Elementy Mechatroniki

Elementy Mechatroniki

Modelowanie,

Modelowanie,

Symulacja Urządzeń

Symulacja Urządzeń

Mechatronicznych,

Mechatronicznych,

Drgania układów dwu – i

Drgania układów dwu – i

wielomasowych

wielomasowych

Wykład nr 2

dr hab. inż. Tomasz Trawiński

Politechnika Śląska, Wydział

Politechnika Śląska, Wydział

Elektryczny

Elektryczny

KATEDRA MECHATRONIKI

KATEDRA MECHATRONIKI

U

U

rządzeni

rządzeni

e

e

mechatroniczne

mechatroniczne

Wewnętrzne oddziaływania z sprzężeniami

Wewnętrzne oddziaływania z sprzężeniami

zwrotnymi

zwrotnymi

Wewnętrzne oddziaływania bez sprzężeń zwrotnych

Wewnętrzne oddziaływania bez sprzężeń zwrotnych

W

W

ymagania stawiane systemom mechatronicznym

ymagania stawiane systemom mechatronicznym

• produkt możliwie doskonały:

– niska energochłonność w procesie produkcji

i podczas użytkowania,

– pro ekologiczny: w produkcji, użytkowaniu i

recyklingu,

– ergonomiczne,
– tanie.

Urządzenie mechatroniczne

Urządzenie mechatroniczne





wysoce złożony

wysoce złożony

system

system





trudny do analizy

trudny do analizy

• ze względu na :

• silne powiązania pomiędzy jego

komponentami,

• komponenty wykonane w różnych

technologiach,

• w efekcie :

• konflikty co do

wymagań przy

modelowaniu i

symulacji, skup

ione na

opisie matematycznym.

Struktura urządzenia mechatronicznego

Struktura urządzenia mechatronicznego

Problem formułowania modelu matematycznego

Problem formułowania modelu matematycznego

systemu mechatronicznego

systemu mechatronicznego

• podejście modelowe – podsystemy, komponenty,

zjawiska. Proces pozyskiwania modelu matematycznego
nazywamy modelowaniem,

• podejście identyfikacyjne – rejestracja, obróbka

sygnałów wejściowych i wyjściowych. Proces
pozyskiwania modelu matematycznego nazywamy
identyfikacją,

Wybrane właściwości programów PSPICE, TCAD i MATLAB

Wybrane właściwości programów PSPICE, TCAD i MATLAB

Najczęstsze obszary stosowania Matlaba

Najczęstsze obszary stosowania Matlaba

M

a

te

m

a

ty

ka

,

ra

ch

u

n

ko

w

o

ść

A

lg

o

ry

tm

o

w

a

n

ie

M

o

d

e

lo

w

a

n

ie

,

M

o

d

e

lo

w

a

n

ie

,

S

y

m

u

la

c

ja

S

y

m

u

la

c

ja

A

n

a

liz

a

d

a

n

y

ch

G

ra

fi

ka

B

u

d

o

w

a

a

p

lik

a

cj

i

Toolbox’y – Simulink

Toolbox’y – Simulink

Symbolic Toolbox

Symbolic Toolbox

Przykład 2. Noga Oktopoda

Przykład 2. Noga Oktopoda

z

z

1

1

z

z

2

2

d

d

1

1

a

a

1

1

a

a

2

2

a

a

3

3

z

z

0

0

x

x

0

0





1

1





2

2





3

3

z

z

1

1

z

z

0

0





1

1

Człon

Człon

a

a

i

i





i

i

d

d

i

i





i

i

1

1

a

1

-/2

d

1



1

2

2

a

2

0

0



2

3

3

a

3

0

0



3

Symbolic Toolbox

Symbolic Toolbox

Formy Reprezentacji Modeli Matematycznych

Formy Reprezentacji Modeli Matematycznych

Systemu Mechatronicznego

Systemu Mechatronicznego

w Matlabie/Simulinku

w Matlabie/Simulinku

Bloki Nieliniowe

„Fcn”

Analityczna

Analityczna

m-funkcje

S-funkcje

Graficzno

-

Graficzno

-

Analityczna

Analityczna

Schematy blokowe

Bloki Elementarne

Równania Stanu

Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu

Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu

podsystemów elektromechanicznych

podsystemów elektromechanicznych

• Jak sformułować model matematyczny (podsystemów

elektromechanicznych) aby nie był on przyporządkowany żadnemu
układowi współrzędnych ?

