Podstawowe typy regulatorów przemysłowych

Najprostszym typem regulatora przemysłowego jest regulator proporcjonalny

typu P, to jest taki, w którym sygnał wyjściowy u(t) związany jest z sygnałem

wejściowym e zależnością

gdzie:

kp – współczynnik wzmocnienia regulatora,

e(t)– sygnał uchybu.

Współczynnik wzmocnienia definiuje się jako stosunek przerostu składowej

proporcjonalnej sygnału sterującego regulatora do przyrostu sygnału uchybu, tzn.

gdzie:
Δu – przyrost składowej proporcjonalnej sygnału sterującego,
Δe – przyrost sygnał uchybu.

Parametr zwany zakresem proporcjonalności regulatora

x

p

wyrażany jest w procentach. Związek między współczynnikiem

wzmocnienia a zakresem proporcjonalności opisuje zależność:

gdzie:

xp – zakres proporcjonalności

regulatora,

kp – współczynnik wzmocnienia

regulatora

.

Przykład

Załóżmy, że wzmocnienie regulatora K

p

=5, wówczas zakres

proporcjonalności x

p

= 20%.

Oznacza to, że proporcjonalność między sygnałem wyjściowym i

wejściowym regulatora jest zachowana przy zmianach wejściowego w

granicach 20%.

Transmitacja idealnego regulatora typu P ma

zatem postać

:

W praktyce często mamy do czynienia z regulatorem

typu P z inercją.

Wówczas transmitacja ma postać

:

T – stała czasowa inercji,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora.

Stała czasowa T – wielkość charakteryzująca szybkość zmian przebiegów

przejściowych w członach inercyjnych i oscylacyjnych.

Zastosowanie regulatora proporcjonalnego zmniejsza wpływ

zakłóceń, lecz nie eliminuje ich całkowicie.

Uchyb w układzie z regulatorem proporcjonalnym jest

proporcjonalny do wartości zakłóceń i odwrotnie proporcjonalny
do wzmocnienia regulatora.

W układach z regulatorem proporcjonalnym P dokładność

regulacji jest tym większa, im większe jest wzmocnienie.

Regulator proporcjonalny jest członem
bezinercyjnym

Regulator całkujący typu I.

Regulator całkujący – regulator którego sygnał wyjściowy u(t) jest

proporcjonalny do całki z sygnały uchybu e(t).

x = k

2



t

edt

0

Funkcja przejścia takiego regulatora ma więc
postać:

K(p) = k

2

p

1

k

w

– stosunek prędkości zmian przyrostów

składowej całkowej wielkości wyjściowej do
wartości uchybu regulacji

Sygnał sterujący wytwarzany przez regulator typu I jest opisany
zależnością:

Stała całkowania 1/T

i

jest to czas, po którym sygnał u(t) osiągnie wartość

podaną na wejściu regulatora.

gdzie:
Ti – stała całkowania,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

Charakterystykę skokową regulatora (dla e(t)=const) wyraża się
zależnością:

gdzie:
Ti – stała całkowania,
e’ – sygnał uchybu

gdzie:
1/Ti – stała
całkowania,
e’ – sygnał uchybu.

Transmitacja regulatora idealnego typu I ma postać:

Ti –

czas zdwojenia – stosunek współczynnika wzmocnienia proporcjonalnego

do współczynnika całkowego. Odwrotnością stała całkowania.

Właściwości elementu całkującego pozwalają , w wypadku użycia go

jako regulatora (I) sprowadzić do zera uchyb regulacji.

Regulator całkowy ma jednak istotne wady : powoduje znaczne

wydłużenie ( w stosunku do układu z regulatorem proporcjonalnym)

czasu regulacji i łatwo prowadzi do niestabilności układu w którym

pracuje.

Wydłużenie czasu regulacji wynika stąd , że w chwili zmiany

wartości uchybu sygnał wyjściowy regulatora nie zmienia się tak jak

to było w regulatorze proporcjonalnym.

Dopiero po czasie równym stałej całkowania zmiana wartości

sygnału wyjściowego regulatora będzie taka, jaką na wyjściu

regulatora proporcjonalnego otrzymalibyśmy w chwili zmiany

wartości uchybu.

W tym typie regulatora sygnał wyjściowy jest sumą składowej

proporcjonalnej do sygnału wejściowego i składowej proporcjonalnej do

całki tego sygnału.

x =k

1

e+ k

2



t

edt

0

Regulator, którego sygnał wyjściowy u(t) jest proporcjonalny do sumy sygnału

uchybu e(t) i całki tego sygnału.

Funkcja przejścia takiego regulatora ma, zatem postać

K(p) =k

1

+ k

2

p

1

Regulator proporcjonalno-całkujący PI łączy w sobie zalety algorytmu

P i I, dzięki części P posiada szybką reakcję, a składnik I doprowadzi do

całkowitego zaniku błędu w stanach ustalonych.

