Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
dr Tomasz
Kowalski
Wykład 27
Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
dr Tomasz
Kowalski
Wykład 27
Slajd nr 2 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Pochodne cząstkowe rzędu
drugiego
Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych
określoną i mającą pochodne cząstkowe f
x
/
oraz f
y
/
w pewnym obszarze D.
Każda z tych pochodnych, będąca funkcją dwóch
zmiennych, może posiadać pochodne cząstkowe.
Jeżeli pochodne te istnieją, to nazywamy je
pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego.
Slajd nr 3 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Pochodne cząstkowe rzędu
drugiego
Funkcja dwóch zmiennych posiada cztery
pochodne cząstkowe rzędu 2, które określamy
i oznaczamy następująco:
( , )
f x y
pochodna po x
/
( , )
x
f x y
pochodna po y
/
( , )
y
f x y
pochodna po x
//
( , )
xx
f x y
pochodna po y
//
( , )
xy
f x y
pochodna po x
//
( , )
yx
f x y
pochodna po y
//
( , )
yy
f x y
2
2
//
2
x
f
f
x
x
y
f
f
xy
2
//
y
x
f
f
yx
2
//
2
2
//
2
y
f
f
y
Pochodne
mieszane
Pochodne
czyste
Na oznaczenie pochodnych rzędu drugiego stosujemy
też symbole:
Slajd nr 4 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Pochodne cząstkowe rzędu
drugiego
Wyznaczyć pochodne rzędu drugiego funkcji
2
2
2
( , )
3
2
f x y
x y
xy
x
=
-
-
pochodna po x
/
2
( , ) 2
3
4
x
f x y
xy
y
x
=
-
-
pochodna po y
/
2
( , )
6
y
f x y
x
xy
= -
pochodna po x
//
( , ) 2
4
xx
f x y
y
=
-
pochodna po y
//
( , ) 2
6
xy
f x y
x
y
= -
pochodna po x
//
( , ) 2
6
yx
f x y
x
y
= -
pochodna po y
//
( , )
6
yy
f x y
x
=-
Jeżeli pochodne mieszane funkcji f dwóch
zmiennych istnieją w pewnym obszarze D i są
ciągłe, to są równe.
Pochodne
mieszane
Slajd nr 5 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Pochodne wyższych rzędów
Symbolem
(
)
lub
p q
p q
p q
q
p
x y
f
f
y x
�
� �
+
+
oznaczać będziemy funkcję powstałą przez
p-krotne zróżniczkowanie funkcji f względem
zmiennej x
i q-krotne względem zmiennej y.
Slajd nr 6 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
Wyznaczyć
///
2
y
x
f
jeżeli
3
( , )
.
xy
f x y
x y e
=
+
/
3
/
( , ) (
)
xy
x
x
f x y
x y e
=
+
=
(
)
2
/
//
/
2
/
( , )
( , )
(3
)
xy
x
x
x
x
f x y
f x y
x y ye
=
=
+
=
(
)
2
2
/
///
//
2
/
( , )
( , )
(6
)
xy
y
x y
x
y
f
x y
f x y
xy y e
=
=
+
=
2
3
xy
x y ye
+
2
6
xy
xy y e
+
2
6
2
xy
xy
x
ye
xy e
+
+
Slajd nr 7 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Hesjan funkcji
Niech z = f(x,y) będzie funkcją określoną w
pewnym zbiorze D, mającą ciągłe pochodne
cząstkowe rzędu drugiego w tym zbiorze.
Hesjanem funkcji f w punkcie (x,y)
nazywamy macierz:
2
2
//
//
//
//
( , )
( , )
Hess ( , )
.
( , )
( , )
yx
x
xy
y
f
x y
f
x y
f x y
f
x y
f
x y
�
�
�
�
=
�
�
�
�
Hesjan funkcji jest macierzą
symetryczną.
