziale przedstawia prawdopodobieństwo z jakim zawarta w nim będzie zmienna
losowa o wartości x.

Rozkład normalny

Rozkład normalny, nazywany rozkładem Gaussa jest jednym z ważniejszych rozkładów
zmiennej losowej ciągłej
i najczęściej wykorzystuje się go jako model rozkładu gęstości prawdopodobieństwa
wyników pomiarów obciążonych błędami przypadkowymi. Zmienna losowa X ma rozkład
normalny, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa opisana jest zależnością:

 

2

2

2

2

1















)

(x

e

x

f

Parametrami rozkładu normalnego są: wartość oczekiwana

μ, wariancja

σ

2

i odchylenie standardowe

σ

. Wykresem

gęstości prawdopodobieństwa jest krzywa dzwonowa.

Metrologia II

28

x)

Metrologia II

29

Własności rozkładu normalnego:

1. funkcja jest symetryczna względem wartości oczekiwanej

μ

,

2. w punkcie

x = μ

funkcja osiąga maksimum,

3. wartość funkcji w punkcie

x = μ

zależy od wartości σ (im większe σ tym mniejsze μ),

4. funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie

5. powierzchnia zawarta pod krzywą jest równa jedności

 











1

dx

x

f

Estymatorem wartości oczekiwanej μ z rozkładu ciągłej zmiennej losowej w rozkładzie
dyskretnej zmiennej losowej jest średnia arytmetyczna , która jest przybliżeniem
wartości rzeczywistej mierzonej wielkości

x







n

i

i

x

n

x

1

1

_

n

– liczba pomiarów

x

i

– i-ty wynik pomiaru

Przy dużej liczbie pomiarów ich wyniki obarczone błędami przypadkowymi, są zmienną
losową o rozkładzie gęstości prawdopodobieństwa w przybliżeniu odpowiadającym
rozkładowi normalnemu. Parametry tego przybliżonego rozkładu są estymatorami
(przybliżeniami, oszacowaniami) parametrów rozkładu normalnego.

Metrologia II

30

Estymatorem odchylenia standardowego σ jest odchylenie średnie kwadratowe s, które jest
miarą rozrzutu wyników pomiaru wokół wartości średniej, a więc miarą błędów pomiaru.

1

1

2























n

x

x

s

n

i

i

_

Ponieważ wartość średnia jest również zmienną losową z kilku serii pomiarów, więc można
mówić o średnim odchyleniu kwadratowym średniej s

s

n

s

s

s



Przy pomiarach z uwzględnieniem błędów przypadkowych jako wartość zmierzoną podaje się
wartość średnią:

Natomiast błąd graniczny określa zależność:

_

x

x

z



s

gr

s

e

x







e jest współczynnikiem rozkładu zmiennej losowej, a jego wartość zależy od przyjętego
prawdopodobieństwa P zwanego poziomem ufności znalezienia się wartości rzeczywistej w
przedziale
zwanym przedziałem ufności.

)

(

s

s

es

x

es

x





_

_

,

Metrologia II

31

Przy wyznaczaniu błędów przypadkowych wyróżniamy dwa przypadki

n > 30

Wówczas przedział ufności wyznacza się z rozkładu normalnego przyjmując wystarczający dla
potrzeb pomiarów warunek e = 3, tzn.

s

gr

s

x







3

Przyjęcie

e

= 3 oznacza, że przedział ufności zawiera wartość rzeczywistą mierzonej

wielkości z prawdopodobieństwem

P

, czyli na poziomie ufności 99,73%. dla

e

= 1,

P

=

68,23%

n

< 30

W tym przypadku korzystamy z rozkładu

t

– Studenta, który jest przybliżeniem rozkładu

normalnego. Współczynnik e w rozkładzie studenta oznaczony jest przez

t, e = t

.

Współczynnik

t

wyznacza się z rozkładu Studenta znając liczbę stopni swobody

k = n – 1

oraz poziom ufności

P

.

