1

Projektowanie

Eksperymentów

Symulacyjnych

dr inż. Dariusz Pierzchała

dr inż. Dariusz Pierzchała

2

Podstawowe zagadnienia



model symulacyjny

model symulacyjny



rodzaje modeli symulacyjnych

rodzaje modeli symulacyjnych



etapy budowy modelu

etapy budowy modelu



warunki początkowe i końcowe

warunki początkowe i końcowe



momenty gromadzenia danych

momenty gromadzenia danych



identyfikacja typu rozkładu badanej

identyfikacja typu rozkładu badanej

charakterystyki

charakterystyki



czas trwania eksperymentu a liczba powtórzeń

czas trwania eksperymentu a liczba powtórzeń



plany losowania i plany eksperymentów

plany losowania i plany eksperymentów



metody redukcji wariancji estymatorów

metody redukcji wariancji estymatorów



przygotowanie „narzędzi” do statystycznej

przygotowanie „narzędzi” do statystycznej

analizy symulacji

analizy symulacji

3

Symulacja komputerowa



Symulacja komputerowa - metoda badania

Symulacja komputerowa - metoda badania

lub naśladowania systemu rzeczywistego lub

lub naśladowania systemu rzeczywistego lub

teoretycznego poprzez zbudowanie jego

teoretycznego poprzez zbudowanie jego

modelu i jego implementacji komputerowej

modelu i jego implementacji komputerowej

a następnie eksperymentowanie na modelu i

a następnie eksperymentowanie na modelu i

analiza uzyskanych wyników.

analiza uzyskanych wyników.

[Najgebauer „Informatyczne systemy

[Najgebauer „Informatyczne systemy

wspomagania decyzji ...”]

wspomagania decyzji ...”]



Symulacja uosabia zasadę „poznawania

Symulacja uosabia zasadę „poznawania

poprzez wykonywanie”

poprzez wykonywanie”

4

Proces symulacji



W procesie symulacji można wyróżnić trzy

W procesie symulacji można wyróżnić trzy

zasadnicze fazy:

zasadnicze fazy:



Budowa modelu symulacyjnego – obejmuje:

Budowa modelu symulacyjnego – obejmuje:



konstruowanie modelu matematycznego, odpowiadającego

konstruowanie modelu matematycznego, odpowiadającego

głównemu celu modelowania;

głównemu celu modelowania;



jego implementację komputerową, zależną od typu modelu i

jego implementację komputerową, zależną od typu modelu i

stosowanego języka symulacyjnego;

stosowanego języka symulacyjnego;



opracowanie planu eksperymentu.

opracowanie planu eksperymentu.



Eksperymentowanie – faza realizowania planu badań

Eksperymentowanie – faza realizowania planu badań

symulacyjnych – w zależności od zakresu badań może być

symulacyjnych – w zależności od zakresu badań może być

bardzo czasochłonna

bardzo czasochłonna



Analiza wyników eksperymentów - polega na

Analiza wyników eksperymentów - polega na

przeprowadzeniu estymacji wyznaczanych charakterystyk,

przeprowadzeniu estymacji wyznaczanych charakterystyk,

przeprowadzeniu weryfikacji postawionych w fazie

przeprowadzeniu weryfikacji postawionych w fazie

początkowej hipotez, wyznaczeniu modelu regresji itp.

początkowej hipotez, wyznaczeniu modelu regresji itp.

5

Model symulacyjny



Model symulacyjny definiujemy jako:

Model symulacyjny definiujemy jako:



model formalny,

model formalny,



jego reprezentacja komputerowa dla potrzeb symulacji,

jego reprezentacja komputerowa dla potrzeb symulacji,



projekt eksperymentu,

projekt eksperymentu,



metoda analizy wyników eksperymentów symulacyjnych.

metoda analizy wyników eksperymentów symulacyjnych.



Składniki modelu:

Składniki modelu:



stany - opisują system w przedziale czasu; To kombinacja

stany - opisują system w przedziale czasu; To kombinacja

wartości zmiennych powstała, gdy każdemu atrybutowi obiektu

wartości zmiennych powstała, gdy każdemu atrybutowi obiektu

przyporządkujemy pewną zmienną, której zakres wartości

przyporządkujemy pewną zmienną, której zakres wartości

odpowiada wartościom, przyjmowanym przez ten atrybut;

odpowiada wartościom, przyjmowanym przez ten atrybut;



zdarzenia - zmiana stanu w ustalonej chwili ;

zdarzenia - zmiana stanu w ustalonej chwili ;



czas.

czas.



Przenoszenie systemu ze stanu do stanu zgodnie z

Przenoszenie systemu ze stanu do stanu zgodnie z

określonymi zasadami jest zatem symulacją;

określonymi zasadami jest zatem symulacją;

6

Klasyfikacja modeli symulacyjnych -I



konceptualne (opisowe),

konceptualne (opisowe),



deklaratywne (wyróżnia się stany i zdarzenia),

deklaratywne (wyróżnia się stany i zdarzenia),



funkcjonalne (wyróżnia się funkcje i zmienne –

funkcjonalne (wyróżnia się funkcje i zmienne –

np. w modelu obiektu),

np. w modelu obiektu),



wyrażające zależności (ograniczone –

wyrażające zależności (ograniczone –

odzwierciedlają prawa rządzące działaniem

odzwierciedlają prawa rządzące działaniem

badanych systemów),

badanych systemów),



przestrzenne (wyrażające dekompozycję

przestrzenne (wyrażające dekompozycję

przestrzeni – przestrzeń jest obiektem lub

przestrzeni – przestrzeń jest obiektem lub

elementy przestrzeni są obiektami),

elementy przestrzeni są obiektami),



multimodele (grafowe lub sieciowe modele

multimodele (grafowe lub sieciowe modele

złożone z innych typów);

złożone z innych typów);