Slajd nr 8 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Hesjan funkcji – sposób
tworzenia
Obliczanie hesjanu funkcji dwóch zmiennych może
się odbywać według schematu:
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
( , )
f x y
pochodna po x
/
( , )
x
f x y
pochodna po y
/
( , )
y
f x y
pochodne po x
//
( , )
xx
f x y
//
( , )
yx
f x y
Slajd nr 9 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Hesjan funkcji – sposób
tworzenia
Obliczanie hesjanu funkcji dwóch zmiennych może
się odbywać według schematu:
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
( , )
f x y
pochodna po x
/
( , )
x
f x y
pochodna po y
/
( , )
y
f x y
pochodne po y
//
( , )
xx
f x y
//
( , )
yx
f x y
//
( , )
xy
f x y
//
( , )
yy
f x y
Slajd nr 10 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Hesjan funkcji – sposób
tworzenia
Obliczanie hesjanu funkcji dwóch zmiennych może
się odbywać według schematu:
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
( , )
f x y
pochodna po x
/
( , )
x
f x y
pochodna po y
/
( , )
y
f x y
//
( , )
xx
f x y
//
( , )
yx
f x y
//
( , )
xy
f x y
//
( , )
yy
f x y
Slajd nr 11 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
Obliczyć hesjan funkcji w dowolnym punkcie, jeżeli
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
2
( , ) 3
6
y
f x y
x y
xe
=
+
pochodna po x
/
6
6
y
x
f
xy
e
=
+
pochodna po y
/
2
3
6
y
y
f
x
xe
=
+
pochodne po x
6y
6
6
y
x
e
+
pochodne po y
6
6
y
x
e
+
6
y
xe
Slajd nr 12 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
Obliczyć hesjan funkcji w dowolnym punkcie, jeżeli
Hess ( , )
.
f x y
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
�
2
2
3
( , , )
f x y z
xy
x yz
=
+
pochodna po x
/
2
3
2
,
x
f
y
xyz
= +
pochodna po y
/
2 3
2
,
y
f
xy x z
=
+
pochodne
po x
3
2yz
3
2
2
y
xz
+
pochodne
po y
2
6xyz
pochodna po z
/
2
2
3
z
f
x yz
=
3
2
2
y
xz
+
2x
2 2
3x z
pochodne
po z
2
6xyz
2 2
3x z
2
6x yz
Slajd nr 13 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Obliczanie hesjanu funkcji w
punkcie
Aby obliczyć
należy po wyznaczeniu hesjanu w dowolnym
punkcie przyjąć x = x
0
, y = y
0
.
0
0
Hess ( , )
f x y
Slajd nr 14 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Minory główne macierzy
Niech
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
będzie macierzą liczbową stopnia n.
Minorami głównymi tej macierzy nazywamy
liczby:
1
11
,
M
a
=
11
12
2
21
22
,
a
a
M
a
a
=
11
12
13
3
21
22
23
31
32
33
,
a
a
a
M
a
a
a
a
a
a
=
...,
det .
n
M
A
=
Slajd nr 15 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
Obliczyć Hessf(1.-2) oraz minory główne otrzymanej
macierzy, jeżeli
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
2
2
( , )
2
.
f x y
x
xy
= +
pochodna po x
/
2
2
2
x
f
x
y
= +
pochodna po y
/
4
y
f
xy
=
pochodne po x
2
4y
pochodne po y
4y
4x
Slajd nr 16 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
x
y
y
y
x
f
4
4
4
2
)
,
(
Hess
Przyjmując x = 1 oraz y = -2 mamy
Hess (1, 2)
f
�
�
-
=�
�
�
�
2
- 8
- 8
4
1
M =
2
M =
2,
2
8
8 4
-
=
-
8 64
56
-
=-
Slajd nr 17 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
Obliczyć Hessf(-1, 2, 0) oraz minory główne
otrzymanej macierzy, jeżeli
Hess ( , )
.
f x y
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
�
2
3
2
( , , )
2
.
u f x y z
x
y
xyz z
x y
=
=-
-
+
-
+ +
pochodna po x
/
4
1,
x
f
x yz
=-
+ +
pochodna po y
/
2
3
1,
y
f
y
xz
=-
+ +
pochodne
po x
4
-
z
pochodne
po y
y
pochodna po z
/
2
z
f
xy
z
= -
z
6y
-
x
pochodne
po z
y
x
2
-
Slajd nr 18 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
4
Hess ( , , )
6
.