Metrologia II

32

Wartości krytyczne t

kα

rozkładu t Studenta

0,5

0,4

0,317

4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,005

0,002

0,001

1

1,0000

1,3764

1,836

7

1,9626

3,077

7

6,313

8

12,706

2

31,820

5

63,6567

127,3213

318,308

8

636,61

92

2

0,8165

1,0607

1,321

0

1,3862

1,885

6

2,920

0

4,3027

6,9646

9,9248

14,0890

22,3271

31,599

1

3

0,7649

0,9785

1,196

6

1,2498

1,637

7

2,353

4

3,1182

4

4,5407

5,8409

7,4553

10,2145

12,924

0

4

0,7407

0,9410

1,141

4

1,1896

1,533

2

2,131

8

2,7764

3,7469

4,6041

5,5976

5,5976

8,6103

5

0,7267

0,9195

1,110

3

1,1558

1,475

9

2,015

0

2,5706

3,3649

4,0321

4,7773

5,8934

6,8688

6

0,7176

0,9057

1,090

3

1,1342

1,439

8

1,943

2

2,4469

3,1427

3,7074

4,3168

5,2076

5,9588

7

0,7111

0,8960

1,076

5

1,1192

1,414

9

1,894

6

2,3646

2,9980

3,4995

4,0293

4,7853

5,4079

8

0,7064

0,8889

1,066

3

1,1081

1,396

8

1,859

5

2,3060

2,8965

3,3554

3,8325

4,5008

5,0413

9

0,7027

0,8834

1,058

5

1,0997

1,383

0

1,833

1

2,2622

2,8214

3,2498

3,6897

4,2968

4,7809

10

0,6968

0,8791

1,052

4

1,0931

1,372

2

1,812

5

2,2281

2,7638

3,1693

3,5814

4,1437

4,5869

11

0,6974

0,8755

1,047

4

1,0877

1,363

4

1,795

9

2,2010

2,7181

3,1058

3,4966

4,0247

4,4370

12

0,6955

0,8726

1,043

2

1,0832

1,356

2

1,783

2

2,1788

2,6810

3,0545

3,4284

3,9296

4,3178

13

0,6938

0,8702

1,039

8

1,0795

1,350

2

1,770

9

2,1604

2,6503

3,0123

3,3725

3,8520

4,2208

14

0,6924

0,8681

1,036

8

1,0763

1,345

0

1,761

3

2,1448

2,6245

2,9768

3,3257

3,7874

4,1405

15

0,6912

0,8662

1,034

3

1,0735

1,340

6

1,753

1

2,1314

2,6025

2,9467

3,2860

3,7328

4,0728

16

0,6901

0,8647

1,032

0

1,0711

1,336

8

1,745

9

2,1199

2,5835

2,9208

3,2520

3,6862

4,0150

17

0,6892

0,8633

1,030

1

1,0690

1,333

4

1,739

6

2,1098

2,5669

2,8982

3,2224

3,6458

3,9651

18

0,6884

0,8620

1,028

4

1,0672

1,330

4

1,734

1

2,1009

2,5524

2,8784

3,966

3,6105

3,9216

k

α

P – poziom ufności;  = (1-P ) – poziom istotności; k = (n-1) –

liczba stopni swobody

Metrologia II

33

19

0,6876

0,8610

1,026

8

1,0655

1,327

7

1,729

1

2,093

0

2,5395

2,8609

3,1737

3,5794

3,8834

20

0,6870

0,8600

1,025

4

1,0640

1,325

3

1,724

7

2,086

0

2,5280

2,8453

3,1534

3,5518

3,8495

21

0,6864

0,8591

1,024

2

1,0627

1,323

2

1,720

7

2,079

6

2,5176

2,8314

3,1352

3,5272

3,8193

22

0,6858

0,8583

1,023

1

1,0614

1,321

2

1,717

1

2,073

9

2,5083

2,8188

3,1188

3,5050

37621,

23

0,6853

0,8575

1,022

0

1,0603

1,319

5

1,713

9

2,068

7

2,4999

2,8073

3,1040

3,4850

3,7676

24

0,6848

0,8569

1,021

1

1,0593

1,317

8

1,710

9

2,063

9

2,4922

2,7969

3,0905

3,4668

3,7454

25

0,6844

0,8562

1,020

2

1,0584

1,316

3

1,708

1

2,059

5

2,4851

2,7874

3,0782

3,4502

3,7251

26

0,6840

0,8557

1,019

4

1,0575

1,315

0

1,705

6

2,055

5

2,4786

2,7787

3,0669

3,4350

3,7066

27

0,6837

0,8551

1,018

7

1,0567

1,313

7

1,703

3

2,051

8

2,4727

2,7701

3,0565

3,4210

3,6896

28

0,6834

0,8546

1,018

0

1,0560

1,312

5

1,701

1

2,048

4

2,4671

2,7633

3,0469

3,04082

3,6739

29

0,6830

0,8542

1,017

3

1,0553

1,311

4

1,699

1

2,045

2

2,4620

2,7564

3,0380

3,3962

3,6594

30

0,6828

0,8538

1,016

8

1,0547

1,310

4

1,697

3

2,042

3

2,4573

2,7500

3,0298

3,3852

3,6460

40

0,6807

0,8507

1,012

5

1,0500

1,303

1

1,683

9

2,021

1

2,4233

2,7045

2,9712

3,3069

3,5510

50

0,6794

0,8489

1,009

9

1,0473

1,298

7

1,675

9

2,008

6

2,4033

2,6778

2,9370

3,2614

3,4960

100

0,6770

0,8452

1,004

8

1,0418

1,290

1

1,660

2

1,984

0

2,3642

2,6259

2,8707

3,1737

3,3905

100

0

0,6747

0,8420

1,003

1,0370

1,282

4

1,646

4

1,962

3

2,3301

2,5808

2,8133

3,0984

3,3003

∞

0,6745

0,8418

1,000

1,0364

1,281

6

1,644

9

1,960

0

2,3263

2,576

2,8070

3,0902

3,2905

Rozkład t Studenta c.d.

Metrologia II

34

Przykład
l

1

= 783,9 mm; l

2

= 784,3 mm; l

3

= 785,2 mm; l

4

= 784,8 mm; l

5

= 784,3 mm; l

6

= 785,2 mm, podać wynik

pomiaru.

Wartość średnia:





mm

24

0

5

6

6

0

5

0

2

0

6

0

3

0

7

0

s

mm

6

784

2

785

1

784

8

748

2

785

3

784

9

783

6

1

1

2

2

2

2

2

2

s

6

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,



































l

l

n

l

i

k = n – 1= 5; P = 0.95;

 = 0.05 z tablic rozkładu Studenta t = 2,6

Wynik pomiaru: 784,6 mm ± 0,62 mm

Metrologia II

35

Omyłki, błędy nadmierne

Przyczyny: nieprawidłowy odczyt lub zapis, nieumiejętne zastosowanie przyrządu lub metody

pomiaru, zły stan psychiczny pomiarowca.

Błędy nadmierne powodują jawne zniekształcenie wyników pomiaru, występują rzadko w
procesie pomiarowym, są zauważalne na etapie opracowania wyników. Po obliczeniowym
oszacowaniu wartości tych błędów i uznaniu ich jako omyłki nie należy ich uwzględniać przy
opracowywaniu wyników pomiarów.

Metrologia II

36

1. Kryterium trzech sigm (3σ). Dla ocenianej próby wyznacza się wartości:

błędu

pomiaru wątpliwego wyniku x

p

i odchylenia średniego kwadratowego s próby. jeżeli

spełniona jest

nierówność: wątpliwy wynik pomiaru x

p

należy odrzucić, przyjmując, że z

prawdopodobieństwem 99,73% jest on omyłką.

2.Kryterium Chauventa. Jest ono opracowane przy założeniu, że prawdopodobieństwo

zgrupowania

odchyłek wyników n pomiarów wokół ich wartości średniej nie powinno być mniejsze niż .

Warunek

ten jest przedstawiony w tablicy określającej wartość względną dopuszczalnego błędu

pomiary

w zależności od liczby pomiarów n. Przy spełnionym, dal danej liczności prób n,

warunku:

wyniku pomiaru x

p

nie naleźmy uwzględniać.

_

x

x

x

p

p







s

x

p







3











 

s

x

max

tab

p

p

s

x

s

x

x

s

x











 







max

_

Sposoby szacowania omyłek

n

2

1

Metrologia II

37

PRZYGOTOWANIE EKSPERYMENTU POMIAROWEGO

Celem pomiarów jest uzyskanie wyników obarczonych możliwie jak najmniejszymi
błędami, przy spełnieniu istotnego warunku minimalizacji czasu i kosztów wykonania
pomiarów.
- Eksperyment pomiarowy należy rozpocząć od wykonania nielicznej serii próbnych
pomiarów

wielkości X.

- Ze zbiorów otrzymanych wyników wybrać wartości: . na podstawie
znajomości

klasy dokładności używanych przyrządów pomiarowych wyznaczyć

największą wartość błędu granicznego .