• W przyrodzie ruchem każdego ciała (w układzie

konserwatywnym) rządzi następujące prawo:

całka ta dąży do wartości minimalnej.











1

0

t

t

p

k

dt

E

E

J

(1

)

Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu

Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu

podsystemów elektromechanicznych

podsystemów elektromechanicznych

• W 1740 r. Euler dowiódł, że całka (1) osiąga wartość

ekstremalną, tzn. minimum, maksimum lub punkt przegięcia,
przy spełnieniu następującego warunku:

• Zależność (2) pozwala na znalezienie równań układów

konserwatywnych w dowolnym układzie współrzędnych.









0





























q

E

E

q

E

E

dt

d

p

k

p

k



(2

)

Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu

Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu

podsystemów elektromechanicznych

podsystemów elektromechanicznych

• W 1780 r. Francuski matematyk Joseph Louis de Lagrange

opracował sposób układania równań ruchu oparty na równaniach

energetycznych (równaniu (2)), który mógł być stosowany do

układów o wielu stopniach swobody. Równania opracowane przy

pomocy tej metody, noszą nazwę równań Lagrange’a II rodzaju.

gdzie: L – funkcja Lagrange’a, potencjał kinetyczny L=E

k

-E

p

n

i

Q

q

L

q

L

dt

d

i

i

i

,

,

2

,

1































(3

)

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 1/8

rodzaju 1/8

• Napisać równania dla układu dwóch mas jak na rysunku.

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 2/8

rodzaju 2/8

• Wyodrębnijmy układ, pomijamy tarcie, zakładamy liniową

charakterystykę sprężyny .

G

ra

n

ic

e

u

kł

a

d

u

B

ra

k

ta

rc

ia

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 3/8

rodzaju 3/8

• Przyjmijmy dwie współrzędne niezależne x i y (dwa stopnie swobody układu)

2

1

y

q

x

q





• Energia kinetyczna układu:

2

2

2

1

y

2

1

x

2

1





m

m

E

k





• Energia potencjalna układu:





2

2

1

y

x

k

E

p





Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 4/8

rodzaju 4/8

• Obliczmy wszystkie pochodne potrzebne w równaniach Lagrange’a.

0































i

p

i

k

i

k

q

E

q

E

q

E

dt

d



x

m

x

E

k





1







y

m

y

E

k





2







2

2

2

1

2

1

2

1

y

m

x

m

E

k



 



x

m

x

E

dt

d

k





1



















y

m

y

E

dt

d

k





2



















Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 5/8

rodzaju 5/8

• Obliczmy wszystkie pochodne potrzebna do równań Lagrange’a II rodzaju.

  



x

y

k

x

E

p











1





2

2

1

y

x

k

E

p





  



x

y

k

y

E

p











1

0































i

p

i

k

i

k

q

E

q

E

q

E

dt

d



Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 6/8

rodzaju 6/8

• Podstawiając obliczone pochodne do równań Lagrange’a II rodzaju.

• otrzymujemy

ostatecznie:



























0

0

2

1

x

y

k

y

m

x

y

k

x

m





0































i

p

i

k

i

k

q

E

q

E

q

E

dt

d



Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 7/8

rodzaju 7/8

• Dogodną formą reprezentacji równań przeznaczonych do

symulacji komputerowej jest postać kanoniczna. Przekształćmy,
zatem otrzymane równania do postaci kanonicznej.

• podstawiając:

































0

0

2

2

2

2

2

1

x

y

k

dt

y

d

m

x

y

k

dt

x

d

m

















y

x

v

dt

dy

v

dt

dx

















































y

x

y

x

v

dt

dy

v

dt

dx

x

y

k

dt

dv

m

x

y

k

dt

dv

m

0

0

2

1

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 8/8

rodzaju 8/8

• Wyciągając pochodne na lewą stronę znaków równości.

















































y

x

y

x

v

dt

dy

v

dt

dx

x

y

k

dt

dv

m

x

y

k

dt

dv

m

0

0

2

1















































y

x

y

x

v

dt

dy

v

dt

dx

m

x

y

k

dt

dv

m

x

y

k

dt

dv

2

1

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 1/11

rodzaju 1/11

• Układ dwóch mas z tłumieniem i siłą zewnętrzną.