2
z
y
f x y z
z
y
x
y
x
-
�
�
�
�
=
-
�
�
�
�
-
�
�
Przyjmując x = -1 , y = 2 oraz z = 0
mamy
Hess ( 1,2, 0)
f
�
�
�
�
-
=�
�
�
�
�
�
- 4
0
2
0
1
M =
2
M =
-4,
4
0
0
12
-
=
-
96 49 4
44
=-
+ + =-
-
12
-1
2 - 1 - 2
48
,
3
M =
4
0
2
0
12
1
2
1
2
-
-
-
=
-
-
Slajd nr 19 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Ekstrema funkcji wielu
zmiennych
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
zbiorze D wzorem z = f(x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
).
minimum (lokalne) , jeżeli spełniony jest
warunek
0
0
0
1
2
1
2
( , ,..., )
( , ,..., )
n
n
f x x
x
f x x
x
>
Funkcja ta posiada w punkcie
tego zbioru
P x x
x
n
0
1
0
2
0
0
( , ,..., )
dla wszystkich punktów P(x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
) z
pewnego sąsiedztwa S punktu
0
0
0
0
1
2
( , ,..., ).
n
P x x
x
Slajd nr 20 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Ekstrema funkcji wielu
zmiennych
maksimum lokalne.
Podobnie , jeżeli spełniony jest warunek
0
0
0
1
2
1
2
( , ,..., )
( , ,..., )
n
n
f x x
x
f x x
x
<
to funkcja ta posiada w punkcie
P x x
x
n
0
1
0
2
0
0
( , ,..., )
dla wszystkich punktów P(x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
) z
pewnego sąsiedztwa S punktu
0
0
0
0
1
2
( , ,..., ),
n
P x x
x
Minima i maksima, podobnie jak w
przypadku funkcji jednej zmiennej,
nazywamy
ekstremami.
Slajd nr 21 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Interpretacja maksimum funkcji
dwóch zmiennych
Slajd nr 22 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Warunek konieczny istnienia
ekstremum
Jeżeli w punkcie
funkcja dana wzorem
)
,...,
,
(
0
0
2
0
1
0
n
x
x
x
P
to wszystkie pochodne cząstkowe (rzędu pierwszego)
w tym punkcie są równe zeru.
jest różniczkowalna i posiada ekstremum,
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
z
Slajd nr 23 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Punkty stacjonarne
Punkty, w których wszystkie pochodne cząstkowe
(rzędu pierwszego) istnieją i są równe zeru,
nazywamy punktami stacjonarnymi.
W przypadku funkcji elementarnej są to
jedyne punkty, w których może wystąpić
ekstremum.
Slajd nr 24 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
2
2
( , )
3 .
f x y
x
xy y
x
= + + -
Wyznaczyć punkty stacjonarne
funkcji:
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
/
( , ) 2
3
x
f x y
x y
= + -
/
( , )
2 .
y
f x y
x
y
= +
Pochodne te są jednocześnie równe zeru w
punktach, których współrzędne spełniają układ
równań:
2
3 0,
2
0.
x y
x
y
+ - =
�
�
+
=
�
2
3
y
x
=-
+
4
6 0
x
x
-
+ =
2( 2
3) 0
x
x
+ -
+ =
3
6
x
-
=-
2
x =
1
y =-
Jedynym punktem stacjonarnym jest
P(2,-1).
Slajd nr 25 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
3
2
2
( , , ) 2
2
4
2
12 .
f x y z
x
xy y
xz
z
y
=
+
+ -
+
+
Wyznaczyć punkty stacjonarne
funkcji:
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
/
2
6
2
4 ,
x
f
x
y
z
=
+
-
/
2
2
12,
y
f
x
y
= +
+
Pochodne te są jednocześnie równe zeru , gdy
2
6
2
4
0,
2
2
12 0,
4
4
0
x
y
z
x
y
x
z
� + -
=
�
+
+ =
�
�- + =
�
z x
=
2
6
2
12 4
0
x
x
x
-
-
-
=
6
y
x
=- -
2
6
6
12 0
x
x
-
-
=
2
2 0
x
x
- - =
1 8 9,
3
D= + =
D =
Punktami stacjonarnymi tej
funkcji są:
/
4
4 .
z
f
x
z
=-
+
1
2
1 3
1 3
1,
2
2
2
x
x
-
+
=
=-
=
=
1
5
y =-
1
1
z =-
1
8
y =-
1
2
z =
1
2
( 1, 5, 1) oraz
(2, 8,2).
P
P
- -
-
-
Slajd nr 26 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Weryfikacja punktów
stacjonarnych
Niech f będzie funkcją n-zmiennych określoną i
mającą ciągłe pochodne do drugiego rzędu włącznie
w obszarze D.