- Rozważyć relację

W przypadku 1 o dokładności pomiarów decydują błędy systematyczne i jej zwiększenie

wymaga zastosowania dokładniejszych przyrządów lub metod. Przy braku możliwości
zmiany oprzyrządowania pomiarowego wyniki pomiarów wstępnych należy uznać za
ostateczne.

W przypadku 2 o dokładności pomiarów decydują błędy przypadkowe. Zwiększenie

dokładności wymaga zwiększenia liczności próby. Niezbędną liczbę n pomiarów dla
uzyskania błędów w określonym przedziale ufności można wyznaczyć wykorzystując
tablice rozkładu zmiennej losowej t Studenta.

min

max

,x

x

max

x



max

min

max

x

x

x







max

min

max

x

x

x







1.

2.

Metrologia II

38

KORELACJA

y

x

xy

S

S

S

r

























n

i

i

x

x

x

n

S

1

2

1

_















 



n

i

i

y

y

y

n

S

1

2

_

1

;

S

x

, S

y

- średnie odchylenia standardowe













































































 















n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

y

y

n

x

x

n

y

x

y

x

n

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1







a

kowariancj

-

1

1

y

y

x

x

n

S

i

n

i

i

xv











- współczynnik

korelacji

1  r 

-1

Metrologia II

39

0,1

0,05

0,02

0,01

0,001

1

0,988

0,997

1

1

1

2

0,900

0,950

0,980

0,990

1

3

0,805

0,878

0,934

0,959

0,991

4

0,729

0,811

0,882

0,917

0,974

5

0,669

0754

0,833

0,874

0,951

6

0,622

0,707

0,789

0,834

0,925

7

0,582

0,666

0,750

0,780

0,898

8

0,540

0,632

0,716

0,765

0,872

9

0, 521

0,602

0,685

0,735

0,847

10

0,497

0,576

0,658

0,708

0,823

12

0, 458

0,532

0,612

0,661

0,780

14

0, 426

0,497

0,574

0,623

0,742

16

0,400

0,468

0,542

0,590

0,708

18

0,378

0,444

0,516

0,561

0,679

20

0, 360

0,423

0,492

0,537

0,652

25

0, 275

0,381

0,445

0,487

0,597

30

0, 296

0,349

0,409

0,449

0,554

35

0, 275

0,325

0,381

0,418

0,519

40

0, 257

0,304

0,358

0,393

0,490

45

0, 243

0,288

0,338

0,372

0,463

Wartości krytyczne współczynnika korelacji r

kr

k



Metrologia II

40

Przykład.
Na poziomie istotności α = 0,01 sprawdzić, czy pomiędzy I oraz U istnieje korelacja liniowa.

Lp

I [mA]

U [V]

1

2,23

0,342

0,763

4,9729

0,1170

2

2,45

0,333

0,816

6,0025

0,1109

3

5,09

0,332

1,6639

25,9081

0,1037

4

5,99

0,312

1,869

35,8801

0,0973

5

5,78

0,300

1,734

33,4084

0,0900

6

6,48

0,290

1,879

41,9904

0,0841

7

7,98

0,276

2,202

63,6804

0,0762

8

8,44

0,262

2,211

71,2336

0,0610

9

9,45

0,247

2,334

89,3025

0,0610

10

11,04

0,228

2,517

121,8816

0,0520

Suma

64,93

2,912

17,9646

494,2605

0,8608

i

x

i

y

i

y

x 

1

2

i

x

2

i

y

















977

0

912

2

8608

0

10

93

64

2605

494

10

912

2

93

64

9646

17

10

2

2

,

,

,

,

,

,

,

,























r

Z tablic rozkładu Studenta dla α = 0,01 i liczby stopni swobody k

r

= n – 2 znajdujemy r

kr

=

0,765; . Oznacza to, że z prawdopodobieństwem P = 99,99 można przyjąć istnienie
korelacji liniowej między wartościami napięcia i prądu.

r

r

kr



Metrologia II

41

REGRESJA

Równanie regresji liniowej dla par wyników (x

i

, y

i

)

i

i

x

b

a

y







a, b – współczynniki regresji liniowej, wyznaczane metodą najmniejszych kwadratów, w której
zakłada się: suma kwadratów różnic wartości pomiarowych i obliczeniowych w równaniu
regresji jest najmniejsza.

Równanie regresji przyjęte do opisu

zależności

 

m

m

x

A

x

A

x

A

A

x

f











.....

2

2

1

0

 

m

i

m

i

i

i

i

i

i

x

A

x

A

x

A

A

y

x

f

y

y





















.......

2

2

1

0

x

f(x)

f(x

i

)

y

i

∆y

i

Metrologia II

42

Zgodnie z warunkiem wynikającym MNK

 

2

1

 





n

i

i

y

E

Funkcja E osiągnie minimum gdy pierwsze jej pochodne względem nieznanych
współczynników A

0

÷A

m

będą się zerowały.





0

......

2

1

2

2

1

0

0























n

i

m

i

m

i

i

i

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E





0

2

1

2

2

1

0

1























i

n

i

m

i

m

i

i

i

x

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E

......





0

......

2

2

1

2

2

1

0

2























i

n

i

m

i

m

i

i

i

x

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E





0

......

2

1

2

2

1

0























m

i

n

i

m

i

m

i

i

i

m

x

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E

……..

= minimum





2

2

2

1

0

1

m

i

m

i

i

i

n

i

x

A

x

A

x

A

A

y















......

Metrologia II

43

W przypadku założenia liniowej zależności między zmiennymi x i y równanie regresji:

x

A

A

y

i







1

0

wówczas będzie:





0

2

1

1

0

0



















n

i

i

i

x

A

A

y

A

E





0

2

1

1

0

1



















i

n

i

i

i

x

x

A

A

y

A

E

Po przekształceniu otrzymuje się wyrażenia dla wyznaczenia wartości współczynników:







































n

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

i

i

x

x

n

y

x

y

x

n

A

1

2

1

2

1

1

1

1











































n

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

i

x

x

n

y

x

x

y

x

A

1

2

1

2

1

1

1

1

2

0

Metrologia II

44

Przykład.
Obliczyć współczynniki regresji liniowej przy założeniu, że zależność między napięciem U i

prądem I z

poprzedniego zadania ma postać:

I

A

A

U

1

0









013

,

0

93

,

64

2605

,

494

10

912

,

2

93

,

64

6946

,

17

10

2

1

















A

376

,

0

0



A

Metrologia II

45

WŁASNOŚCI STATYCZNE PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH

Charakterystyka

statyczna

x

y

y = f(x) – funkcja przetwarzania, wykres funkcji przetwarzania nazywa się charakterystyką statyczną.

