ZASADA ZACHOWANIA PĘDU I MOMENTU
PĘDU.
REAKCJA HYDRODYNAMICZNA.
V
dV
r n
P =
�
r
r
Pęd układu płynnego określony jest
wektorem w postaci
a kręt (moment pędu względem bieguna
O)
Rys.1
.
(
)
V
K
r x
dV
r n
=
�
r
r
r
(1
)
(2
)
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU I MOMENTU
PĘDU.
REAKCJA HYDRODYNAMICZNA.
V
dV
r n
P =
�
r
r
Pęd układu płynnego określony jest
wektorem w postaci
a kręt (moment pędu względem bieguna
O)
Rys.1
.
(
)
V
K
r x
dV
r n
=
�
r
r
r
(1
)
(2
)
Zasadę zachowania pędu definiujemy w postaci
n
V
V
A
d
dV
qdV
dA
dt
r n
r
t
=
+
�
�
�
r
r
r
�
(3
)
a zasadę zachowania krętu
(
)
(
)
(
)
n
V
V
A
d
r x
dV
r x q dV
r x
dA
dt
r n
r
t
=
+
�
�
�
r
r
r r
r
�
Rys.2. Reakcja hydrodynamiczna w zakrzywionym
przewodzie o zmiennym przekroju
(4
)
1. Reakcja hydrodynamiczna w przewodach
Pęd elementarny w przekroju dopływowym wynosi q
v
v
1
dt a
w przekroju odpływowym q
v
v
2
dt.
Z zasady zachowania pędu wynika, że zmiana pędu w czasie
określa reakcję hydrodynamiczną
2
1
(
)
v
R
q
r
u u
=
-
r
r
r
(5
)
Rys.3. Analityczne i wykreślne wyznaczanie reakcji
hydrodynamicznej
Moduł i punkt przyłożenia reakcji można wyznaczyć
analitycznie na podstawie sumy rzutu sił w kierunkach osi x
i y oraz sumy momentów względem dowolnie wybranego
punktu.
1
1
2
2
1
1
2
2
2
cos
cos
cos
sin
sin
sin
0
v
v
v
v
v
R
q v
q v
R
q v
q v
M
q v a Rx
a
r
a
r
a
a r
a
r
a
r
=
-
�
�
=
+
�
�
=
-
=
�
Wykreślnie reakcję można wyznaczyć za pomocą wieloboku
sił, tak jak to pokazano na rys.4.
(6
)
Rys.4. Przykłady wykreślnego wyznaczania reakcji
hydrodynamicznej
a) w kolanie o stałym przekroju b) w zwężeniu przewodu
Rys.5. Wypływ ze
zbiornika
2. Reakcja hydrodynamiczna płynu wypływającego
ze zbiornika
Przyrost pędu wypływającej strugi wynosi
0
v
v
q v dt
q vdt
r
r
-
0
(
)
v
R
q
r
u u
=
-
a zmiana pędu w czasie – reakcja hydrodynamiczna
(7
)
(8
)
Ponieważ v
0
0,
to
v
R
q
r u
=-
(9
)
3. Reakcja hydrodynamiczna strugi swobodnej
uderzającej w przegrodę nieruchomą
Rys.6. Reakcja strugi na przegrodę nieruchomą
Ponieważ q
v
=q
v1
+q
v2
i zakładamy, że A=A
1
+A
2
to v=v
1
=v
2
zmiana pędu w czasie w kierunku osi x wynosi
1
1
2
2
cos
cos
cos
v
v
v
q vdt
q vdt
q vdt
dt
r
a r
a
r
a
-
-
1 1
1
2 2
2
cos
cos
cos
v
v
v
R
q v
q v
q v
r
a r
a
r
a
=
-
-
1
2
0,
90
(11)
v
dla
wzór
przybiera postać
R
q v
a
a
a
r
=
=
= �
=
(10
)
Zatem reakcja hydrodynamiczna
wynosi
(1
1)
W przypadku dużej płaskiej przegrody
Rys.
7.
(1
2)
Natomiast dla małej przeszkody
1
2
0
(11)
(1 cos )
v
dla
oraz
wzór
przybiera postać
R
q v
a
a
a
d
r
d
=
=
=
=
-
(13
)
Rys.8.
Dla płaskiej przegrody nachylonej do osi strugi
1
2
(11)
90
cos
v
wzór
dla
przybiera postać
R
q v
a
a
r
a
=
= �
=
(14
)
Rys.
9.
Rys.
10.
Dla przegrody walcowej zwróconej wypukłością do strugi
1
2
1
2
0
/ 2
(1 cos )
0(
)
0
v
v
v
v
oraz
q
q
q
to R
q v
gdy
czasza pólkolista R
a
a
d
a
r
d
d
=
=
=
=
=
=
-
=
=
Dla przegrody walcowej zwróconej wklęsłością do strugi
1
2
1
2
(180
)
0
/ 2
(1 cos )
v
v
v
v
oraz
q
q
q
to R
q v
a
a
d
a
r
d
=
=
�-
=
=
=
=
+
(15
)
(1
6)
Rys.
11.
Dla nieruchomej łopatki
1
2
1
2
180
2
cos
v
v
v
v
q
q
q
to R
q v
a
a
a
r
a
=
=
�-
=
=
=
Rys.
12.
(1
7)
4. Reakcja hydrodynamiczna strugi swobodnej
uderzającej w przegrodę ruchomą
Rys.
13.
Załóżmy, że przegroda porusza się ruchem postępowym
wzdłuż strugi ze stała prędkością . Prędkość strugi
względem przeszkody , „-” gdy zwroty obu wektorów
są jednakowe, „+” gdy przeciwne.
Strumień objętości strugi przepływającej względem
ruchomej przeszkody wynosi
w
v
r
w
v v
�
r r
(
)
v
w
q
A v v
=
�
(1
8)
gdzie A - pole przekroju strugi przed uderzeniem o
przegrodę. Gdy przegroda porusza się wzdłuż strugi zamiast
iloczynu „q
v
v” podstawiamy „q
v
(v-vw)2.
W przykładzie pokazanym na rys.13 (przeszkoda porusza się
z prędkością vw w kierunku nachylonym pod kątem do osi
x. Wzór (11) przybiera postać
( cos
cos )
v
w
R
q v
v
r
a
b
=
-
(1
9)
Strumień objętości względem ruchomej przeszkody
( cos
cos )
cos
w
A
Q
v
v
a
b
a
=
-
a reakcja hydrodynamiczna
2
( cos
cos )
cos
w
A
R
v
v
r
a
b
a
=
-
(2
0)
(2
1)
5. Zmiana momentów pędu
Rys.14.
Składowe wektora momentu pędu w kierunku normalnym do
promienia wynoszą na wlocie i wylocie odpowiednio
1
1
1
1
2
2
2
2
cos
cos
v b
v b
K
r q v
dt
K
r q v
dt
r
a
r
a
=
=
(22
)
(23
)
Na podstawie zasady zachowania momentu pędu
2
1
K
K
M
dt
-
=
(23
)
zatem moment na wale wirnika musi wynosić
2
2
2
1 1
1
(
cos
cos )
v
b
b
M
q r v
rv
r
a
a
=
-
(24
)
Moc na wale wirnika wynosi
N Mw
=
(25
)
czyli
2
2
2
1 1
1
(
cos
cos )
v
b
b
N
q
r v
rv
r w
a
a
=
-
(26
)