Przypuśćmy, że w punkcie stacjonarnym
tego obszaru hesjanem funkcji jest
)
,...,
,
(
0
0
2
0
1
0
n
x
x
x
P
0
0
0
1
2
Hess ( , ,..., ),
n
f x x
x
którego minorami głównymi są kolejno: M
1
, M
2
, …, M
n
.
Wówczas
1. Jeżeli , to w punkcie
występuje minimum.
0
...,
,
0
,
0
2
1
n
M
M
M
2. Jeżeli , to w punkcie
jest maksimum.
0
)
1
(
...,
,
0
,
0
2
1
n
n
M
M
M
3. Jeżeli dla pewnego parzystego k zachodzi
warunek: M
k
< 0,
_
to w punkcie ekstremum
nie ma.
Slajd nr 27 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Ekstrema globalne
Jeżeli warunki 1. albo 2. spełnione są
we wszystkich punktach pewnego obszaru
wypukłego, to ekstremum nazywamy
globalnym.
W takim przypadku wartość funkcji w punkcie
stacjonarnym jest wartością największą lub
najmniejszą funkcji na tym obszarze
(najmniejszą, gdy w punkcie jest minimum,
największą, gdy w punkcie jest maksimum).
Slajd nr 28 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
3
3
( , )
3 .
f x y
x
y
xy
= + -
Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj,
jeżeli
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
/
2
( , ) 3
3 ,
x
f x y
x
y
=
-
/
2
( , ) 3
3 .
y
f x y
y
x
=
-
Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:
2
2
3
3
0,
3
3
0.
x
y
y
x
� -
=
�
�
-
=
�
�
2
y x
=
3
3 (
1) 0
x x -
=
4
3
3
0
x
x
-
=
1
0
x =
2
1
x =
1
0
y =
Punktami stacjonarnymi są P
1
(0, 0),
P
2
(1, 1).
2
1
y =
Slajd nr 29 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
/
2
( , ) 3
3 ,
x
f x y
x
y
=
-
/
2
( , ) 3
3 .
y
f x y
y
x
=
-
Dla punktu P
1
(0, 0):
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
6x
3
-
3
-
6y
Dla punktu P
2
(1, 1):
0
3
3
0
)
0
,
0
(
Hessf
0
9
2
M
1
0,
M =
W punkcie (0,0) ekstremum
nie ma.
6
3
Hess (1,1)
3 6
f
-
�
�
=�
�
-
�
�
2
27 0
M =
>
1
6 0,
M = >
W punkcie (1,1) występuje
minimum.
Slajd nr 30 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Slajd nr 31 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Punkt siodłowy
Punkt, w którym pochodne cząstkowe są równe
zeru, ale ekstremum nie występuje nazywa się
punktem siodłowym.
Slajd nr 32 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
2
2
( , )
8
7 .
z f x y
x
xy y
x
y
=
=-
-
-
+ +
Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj,
jeżeli
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
/
( , )
2
8,
x
f x y
x y
=-
- +
/
( , )
2
7.
y
f x y
x
y
=- -
+
Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:
2
8 0,
2
7 0
x y
x
y
-
- + =
�
�
- -
+ =
�
2
8
y
x
=-
+
3
9 0
x- =
2( 2
8) 7 0
x
x
- -
-
+ + =
3
9
x=
2
y =
3
x =
Jedynym punktem stacjonarnym jest
P(3, 2).
Slajd nr 33 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
/
( , )
2
8,
x
f x y
x y
=-
- +
/
( , )
2
7.
y
f x y
x
y
=- -
+
Postać hesjanu, jak widać, nie zależy od punktu. W
szczególności jest to również hesjan w badanym
punkcie.
Hess ( , )
.
f x y
�
�
=�
�
�
�
2
-
1
-
1
-
2
-
2
4 1 3 0.
M = - = >
1
2 0,
M =- <
W punkcie (3,2) występuje maksimum globalne.
(3,2) 19
f
=
jest największą wartością
funkcji na całej płaszczyźnie.
Wartość
Slajd nr 34 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Slajd nr 35 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
3
2
2
( , , )
3
2
.
f x y z
x
x y
y z
= -
+ +
+
Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich
rodzaj, jeżeli
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
/
2
3
3,
x
f
x
=
-
/
2
2,
y
f
y
=
+
Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:
2
3
3 0,
2
2 0,
2
0
x
y
z
� - =
�
+ =
�
� =
�
0
z =
2
1
x =
1
y =-
1
2
1,
1
x
x
=-
=
Punktami stacjonarnymi tej
funkcji są:
/
2 .
z
f
z
=
1
2
( 1, 1,0) oraz
(1, 1,0).