A

B

x

min

x

max

y

max

y

min

y

x

Metrologia II

46

Charakterystyka statyczna liniowego przetwornika jest linią prostą, funkcja przetwarzania:





min

min

max

min

max

min

x

x

x

x

y

y

y

y











Podstawiając w równaniu (1): - czułość przetwornika
otrzymuje się:

min

max

min

max

x

x

y

y

S











min

min

x

x

S

y

y









min

min

x

S

x

S

y

y











min

min

x

S

y

x

S

y











Ostatnią zależność można zapisać w postaci :

)

(x

y

y

x

S

y

l

o









min

min

x

S

y

y

o







(1)

Metrologia II

47

Sygnał wejściowy x (0÷10

4

Pa)

Sygnał wyjściowy y (4÷20 mA)

Funkcja przetwornika:

4

10

6

1

3











x

y

,

Termoelement

C

mV

04

0

C

100

C

250

mV

4

mV

10















,

S

;

Sygnał wejściowy x (100÷250 °C)

0

C

100

C

mV

04

0

mV

4













,

o

y

;

Sygnał wyjściowy y (4÷10 mV)

Funkcja przetwornika:

x

y



 04

0,

Pa

mA

10

6

1

Pa

10

mA

16

3

4









.

S

mA

4

0

Pa

mA

10

6

1

mA

4

3

0













,

y

Przetwornik ciśnienia

Metrologia II

48

Nieliniowość

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

o

l

n

y

x

S

x

y

x

y

x

y

x

y













)

(

)

(

x

y

y

x

S

x

y

n

o









y

min

=

y

0

y

y

max

x

min

x

1

x

max

x

y

l

(x

1

)

y (x

1

)

A(x

min

,y

min

)

B(x

max

,y

max

)

y

n

(x

1

)

y

l

(x)

y

(x)

x

y

n

(x)

x

min

x

ma

x

y

n

(x)

m

ax

Metrologia II

49

Uchyb nieliniowości

%

)

(

min

max

max

100









y

y

x

y

n

n

Funkcja przetwarzania nieliniowego przetwornika wyrażona jako wielomian:

m

m

x

a

x

a

x

a

a

x

y











.....

)

(

2

2

1

0

Funkcja przetwarzania termoelementu typu miedź – konstantan.
Sygnał wejściowy x – temperatura spoiny w [°C]. Sygnał wyjściowy y – napięcie w V.
Funkcja przetwarzania ma postać:

4

6

3

4

2

2

10

195

2

10

071

2

10

319

3

74

38

)

(

x

x

x

x

x

y





















,

,

,

,

(2)

Metrologia II

50

Czułość S, stała C

dx

dy

S 

S

C

1



3

6

2

4

2

10

780

8

10

213

6

10

638

6

74

38

x

x

x

dx

dy

x

S























,

,

,

,

)

(

S = constans, C = constans dla przetwornika liniowego.

Znając wartość sygnału wyjściowego przetwornika liniowego można wyznaczyć wartość

sygnału wejściowego (mierzonego) z zależności:

W przetwornikach nieliniowych wartość czułości S zależy od wartości mierzonego sygnału x.
Dla termometru, którego funkcję przetwarzania opisuje (2) wartość czułości wynika z
zależności:

S

y

x 

Metrologia II

51

Niejednoznaczność

y

x

x

max

x

1

x

min

y

min

y

max

y(x

1

)

r

y(x

1

)

m

Uchyb histerezy

%

|

)

(

)

(

|

min

max

max

100

y

y

x

y

x

y

m

r

h









Metrologia II

52

Rozdzielczość

Uchyb rozdzielczości

%

min

max

100

x

x

x

r









y

x

x

max

x

min

y

min

y

max

∆x

R

l

l ≡ x

R ≡ y

Metrologia II

53

Klasa dokładności

y

%

min

max

max

100

y

y

y









Klasa dokładności zawiera w sobie wszystkie wyszczególnione poprzednio uchyby. Znajomość

klasy

dokładności pozwala na wyznaczenie przedziału, w którym mieści się wartość sygnału

wyjściowego y, dla

każdej wartości sygnału wejściowego x.

max

)

(

)

(

y

x

y

x

y

l







max

max

)

(

)

(

)

(

y

x

y

x

y

y

x

y

l

l













x

max

x

min

y

min

y

max

∆y

ma

x

x

Metrologia II

54

STRUKTURY TORÓW POMIAROWYCH

Szeregowa

x

y

1

y

2

y

);

(x

f

y

1

1



);

(

1

2

2

y

f

y 

)

(

2

3

y

f

y

Przetworniki liniowe:

;

x

S

y

1

1



;

1

2

2

y

S

y 

2

3

y

S

y 

;

x

S

S

S

y

3

2

1



;

3

2

1

S

S

S

S

w



dla n elementów

n

w

S

S

S

S

S

........

3

2

1



Graficzne wyznaczanie charakterystyki statycznej dla struktury szeregowej

y

y

2

x

y

1

(x

)

y

2

(y

1

)

y

1

y(x
)

1

2

3

 





}

{

1

2

3

x

f

f

f

y

y(y

2

)

Metrologia II

55

Równoległa

);

(x

f

y

1

1



);........

(x

f

y

2

2



)

(x

f

y

n

n



n

y

y

y

y









....

2

1

Przetworniki liniowe

;

x

S

y

1

1



;

x

S

y

2

2



x

S

y

n

n







;

.....

x

S

S

S

y

n









2

1

;

x

S

y

w



n

w

S

S

S

S









.....

2

1

Metrologia II

56

Graficzne wyznaczanie charakterystyki statycznej dla struktury równoległej

y(x

a

)=y

1

(x

a

)

+y

2

(x

a

)

y
(x)

y

2

(x

)

y

1

(x

)

x

y

y

2

(x

a

)

y

1

(x

a

)

x

a

Metrologia II

57

Ze sprzężeniem zwrotnym

;

)

(

1

1

x

f

y

;

)

(

2

2

y

f

x 

2

1

x

x

x





)]

(

[

2

1

y

f

x

f

y





Przetworniki liniowe:

;

1

1

x

S

y

;

y

S

x

2

2



2

1

x

x

x





;

)

(

y

S

S

x

S

y

S

x

S

y

2

1

1

2

1









;

x

S

S

S

y

2

1

1

1



;

x

S

y

w



2

1

1

1

S

S

S

S

w





Znak „ - " w mianowniku dla dodatniego sprzężenia zwrotnego.

Metrologia II

58

Graficzne wyznaczanie charakterystyki statycznej dla struktury ze sprzężeniem zwrotnym.