B

ra

k

ta

rc

ia

G

ra

n

ic

e

u

k

ła

d

u

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 2/11

rodzaju 2/11

• Jako zmienne wybieramy x i y:

,

2

1

y

q

x

q





• Jak wynika z rysunku

skrócenie sprężyn k

1

i k

2

wynosi odpowiednio:

,

3

1

y

k

y

x

k







i

i

p

i

k

i

k

Q

q

E

q

E

q

E

dt

d

































Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 3/11

rodzaju 3/11

• Energia kinetyczna układu:

2

2

2

1

2

1

2

1

y

m

x

m

E

k



 



• Energia potencjalna układu:





2

3

2

1

2

1

2

1

y

k

y

x

k

E

p







Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 4/11

rodzaju 4/11

• Z energii kinetycznej układu:

x

m

x

E

k





1







y

m

y

E

k





2







2

2

2

1

2

1

2

1

y

m

x

m

E

k



 



x

m

x

E

dt

d

k





1



















y

m

y

E

dt

d

k





2



















Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 5/11

rodzaju 5/11

• Z energii potencjalnej układu:





y

x

k

x

E

p









1





y

k

y

x

k

y

E

p

3

1

















2

3

2

1

2

1

2

1

y

k

y

x

k

E

p







Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 6/11

rodzaju 6/11

• Pomiędzy siłami zewnętrznymi i współrzędnymi zachodzą

związki:











y

x

b

f

2

2



 y

b

f

4

4

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 7/11

rodzaju 7/11

• Ostatecznie otrzymujemy układ równań:













































y

b

y

x

b

y

k

y

x

k

y

m

y

x

b

f

y

x

k

x

m















4

2

3

1

2

2

1

1

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 8/11

rodzaju 8/11

• Po wprowadzeniu prędkości względem układu x i y oraz

sprowadzeniu do postaci kanonicznej otrzymamy:











































































y

x

y

y

x

y

y

x

x

v

dt

dy

v

dt

dx

y

k

y

x

k

v

b

v

v

b

m

dt

dv

y

x

k

v

v

b

f

m

dt

dv

3

1

4

2

2

1

2

1

1

1











































































y

x

y

y

x

y

y

x

x

v

dt

dy

v

dt

dx

y

k

y

x

k

v

b

v

v

b

m

dt

dv

y

x

k

v

v

b

f

m

dt

dv

3

1

4

2

2

1

2

1

1

1

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 9/11

rodzaju 9/11





















)

4

(

)

3

(

)

2

(

)

1

(

u

y

u

x

u

v

u

v

y

x

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 10/11

rodzaju 10/11

• Odpowiedź układu na skok jednostkowy siły f(t):

Przykład 2.

Przykład 2.

Zastosowania równań Lagrange’a II rodzaju

Zastosowania równań Lagrange’a II rodzaju

11/

11

• Odpowiedź układu na skok jednostkowy siły f(t):

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 1/15

rodzaju 1/15

• Rozważmy układ jak na rysunku poniższym:

• Przyjmijmy

zmienne
uogólnione:









3

2

2

1

1

q

Q

q

Q

q

i

i

p

i

k

i

k

Q

q

E

q

E

q

E

dt

d

































Przykład 3. Zastosowania -równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania -równań Lagrange’a II

rodzaju 2/15

rodzaju 2/15

• Energia kinetyczna:

 

j

i

ij

n

i

n

j

k

Q

Q

M

E









 



1

1

2

1

• dla podukładu mechanicznego:

2

1

2

1





J

E

k



 

j

i

ij

n

i

n

j

V

Q

Q

M

dV

BH











 



1

1

2

1

2

• Energia pola elektromagnetycznego:

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 3/15

rodzaju 3/15

• Energia pola elektromagnetycznego:

 

 

 

 

 

2

2

22

1

2

21

2

1

12

2

1

11

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Q

M

Q

Q

M

Q

Q

M

Q

M

Q

Q

M

E

j

i

ij

n

i

n

j

k













































 