P
P
- -
-
Slajd nr 36 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
Hess ( , )
.
f x y
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
�
6x
0
0
0
2
0
0
0
2
/
2
3
3,
x
f
x
=
-
/
2
2,
y
f
y
=
+
/
2 .
z
f
z
=
Dla punktu P
1
(-1, -1, 0): Dla punktu P
2
(1, -1, 0):
6 0 0
Hess ( 1, 1,0)
0 2 0
0 0 2
f
-
�
�
�
�
- -
=�
�
�
�
�
�
2
12 0
M =-
<
1
6 0,
M =- <
W punkcie P
1
(-1, -1,
0) ekstremum nie ma.
6 0 0
Hess (1, 1,0)
0 2 0
0 0 2
f
�
�
�
�
-
=�
�
�
�
�
�
2
12 0,
M = >
1
6 0,
M = >
W punkcie P
2
(1, -1, 0)
występuje minimum.
3
24 0.
M = >
Slajd nr 37 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
2
2
1
2
3
4
1
2
3 4
1
2
3
4
( , , , )
4
6
2 .
f x x x x
x
x
x x
x
x
x
x
= + +
-
-
-
-
Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich
rodzaj, jeżeli
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
1
/
1
2
4,
x
f
x
=
-
2
/
2
2
6,
x
f
x
=
-
Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:
1
2
4
3
2
4 0,
2
6 0,
1 0,
2 0.
x
x
x
x
- =
�
� - =
�
�
- =
�
� - =
�
1
2
x =
4
1
x =
2
3
x =
3
2
x =
Jedynym punktem stacjonarnym funkcji
jest:
3
/
4
1,
x
f
x
= -
(2,3,2,1).
P
4
/
3
2.
x
f
x
= -
Slajd nr 38 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
1
2
3
4
Hess ( , , , )
.
f x x x x
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
2
4 0,
M = >
1
2 0,
M = >
W punkcie P(2, 3, 2, 1) ekstremum nie ma.
4
4 0.
M =- <
3
0,
M =
1
/
1
2
4,
x
f
x
=
-
2
/
2
2
6,
x
f
x
=
-
3
/
4
1,
x
f
x
= -
4
/
3
2.
x
f
x
= -
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
Jest to hesjan we wszystkich punktach przestrzeni R
4
,
w szczególności w badanym punkcie.
Slajd nr 39 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
2
2
2
2
1
2
3
4
1
2
3
4
1 2
1
2
3
4
( , , , )
4
4
6
2 .
f x x x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
= + + + +
-
+
-
+
Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich
rodzaj, jeżeli
Pochodne cząstkowe funkcji są równe:
1
/
1
2
2
4,
x
f
x
x
=
+ -
2
/
2
1
2
4,
x
f
x
x
=
+ +
Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:
1
2
2
1
3
4
2
4 0,
2
4 0,
2
6 0,
2
2 0.
x
x
x
x
x
x
+ - =
�
� + + =
�
�
- =
�
� + =
�
3
3
x =
2
1
2
4
x
x
=-
+
4
1
x =-
1
1
2( 2
4)
4 0
x
x
-
+ + + =
Jedynym punktem stacjonarnym funkcji
jest:
3
/
3
2
6,
x
f
x
=
-
(4, 4,3, 1).
P
-
-
4
/
4
2
2.
x
f
x
=
+
1
3
12 0
x
-
+ =
1
4
x =
2
4
x =-
Slajd nr 40 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych
Przykład
1
2
3
4
Hess ( , , , )
.
f x x x x
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
2
3 0,
M = >
1
2 0,
M = >
W punkcie P(4, -4, 3, -1) występuje minimum
globalne.
4
12 0.
M = >
3
6 0,
M = >
2
1
0
0
1
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
Jest to hesjan we wszystkich punktach przestrzeni R
4
,
w szczególności w badanym punkcie.
1
/
1
2
2
4,
x
f
x
x
=
+ -
2
/
2
1
2
4,
x
f
x
x
=
+ +
3
/
3
2
6,
x
f
x
=
-
4
/
4
2
2.
x
f
x
=
+
(2,3,1,2)
26.
f
=-
Slajd nr 41 / 41
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji
wielu zmiennych