Mocy w obwodach RCL prądów

i napięć sinusoidalnych

Moc

Moc chwilowa

Moc chwilowa

P(t)

, jest funkcją czasu i określa się ją

jako

iloczyn wartości chwilowych prądu  

i(t)

oraz napięcia

U(t)

w obwodzie:

P(t) = U(t) i(t)

.

)

t

sin(

U

)

t

(

U

u

m









)

t

sin(

i

)

t

(

i

i

m









)

t

sin(

)

t

sin(

i

U

)

t

(

i

)

t

(

U

)

t

(

P

i

u

m

m



















Dla napięć i prądów sinusoidalnych

moc chwilowa

równa się:





)

t

2

cos(

)

cos(

2

i

U

)

t

(

P

i

u

i

u

m

m





















Moc chwilowa

posiada dwie składowe:

stałą

oraz zmienną w czasie,

o częstotliwości

dwukrotnie większej

od

częstotliwości napięcia i prądu w obwodzie.

)

cos(

i

U

)

cos(

2

i

U

P

i

u

sk

sk

i

u

m

m

st

















)

t

2

cos(

i

U

)

t

2

cos(

2

i

U

)

t

(

P

i

u

sk

sk

i

u

m

m

zm

























Jest zatem wielkością zmienną w czasie opisaną
funkcją

okresową harmoniczną. Moc chwilowa nie ma

zastosowania praktycznego, natomiast jest
niezbędna

dla zdefiniowania mocy czynnej.

P, U, i

t

P(t)

U(t
)

i(t
)

U

sk

i

sk

cos



Moc czynną

definiuje się jako wartość średnią

całookresową mocy chwilowej:









T

t

t

cz

0

0

dt

)

t

(

P

T

1

P

Po podstawieniu do wzoru wyrażenia na moc
chwilową

otrzymujemy:

)

cos(

i

U

)

cos(

2

i

U

P

i

u

sk

sk

i

u

m

m

cz

















Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu
sinusoidalnym jest

składową stałą mocy chwilowej równą iloczynowi
modułów

wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa
kąta

przesunięcia fazowego między wektorem napięcia i
prądu.

Współczynnik ten posiada istotne znaczenie w
praktyce i

nosi specjalną nazwę

współczynnika mocy cos(



u

-



i

)

Moc czynna osiąga wartość największą

P

cz

= U

sk

i

sk

wtedy, gdy

cos(



u

-



i

) = 1

, to znaczy gdy

odbiornik ma

charakter

rezystancyjny

,



u

-



i

= 0.

Wartość najmniejszą (P = 0) moc osiąga w
przypadku

granicznym, gdy



u

-



i

= ±



/2, to znaczy gdy

odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator
idealny

cos(



u

-



i

) = 0

.

Na elementach reaktancyjnych nie wydziela
się

moc czynna.

W obwodach elektrycznych prądu
sinusoidalnego

definiuje się wielkość energetyczną będącą
iloczynem

napięcia skutecznego, prądu skutecznego oraz
sinusa

kąta przesunięcia fazowego między nimi.

Wielkość ta oznaczana jest literą

Q

i nazywana

mocą

bierną

Jednostką mocy biernej jest

war (var)

będący

skrótem

nazwy wat reaktywny.

Q = U

sk

i

sk

sin (



u

-



i

)

Moc bierna

może się więc wydzielać jedynie na

elementach

reaktancyjnych

, gdyż tylko dla nich przesunięcie

fazowe

prądu i napięcia jest różne od zera.

Przesunięcie fazowe prądu i napięcia na elementach

reaktancyjnych

(

cewce

i

kondensatorze

) przyjmuje

wartość

+



/2

dla cewki oraz

-



/2

dla kondensatora, to

znaczy:

sin (



u

-



i

) = 1

dla cewki

(moc bierna cewki jest uważana za dodatnią) oraz

sin (



u

-



i

) = –1

dla kondensatora

(moc bierna kondensatora jest uważana za ujemną).

Przy pominięciu znaku wzór na moc bierną
elementów

reaktancyjnych o reaktancji X może być
przedstawiony w

trzech równorzędnych postaciach

Q = U

sk

i

sk

sin (



u

-



i

) = X i

sk

2

= (1/X) U

sk

2

Moc pozorna

jest iloczynem wartości skutecznych

prądu i

napięcia i oznaczana literą

S

:

S = U

sk

i

sk

Moc czynna, bierna i pozorna powiązane są
zależnością:



 



2

i

u

sk

sk

2

i

u

sk

sk

2

2

2

sin(

i

U

cos(

i

U

Q

P

S





















2

2

Q

P

S





Moc pozorna definiowana jest formalnie jako
liczba

zespolona w postaci iloczynu wartości
skutecznej

zespolonej napięcia

U

i wartości skutecznej

sprzężonej

prądu

i

Tak zdefiniowana moc pozorna przedstawia sobą
sumę

mocy czynnej (część rzeczywista S) oraz mocy
biernej

(część urojona S), stąd

S = U

sk

i

sk

*

S = P + j
Q

Mocy pozornej

można przyporządkować

wykres

wektorowy mocy, tzw.

trójkąt mocy

.

P

Q

S





=



u

-



i

Całkowita moc pozorna

wytworzoną przez

źródło

lub

wiele źródeł występujących w obwodzie
elektrycznym

S

g

jest równa sumie mocy pozornych wydzielonych w

elementach odbiornika

S

o

.

Zasada bilansu mocy

w obwodach

elektrycznych.

Zasada bilansu mocy

wynika z prawa zachowania

energii.

Obie moce muszą być sobie równe:

S

g

= S

o

.

Zwroty

prądów

i

napięć

w elementach

obciążających

źródło ( odbiornikach ) są

przeciwne

a w

elementach

źródłowych

zwroty

są

zgodne

.

R

U

RL

L

C

i

R

i

L

i

C

E

i

C

U

RL

U

C

E

i

R

i

L

i

C

•