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 4/15

rodzaju 4/15

• Energia pola elektromagnetycznego:

 

 





 

 

 

2

2

22

2

1

12

2

1

11

21

12

2

1

2

1

Q

M

Q

Q

M

Q

M

M

M

E

k































 

 

 

2

2

22

2

1

12

2

1

11

2

1

2

1

2

1

2

1

Q

M

Q

Q

M

Q

M

J

E

k



























• Całkowita energia kinetyczna:

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 5/15

rodzaju 5/15

• Pochodne cząstkowe po pochodnej zmiennej

uogólnionej z energii kinetycznej:

 

 

 

2

2

22

2

1

12

2

1

11

2

1

2

1

2

1

2

1

Q

M

Q

Q

M

Q

M

J

E

k



























Po pochodnej pierwszej zmiennej uogólnionej:

 

 

2

12

1

11

1

Q

M

Q

M

Q

E

k



















Po pochodnej drugiej zmiennej uogólnionej:

 

 

1

12

2

22

2

Q

M

Q

M

Q

E

k



















Po pochodnej trzeciej zmiennej
uogólnionej:









1

J

E

k







Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 6/15

rodzaju 6/15

• Pochodne po czasie z pochodnej zmiennej uogólnionej z energii kinetycznej:

Po pierwszej
zmiennej
uogólnionej:

 

 

2

12

1

11

1

Q

M

Q

M

Q

E

k



















Po drugiej zmiennej uogólnionej:

 

 

1

12

2

22

2

Q

M

Q

M

Q

E

k



















Po trzeciej zmiennej uogólnionej:









1

J

E

k







 





 





 

 

 

 

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

Q

M

dt

d

Q

M

dt

d

Q

E

dt

d

k

2

12

12

2

1

11

11

1

2

12

1

11

1























































 

 

 

 

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

Q

E

dt

d

k

1

12

12

1

2

22

22

2

2











































 

















1

1

1

J

dt

d

J

J

dt

d

E

dt

d

k























(2a
)

(1a
)

(3a
)

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 7/15

rodzaju 7/15

• Pochodne cząstkowe po zmiennej

uogólnionej z energii kinetycznej:

 

 

 

2

2

22

2

1

12

2

1

11

2

1

2

1

2

1

2

1

Q

M

Q

Q

M

Q

M

J

E

k



























Po pierwszej zmiennej uogólnionej:

0

1







Q

E

k

Po pochodnej drugiej zmiennej uogólnionej:

0

2







Q

E

k

Po pochodnej trzeciej zmiennej
uogólnionej:

 

 

 





































22

2

2

12

2

1

11

2

1

2

1

2

1

M

Q

M

Q

Q

M

Q

E

k









(1b
)

(2b
)

(3b
)

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 8/15

rodzaju 8/15

• Energia potencjalna:

2

2

1



k

E

p



Po pierwszej zmiennej uogólnionej:

0

1







Q

E

p

Po pochodnej drugiej zmiennej uogólnionej:

0

2







Q

E

p

Po pochodnej trzeciej zmiennej
uogólnionej:





k

E

p







• Z pochodnej cząstkowej z

energii potencjalnej układu:

(1c)

(2c)

(3c)

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 9/15

rodzaju 9/15

• Łącząc równania 1a, 1b, 1c i 2a, 2b, 2c i

3a, 3b, 3c otrzymujemy:

 

 

 

 

'

1

2

12

12

2

1

11

11

1

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

























 

 

 

 

'

2

1

12

12

1

2

22

22

2

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

























 

 

 

'

3

22

2

2

12

2

1

11

2

1

1

2

1

2

1

Q

k

M

Q

M

Q

Q

M

Q

J

















































Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 10/15

rodzaju 10/15

• Wprowadzając wymuszenia i

uwzględniając elementy dyssypatywne:

 

 

 

 

1

1

1

2

12

12

2

1

11

11

1

Q

R

U

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q





























 

 

 

 

2

2

2

1

12

12

1

2

22

22

2

Q

R

U

dt

Q

d

M

dt

dM

Q

dt

Q

d

M

dt

dM

Q





























 