7

Klasyfikacja modeli symulacyjnych -II



statyczne – pomijają czas lub opisują chwilowy stan

statyczne – pomijają czas lub opisują chwilowy stan

systemu w pewnym momencie (np. układ równań

systemu w pewnym momencie (np. układ równań

różniczkowych Chapmana-Kołmogorowa opisujących SMO

różniczkowych Chapmana-Kołmogorowa opisujących SMO

w stanie ustalonym);

w stanie ustalonym);



dynamiczne – wyraźnie podkreślają zjawisko czasu (np.

dynamiczne – wyraźnie podkreślają zjawisko czasu (np.

układ równań różniczkowych Chapmana-Kołmogorowa

układ równań różniczkowych Chapmana-Kołmogorowa

opisujących SMO w stanie przejściowym);

opisujących SMO w stanie przejściowym);



deterministyczne – brak losowych zależności w modelu

deterministyczne – brak losowych zależności w modelu

(np. prosty dwurównaniowy model Keynesowski zależności

(np. prosty dwurównaniowy model Keynesowski zależności

między dochodem narodowym i konsumpcją (bez

między dochodem narodowym i konsumpcją (bez

składnika losowego));

składnika losowego));



stochastyczne – niektóre z zależności w modelu mają

stochastyczne – niektóre z zależności w modelu mają

charakter losowy (np. w systemie obsługi klientów w

charakter losowy (np. w systemie obsługi klientów w

banku - losowy odstęp czasu między przybyciami klientów

banku - losowy odstęp czasu między przybyciami klientów

do kolejki do kasy itp.).

do kolejki do kasy itp.).

8

Klasyfikacja modeli symulacyjnych -III



Podział modeli symulacyjnych ze względu

Podział modeli symulacyjnych ze względu

na stopień znajomości stanu elementów

na stopień znajomości stanu elementów

systemu, którego są modelem:

systemu, którego są modelem:

Stopień znajomości stanu elementów systemu

Typ modelu

symulacyjnego

Wejścia systemu

Formalny opis stanu

systemu lub procesów

zachodzących

w systemie

Wyjścia systemu

Pierwszy

znane

nie znany

znane

Drugi

znane

znany

nie znane

Trzeci

nie znane

znany

znane

9

Klasyfikacja modeli symulacyjnych -III



Modele

Modele

typu pierwszego:

typu pierwszego:



służą do naśladowania (identyfikacji) procesu lub

służą do naśladowania (identyfikacji) procesu lub

układu;

układu;



znany jest stan wejść i wyjść systemu (np.

znany jest stan wejść i wyjść systemu (np.

empirycznie), natomiast nie jest znany formalny

empirycznie), natomiast nie jest znany formalny

opis procesów zachodzących w systemie lub stanu

opis procesów zachodzących w systemie lub stanu

systemu;

systemu;



model ten wykorzystuje się do sprawdzania

model ten wykorzystuje się do sprawdzania

prawdziwości hipotez co do stanu systemu lub

prawdziwości hipotez co do stanu systemu lub

procesów w nim zachodzących (np. identyfikacja

procesów w nim zachodzących (np. identyfikacja

rodzaju funkcji trendu w modelach tendencji

rodzaju funkcji trendu w modelach tendencji

rozwojowej).

rozwojowej).

10

Klasyfikacja modeli symulacyjnych -III



Modele

Modele

typu drugiego:

typu drugiego:



służą do badania systemu wprost;

służą do badania systemu wprost;



znany jest stan wejść systemu i formalny opis

znany jest stan wejść systemu i formalny opis

stanu systemu lub procesów zachodzących w

stanu systemu lub procesów zachodzących w

systemie, natomiast nie jest znany stan wyjść

systemie, natomiast nie jest znany stan wyjść

systemu;

systemu;



model ten wykorzystuje się do naśladowania

model ten wykorzystuje się do naśladowania

efektów np. decyzji. Sprawdzenie efektów decyzji

efektów np. decyzji. Sprawdzenie efektów decyzji

drogą symulacyjną, przed ich zastosowaniem w

drogą symulacyjną, przed ich zastosowaniem w

praktyce, może być bardziej owocne niż ich

praktyce, może być bardziej owocne niż ich

sprawdzenie metodą „prób i błędów”;

sprawdzenie metodą „prób i błędów”;

11

Klasyfikacja modeli symulacyjnych -III



Modele

Modele

typu trzeciego:

typu trzeciego:



służą do naśladowania optymalnego

służą do naśladowania optymalnego

sterowania;

sterowania;



znany jest stan wyjść systemu i formalny opis

znany jest stan wyjść systemu i formalny opis

stanu systemu lub procesów zachodzących w

stanu systemu lub procesów zachodzących w

systemie, natomiast nie jest znany stan wejść

systemie, natomiast nie jest znany stan wejść

systemu;

systemu;



ten model wykorzystuje się m.in. do

ten model wykorzystuje się m.in. do

kierowania programowanego;

kierowania programowanego;

12

Klasyfikacja symulacji



Symulacja interaktywna to taki sposób prowadzenia eksperymentu,

Symulacja interaktywna to taki sposób prowadzenia eksperymentu,

w którym użytkownik (badacz) może wpływać na jego przebieg w

w którym użytkownik (badacz) może wpływać na jego przebieg w

trakcie trwania eksperymentu poprzez zmianę parametrów modelu

trakcie trwania eksperymentu poprzez zmianę parametrów modelu

symulacyjnego.

symulacyjnego.



