Mocy w obwodach RCL prądów
i napięć sinusoidalnych
Moc
Mocy w obwodach RCL prądów
i napięć sinusoidalnych
Moc
Moc chwilowa
Moc chwilowa
P(t)
, jest funkcją czasu i określa się ją
jako
iloczyn wartości chwilowych prądu
i(t)
oraz napięcia
U(t)
w obwodzie:
P(t) = U(t) i(t)
.
)
t
sin(
U
)
t
(
U
u
m
)
t
sin(
i
)
t
(
i
i
m
)
t
sin(
)
t
sin(
i
U
)
t
(
i
)
t
(
U
)
t
(
P
i
u
m
m
Dla napięć i prądów sinusoidalnych
moc chwilowa
równa się:
)
t
2
cos(
)
cos(
2
i
U
)
t
(
P
i
u
i
u
m
m
Moc chwilowa
posiada dwie składowe:
stałą
oraz zmienną w czasie,
o częstotliwości
dwukrotnie większej
od
częstotliwości napięcia i prądu w obwodzie.
)
cos(
i
U
)
cos(
2
i
U
P
i
u
sk
sk
i
u
m
m
st
)
t
2
cos(
i
U
)
t
2
cos(
2
i
U
)
t
(
P
i
u
sk
sk
i
u
m
m
zm
Jest zatem wielkością zmienną w czasie opisaną
funkcją
okresową harmoniczną. Moc chwilowa nie ma
zastosowania praktycznego, natomiast jest
niezbędna
dla zdefiniowania mocy czynnej.
P, U, i
t
P(t)
U(t
)
i(t
)
U
sk
i
sk
cos
Moc czynną
definiuje się jako wartość średnią
całookresową mocy chwilowej:
T
t
t
cz
0
0
dt
)
t
(
P
T
1
P
Po podstawieniu do wzoru wyrażenia na moc
chwilową
otrzymujemy:
)
cos(
i
U
)
cos(
2
i
U
P
i
u
sk
sk
i
u
m
m
cz
Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu
sinusoidalnym jest
składową stałą mocy chwilowej równą iloczynowi
modułów
wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa
kąta
przesunięcia fazowego między wektorem napięcia i
prądu.
Współczynnik ten posiada istotne znaczenie w
praktyce i
nosi specjalną nazwę
współczynnika mocy cos(
u
-
i
)
Moc czynna osiąga wartość największą
P
cz
= U
sk
i
sk
wtedy, gdy
cos(
u
-
i
) = 1
, to znaczy gdy
odbiornik ma
charakter
rezystancyjny
,
u
-
i
= 0.
Wartość najmniejszą (P = 0) moc osiąga w
przypadku
granicznym, gdy
u
-
i
= ±
/2, to znaczy gdy
odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator
idealny
cos(
u
-
i
) = 0
.
Na elementach reaktancyjnych nie wydziela
się
moc czynna.
W obwodach elektrycznych prądu
sinusoidalnego
definiuje się wielkość energetyczną będącą
iloczynem
napięcia skutecznego, prądu skutecznego oraz
sinusa
kąta przesunięcia fazowego między nimi.
Wielkość ta oznaczana jest literą
Q
i nazywana
mocą
bierną
Jednostką mocy biernej jest
war (var)
będący
skrótem
nazwy wat reaktywny.
Q = U
sk
i
sk
sin (
u
-
i
)
Moc bierna
może się więc wydzielać jedynie na
elementach
reaktancyjnych
, gdyż tylko dla nich przesunięcie
fazowe
prądu i napięcia jest różne od zera.
Przesunięcie fazowe prądu i napięcia na elementach
reaktancyjnych
(
cewce
i
kondensatorze
) przyjmuje
wartość
+
/2
dla cewki oraz
-
/2
dla kondensatora, to
znaczy:
sin (
u
-
i
) = 1
dla cewki
(moc bierna cewki jest uważana za dodatnią) oraz
sin (
u
-
i
) = –1
dla kondensatora
(moc bierna kondensatora jest uważana za ujemną).
Przy pominięciu znaku wzór na moc bierną
elementów
reaktancyjnych o reaktancji X może być
przedstawiony w
trzech równorzędnych postaciach
Q = U
sk
i
sk
sin (
u
-
i
) = X i
sk
2
= (1/X) U
sk
2
Moc pozorna
jest iloczynem wartości skutecznych
prądu i
napięcia i oznaczana literą
S
:
S = U
sk
i
sk
Moc czynna, bierna i pozorna powiązane są
zależnością:
2
i
u
sk
sk
2
i
u
sk
sk
2
2
2
sin(
i
U
cos(
i
U
Q
P
S
2
2
Q
P
S
Moc pozorna definiowana jest formalnie jako
liczba
zespolona w postaci iloczynu wartości
skutecznej
zespolonej napięcia
U
i wartości skutecznej
sprzężonej
prądu
i
Tak zdefiniowana moc pozorna przedstawia sobą
sumę
mocy czynnej (część rzeczywista S) oraz mocy
biernej
(część urojona S), stąd
S = U
sk
i
sk
*
S = P + j
Q
Mocy pozornej
można przyporządkować
wykres
wektorowy mocy, tzw.
trójkąt mocy
.
P
Q
S
=
u
-
i
Całkowita moc pozorna
wytworzoną przez
źródło
lub
wiele źródeł występujących w obwodzie
elektrycznym
S
g
jest równa sumie mocy pozornych wydzielonych w
elementach odbiornika
S
o
.
Zasada bilansu mocy
w obwodach
elektrycznych.
Zasada bilansu mocy
wynika z prawa zachowania
energii.
Obie moce muszą być sobie równe:
S
g
= S
o
.
Zwroty
prądów
i
napięć
w elementach
obciążających
źródło ( odbiornikach ) są
przeciwne
a w
elementach
źródłowych
zwroty
są
zgodne
.
R
U
RL
L
C
i
R
i
L
i
C
E
i
C
U
RL
U
C
E
i
R
i
L
i
C
•