II

II

II

x

x

x

2

1





I

I

I

x

x

x

2

1





III

III

III

x

x

x

2

1





IV

IV

IV

x

x

x

2

1





I

x

1

I

x

2

II

x

1

II

x

2

III

x

1

III

x

2

IV

x

1

IV

x

2

I

y

II

y

III

y

IV

y

y

x

 

1

1

x

f

y

 

y

f

x

1

2



 

x

y

x= x

1

+ x

2

Metrologia II

59

Własności dynamiczne przetworników pomiarowych

Przykład: Termometr z bańką rtęciową.

m [kg]

— masa bańki z rtęcią

c

— ciepło właściwe bańki

— współczynnik wymiany ciepła między bańką a ośrodkiem,  w którym mierzy

się temperaturę

θ

w

[K]

— temperatura własna bańki

θ [K]

— temperatura ośrodka

A [m

2]

— powierzchnia bańki z rtęcią, przez którą następuje wymiana ciepła podczas

pomiaru

W trakcie pomiaru ciepło

dQ

dostarczone do termometru w czasie

dt

jest równe ciepłu

akumulowanemu
w przetworniku.

dQ=α·A·(θ-θ

w

)·dt=m·c·dθ

w

θ

— sygnał wejściowy

θ

w

— sygnał wyjściowy

Dla dostatecznie długiego czasu

θ

wu

=θ

u

]

K

kg

J

[



]

K

m

W

[

2























w

w

dt

d

A

c

m

Metrologia II

60

Przykład:

m [kg]

- masa

k

s

- stała sprężyny

B

- wsp. tłumienia

siła bezwładności

siła tłumienia

siła reakcji sprężyny

W stanie ustalonym

f

o

=k

s

·y

o

f

o

- wartość siły obciążającej

]

m

N

[

]

m

s

N

[ 

k

s

f(t)

B

y(t)

m

y

s

k

t

y

B

t

y

m

t

f







d

d

2

d

2

d

)

(

Metrologia II

61

Różniczkowe równanie opisujące człon liniowy n-tego rzędu

jednowymiarowy.

m

m

m

n

n

n

dt

x

d

b

dt

x

d

b

dt

dx

b

x

b

dt

y

d

a

dt

y

d

a

dt

dy

a

y

a



















.......

......

2

2

2

1

0

2

2

2

1

0











n

k

m

i

i

i

i

k

k

k

dt

x

d

b

dt

y

d

a

0

0

x(t)

y(t)

Metrologia II

62

Przekształcenie Laplace’a

f(t)

– oryginał, funkcja czasu

F(s)

– transformata Laplace’a, funkcja argumentu

s

s=σ+jω

- zapis umowny

Przykłady obliczenia transformat

Funkcja jednostkowa:

Funkcja wykładnicza rosnąca:











0

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

F

st

)]

(

[

)

(

t

f

s

F

L















0

dla

1

0

dla

0

)

(

t

t

t

f































0

1

1

0

)

(

)

(

0

1

1

)

(

)]

(

[

s

s

d

F

g

F

e

s

dt

e

s

F

t

f

st

st

L

0

,

)

(





a

e

t

f

at



































0

)

(

0

)

(

1

0

)

(

1

)

(

)]

(

[

a

s

e

a

s

dt

e

dt

e

e

s

F

t

f

t

a

s

t

a

s

st

at

L

Metrologia II

63

Wybrane twierdzenia dotyczące przekształcenia Laplace’a.

1. 

L[a·f(t)] = a·F(s);

a

- stała

2.  

L[f

1

(t) ± f

2

(t)] = F

1

(s) ± F

2

(s)

3.

4.

5. 

Przejście z postaci operatorowej do postaci czasowej:

f(t)=L

-1

{F(s)}

)

0

(

)

(

f

sF

dt

t

df













L

























n

k

k

n

k

n

n

n

f

s

s

F

s

dt

t

f

d

1

)

(

1

)

0

(

)

(

)

(

L

s

s

F

dt

t

f

t

)

(

)

(

0

















L

Metrologia II

64

Wybrane przykłady oryginałów i odpowiadających im transformat.

s

a

s

F

a

t

f







)

(

)

(

a

s

s

F

e

t

f

at











1

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

s

s

F

t

t

f







)

(

)

(

1

)

(

a

s

s

a

s

F

e

t

f

at













2

)

(

1

)

(

)

(

a

s

s

F

e

t

t

f

at













Metrologia II

65

Przekształcenie operatorowe liniowego równania różniczkowego n-tego

rzędu.

X(s), Y(s)

– transformaty Laplace’a sygnałów: wejściowego i wyjściowego

- transmitancja operatorowa

Y(s)=X(s)·G(s)

y(t)=L

-1

{L[x(t)]G(s)}=L

-1

{X(s)G(s)}

m

m

n

n

s

s

X

b

s

s

X

b

s

s

X

b

s

X

b

s

s

Y

a

s

s

Y

a

s

s

Y

a

s

Y

a

)

(

.......

)

(

)

(

)

(

)

(

.......

)

(

)

(

)

(

2

2

1

0

2

2

1

0



















)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G



m

n

s

a

s

a

s

a

a

s

b

s

b

s

b

b

s

X

s

Y

s

G

n

n

m

m























,

.......

......

)

(

)

(

)

(

2

2

1

0

2

2

1

0

X(s)

Y(s)

G(s)

Metrologia II

66

Przekształcenie Fouriera, transmitancja widmowa.

Sygnał harmoniczny

x(t)=X

m

sin(ωt+φ

x

)

, X

m

– amplituda; ω - pulsacja; φ

x

– faza

y(t)=Y

m

sin(ωt+φ

y

)

Transformata Fouriera, przypadek transformaty Laplace’a gdy w operatorze

s=σ+jω , σ=0 →G(s)≡G(jω)

- transmitancja widmowa

)

(

)

(

)

(

.......

)

(

)

(

)

(

......