Rozproszona symulacja interaktywna (ang. Distributed Interactive

Rozproszona symulacja interaktywna (ang. Distributed Interactive

Simulation,DIS) realizacja eksperymentu symulacyjnego w

Simulation,DIS) realizacja eksperymentu symulacyjnego w

rozproszonym środowisku komputerowym.

rozproszonym środowisku komputerowym.

czasem

zdarzeniami

ciągła

Symulacja

dyskretna

Symulacja

t

0

t

0

t

k

t

1

t

k+1

= t

k

+ t, t=const

e

0

e

1

e

2

e

k

...

e

n

...

13

Etapy budowy modelu symulacyjnego

(1) określenie systemu;

(1) określenie systemu;

(2) sformułowanie modelu;

(2) sformułowanie modelu;

(3) ustalenie danych dla modelu;

(3) ustalenie danych dla modelu;

(4) zaprogramowanie modelu;

(4) zaprogramowanie modelu;

(5) planowanie

eksperymentów

(5) planowanie

eksperymentów

symulacyjnych;

symulacyjnych;

(6) ocenę uzyskanych wyników;

(6) ocenę uzyskanych wyników;

(7) ocenę adekwatności modelu;

(7) ocenę adekwatności modelu;

(8)

(8)

dokumentowanie.

dokumentowanie.

14

Warunki początkowe i końcowe

Traktujemy model symulacyjny jak „czarną

Traktujemy model symulacyjny jak „czarną

skrzynkę” a następnie:

skrzynkę” a następnie:



określamy zestawy danych wejściowych;

określamy zestawy danych wejściowych;



ustalamy zestawy charakterystyk

ustalamy zestawy charakterystyk

wyjściowych;

wyjściowych;



dobieramy estymatory badanych

dobieramy estymatory badanych

charakterystyk - określamy ich populację

charakterystyk - określamy ich populację

generalną i rozkłady tych populacji;

generalną i rozkłady tych populacji;



ustalamy kryteria jakości badań

ustalamy kryteria jakości badań

symulacyjnych.

symulacyjnych.

15

Określenie zestawów danych

wejściowych



Eksperyment realizowany jest dla wielu parametrów

Eksperyment realizowany jest dla wielu parametrów

wejściowych i dla ustalonego zakresu zmienności tych

wejściowych i dla ustalonego zakresu zmienności tych

parametrów.

parametrów.

x

x

j

j





jmin

jmin

,

,





jmax

jmax





,

,



Doświadczenie rozpoczynamy od typowej konfiguracji

Doświadczenie rozpoczynamy od typowej konfiguracji

zmiennych wejściowych a następnie zmieniając jedną z

zmiennych wejściowych a następnie zmieniając jedną z

nich obserwujemy, jaki był efekt tej zmiany na odpowiedź

nich obserwujemy, jaki był efekt tej zmiany na odpowiedź

systemu.

systemu.



Dopuszczalne a nawet wymagane są zestawy danych

Dopuszczalne a nawet wymagane są zestawy danych

„nierealnych” lub niespotykanych w rzeczywistości –

„nierealnych” lub niespotykanych w rzeczywistości –

dlaczego?

dlaczego?

eksperymen

t

na obiekcie

badanym

x

1

x

2

x

m

we

wy

k

K

1,

j

m

1,

16

Określenie zestawów danych

wejściowych



E

E

ksperymenty symulacyjne prowadz

ksperymenty symulacyjne prowadz

one są

one są

m.in.

m.in.

po

po

to, by określić jakie mogą być konsekwencje

to, by określić jakie mogą być konsekwencje

przyjętych w danym eksperymencie założeń o

przyjętych w danym eksperymencie założeń o

zmianach

zmianach

wartości parametrów wejściowych.

wartości parametrów wejściowych.



Dają możliwość

Dają możliwość

analiz

analiz

y

y

przyszłych możliwych stanów

przyszłych możliwych stanów

systemu, np.

systemu, np.

gospodarki

gospodarki

narodowej.

narodowej.



Rezultaty analizy sprowadzają się

Rezultaty analizy sprowadzają się

często

często

do stwierdzeń

do stwierdzeń

typu

typu

:

:

„J

„J

eżeli ukształtują się

eżeli ukształtują się

dane

dane

warunki

warunki

,

,

przebieg

przebieg

zjawiska

zjawiska

będzie

będzie

następujący i prowadzona

następujący i prowadzona

będzie dana

będzie dana

polityka

polityka

decyzyjna,

decyzyjna,

to wtedy osiągnięte zostaną

to wtedy osiągnięte zostaną

następujące wyniki”

następujące wyniki”

.

.



Dla odróżnienia „p

Dla odróżnienia „p

rognoza

rognoza

”

”

mówi nam o tym, jak

mówi nam o tym, jak

najprawdopodobniej ukształtuje się

najprawdopodobniej ukształtuje się

określone

określone

zjawisko

zjawisko

w przyszłości.

w przyszłości.

17

Określenie zestawów danych

wejściowych



Dla wielu parametrów wejściowych i dla

Dla wielu parametrów wejściowych i dla

ustalonego zakresu zmienności tych

ustalonego zakresu zmienności tych

parametrów konstruuje się

parametrów konstruuje się

plan

plan

eksperymentu

eksperymentu

.

.



Planem eksperymentu nazywa się tablicę:

Planem eksperymentu nazywa się tablicę:

x

x

ij

ij

- oznacza wartość czynnika

- oznacza wartość czynnika

x

x

j

j

w

w

i

i

-tym

-tym

powtórzeniu eksperymentu

powtórzeniu eksperymentu

 





















max

min

,

,

2

,

1

,

,

1

,

1

,

,

,...,

,...,

,

j

j

j

jnj

j

j

j

j

ij

m

j

n

i

ij

X

x

x

Q



















18

Określenie zestawów danych

wejściowych

Pełne doświadczenia czynnikowe

Pełne doświadczenia czynnikowe



Doświadczenie polega na sprawdzeniu wszystkich

Doświadczenie polega na sprawdzeniu wszystkich

możliwych

kombinacji

wszystkich

zmiennych

możliwych

kombinacji

wszystkich

zmiennych

wejściowych (czynników) i na wszystkich poziomach

wejściowych (czynników) i na wszystkich poziomach

wartości. Wymaga to przeprowadzenie

wartości. Wymaga to przeprowadzenie

„

„

n*m”

n*m”

prób

prób

.