 

 

0

lub

2

1

2

1

22

2

2

12

2

1

11

2

1

2

2

1

L

T

k

M

Q

M

Q

Q

M

Q

dt

d

J

















































Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 11/15

rodzaju 11/15

• Zastępując pochodne ładunków prądami

otrzymujemy :

 

 

 

 

1

1

1

2

12

12

2

1

11

11

1

i

R

U

dt

di

M

dt

dM

i

dt

di

M

dt

dM

i



















 

 

 

 

2

2

2

1

12

12

1

2

22

22

2

i

R

U

dt

di

M

dt

dM

i

dt

di

M

dt

dM

i



















 

 

 

L

T

k

M

i

M

i

i

M

i

dt

d

J









































22

2

2

12

2

1

11

2

1

2

2

1

2

1

2

1

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 12/15

rodzaju 12/15

• Jeśli indukcyjności wzajemne

są pomijalnie małe, to
równania przyjmą postać:

 

 

1

1

1

1

11

11

1

i

R

U

dt

di

M

dt

dM

i











 

 

2

2

2

2

22

22

2

i

R

U

dt

di

M

dt

dM

i











 

 

L

T

k

M

i

M

i

dt

d

J































22

2

2

11

2

1

2

2

1

2

1

2

1

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 13/15

rodzaju 13/15

• Rozpisując wyrażenia na pochodne po czasie

z indukcyjności własnych w równaniu 1 i 2,
otrzymujemy:

 

 

1

1

1

1

11

11

1

i

R

U

dt

di

M

dt

d

M

i



















 

 

2

2

2

2

22

22

2

i

R

U

dt

di

M

dt

d

M

i



















 

 

L

T

k

M

i

M

i

dt

d

J































22

2

2

11

2

1

2

2

1

2

1

2

1

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 14/15

rodzaju 14/15

• Wprowadzając prędkość kątową,

otrzymujemy:

 

 

1

1

1

1

11

11

1

i

R

U

dt

di

M

M

i



















 

 

2

2

2

2

22

22

2

i

R

U

dt

di

M

M

i



















 

 

L

T

M

i

M

i

k

dt

d

J









































22

2

2

11

2

1

1

2

1

2

1





dt

d



Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II

rodzaju 15/15

rodzaju 15/15

• Zapisując równania w postaci kanonicznej:

 

 































11

1

1

1

1

11

1

1

M

i

i

R

U

M

dt

di

 

 































22

2

2

2

2

22

2

1

M

i

i

R

U

M

dt

di

 

 































L

T

k

M

i

M

i

J

dt

d











22

2

2

11

2

1

1

2

1

2

1

1





dt

d



gdzie:

 











11

1

M

i

- napięcia indukowane w
cewce 1 i 2 na skutek ruchu
belki

 











22

2

M

i

M

M

odelowanie

odelowanie

elementów

elementów

podsystemów

podsystemów

mechanicznych dających się sprowadzić do

mechanicznych dających się sprowadzić do

układu

układu

dwóch mas bezwładnościowych

dwóch mas bezwładnościowych

Układ talerzy dysku twardego i silnika

Układ talerzy dysku twardego i silnika

wrzecionowego

wrzecionowego

Układ pomiarowy momentu silnika indukcyjnego

Układ pomiarowy momentu silnika indukcyjnego

Wyprowadzenie modelu matematycznego układu

Wyprowadzenie modelu matematycznego układu

dwóch mas bezwładnościowych połączonych

dwóch mas bezwładnościowych połączonych

sprężyście

sprężyście

• Energia kinetyczna i potencjalna

2

1

2

1

i

n

i

i

k

q

J

E





















1

1

2

1

)

(

2

1

n

i

i

i

i

p

q

q

k

E

Układ dwóch mas połączonych sprężyście

Układ dwóch mas połączonych sprężyście

2

2

2

1

2

1

2

1

m

m

s

s

m

s

k

J

J

q

q

E











 





























2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

m

m

s

s

w

m

s

w

m

s

p

k

k

q

q

E













































Obliczyć pochodne cząstkowe

Obliczyć pochodne cząstkowe

• Pochodna cząstkowa z energii potencjalnej



 





