Ekstrema funkcji
wielu zmiennych

dr Tomasz
Kowalski

Wykład 27

Slajd nr 2 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe rzędu
drugiego

Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych
określoną i mającą pochodne cząstkowe f

x

/

oraz f

y

/

w pewnym obszarze D.

Każda z tych pochodnych, będąca funkcją dwóch
zmiennych, może posiadać pochodne cząstkowe.

Jeżeli pochodne te istnieją, to nazywamy je
pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego.

Slajd nr 3 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe rzędu
drugiego

Funkcja dwóch zmiennych posiada cztery
pochodne cząstkowe rzędu 2, które określamy
i oznaczamy następująco:

( , )

f x y

pochodna po x

/

( , )

x

f x y

pochodna po y

/

( , )

y

f x y

pochodna po x

//

( , )

xx

f x y

pochodna po y

//

( , )

xy

f x y

pochodna po x

//

( , )

yx

f x y

pochodna po y

//

( , )

yy

f x y

2

2

//

2

x

f

f

x







x

y

f

f

xy







2

//



y

x

f

f

yx







2

//



2

2

//

2

y

f

f

y







Pochodne
mieszane

Pochodne
czyste

Na oznaczenie pochodnych rzędu drugiego stosujemy
też symbole:

Slajd nr 4 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe rzędu
drugiego

Wyznaczyć pochodne rzędu drugiego funkcji

2

2

2

( , )

3

2

f x y

x y

xy

x

=

-

-

pochodna po x

/

2

( , ) 2

3

4

x

f x y

xy

y

x

=

-

-

pochodna po y

/

2

( , )

6

y

f x y

x

xy

= -

pochodna po x

//

( , ) 2

4

xx

f x y

y

=

-

pochodna po y

//

( , ) 2

6

xy

f x y

x

y

= -

pochodna po x

//

( , ) 2

6

yx

f x y

x

y

= -

pochodna po y

//

( , )

6

yy

f x y

x

=-

Jeżeli pochodne mieszane funkcji f dwóch
zmiennych istnieją w pewnym obszarze D i są
ciągłe, to są równe.

Pochodne
mieszane

Slajd nr 5 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Pochodne wyższych rzędów

Symbolem

(

)

lub

p q

p q

p q

q

p

x y

f

f

y x

�

� �

+

+

oznaczać będziemy funkcję powstałą przez

p-krotne zróżniczkowanie funkcji f względem
zmiennej x

i q-krotne względem zmiennej y.

Slajd nr 6 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

Wyznaczyć

///

2

y

x

f

jeżeli

3

( , )

.

xy

f x y

x y e

=

+

/

3

/

( , ) (

)

xy

x

x

f x y

x y e

=

+

=

(

)

2

/

//

/

2

/

( , )

( , )

(3

)

xy

x

x

x

x

f x y

f x y

x y ye

=

=

+

=

(

)

2

2

/

///

//

2

/

( , )

( , )

(6

)

xy

y

x y

x

y

f

x y

f x y

xy y e

=

=

+

=

2

3

xy

x y ye

+

2

6

xy

xy y e

+

2

6

2

xy

xy

x

ye

xy e

+

+

Slajd nr 7 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Hesjan funkcji

Niech z = f(x,y) będzie funkcją określoną w
pewnym zbiorze D, mającą ciągłe pochodne
cząstkowe rzędu drugiego w tym zbiorze.

Hesjanem funkcji f w punkcie (x,y)
nazywamy macierz:

2

2

//

//

//

//

( , )

( , )

Hess ( , )

.

( , )

( , )

yx

x

xy

y

f

x y

f

x y

f x y

f

x y

f

x y

�

�

�

�

=

�

�

�

�

Hesjan funkcji jest macierzą

symetryczną.