.



Zaletą pełnego doświadczenia czynnikowego jest to, że

Zaletą pełnego doświadczenia czynnikowego jest to, że

badając wszystkie możliwe przypadki, możemy znaleźć

badając wszystkie możliwe przypadki, możemy znaleźć

wpływ na odpowiedź systemu każdego czynnika z

wpływ na odpowiedź systemu każdego czynnika z

osobna oraz oddziaływań między nimi.

osobna oraz oddziaływań między nimi.



Główną wadą jest natomiast wysoki koszt takiego

Główną wadą jest natomiast wysoki koszt takiego

badania biorąc pod uwagę fakt, że każdy pojedyncze

badania biorąc pod uwagę fakt, że każdy pojedyncze

doświadczenie może być wielokrotnie powtórzone.

doświadczenie może być wielokrotnie powtórzone.

Koszt ten może być mierzony czasem realizacji

Koszt ten może być mierzony czasem realizacji

przedsięwzięcia oraz kosztem ekonomicznym.

przedsięwzięcia oraz kosztem ekonomicznym.

19

Określenie zestawów danych

wejściowych



Są trzy sposoby redukcji liczby pojedynczych

Są trzy sposoby redukcji liczby pojedynczych

eksperymentów:

eksperymentów:



zmniejszenie liczby poziomów każdego czynnika

zmniejszenie liczby poziomów każdego czynnika



zmniejszenie liczby czynników

zmniejszenie liczby czynników



użycie ułamkowego doświadczenia czynnikowego.

użycie ułamkowego doświadczenia czynnikowego.



W niektórych przypadkach możemy chcieć

W niektórych przypadkach możemy chcieć

sprawdzić jedynie

sprawdzić jedynie

dwa poziomy

dwa poziomy

dla każdego

dla każdego

czynnika a następnie określić względną ich wagę

czynnika a następnie określić względną ich wagę

oraz wpływ na odpowiedź systemu.

oraz wpływ na odpowiedź systemu.



Pełne doświadczenie czynnikowe, w którym

Pełne doświadczenie czynnikowe, w którym

wykorzystywanych jest k zmiennych wejściowych o

wykorzystywanych jest k zmiennych wejściowych o

dwóch

dwóch

poziomach

poziomach

wartości wymaga

wartości wymaga

przeprowadzenia 2

przeprowadzenia 2

k

k

eksperymentów.

eksperymentów.

20

Określenie zestawów danych

wejściowych

Ułamkowe doświadczenia czynnikowe

Ułamkowe doświadczenia czynnikowe



Stosowane, gdy liczba eksperymentów

Stosowane, gdy liczba eksperymentów

jest zbyt duża.

jest zbyt duża.



Ograniczenie liczby wymaganych

Ograniczenie liczby wymaganych

eksperymentów poprzez

eksperymentów poprzez

jednoczesne

jednoczesne

:

:



zmniejszenie liczby czynników podlegających

zmniejszenie liczby czynników podlegających

ocenie,

ocenie,



zmniejszenie liczby poziomów badanych

zmniejszenie liczby poziomów badanych

czynników.

czynników.

21

Określenie zestawów danych

wejściowych

I

I

nne układy eksperymentów

nne układy eksperymentów



układy czynnikowe z częściową

układy czynnikowe z częściową

replikacją,

replikacją,



układy obrotowe,

układy obrotowe,



kwadraty łacińskie,

kwadraty łacińskie,



kwadraty grecko-łacińskie,

kwadraty grecko-łacińskie,



układy powierzchni reakcji

układy powierzchni reakcji

22

Szacowanie liczności próby



Liczność próby

Liczność próby

ma znaczący wpływ na

ma znaczący wpływ na

dokładność uzyskanych estymatorów

dokładność uzyskanych estymatorów

.

.



W

W

obec

obec

tego

tego

prostą, lecz skuteczną metodą

prostą, lecz skuteczną metodą

nadzorowania symulacji jest obliczanie na

nadzorowania symulacji jest obliczanie na

bieżąco wartości wariancji z próby dla

bieżąco wartości wariancji z próby dla

szacowanych charakterystyk i parametrów.

szacowanych charakterystyk i parametrów.



Na

Na

etapie przygotowania eksperymentu

etapie przygotowania eksperymentu

można ocenić,

można ocenić,

jaka musi być liczność

jaka musi być liczność

próby, aby uzyskać

próby, aby uzyskać

oszacowanie

oszacowanie

na

na

ustalonym poziomie ufności

ustalonym poziomie ufności

.

.

23

Szacowanie liczności próby



Najczęściej rozkład populacji generalnej

Najczęściej rozkład populacji generalnej

jest normalny N(

jest normalny N(





,

,





)

)

,

,

ale oba parametry

ale oba parametry

tego rozkładu

tego rozkładu

zazwyczaj

zazwyczaj

nie są znane i

nie są znane i

muszą być szacowane na podstawie

muszą być szacowane na podstawie

próby.

próby.