 



s

m

w

s

m

w

m

p

m

s

w

m

s

w

s

p

k

k

E

k

k

E













































2

2

2

1

2

2

2

1

i

p

q

E





Tłumienia i moment napędowy

Tłumienia i moment napędowy





e

s

m

w

s

s

s

s

T

k

dt

d

B

dt

d

J

















2

2





0

2

2









s

m

w

m

m

m

m

k

dt

d

B

dt

d

J









• Po uporządkowaniu





s

m

w

s

s

s

s

e

s

s

k

J

B

J

T

J

dt

d

















1

1

1





s

m

w

m

m

m

m

m

k

J

B

J

dt

d

















1

1

s

s

dt

d







m

m

dt

d







Implementacja m

Implementacja m

odel

odel

u

u

układu dwóch mas

układu dwóch mas

bezwładnościowych opisanych RRZ w postaci

bezwładnościowych opisanych RRZ w postaci

kanonicznej

kanonicznej

Model opisany równaniami w dziedzinie

Model opisany równaniami w dziedzinie

transformaty Laplace’a

transformaty Laplace’a





e

s

m

w

s

s

s

s

T

k

s

B

s

J

















2





0

2









s

m

w

m

m

m

m

k

s

B

s

J













m

w

e

s

w

s

s

k

T

k

s

B

s

J













2





s

w

m

w

m

m

k

k

s

B

s

J











2

Implementacja modelu układu dwóch mas

Implementacja modelu układu dwóch mas

bezwładnościowych – transformata Laplace’a

bezwładnościowych – transformata Laplace’a

w

s

s

m

w

e

s

k

s

B

s

J

k

T









2





w

m

m

s

w

m

k

s

B

s

J

k







2





Transmitancja

Transmitancja





m

m

/Te:

/Te:

w

s

s

s

k

s

B

s

J

s

p







2

)

(

w

m

m

m

k

s

B

s

J

s

p







2

)

(

)

(s

p

k

T

s

m

w

e

s









)

(

)

(

s

p

k

T

k

s

p

s

m

w

e

w

m

m









w

e

m

w

w

m

s

m

k

T

k

k

s

p

s

p







)

(

)

(





)

(s

p

k

m

s

w

m







Transmitancja

Transmitancja





m

m

/Te:

/Te:

w

e

m

w

s

m

k

T

k

s

p

s

p







)

)

(

)

(

(

2

2

)

(

)

(

w

s

m

w

e

m

k

s

p

s

p

k

T







Wielomian charakterystyczny

Wielomian charakterystyczny

0

)

(

)

(

2





w

s

m

k

s

p

s

p







0

2

2

2













w

w

m

m

w

s

s

k

k

s

B

s

J

k

s

B

s

J

















0

2

3

4

















s

B

B

k

s

B

B

J

J

k

s

J

B

J

B

s

J

J

s

m

w

m

s

s

m

w

s

m

m

s

m

s

Jeśli tłumienie w układzie jest pomijalnie małe

Jeśli tłumienie w układzie jest pomijalnie małe





0

2

4







s

J

J

k

s

J

J

s

m

w

m

s









0

2

2







s

J

J

k

s

J

J

s

m

w

m

s





0

2







s

m

w

m

s

J

J

k

s

J

J



















s

m

w

J

J

k

s

1

1

2























s

m

w

r

J

J

k

1

1

2

Częstotliwość drgań własnych nie tłumionych

Częstotliwość drgań własnych nie tłumionych



















s

m

w

r

J

J

k

1

1

Modelowanie złożonych układów przeniesienia

Modelowanie złożonych układów przeniesienia

momentu napędowego

momentu napędowego

Rozwiązując równanie charakterystyczne:

Rozwiązując równanie charakterystyczne:

0

)

det(

2

0

1













1

C

J

• 244.6

• 91.8
• 60.5
• 38.8

• 15.2

Źródła zniekształceń rozkładów przestrzennych pól

Źródła zniekształceń rozkładów przestrzennych pól

 

   Rozmieszczenie uzwojeń w żłobkach stojana i wirnika

 

   Nierównomierna szczelina powietrzna

 