Slajd nr 8 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Hesjan funkcji – sposób
tworzenia

Obliczanie hesjanu funkcji dwóch zmiennych może
się odbywać według schematu:

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

( , )

f x y

pochodna po x

/

( , )

x

f x y

pochodna po y

/

( , )

y

f x y

pochodne po x

//

( , )

xx

f x y

//

( , )

yx

f x y

Slajd nr 9 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Hesjan funkcji – sposób
tworzenia

Obliczanie hesjanu funkcji dwóch zmiennych może
się odbywać według schematu:

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

( , )

f x y

pochodna po x

/

( , )

x

f x y

pochodna po y

/

( , )

y

f x y

pochodne po y

//

( , )

xx

f x y

//

( , )

yx

f x y

//

( , )

xy

f x y

//

( , )

yy

f x y

Slajd nr 10 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Hesjan funkcji – sposób
tworzenia

Obliczanie hesjanu funkcji dwóch zmiennych może
się odbywać według schematu:

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

( , )

f x y

pochodna po x

/

( , )

x

f x y

pochodna po y

/

( , )

y

f x y

//

( , )

xx

f x y

//

( , )

yx

f x y

//

( , )

xy

f x y

//

( , )

yy

f x y

Slajd nr 11 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

Obliczyć hesjan funkcji w dowolnym punkcie, jeżeli

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

2

( , ) 3

6

y

f x y

x y

xe

=

+

pochodna po x

/

6

6

y

x

f

xy

e

=

+

pochodna po y

/

2

3

6

y

y

f

x

xe

=

+

pochodne po x

6y

6

6

y

x

e

+

pochodne po y

6

6

y

x

e

+

6

y

xe

Slajd nr 12 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

Obliczyć hesjan funkcji w dowolnym punkcie, jeżeli

Hess ( , )

.

f x y

�

�

�

�

=�

�

�

�

�

�

2

2

3

( , , )

f x y z

xy

x yz

=

+

pochodna po x

/

2

3

2

,

x

f

y

xyz

= +

pochodna po y

/

2 3

2

,

y

f

xy x z

=

+

pochodne
po x

3

2yz

3

2

2

y

xz

+

pochodne
po y

2

6xyz

pochodna po z

/

2

2

3

z

f

x yz

=

3

2

2

y

xz

+

2x

2 2

3x z

pochodne
po z

2

6xyz

2 2

3x z

2

6x yz

Slajd nr 13 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Obliczanie hesjanu funkcji w
punkcie

Aby obliczyć

należy po wyznaczeniu hesjanu w dowolnym
punkcie przyjąć x = x

0

, y = y

0

.

0

0

Hess ( , )

f x y

Slajd nr 14 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Minory główne macierzy

Niech



























nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A















2

1

2

22

21

1

12

11

będzie macierzą liczbową stopnia n.

Minorami głównymi tej macierzy nazywamy
liczby:

1

11

,

M

a

=

11

12

2

21

22

,

a

a

M

a

a

=

11

12

13

3

21

22

23

31

32

33

,

a

a

a

M

a

a

a

a

a

a

=

...,

det .

n

M

A

=

Slajd nr 15 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

Obliczyć Hessf(1.-2) oraz minory główne otrzymanej
macierzy, jeżeli

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

2

2

( , )

2

.

f x y

x

xy

= +

pochodna po x

/

2

2

2

x

f

x

y

= +

pochodna po y

/

4

y

f

xy

=

pochodne po x

2

4y

pochodne po y

4y

4x

Slajd nr 16 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład















x

y

y

y

x

f

4

4

4

2

)

,

(

Hess

Przyjmując x = 1 oraz y = -2 mamy

Hess (1, 2)

f

�

�

-

=�

�

�

�

2

- 8

- 8

4

1

M =

2

M =

2,

2

8

8 4

-

=

-

8 64

56

-

=-

Slajd nr 17 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

Obliczyć Hessf(-1, 2, 0) oraz minory główne
otrzymanej macierzy, jeżeli

Hess ( , )

.

f x y

�

�

�

�

=�

�

�

�

�

�

2

3

2

( , , )

2

.

u f x y z

x

y

xyz z

x y

=

=-

-

+

-

+ +

pochodna po x

/

4

1,

x

f

x yz

=-

+ +

pochodna po y

/

2

3

1,

y

f

y

xz

=-

+ +

pochodne
po x

4

-

z

pochodne
po y

y

pochodna po z

/

2

z

f

xy

z

= -

z

6y

-

x

pochodne
po z

y

x

2

-

Slajd nr 18 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

4

Hess ( , , )

6

.