Aby poznać wartoś

Aby poznać wartoś

ć

ć

parametru

parametru





,

,

dokonuje się losowania wstępnej próby,

dokonuje się losowania wstępnej próby,

zwanej pilotażową, o liczności

zwanej pilotażową, o liczności

n

n

0

0

i oblicza

i oblicza

się z niej wartość statystyki

się z niej wartość statystyki

:

:



z

U

i

U

i

n

n

X

X































1

1

0

2

1

0

(

)

24

Szacowanie liczności próby



N

N

astępnie

astępnie

ze wzoru:

ze wzoru:



z

z

najdujemy minimalną liczność próby

najdujemy minimalną liczność próby

,

,

gdzie

gdzie

g

g

jest połową długości

jest połową długości

przedziału

przedziału

ufności

ufności

:

:

2





















g

k

z





n

P X k

X X k





 



















 















n

n

1

25

Szacowanie liczności próby



Jeżeli nie możemy lub nie chcemy

Jeżeli nie możemy lub nie chcemy

przyjmować założenia o normalności

przyjmować założenia o normalności

rozkładu populacji generalnej, to możemy

rozkładu populacji generalnej, to możemy

skorzystać z nierówności Czebyszewa:

skorzystać z nierówności Czebyszewa:



Wymagana jest znajomość wartości

Wymagana jest znajomość wartości

odchylenia standardowego s zmiennej

odchylenia standardowego s zmiennej

losowej X - jeżeli nie jest ono znane,

losowej X - jeżeli nie jest ono znane,

można zastosować oszacowanie:

można zastosować oszacowanie:



z

U

i

U

i

n

n

X

X































1

1

0

2

1

0

(

)



















1

}

|

{|X

P

26

Szacowanie liczności próby



Z nierówności Czebyszewa wynika, że

Z nierówności Czebyszewa wynika, że

dla próby losowej x

dla próby losowej x

1

1

, x

, x

2

2

,...,x

,...,x

n

n

, dla której:

, dla której:



otrzymujemy:

otrzymujemy:



Z założenia poziom ufności wynosi 1-a,

Z założenia poziom ufności wynosi 1-a,

więc:

więc:









n

n

1

1

ˆ

i

i

x

x



2

2

1

}

|

{|



















n

x

P















1

1

2

2

n

2

2











n

27

Ustalenie zestawu charakterystyk

wyjściowych



Wielokrotne przeprowadzenie eksperymentu

Wielokrotne przeprowadzenie eksperymentu

umożliwia powtórzenie badania systemu dla

umożliwia powtórzenie badania systemu dla

różnych chwil

różnych chwil

t

t

r

r

,

,

r

r

- kolejny

- kolejny

eksperyment

eksperyment

.

.



W „określonych” momentach gromadzone są

W „określonych” momentach gromadzone są

potrzebne dane.

potrzebne dane.



Na podstawie uzyskanych

Na podstawie uzyskanych

r

r

wartości

wartości

badanych charakterystyk systemu otrzymuje

badanych charakterystyk systemu otrzymuje

się próbę losową

się próbę losową

pewnej

pewnej

populacji

populacji

generalnej wszystkich

generalnej wszystkich

możliwych

możliwych

wyników

wyników

eksperymentów dla obserwowan

eksperymentów dla obserwowan

ych

ych

charakterystyk.

charakterystyk.

28

Ustalenie zestawu charakterystyk

wyjściowych



Zasadniczym celem symulacji jest wyznaczenie

Zasadniczym celem symulacji jest wyznaczenie

charakterystyk procesów stacjonarnych (ustalonych),

charakterystyk procesów stacjonarnych (ustalonych),

tzn. charakterystyk granicznego rozkładu

tzn. charakterystyk granicznego rozkładu

prawdopodobieństwa F(x) zmiennej losowej X

prawdopodobieństwa F(x) zmiennej losowej X

(pewnej charakterystyki badanego systemu), tj.

(pewnej charakterystyki badanego systemu), tj.

rozkładu, dla którego:

rozkładu, dla którego:



Przykładowe charakterystyki:

Przykładowe charakterystyki:



Terminowość realizacji

Terminowość realizacji

poszczególnych

poszczególnych

etapów

etapów

decyzyjnych;

decyzyjnych;



Oczekiwana liczba klientów w oddziale banku w ciągu dnia;

Oczekiwana liczba klientów w oddziale banku w ciągu dnia;



Wskaźnik rynku papierów wartościowych

Wskaźnik rynku papierów wartościowych

;

;

)

(

}

{

lim

x

F

x

X

P

n

n









29

Ustalenie zestawu charakterystyk

wyjściowych



Estymacja takich charakterystyk rozkładu F(x), jak

Estymacja takich charakterystyk rozkładu F(x), jak

średnia lub wariancja, na podstawie próby X

średnia lub wariancja, na podstawie próby X

1

1

,

,

X

X

2

2

, ..., X

, ..., X

n

n

i za pomocą znanych metod statystyki

i za pomocą znanych metod statystyki

matematycznej napotyka następujące trudności:

matematycznej napotyka następujące trudności:



nie jest znany a priori moment (oznaczmy go przez

nie jest znany a priori moment (oznaczmy go przez

m

m

),

),

od którego wszystkie kolejne zmienne losowe X

od którego wszystkie kolejne zmienne losowe X

m+1

m+1

,

,

X

X

m+2

m+2

, ..., X

, ..., X

n

n

mają rozkład F(x); okres od

mają rozkład F(x); okres od

1

1

do

do

m

m

nosi

nosi

nazwę

nazwę

fazy przejściowej

fazy przejściowej

;

;



warunkiem prawidłowej estymacji jest założenie, że

warunkiem prawidłowej estymacji jest założenie, że

rozkład F(x) jest rozkładem normalnym.

rozkład F(x) jest rozkładem normalnym.