)

(

)

(

)

(

2

2

1

0

2

2

1

0



















j

X

j

Y

j

a

j

a

j

a

a

j

b

j

b

j

b

b

j

G

n

n

m

m





















x

m

φ

x

x

t







2



Metrologia II

67

Sinusoidalny przebieg wyjściowy można określić znając transmitancję widmową

G(jω)

oraz

przebieg harmonicznego sygnału wejściowego

Y(jω)=X(jω)G(jω)

Sygnał wejściowy w postaci trygonometrycznie zapisanej funkcji zespolonej

zapis trygonometryczny zapis wykładniczy

Sygnał wyjściowy

,

Y

m

– amplituda

harmonicznego

sygnału wyjściowego





)

(

)

sin(

)

cos(

)

(

x

t

j

m

x

x

m

e

X

t

j

t

X

j

X































)

(

)

sin(

)

cos(

)

(

y

t

j

m

y

y

m

e

Y

t

j

t

Y

j

Y



























)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

y

x

y

j

m

m

t

j

m

t

j

m

e

X

Y

e

X

e

Y

j

X

j

Y

j

G































Metrologia II

68

- moduł transmitancji widmowej

φ=φ

y

-φ

x

– argument transmitancji widmowej

Transmitancja widmowa wyrażona algebraicznie

Charakterystyki częstotliwościowe:

- amplitudowa

|G(jω)|=f(ω

)

- fazowa

φ=g(ω)

m

m

X

Y

j

G



)

(



)

(

)

(

)

(







jQ

P

j

G





)

(

)

(

)

(

2

2







Q

P

X

Y

j

G

m

m







)

(

)

(







P

Q

arctg



Metrologia II

69

Ocena własności dynamicznych przetworników

Sygnały standardowe stosowane do oceny własności dynamicznych przetworników:

- skok jednostkowy

x(t)=A 1(t)

- skok prędkości

x(t)=at 1(t)

- impuls Diraca

x(t)=δ(t)

X(s)=1

x

t

A

s

A

s

X



)

(

2

)

(

s

a

s

X



x

t

α=arctg
a

t

x

Metrologia II

70

Przetwornik 0-go rzędu

a

0

y(t)=b

0

x(t)

transformata

a

0

Y(s)=b

0

X(s)

Transmitancja

- czułość

Charakterystyki czasowe przetwornika

a) odpowiedź na wymuszenie skokowe

x(t)=A 1(t)

S

a

b

s

X

s

Y

s

G







0

0

)

(

)

(

)

(

AS

S

s

A

S

t

A

t

y























1

1

1

L

L

L

}

)]

(

[

{

)

(

y

t

AS

A

x

t

Metrologia II

71

b) odpowiedź na skok prędkości sygnału (sygnał liniowy)

x(t)=at

x=at

x

t

α=arctg
a

aSt

S

s

a

S

at

t

y























2

1

1

}

]

[

{

)

(

L

L

L

y

t

β=arctg
aS

y=a

St

Metrologia II

72

Charakterystyki częstotliwościowe:

Transmitancja widmowa

Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa     Charakterystyka fazowo-
częstotliwościowa

S

j

X

j

Y

j

G





)

(

)

(

)

(







0

)

(

)

(

)

(

j

S

jQ

P

j

G















S

P

Q

P

j

G









)

(

)

(

)

(

)

(

2

2









0

0





S

arctg



S

ω

m

m

X

Y

j

G



)

(



φ=φ

y

-φ

x

ω

Metrologia II

73

Przykład:

dzielnik napięcia

y=U

2

R

1

R

2

x=U

1

I

2

2

2

1

1

R

U

R

R

U





2

1

2

1

2

R

R

R

U

U





.

2

1

2

const

R

R

R

S







Metrologia II

74

Przykład:

dźwignia mechaniczna

Dla małych przemieszczeń



tg

b

t

y

a

t

x





)

(

)

(

)

(

)

(

t

x

a

b

t

y



S

a

b



α

y(t)

x(t)

a

b

Metrologia II

75

Przetworniki I-go rzędu.

Model przetwornika

Operatorowo

Podstawienia

Transmitancja operatorowa

x

b

y

a

dt

dy

a

0

0

1





S

a

b



0

0

T

a

a



0

1

0

0

0

1

a

s

X

b

s

Y

a

s

s

Y

a

:

/

)

(

)

(

)

(





Ts

S

s

X

s

Y

s

G







1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

X

a

b

s

Y

s

s

Y

a

a

0

0

0

1





)

(

)

(

)

(

s

SX

s

Y

s

s

TY





Metrologia II

76

Charakterystyki czasowe:

a) Przenoszenie sygnału skokowego

Błąd dynamiczny przetwornika I-go rzędu przy wejściowym sygnale skokowym:

x

t

A

x

t

AS

T

y

t

AS

y

i

=AS

Δy

d

)

1

(

T

t

rz

e

AS

y







t

-AS

Δy

d

)

(

1

)

(

t

A

t

x



s

A

s

X



)

(



































 























T

s

s

T

AS

Ts

S

s

A

t

y

1

1

1

)

(

1

1

L

L



















T

t

e

AS

t

y

1

)

(

T

t

T

t

i

rz

d

ASe

AS

e

AS

y

y

y

































1

Metrologia II

77

b) Przenoszenie sygnału liniowego (skok prędkości)

po rozkładzie na ułamki proste:

Korzystając z tablic otrzymuje się oryginał
sygnału wyjściowego

t

x

x=at

y

i

=aS

t

t

y

d

y



)

1

(

T

t

rz

e

aST

aSt

y









t

Δy

d

-aST

at

t

x



)

(

2

)

(

s

a

s

X



































 























T

s

s

T

aS

Ts

S

s

a

t

y

s

1

1

1

2

1

1

L

L

)

(



































T

s

T

s

T

s

aS

t

y

1

1

1

2

1

L

)

(









































T

t

T

t

e

aST

aSt

Te

T

t

aS

t

y

1

)

(

aSt

e

aST

aSt

y

y

y

T

t

i

rz

d





























1























T

t

d

e

aST

y

1

Metrologia II

78

Charakterystyki częstotliwościowe przetworników I-go rzędu:

-transmitancja widmowa

Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa

Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa

T

j

S

j

G









1

)

(

,

1

1

1

1

1

2

)

(

)

(

)

(

T

T

j

S

T

j

T

j

T

j

S

j

G





























;

1





j

1

2





j

)

(

)

(

|

)

(

|

2

2







Q

P

j

G









m

m

X

Y

T

S

T

T

S

j

G













2

2

2

2

)

(

1

)

(

1

)

(

1

|

)

(

|









)

(

)

(







P

Q

tg 

)

(

)

(







Q

P

arctg



)

( T

arctg









|G(jω)|

S

przetwornik idealny

m

m

X

Y

T

1

T

2

T

3

T

1

<T

2

<T

3

ω

przetwornik idealny

T

1

T

2

T

3

ω

φ

2





4





Metrologia II

79

Przykład:

nawiązanie do przykładu I

-stała czasowa

θ=x

temp. mierzona (ośrodka)

θ

w

=y

temp. wskazywana przez termometr

















w

w

dt

d

A

c

m

T

A

c

m









s

s

J

J

W

J

m

K

m

W

K

kg

J

kg

2

2













)

(

)

(

)

(

s

s

s

s

T

w

w











Ts

s

s

s

G

w







1

1

)

(

)

(

)

(





K

K

1



S

Metrologia II

80

Przykład:

Temperatura ośrodka wynosi ok. 60°C. Wyznaczyć czas, po którym można odczytać
temperaturę ośrodka mierzoną termometrem o stałej czasowej

T

= 60 s, aby błąd

dynamiczny pomiaru był nie większy niż 1°C. Temperatura termometru przed pomiarem
wynosi 20°C.