2

z

y

f x y z

z

y

x

y

x

-

�

�

�

�

=

-

�

�

�

�

-

�

�

Przyjmując x = -1 , y = 2 oraz z = 0
mamy

Hess ( 1,2, 0)

f

�

�

�

�

-

=�

�

�

�

�

�

- 4

0

2

0

1

M =

2

M =

-4,

4

0

0

12

-

=

-

96 49 4

44

=-

+ + =-

-
12

-1

2 - 1 - 2

48
,

3

M =

4

0

2

0

12

1

2

1

2

-

-

-

=

-

-

Slajd nr 19 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Ekstrema funkcji wielu
zmiennych

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
zbiorze D wzorem z = f(x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

).

minimum (lokalne) , jeżeli spełniony jest
warunek

0

0

0

1

2

1

2

( , ,..., )

( , ,..., )

n

n

f x x

x

f x x

x

>

Funkcja ta posiada w punkcie
tego zbioru

P x x

x

n

0

1

0

2

0

0

( , ,..., )

dla wszystkich punktów P(x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

) z

pewnego sąsiedztwa S punktu

0

0

0

0

1

2

( , ,..., ).

n

P x x

x

Slajd nr 20 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Ekstrema funkcji wielu
zmiennych

maksimum lokalne.

Podobnie , jeżeli spełniony jest warunek

0

0

0

1

2

1

2

( , ,..., )

( , ,..., )

n

n

f x x

x

f x x

x

<

to funkcja ta posiada w punkcie

P x x

x

n

0

1

0

2

0

0

( , ,..., )

dla wszystkich punktów P(x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

) z

pewnego sąsiedztwa S punktu

0

0

0

0

1

2

( , ,..., ),

n

P x x

x

Minima i maksima, podobnie jak w
przypadku funkcji jednej zmiennej,
nazywamy

ekstremami.

Slajd nr 21 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Interpretacja maksimum funkcji
dwóch zmiennych

Slajd nr 22 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Warunek konieczny istnienia
ekstremum

Jeżeli w punkcie

funkcja dana wzorem

)

,...,

,

(

0

0

2

0

1

0

n

x

x

x

P

to wszystkie pochodne cząstkowe (rzędu pierwszego)
w tym punkcie są równe zeru.

jest różniczkowalna i posiada ekstremum,

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

z 

Slajd nr 23 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Punkty stacjonarne

Punkty, w których wszystkie pochodne cząstkowe
(rzędu pierwszego) istnieją i są równe zeru,
nazywamy punktami stacjonarnymi.

W przypadku funkcji elementarnej są to
jedyne punkty, w których może wystąpić
ekstremum.

Slajd nr 24 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

2

2

( , )

3 .

f x y

x

xy y

x

= + + -

Wyznaczyć punkty stacjonarne
funkcji:

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

/

( , ) 2

3

x

f x y

x y

= + -

/

( , )

2 .

y

f x y

x

y

= +

Pochodne te są jednocześnie równe zeru w
punktach, których współrzędne spełniają układ
równań:

2

3 0,

2

0.

x y

x

y

+ - =

�

�

+

=

�

2

3

y

x

=-

+

4

6 0

x

x

-

+ =

2( 2

3) 0

x

x

+ -

+ =

3

6

x

-

=-

2

x =

1

y =-

Jedynym punktem stacjonarnym jest
P(2,-1).

Slajd nr 25 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

3

2

2

( , , ) 2

2

4

2

12 .

f x y z

x

xy y

xz

z

y

=

+

+ -

+

+

Wyznaczyć punkty stacjonarne
funkcji:

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

/

2

6

2

4 ,

x

f

x

y

z

=

+

-

/

2

2

12,

y

f

x

y

= +

+

Pochodne te są jednocześnie równe zeru , gdy

2

6

2

4

0,

2

2

12 0,

4

4

0

x

y

z

x

y

x

z

� + -

=

�

+

+ =

�

�- + =

�

z x

=

2

6

2

12 4

0

x

x

x

-

-

-

=

6

y

x

=- -

2

6

6

12 0

x

x

-

-

=

2

2 0

x

x

- - =

1 8 9,

3

D= + =

D =

Punktami stacjonarnymi tej
funkcji są:

/

4

4 .

z

f

x

z

=-

+

1

2

1 3

1 3

1,

2

2

2

x

x

-

+

=

=-

=

=

1

5

y =-

1

1

z =-

1

8

y =-

1

2

z =

1

2

( 1, 5, 1) oraz

(2, 8,2).

P

P

- -

-

-

Slajd nr 26 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Weryfikacja punktów
stacjonarnych

Niech f będzie funkcją n-zmiennych określoną i
mającą ciągłe pochodne do drugiego rzędu włącznie
w obszarze D.