zmienne losowe X

zmienne losowe X

i

i

są najczęściej skorelowane (zwykle

są najczęściej skorelowane (zwykle

dodatnio), a zatem nie są niezależne, co wyklucza

dodatnio), a zatem nie są niezależne, co wyklucza

możliwość zastosowania wprost reguł estymacji

możliwość zastosowania wprost reguł estymacji

zakładających niezależność elementów próby;

zakładających niezależność elementów próby;

30

Ustalenie zestawu charakterystyk

wyjściowych



skorelowane zmienne losowe X

skorelowane zmienne losowe X

i

i



Rozwiązanie 1: metoda niezależnych przebiegów

Rozwiązanie 1: metoda niezależnych przebiegów

(metoda replikacji):

(metoda replikacji):



wykonanie r niezależnych przebiegów symulacyjnych;

wykonanie r niezależnych przebiegów symulacyjnych;



wyznaczenie estymatorów punktowych żądanych parametrów

wyznaczenie estymatorów punktowych żądanych parametrów

w poszczególnych przebiegach;

w poszczególnych przebiegach;



przyjęcie za wynik średniej z ustalonych w ten sposób

przyjęcie za wynik średniej z ustalonych w ten sposób

estymatorów;

estymatorów;



odpowiednie przedziały ufności można również zbudować na

odpowiednie przedziały ufności można również zbudować na

podstawie wyznaczonego ciągu r estymatorów – z powodu

podstawie wyznaczonego ciągu r estymatorów – z powodu

niezależności przebiegów niezależne są także poszczególne

niezależności przebiegów niezależne są także poszczególne

estymatory.

estymatory.

(Wykonując kolejne przebiegi symulacyjne należy pamiętać o

(Wykonując kolejne przebiegi symulacyjne należy pamiętać o

odcięciu fazy przejściowej)

odcięciu fazy przejściowej)

31

Ustalenie zestawu charakterystyk

wyjściowych



skorelowane zmienne losowe X

skorelowane zmienne losowe X

i

i



Rozwiązanie 2: metoda pojedynczego

Rozwiązanie 2: metoda pojedynczego

przebiegu:

przebiegu:



Podstawę estymacji charakterystyk procesu przy

Podstawę estymacji charakterystyk procesu przy

tym podejściu stanowią wyniki pojedynczego

tym podejściu stanowią wyniki pojedynczego

przebiegu symulacyjnego, odpowiednio długiego i

przebiegu symulacyjnego, odpowiednio długiego i

podzielonego na rozłączne odcinki;

podzielonego na rozłączne odcinki;



Pojęcie odcinka jest utożsamiane z pojedynczym

Pojęcie odcinka jest utożsamiane z pojedynczym

przebiegiem w metodzie niezależnych przebiegów

przebiegiem w metodzie niezależnych przebiegów

(do szacowania poszczególnych parametrów stosuje

(do szacowania poszczególnych parametrów stosuje

się wprost procedury estymacji wykorzystywane w

się wprost procedury estymacji wykorzystywane w

metodzie niezależnych przebiegów);

metodzie niezależnych przebiegów);

32

Estymatory charakterystyk



Uzyskane podczas symulacji

Uzyskane podczas symulacji

zbiory danych,

zbiory danych,

zawierające realizacje zmiennych losowych

zawierające realizacje zmiennych losowych

oraz wartości charakterystyk są

oraz wartości charakterystyk są

liczne

liczne

, wobec

, wobec

czego do dalszej analizy należy je przekształcić

czego do dalszej analizy należy je przekształcić

przy pomocy określonej funkcji próby losowej,

przy pomocy określonej funkcji próby losowej,

będącej również zmienną losową

będącej również zmienną losową

, tzn.

, tzn.

statystyk

statystyk

i

i

.

.



W celu oszacowania ustalonych w wyniku

W celu oszacowania ustalonych w wyniku

grania charakterystyk, należy uzyskać na

grania charakterystyk, należy uzyskać na

podstawie próby wartości

podstawie próby wartości

specjalnych statystyk

specjalnych statystyk

zwanych

zwanych

estymator

estymator

ami

ami

tych charakterystyk.

tych charakterystyk.

33

Identyfikacja typu rozkładu badanej

ch-yki



Załóżmy, że otrzymaliśmy realizację próby losowej dla

Załóżmy, że otrzymaliśmy realizację próby losowej dla

wartości wybranej charakterystyki X

wartości wybranej charakterystyki X

.

.

Jest to skończony

Jest to skończony

ciąg liczb:

ciąg liczb:

x

x

1

1

, x

, x

2

2

, ..., x

, ..., x

i

i

, ..., x

, ..., x

n

n



Przekształćmy

ten

ciąg

do

postaci

ciągu

Przekształćmy

ten

ciąg

do

postaci

ciągu

uporządkowanego rosnąco, tzn.

uporządkowanego rosnąco, tzn.

x

x

*

*

1

1

, x

, x

*

*

2

2

, ..., x

, ..., x

*

*

i

i

, ..., x

, ..., x

*

*

n

n

,

,

dla którego

dla którego

x

x

*

*

i+1

i+1





x

x

*

*

i

i

,

,



Następnie podzielmy obserwacje x

Następnie podzielmy obserwacje x

*

*

1

1

, x

, x

*

*

2

2

, ..., x

, ..., x

*

*

i

i

, ..., x

, ..., x

*

*

n

n

na R rozłącznych klas, R

na R rozłącznych klas, R





n

n

, tworząc szereg

, tworząc szereg

rozdzielczy, z którego możemy otrzymać dystrybuantę

rozdzielczy, z którego możemy otrzymać dystrybuantę

empiryczną F

empiryczną F

n

n

(x)

(x)

34

Identyfikacja typu rozkładu badanej

ch-yki



Dystrybuanta

Dystrybuanta

empiryczna:

empiryczna:



gdzie :

gdzie :

x

x

s

s

r

r

- środek r-tej klasy ;

- środek r-tej klasy ;

m

m

r

r

- liczność r-tej klasy,

- liczność r-tej klasy,

przy czym zachodzi .

przy czym zachodzi .



























x

<

dla

1

dla

dla

0

)

(

1

1

1

1

s

R

s

r

s

r

i

i

s

x

x

x

x

n

m

x

x

x

F

n

35

Identyfikacja typu rozkładu badanej

ch-yki



Oznaczmy przez F

Oznaczmy przez F

0

0

dystrybuantę teoretyczną rozkładu

dystrybuantę teoretyczną rozkładu

populacji generalnej. Będziemy sprawdzać hipotezę

populacji generalnej. Będziemy sprawdzać hipotezę

H

H

: F

: F

0

0

= F

= F

n

n

.