Zadanie dotyczy odpowiedzi przetwornika I-go rzędu na skok sygnału wejściowego

θ

0

=20°C

temp. początkowa

θ=60°C

temp. końcowa

T

t

d

ASe

y









0









A

T

t

d

e

y















)

C

20

C

60

(

C

1





d

y

;

40

1

T

t

e





;

40

1

T

t

e





;

40

1

ln

T

t





;

40

1

ln

T

t 



s

222

7

3

6

3

2

40

1

















T

T

T

t

,

)

,

(

)

ln

(ln

K

K

1



S

Metrologia II

81

Przykład:

Stała czasowa termometru

T

=3 s, po czasie

t

=3 s temperatura wskazywana przez

termometr wynosi 60°C. obliczyć temperaturę ośrodka, w którym termometr jest
zanurzony.

θ

m

-temp. mierzona (wskazywana przez

termometr)

θ

0

-temp. ośrodka



















T

t

m

e

1

0





C

94

1

1

60

1

0















e

e

T

t

m





Metrologia II

82

θ

w

θ

m

t

20,6°C

θ

w

θ

m

10°C

17s

Przykład:

Sinusoidalnie zmienną temperaturę mierzono termometrem o stałej czasowej

T

=30 s.

Częstotliwość zmian temperatury

f

=0,01 Hz. Amplituda wskazań termometru wynosi

θ

wm

=10°C. wyznaczyć amplitudę zmian temperatury mierzonej

θ

mm

i opóźnienie wskazań

termometru.

Okres sinusoidy

τ

odpowiada

kątowi 2

π

rad. =6,28 rad

τ

→ 6,28 rad. Kątowi

φ

odpowiada czas

t

1

t

1

→

1,06 rad

s

1

06

0

s

1

01

0

14

3

2

2

,

,

,









 f





2

)

(

1

|

)

(

|

T

S

X

Y

j

G

wm

wm

m

m

















C

6

,

20

)

30

06

,

0

(

1

10

)

(

1

2

2















T

wm

mm







rad

arctg

arctg

T

arctg

06

,

1

8

,

1

)

30

06

,

0

(

)

(























f

1





s

17

01

0

28

6

06

1

28

6

06

1

28

6

06

1

1















,

,

,

,

,

,

,

f

t



Metrologia II

83

Przetworniki II-go rzędu.

Model matematyczny

Podstawienia:

ω

0

— pulsacja drgań własnych

ξ

— względny współczynnik tłumienia

S

— czułość

Postać operatorowa

— transmitancja operatorowa

0

0

0

1

2

2

2

:

/ a

x

b

y

a

dt

dy

a

dt

y

d

a







x

a

b

y

dt

dy

a

a

dt

y

d

a

a

0

0

0

1

2

2

0

2







,

2

0

0

a

a





,

2

2

0

1

a

a

a





0

0

a

b

S 

2

0

0

2

2

0

/

)

(

)

(

)

(

2

)

(

1

















s

SX

s

Y

s

s

Y

s

s

Y

)

(

)

2

)(

(

2

0

2

0

0

2

s

X

S

s

s

s

Y













2

0

0

2

2

0

2

)

(

)

(

)

(















s

s

S

s

X

s

Y

s

G

Metrologia II

84

Własności dynamiczne w dziedzinie czasu.

a) Przenoszenie sygnału skokowego

sygnał wyjściowy

Dla wyznaczenia oryginału rozkłada się wyrażenia na ułamki proste przedstawiając
trójmian
w mianowniku w postaci iloczynowej

(s-s

1

)(s-s

2

).

Ze względu na wartość

ξ

wyróżnia się dwa przypadki:

1a)

ξ

>1 pierwiastki s

1

i s

2

są rzeczywiste, różne

wówczas

1b)

ξ

=1 przypadek graniczny, istnieje jeden pierwiastek podwójny

s

1

=s

2

wówczas

)

(

1

)

(

t

A

t

x





























2

0

2

0

2

2

0

1

1

2

)}

(

)]

(

[

{

)

(







s

s

S

s

A

s

G

t

x

t

y

L

L

L

)

1

(

4

4

4

4

2

2

0

2

0

2

0

2

2

























ac

b





1

2

1

2

2

2

0

2

0

0

2

,

1





























s

,

1

)

1





1

0

)

2







,

)

(











































2

2

1

1

2

1

1

1

T

t

T

t

e

T

e

T

T

T

AS

t

y





1

1

,

2

0

2

1













T

T

,

1

1

)

(























 







T

t

e

T

t

AS

t

y

0

1





T

Metrologia II

85

2) 0 <

ξ

< 1 wówczas trójmian ma dwa pierwiastki nierzeczywiste, które są liczbami

zespolonymi
sprzężonymi.

wówczas odpowiedź ma przebieg

— pulsacja drgań tłumionych

























)

sin(

1

1

1

)

(

1

2

0









t

e

AS

t

y

t

2

0

1

1











Metrologia II

86

t

AS

y

Metrologia II

87

t

AS

y

x

t

A

0   1

 = 1

 

1

Metrologia II

88

t

AS

y

x

t

A

t

AS

y

m

y



1



1

0







T

I

T

II

1





1

2

2

1

2

1

2

1

T

T

T

II

I

T

T

T

T

T

T

T





















2

1

0

1

1

ξ

-

1

ω

ω

,

τ

π

2

ω







1

- okres oscylacji

tłumionych

y

m

- przelot

)

ξ

1

ξπ

exp(

2

m









AS

y

Metrologia II

89

2

0

0

2

2

0

2

)

(

)

(

)

(















s

s

S

s

X

s

Y

s

G

2

0

0

2

2

0

)

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

























j

j

S

j

X

j

Y

j

G

2

0

2

2

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

2

1

2

1

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(



































































































































































































j

S

j

G

j

j

j

S

j

S

j

G



























0

0

2

0

2

2

0

2

arctg

)

(

2

1

)

(

















































S

j

G

WŁASNOŚCI DYNAMICZNE PRZETWORNIKA II-GO RZĘDU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

Transmitancja widmowa przetwornika po wstawieniu w transmitancji operatorowej s = j