Przypuśćmy, że w punkcie stacjonarnym
tego obszaru hesjanem funkcji jest

)

,...,

,

(

0

0

2

0

1

0

n

x

x

x

P

0

0

0

1

2

Hess ( , ,..., ),

n

f x x

x

którego minorami głównymi są kolejno: M

1

, M

2

, …, M

n

.

Wówczas

1. Jeżeli , to w punkcie
występuje minimum.

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

M

M

M

2. Jeżeli , to w punkcie
jest maksimum.

0

)

1

(

...,

,

0

,

0

2

1









n

n

M

M

M

3. Jeżeli dla pewnego parzystego k zachodzi
warunek: M

k

< 0,

_

to w punkcie ekstremum

nie ma.

Slajd nr 27 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Ekstrema globalne

Jeżeli warunki 1. albo 2. spełnione są
we wszystkich punktach pewnego obszaru
wypukłego, to ekstremum nazywamy
globalnym.

W takim przypadku wartość funkcji w punkcie
stacjonarnym jest wartością największą lub
najmniejszą funkcji na tym obszarze
(najmniejszą, gdy w punkcie jest minimum,
największą, gdy w punkcie jest maksimum).

Slajd nr 28 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

3

3

( , )

3 .

f x y

x

y

xy

= + -

Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj,
jeżeli

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

/

2

( , ) 3

3 ,

x

f x y

x

y

=

-

/

2

( , ) 3

3 .

y

f x y

y

x

=

-

Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:

2

2

3

3

0,

3

3

0.

x

y

y

x

� -

=

�

�

-

=

�

�

2

y x

=

3

3 (

1) 0

x x -

=

4

3

3

0

x

x

-

=

1

0

x =

2

1

x =

1

0

y =

Punktami stacjonarnymi są P

1

(0, 0),

P

2

(1, 1).

2

1

y =

Slajd nr 29 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

/

2

( , ) 3

3 ,

x

f x y

x

y

=

-

/

2

( , ) 3

3 .

y

f x y

y

x

=

-

Dla punktu P

1

(0, 0):

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

6x

3

-

3

-

6y

Dla punktu P

2

(1, 1):



















0

3

3

0

)

0

,

0

(

Hessf

0

9

2







M

1

0,

M =

W punkcie (0,0) ekstremum
nie ma.

6

3

Hess (1,1)

3 6

f

-

�

�

=�

�

-

�

�

2

27 0

M =

>

1

6 0,

M = >

W punkcie (1,1) występuje
minimum.

Slajd nr 30 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Slajd nr 31 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Punkt siodłowy

Punkt, w którym pochodne cząstkowe są równe
zeru, ale ekstremum nie występuje nazywa się
punktem siodłowym.

Slajd nr 32 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

2

2

( , )

8

7 .

z f x y

x

xy y

x

y

=

=-

-

-

+ +

Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj,
jeżeli

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

/

( , )

2

8,

x

f x y

x y

=-

- +

/

( , )

2

7.

y

f x y

x

y

=- -

+

Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:

2

8 0,

2

7 0

x y

x

y

-

- + =

�

�

- -

+ =

�

2

8

y

x

=-

+

3

9 0

x- =

2( 2

8) 7 0

x

x

- -

-

+ + =

3

9

x=

2

y =

3

x =

Jedynym punktem stacjonarnym jest
P(3, 2).

Slajd nr 33 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

/

( , )

2

8,

x

f x y

x y

=-

- +

/

( , )

2

7.

y

f x y

x

y

=- -

+

Postać hesjanu, jak widać, nie zależy od punktu. W
szczególności jest to również hesjan w badanym
punkcie.

Hess ( , )

.

f x y

�

�

=�

�

�

�

2

-

1

-

1

-

2

-

2

4 1 3 0.

M = - = >

1

2 0,

M =- <

W punkcie (3,2) występuje maksimum globalne.

(3,2) 19

f

=

jest największą wartością
funkcji na całej płaszczyźnie.

Wartość

Slajd nr 34 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Slajd nr 35 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

3

2

2

( , , )

3

2

.

f x y z

x

x y

y z

= -

+ +

+

Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich
rodzaj, jeżeli

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

/

2

3

3,

x

f

x

=

-

/

2

2,

y

f

y

=

+

Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:

2

3

3 0,

2

2 0,

2

0

x

y

z

� - =

�

+ =

�

� =

�

0

z =

2

1

x =

1

y =-

1

2

1,

1

x

x

=-

=

Punktami stacjonarnymi tej
funkcji są:

/

2 .

z

f

z

=

1

2

( 1, 1,0) oraz

(1, 1,0).

