Slajd 1









Prawo Faradaya

Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to









gdzie

 - SEM jest pracą na jednostkę ładunku wykonaną przy przeniesieniu
ładunku wokół zamkniętej pętli ( = W/q),

 – strumień magnetyczny przechodzący przez tę pętlę.

Faraday stwierdził, że czynnikiem decydującym jest

szybkość zmian

strumienia magnetycznego



(dΦ

/dt), czyli

Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:

• Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola

magnetycznego (tzw. elektryczną SEM).

• Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego

(tzw. magnetyczna SEM).

• Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego, lecz

zmienia się prąd, który jest źródłem pola magnetycznego (także tzw.
elektryczna SEM).

oraz SEM dla cewki (1)







Stosunek napięć



Widać,  że  regulując  ilość  zwojów  w  cewkach  możemy  zamieniać  małe
napięcia  na  duże  i odwrotnie.  Ta  wygodna  metoda  zamiany  małych
napięć na duże i odwrotnie jest jedną z przyczyn, dla których używanie
prądów  zmiennych  jest  wygodniejsze  niż  używanie  prądów  stałych
(ekonomiczne generatory wytwarzają prąd o raczej niskim napięciu).

B. Indukcyjność własna
Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się, to

zmienia się też strumień przechodząc przez każdy zwój tej cewki.
Zgodnie z prawem indukcji Faradaya - w każdym zwoju indukuje się
SEM -

siła elektromotoryczna samoindukcji.









3. Indukcyjność

A. Transformator
Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na

drugiej) - prąd zmienny w jednej, wywołuje SEM indukcji w drugiej. Można
tę SEM obliczyć korzystając z prawa Faradaya.

- liczba zwojów w cewce pierwotnej, N

- liczba zwojów w cewce

wtórnej

SEM () lub napięcie U

indukowane w cewce (2)







Wielkość N

 jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie –

strumień skojarzony

Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez
cewkę.

 = LI

Stała proporcjonalności

nazywana jest

indukcyjnością

Zróżniczkowanie (po czasie) równania N

 = LI, daje





stąd







Jednostką L jest henr. [1H] = [1Vs/A] lub [1H] = [1s].

Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l

i N zwojach.

Strumień przez każdy zwój wynosi

 = BS

gdzie B dla cewki wynosi

B =



nI =



I(N/l

)

Zatem







Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I, bo L = N/I





Zauważmy, że L zależy tylko od czynników geometrycznych.

Indukcyjność cewki

L = N

/I

C. Indukcja wzajemna

Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą

oddziaływać na siebie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w
drugiej. Tym razem strumień przechodzący przez cewkę 2 jest
proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.



= M

Stałą proporcjonalności M

nazywamy

indukcją wzajemną

Różniczkując to równanie otrzymujemy





Stąd







Jeżeli zmieniamy prąd I

to analogicznie







Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że

= M

Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od geometrii układu.

4. Obwody RC i RL, stałe czasowe

Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.

Gdy do obwodu zawierającego opornik i kondensator (lub opornik i
cewkę indukcyjną) nagle zostanie przyłożone napięcie - pojawi się

prąd

zmieniający się wykładniczo w czasie -

prąd tłumiony

A. Obwód RC

Rozpatrzmy, jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu

wyłącznika do pozycji (a).

Korzystamy

prawa

Kirchoffa (do szeregowo
podłączonych
kondensatora i opornika
podłączona jest bateria).

IR





W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać
ze związku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe







Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać

)

(

/ RC







Sprawdzamy, czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego
poprzez jej podstawienie do równania.
Prąd obliczamy różniczkując dq/dt







Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).



Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) - rozładowujemy
kondensator przez opornik R.
W każdej chwili napięcie na kondensatorze q/C jest równe spadkowi
napięcia na oporniku IR (q/C = IR).
Stąd prawo Kirchoffa przyjmuje postać (w obwodzie nie ma

)i





czyli





Rozwiązanie ma postać

W  równaniach  opisujących  ładowanie  i
rozładowanie  kondensatora  wielkość  RC
ma  wymiar  czasu  i  jest  nazywana

stałą

czasową obwodu (

= RC).





gdzie q

jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.

Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi











Opisuje ona fakt, że  ładunek na kondensatorze nie osiąga od razu
wartości  końcowej,  lecz  zbliża  się  do  niej  wykładniczo.  Podobnie
przy  rozładowaniu (po czasie   = RC ładunek zmniejsza się do 1/e

początkowej wartości).

B. Obwód RL
Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się

w obwodzie RL (cewka indukcyjna L podłączona do opornika R) przy
włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

Gdyby nie było cewki prąd
osiągnąłby

natychmiast

wartość

/R. Dzięki cewce w

obwodzie

pojawia

się

dodatkowo SEM samoindukcji
L, która zgodnie z regułą

Lenza przeciwdziała wzrostowi
prądu

(po

włączeniu),

oznacza, że jej zwrot jest
przeciwny do

.

Z prawa Kirchoffa otrzymujemy







Poszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).
Ma ono postać

)

(

)

(

)

(

















Sprawdzamy je poprzez podstawienie do równania.

5. Energia a pole magnetyczne

Pozostańmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymaliśmy







Mnożąc to równanie przez I dostajemy







Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest

następująca:

1. lewa strona równania - szybkość (moc =

I = dq/dt = dW/dt) z jaką

źródło przekazuje do obwodu energię

q.

2. pierwszy wyraz po prawej stronie - szybkość (moc) wydzielania

ciepła na oporze R.

3. drugi wyraz po prawej stronie - szybkość (moc) z jaką energia

gromadzi się w polu magnetycznym.

Ten ostatni wyraz możemy zapisać jako



czyli



Po scałkowaniu otrzymujemy





całkowitą energię magnetyczną zawartą w cewce o indukcyjności L
przez, którą płynie prąd I.

Można to porównać to z energią naładowanego kondensatora



Równanie określa



6. Gęstość energii a pole magnetyczne

Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S, czyli o objętości lS.
Tak, więc gęstość energii



Ponieważ



więc

Przypomnijmy, że













oraz

co w połączeniu daje wyrażenie



















opisuje

gęstość energii pola magnetycznego

zawartej w każdym punkcie przestrzeni w której jest
indukcja magnetyczna B.

W ogólności w przestrzeni może istnieć zarówno pole elektryczne, jak
i

magnetyczne,

całkowita

gęstość

energii

pola

elektromagnetycznego wynosi

lub



















Zobaczymy później, że fala elektromagnetyczna wypromieniowana
przez zmieniający się prąd ma

E = cB

. Energia promieniowania zawarta

w polu elektrycznym jest, więc równa energii zawartej w polu
magnetycznym.

)

(

)

(























)

(

)

(

)

(































Document Outline