Regulator typu PI realizuje sumaryczne działania proporcjonalne i całkujące.

Jego Transmitacja ma postać:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Ti – czas zdwojenia,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

Sygnał sterujący wytwarzany w regulatorze PI jest opisany zależnością:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Ti – czas zdwojenia,
e’ – sygnał uchybu

Dla regulatora typu PI z inercją mamy
transmitację

:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia regulatora,
T – stała czasowa inercji,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

Dzięki zastosowaniu w regulatorach typu PI elementu całkującego, uchyb

ustalony w układach z takimi regulatorami może być sprowadzony do zera.

Czas regulacji w układach z regulatorami PI jest w prawdzie dwukrotnie

dłuższy niż w układach z regulatorami typu P , ale jest znacznie krótszy niż

w układach z regulatorami typu I.

x =k

1

e +

k

3

dt

de

Funkcja przejścia takiego regulatora ma, zatem postać

Regulator którego sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do do sumy sygnału

uchybu e(t) i pochodnej tego sygnału.

K(p) =k

1

+ k

3

p.

Regulator PD jest zalecany w sytuacjach szybkich zmian sygnałów

zakłócających.

Część D zwiększa korekcyjne działanie regulatora w momencie narastania

błędu i działa stabilizująco.

Sygnał sterujący uzyskany z regulatora idealnego typu PD opisuje
zależność:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Td – stała wyprzedzenia,
e’ – sygnał uchybu

Stała wyprzedzenia jest to czas, po którym składowa pochodząca z działania

proporcjonalnego zrówna się ze składową pochodzącą z działania

różniczkującego po podaniu na wejścia regulatora sygnału narastającego

liniowo. Transmitacja operatorowa regulatora idealnego typu PD ma postać:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Td – stała wyprzedzenia,
T – stała czasowa inercji,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

Odpowiednia transmitacja dla regulatora PD z inercją przyjmie postać:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia regulatora,
Td – stała wyprzedzenia,
T – stała czasowa inercji,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

Regulator którego sygnał wyjściowy u(t) jest proporcjonalny do sumy,

utworzonej z sygnału uchybu e(t) , całki tego sygnału i jego pochodnej.

Dzięki dodaniu działania różniczkującego, które przeciwstawia się szybkim

zmianom błędu zwiększa zapas stabilności i może wzmocnić korygujące

działanie członów P i I.

Stała T

D

czas wyprzedzenia – czas od błędu do zrównania się odpowiedzi

proporcjonalnej z różniczkową.
Sygnał wyjściowy jest sumą składowej proporcjonalnej do sygna

ł

u

wejściowego, składowej proporcjonalnej do całki i składowej proporcjonalnej

do pochodnej tego sygnału.

x =k

1

e+ k

2



t

edt

0

+ k

3

dt

de

Funkcja przejścia takiego regulatora ma, zatem
postać

K(p) =k

1

+ k

2

p

1

+ k

3

p

Współczynniki k

1

, k

2

, k

3

można nazwać współczynnikami wzmocnienia,

całkowania i różniczkowania.

Regulator typu PID realizuje sumaryczne działania regulatorów P, I oraz
D i stąd sygnał sterujący możemy wyrazić wzorem:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Td – stała wyprzedzenia,
Ti – czas zdwojenia,
e’ – sygnał uchybu,

Transmitacja operatorowa regulatora PID przyjmie
postać:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Td – stała wyprzedzenia,
Ti – czas zdwojenia,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

W praktyce mamy do czynienia z rzeczywistymi regulatorami, których

transmitację możemy zapisać jako:

gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia
regulatora,
Td – stała wyprzedzenia,
Ti – czas zdwojenia,
T – stała czasowa inercji,
s – zmienna zespolona w przekształceniu
Laplace'a.

W wykonaniach technicznych najczęściej mamy do czynienia z regulatorem

typu PID, w którym istnieje możliwość zmiany parametrów kp, Td oraz Ti dzięki

czemu możemy uzyskiwać regulatory PI lub PD.

Na przykład ustawiwszy stałą zdwojenia Ti na wartość bliską nieskończoności (w

praktyce dużo większą od Td), uzyskamy regulator PD, gdyż działanie całkujące

prawie zanika.

Natomiast po wybraniu stałej wyprzedzenia bliskiej zeru otrzymamy regulator

typu PI.

Między innymi z powyższych względów regulatory typu PID mają szerokie

zastosowanie w praktyce.

Zwróćmy również uwagę, że w większości regulatorów występuje tzw. zjawisko

interakcji nastaw. Zmiana któregokolwiek z parametrów kp, Td lub Ti wpływa na

wartość pozostałych. Fakt ten należy uwzględnić przy doborze nastaw

regulatorów