P

P

- -

-

Slajd nr 36 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

Hess ( , )

.

f x y

�

�

�

�

=�

�

�

�

�

�

6x

0

0

0

2

0

0

0

2

/

2

3

3,

x

f

x

=

-

/

2

2,

y

f

y

=

+

/

2 .

z

f

z

=

Dla punktu P

1

(-1, -1, 0): Dla punktu P

2

(1, -1, 0):

6 0 0

Hess ( 1, 1,0)

0 2 0
0 0 2

f

-

�

�

�

�

- -

=�

�

�

�

�

�

2

12 0

M =-

<

1

6 0,

M =- <

W punkcie P

1

(-1, -1,

0) ekstremum nie ma.

6 0 0

Hess (1, 1,0)

0 2 0
0 0 2

f

�

�

�

�

-

=�

�

�

�

�

�

2

12 0,

M = >

1

6 0,

M = >

W punkcie P

2

(1, -1, 0)

występuje minimum.

3

24 0.

M = >

Slajd nr 37 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

2

2

1

2

3

4

1

2

3 4

1

2

3

4

( , , , )

4

6

2 .

f x x x x

x

x

x x

x

x

x

x

= + +

-

-

-

-

Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich
rodzaj, jeżeli

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

1

/

1

2

4,

x

f

x

=

-

2

/

2

2

6,

x

f

x

=

-

Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:

1

2

4

3

2

4 0,

2

6 0,

1 0,

2 0.

x
x

x
x

- =

�

� - =

�

�

- =

�

� - =

�

1

2

x =

4

1

x =

2

3

x =

3

2

x =

Jedynym punktem stacjonarnym funkcji
jest:

3

/

4

1,

x

f

x

= -

(2,3,2,1).

P

4

/

3

2.

x

f

x

= -

Slajd nr 38 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

1

2

3

4

Hess ( , , , )

.

f x x x x

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

2

4 0,

M = >

1

2 0,

M = >

W punkcie P(2, 3, 2, 1) ekstremum nie ma.

4

4 0.

M =- <

3

0,

M =

1

/

1

2

4,

x

f

x

=

-

2

/

2

2

6,

x

f

x

=

-

3

/

4

1,

x

f

x

= -

4

/

3

2.

x

f

x

= -

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

Jest to hesjan we wszystkich punktach przestrzeni R

4

,

w szczególności w badanym punkcie.

Slajd nr 39 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

2

2

2

2

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2

1

2

3

4

( , , , )

4

4

6

2 .

f x x x x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

= + + + +

-

+

-

+

Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich
rodzaj, jeżeli

Pochodne cząstkowe funkcji są równe:

1

/

1

2

2

4,

x

f

x

x

=

+ -

2

/

2

1

2

4,

x

f

x

x

=

+ +

Szukamy najpierw punktów stacjonarnych – „kandydatów
na ekstrema”:

1

2

2

1

3

4

2

4 0,

2

4 0,

2

6 0,

2

2 0.

x

x

x

x

x
x

+ - =

�

� + + =

�

�

- =

�

� + =

�

3

3

x =

2

1

2

4

x

x

=-

+

4

1

x =-

1

1

2( 2

4)

4 0

x

x

-

+ + + =

Jedynym punktem stacjonarnym funkcji
jest:

3

/

3

2

6,

x

f

x

=

-

(4, 4,3, 1).

P

-

-

4

/

4

2

2.

x

f

x

=

+

1

3

12 0

x

-

+ =

1

4

x =

2

4

x =-

Slajd nr 40 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych

Przykład

1

2

3

4

Hess ( , , , )

.

f x x x x

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

2

3 0,

M = >

1

2 0,

M = >

W punkcie P(4, -4, 3, -1) występuje minimum
globalne.

4

12 0.

M = >

3

6 0,

M = >

2

1

0

0

1

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

Jest to hesjan we wszystkich punktach przestrzeni R

4

,

w szczególności w badanym punkcie.

1

/

1

2

2

4,

x

f

x

x

=

+ -

2

/

2

1

2

4,

x

f

x

x

=

+ +

3

/

3

2

6,

x

f

x

=

-

4

/

4

2

2.

x

f

x

=

+

(2,3,1,2)

26.

f

=-

Slajd nr 41 / 41

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 27: Ekstrema funkcji

wielu zmiennych