.



Można pokazać, że następująca statystyka:

Można pokazać, że następująca statystyka:

 

 

przy dużym

przy dużym

n

n

i założeniu prawdziwości hipotezy

i założeniu prawdziwości hipotezy

H

H

dąży do

dąży do

rozkładu

rozkładu





2

2

-Pearsona o R-1 stopniach swobody. Ograniczeniem

-Pearsona o R-1 stopniach swobody. Ograniczeniem

dla tej metody jest konieczność posiadania dużej próby (

dla tej metody jest konieczność posiadania dużej próby (

n

n





30)

30)

oraz

oraz

m

m

r

r





5

5

,

,

.

.

Obszar krytyczny dla testu Pearsona jest

Obszar krytyczny dla testu Pearsona jest

postaci

postaci

, gdzie

, gdzie

jest kwantylem rozkładu

jest kwantylem rozkładu





2

2

dla R-1

dla R-1

stopni swobody przy poziomie istotności

stopni swobody przy poziomie istotności





.

.













m

F x

F x

F x

F x

r

r

s

r

s

r

s

r

s

r

R

 















n

n

(

)

( )

(

)

( )

1

2

1

1

R













(

, )

1

2





1

2



r

R

1,

36

Analiza regresji



W analizie wyników symulacji

W analizie wyników symulacji

wykorzystuje się analizę regresji;

wykorzystuje się analizę regresji;



Jest to narzędzie do ustalenia postaci

Jest to narzędzie do ustalenia postaci

funkcyjnej zależności między pewnymi

funkcyjnej zależności między pewnymi

charakterystykami

charakterystykami

(np. na wejściu systemu mierzymy

(np. na wejściu systemu mierzymy

wartości pewnej charakterystyki X, a na

wartości pewnej charakterystyki X, a na

wyjściu tego systemu – wartości

wyjściu tego systemu – wartości

charakterystyki Y);

charakterystyki Y);

37

Analiza regresji



Model:

Model:

y

y

t

t

=f

=f

t

t

(x

(x

1t

1t

, x

, x

2t

2t

,..., x

,..., x

kt

kt

,..., x

,..., x

Kt

Kt

,

,





t

t

), t=1,2,...,n,

), t=1,2,...,n,

k=1,2,...,K

k=1,2,...,K



y - zmienna objaśniana, regresant

y - zmienna objaśniana, regresant



x - zmienna objaśniająca, regresor,

x - zmienna objaśniająca, regresor,







- składnik losowy,

- składnik losowy,



t - numer kolejnej obserwacji,

t - numer kolejnej obserwacji,



k - numer kolejnej zmiennej objaśniającej

k - numer kolejnej zmiennej objaśniającej

38

Analiza regresji



Rodzaje zależności:

Rodzaje zależności:



Zależność liniowa – f(x) jest funkcją liniową:

Zależność liniowa – f(x) jest funkcją liniową:

f(x) =

f(x) =





+

+





x,

x,



Zależność stochastyczna:

Zależność stochastyczna:

f(x) =

f(x) =





+

+





x +

x +





,

,

gdzie

gdzie









jest „składnikiem losowym” o znanym rozkładzie

jest „składnikiem losowym” o znanym rozkładzie

prawdopodobieństwa.

prawdopodobieństwa.



Dla wielu zmiennych objaśniających:

Dla wielu zmiennych objaśniających:

y =

y =





+

+





1

1

x

x

1

1

+

+





2

2

x

x

2

2

+ ... +

+ ... +





K

K

x

x

K

K

+

+





, gdzie

, gdzie



czynnik deterministyczny:

czynnik deterministyczny:





+

+





1

1

x

x

1

1

+

+





2

2

x

x

2

2

+ ... +

+ ... +





K

K

x

x

K

K

,

,



czynnik stochastyczny:

czynnik stochastyczny:





,

,



parametry strukturalne:

parametry strukturalne:





,

,





1

1

,

,





2

2

, ... ,

, ... ,





K

K

.

.

39

Analiza regresji



Zapis wektorowy zależności modelu:

Zapis wektorowy zależności modelu:



Uwzględnienie wyrazu wolnego pociąga za sobą

Uwzględnienie wyrazu wolnego pociąga za sobą

konieczność wprowadzenia wektora kolumnowego

konieczność wprowadzenia wektora kolumnowego

x

x

1

1

t

t

=

=

1

1

1

,

,...,

1

,

1

1













t

t

K

k

kt

k

t

x

n

t

x

y





]

,...,

,

[

2

1

)

(

)

(

)

(

Kt

t

t

t

k

t

k

t

k

t

x

x

x

x

gdzie

x

y









































K

k









:

2

1

)

(

40

Analiza regresji



Macierzowy zapis modelu

Macierzowy zapis modelu



























































Kn

n

K

K

n

k

k

k

t

t

t

x

...

x

1

:

...