Charakterystyka

Charakterystyka

amplitudowo-częstotliwościowa fazowo-

częstotliwościowa

Metrologia II

90

Wykres charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej

przetwornika II-go rzędu

m

m

X

Y

j

G



)

(



2

0

2

1











r

2

0

1

1

5

,

0

(

)

(



















j

G

j

G

M

r

0









1

r





2

r





3

r



1



2



3



4



1

 

2

 

3

 

4



r

– pulsacja rezonansowa, przy której moduł rezonansowy M

r

osiąga

wartość maksymalną

S

Metrologia II

91

0





φ

-π

2





ξ

1

ξ

2

ξ

3

Wykres charakterystyki fazowo-częstotliwościowej przetwornika

II-go rzędu



1

 

2

 

3

1

Metrologia II

92

Przykład:

k

s

f(t)

B

m

y(t
)

)

(

)

(

0

0

2

2

t

f

y

k

y

y

k

dt

dy

B

dt

y

d

m

s

s













)

(t

f

y

k

dt

dy

B

dt

y

d

m

s

=

+

+

2

2

m

a 

2

B

a 

1

s

k

a 

0

1

0



b

s

k

S

1



m

k

s



0



m

k

B

s

2





Metrologia II

93

Przykład:

Dla stalowego elementu sprężystego czujnika siły wyznaczyć częstotliwość drgań własnych

f

0

. Dane: moduł Younga

E

=210·10

9

Pa,

l

0

= 0,1 m, gęstość

ρ

= 7,8·10

3

kg/m

3

.

— z prawa Hooke’a;





2

0

0



f

m

k

s



0



V

m





l

F

k

s





V

l

F









0

E

l

l











0

1

A

F























3

-

m

kg

Pa

m

1

;

E

l

0

0

1

1

2

3

2

s

kg

m

s

m

kg

m

1

kg

m

N

m

1

m

kg

m

N

m

1



































































Hz

8260

≈

10

8

7

10

21

1

0

28

6

1

2

1

3

10

0

0

•

•

•

=

=

,

,

,





E

l

f

EA

F

l

E

l

l

0

0



















2

0

0

0

0

l

E

Al

EA

F

l

F

m

F

Δl

l

0

Metrologia II

94

Przetwornik sejsmiczny.

obudowa czujnika

—sztywność sprężyny

—współczynnik tłumienia

—masa

element sztywno związany

z obudową czujnika

poziom odniesienia

Sejsmiczny czujnik do pomiaru przemieszczeń—wibrometr.

x(t)

—sygnał wejściowy—przemieszczenie obudowy przetwornika względem poziomu

odniesienia

y(t)

—sygnał wyjściowy—przemieszczenie masy względem obudowy

u(t)

—przemiesczenie masy względem poziomu odniesienia









m

N

s

k









m/s

N

B

[kg]

m

k

s

m

y(t)

u(t)

x(t)

B

Metrologia II

95

Równanie równowagi sił działających na ciężar o masie m.

—siły bezwładności, tłumienia, sprężystości

podstawienia:

—pulsacja drgań swobodnych

—względny współczynnik tłumienia

0







s

t

b

F

F

F

s

t

b

F

F

F

,

,

2

2

dt

u

d

m

F

b



dt

dy

B

F

t



y

k

F

s

s



)

(

)

(

)

(

t

x

t

y

t

u





0

2

2







y

k

dt

dy

B

dt

u

d

m

s

0

)

(

2

2









y

k

dt

dy

B

dt

x

y

d

m

s

2

2

2

2

dt

x

d

m

y

k

dt

dy

B

dt

y

d

m

s









2

2

2

2

dt

x

d

k

m

y

dt

dy

k

B

dt

y

d

k

m

s

s

s









m

k

s



0



m

k

B

s

2





2

2

2

0

0

2

2

0

1

2

1

dt

x

d

y

dt

dy

dt

y

d

















Metrologia II

96

Transformata Laplace’a obu stron

2

2

0

0

2

2

0

)

(

1

)

(

)

(

2

)

(

1

s

s

X

s

Y

s

s

Y

s

s

Y

















1

2

)

(

)

(

)

(

0

2

0

2

2

0

2











s

s

s

s

X

s

Y

s

G









0

2

0

2

0

2

1

)

(

)

(

)

(





















j

j

X

j

Y

j

G



































j

s 









2

1

)

(

2

2

j

j

G







0









Metrologia II

97

Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa

2

2

2

2

)

2

(

)

1

(

|

)

(

|

















m

m

X

Y

j

G

6

5

4

3

2

1























0





 

|

)

(

|



j

G

1



1

r



1

1

2

r



3

r



4

r



2



3



4



5



6



Metrologia II

98

Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa

0









φ

-π

2





ξ

1

ξ

2

ξ

3

1

2

1

2

)

(













 arctg

2

0

2

1

1











R

2

1

2

1

)|

(

|

|

)

(

|





















j

G

j

G

M

R

R

Metrologia II

99

Poprawne pomiary wibrometrem gdy

Wibrometr charakteryzuje mała wartość

ω

0

, miękka sprężyna (małe

k

s

), duża wartość

masy

m

.

5

,

0

2

,

0

)

4

3

(

0

















i

1

0





 

|

)

(

|



j

G

0





 

φ

2





-π

1

Metrologia II

100

Akcelerometr—sejsmiczny czujnik przyspieszenia

—sygnał wejściowy

y(t)

—sygnał wyjściowy

operatorowo:

Transmitancja widmowa:

2

2

)

(

dt

x

d

t

z 

z

y

dt

dy

dt

y

d

2

0

0

2

2

0

1

2

1

















)

(

1

)

(

)

(

2

)

(

1

2

0

0

2

0

s

Z

s

Y

s

s

Y

s

s

Y

















0

2

0

2

0

2

1

1

)

(

)

(

)

(

















j

j

Z

j

Y

j

G























0





 

2

2

2

2

2

0

)

2

(

)

1

(

2

1

1

)

(

























j

j

G

m

m

Z

Y

j

G











2

2

2

2

0

)

2

(

)

1

(

1

1

|

)

(

|









4

3

2

1















0









1



2



3



4



1

0

1



|

)

(

|



j

G

Metrologia II

101

Warunek poprawnego pomiaru

ω<<ω

0

. im mniejsze tłumienie tym węższe

pasmo częstotliwości, w którym nie następują zniekształcenia amplitudowe.

2

1

2

)

(













 arctg

2

0

2

1











R

1

φ

2





-π

0





 

1



2