   Nasycanie się obwodu magnetycznego

Wyróżnia się wyższe harmoniczne przestrzenne

Wyróżnia się wyższe harmoniczne przestrzenne

pola magnetycznego

pola magnetycznego

   Przepływu,

 

   Permeancyjne,

 

   Nasyceniowe,

 

   Asynchronicznych

 

   Przemiennych (synchronicznych)

Generacja momentów pasożytniczych

Generacja momentów pasożytniczych

 

   Zniekształcenia charakterystyki mechanicznej (tzw. siodła)

 

   Zależność momentu rozruchowego od położenia kątowego wirnika

 

   Drgania skrętne wałów

 

   Rezonanse mechaniczne

 

Zjawiska związane z momentami pasożytniczymi

Zjawiska związane z momentami pasożytniczymi

Trajektorie momentu skrętnego

Trajektorie momentu skrętnego

Trajektorie momentu skrętnego

Trajektorie momentu skrętnego

Trajektorie momentu skrętnego

Trajektorie momentu skrętnego

 

   Ciągi harmonicznych przestrzennych uzwojenia stojana

 







,

17

,

3

1

,

1

1

,

7

,

5

,

1

p

p

p

p

p

p

S 

 







,

27

,

21

,

15

,

9

,

3

0

p

p

p

p

p

S 

Ciągi harmonicznych przestrzennych generowanych

Ciągi harmonicznych przestrzennych generowanych

przez uzwojenia silnika

przez uzwojenia silnika

Ciągi harmonicznych, generowanych przez

Ciągi harmonicznych, generowanych przez

symetryczne uzwojenia stojana o liczbie par

symetryczne uzwojenia stojana o liczbie par

biegunów p=1, p=2 i p=3

biegunów p=1, p=2 i p=3

Ciągi harmonicznych, generowanych przez klatkę

Ciągi harmonicznych, generowanych przez klatkę

wirnika o liczbie żłobków Qr=10 i Qr=7

wirnika o liczbie żłobków Qr=10 i Qr=7

 



  

Ciągi harmonicznych przestrzennych uzwojenia wirnika (klatka)

 

  





,

2

,

2

,

,

,

i

Q

i

Q

i

Q

i

Q

i

R

r

r

r

r

i











Mechanizm generowania momentów

Mechanizm generowania momentów

pasożytniczych asynchronicznych i przemiennych

pasożytniczych asynchronicznych i przemiennych

 

   

1

1

S

R 

   

1

2

S

R 

   

1

S

R

i



Okresy i prędkości synchroniczne momentów

Okresy i prędkości synchroniczne momentów

przemiennych

przemiennych

Zależność opisująca częstotliwość

Zależność opisująca częstotliwość

momentów przemiennych od prędkości obrotowej

momentów przemiennych od prędkości obrotowej

wirnika

wirnika

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1













ms

m

s

T

f









Charakterystyki częstotliwościowo -prędkościowe

Charakterystyki częstotliwościowo -prędkościowe

momentów przemiennych

momentów przemiennych



  

0

)

,

(

2

2

f

p

f

m



































2

)

,

(







p

f

m

Postać graficzna charakterystyk częstotliwościowo-

Postać graficzna charakterystyk częstotliwościowo-

prędkościowych momentów przemiennych

prędkościowych momentów przemiennych

C

zę

st

o

tl

iw

o

ść

H

z

Prędkość wirnika
rad/s

Weryfikacja pomiarowa charakterystyk

Weryfikacja pomiarowa charakterystyk

częstotliwościowo-prędkościowych

częstotliwościowo-prędkościowych

fft(T)



m

T

Prędkości obrotowe układu napędowego przy

Prędkości obrotowe układu napędowego przy

których, powinny pojawić się maksima drgań

których, powinny pojawić się maksima drgań

rezonansowych

rezonansowych

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Prędkość układu napędowego [rad/s]

C

zę

s

to

tl

iw

o

ś

ć

p

u

ls

a

c

ji

s

k

ła

d

o

w

y

c

h

m

o

m

e

n

tu

n

a

p

ę

d

o

w

e

g

o

[

H

z]

Pary (2.26),(10.38)
Pary (2.58), (10.46)
Pary (2.82), (10.74)
Częstotliwość własna momentomierza