:

:

x

...

x

1

x

...

x

1

x

:

x

x

]

|

...

|

|

[

2

2

22

1

1

2

)

(

)2

(

)1

(

)

K(

)

2(

)

1(

x

x

x

X

)

(

)

(

)

(

t

k

t

ξ

Xα

y





41

Analiza regresji



Estymacja parametrów modelu

Estymacja parametrów modelu



Rozważamy model, gdy spełnione są

Rozważamy model, gdy spełnione są

założenia schematu Gaussa-Markowa oraz

założenia schematu Gaussa-Markowa oraz

K=1 (regresja prosta):

K=1 (regresja prosta):



Wartość oczekiwana zmiennej objaśnianej

Wartość oczekiwana zmiennej objaśnianej

równa jest zatem:

równa jest zatem:



Powyższe równanie wyznacza linię regresji

Powyższe równanie wyznacza linię regresji

populacji generalnej

populacji generalnej



Wariancja zaś równa jest:

Wariancja zaś równa jest:

t

t

x

Y

E

1

0

)

(









2

2

2

1

0

1

0

2

2

)

(

)

(

))

(

(

)

(

































t

t

t

t

t

t

t

E

x

-

x

E

Y

E

Y

E

Y

D

42

Analiza regresji



Rozkład normalny:

Rozkład normalny:



Zmienne losowe Y

Zmienne losowe Y

t

t

mają również

mają również

rozkład normalny:

rozkład normalny:



Parametry

Parametry





0

0

,

,





1

1

są nieznane i

są nieznane i

podlegają oszacowaniu na podstawie

podlegają oszacowaniu na podstawie

próby statystycznej

próby statystycznej



Zatem linia regresji próby:

Zatem linia regresji próby:

)

,

(

:

2

t

t

N









)

,

(

:

2

1

0







t

t

x

N

Y



t

t

x

y

1

0

ˆ

ˆ

ˆ









43

Analiza regresji



Estymatory

Estymatory

są funkcjami zmiennych losowych

są funkcjami zmiennych losowych

Y

Y

t

t

;

;



Różnice

Różnice

nazywamy resztami;

nazywamy resztami;



Mamy cztery funkcje:

Mamy cztery funkcje:



linia regresji populacji generalnej LRPG

linia regresji populacji generalnej LRPG



linia regresji próby LRP

linia regresji próby LRP



wartości empiryczne (populacja generalna) WEPG

wartości empiryczne (populacja generalna) WEPG



wartości empiryczne (próba) WEP

wartości empiryczne (próba) WEP

(WEPG = WEP)

(WEPG = WEP)

1

0

ˆ

,

ˆ





t

t

t

y

Y

e

ˆ





t

t

x

y

1

0

ˆ

ˆ

ˆ









t

t

x

EY

1

0









t

t

t

x

Y













1

0

t

t

t

e

x

Y







1

0

ˆ

ˆ





44

Analiza regresji



Zgodnie z założeniami schematu Gaussa-

Zgodnie z założeniami schematu Gaussa-

Markowa cała informacja o nieznanych

Markowa cała informacja o nieznanych

parametrach modelu regresji jest zawarta w

parametrach modelu regresji jest zawarta w

próbie statystycznej;

próbie statystycznej;



Poszukujemy estymatora , który minimalizuje

Poszukujemy estymatora , który minimalizuje

sumę kwadratów reszt:

sumę kwadratów reszt:

•

Inaczej: szukamy linii, która jest najlepsza z

punktu widzenia sumy kwadratów reszt e

t

(min)

•

Reszty e

t

można traktować jako realizacje

składnika losowego.

min

)

(

1

2







n

t

t

e

45

Analiza regresji

min

)

(

7

1

2







t

t

e

x

y

1

0

ˆ

ˆ

ˆ









x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

4

e

46

Analiza regresji



Otrzymujemy:

Otrzymujemy:

2

1

1

1

)

(

/

)

)(

(

ˆ

x

x

y

y

x

x

n

t

t

t

n

t

t































n

x

y

n

t

t

n

t

t

/

ˆ

ˆ

1

1

1

0





























47

Analiza regresji



Ocena modelu - współczynnik determinacji R

Ocena modelu - współczynnik determinacji R

2

2



Jest liczbą z przedziału <0, 1> albo po przekształceniu z przedziału

Jest liczbą z przedziału <0, 1> albo po przekształceniu z przedziału

<0%, 100%>

<0%, 100%>



Informuje, jak część zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśniana

Informuje, jak część zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśniana

przez zmienne objaśniające;

przez zmienne objaśniające;



Gdy wartość R

Gdy wartość R

2

2

bliska jest 1 mówimy o bardzo dobrym dopasowaniu

bliska jest 1 mówimy o bardzo dobrym dopasowaniu

modelu do danych empirycznych, a gdy jest bliska zeru, uznajemy, że

modelu do danych empirycznych, a gdy jest bliska zeru, uznajemy, że

zbudowany model nie wyjaśnia rzeczywistej zmienności zmiennej zależnej.

zbudowany model nie wyjaśnia rzeczywistej zmienności zmiennej zależnej.

(Przyjmuje się często, że wartość R

(Przyjmuje się często, że wartość R

2

2

powinna być większa od 0,6 (60%);)

powinna być większa od 0,6 (60%);)



Wyznacza się również dodatkowo skorygowany współczynnik

Wyznacza się również dodatkowo skorygowany współczynnik

determinacji R

determinacji R

2

2

*:

*:



Dla dowolnego modelu R

Dla dowolnego modelu R

2

2

*

*





R

R

2

2

. Jeżeli różnica pomiędzy liczbą obserwacji

. Jeżeli różnica pomiędzy liczbą obserwacji

a liczbą zmiennych jest duża, to obie miary zgodności mają zbliżone

a liczbą zmiennych jest duża, to obie miary zgodności mają zbliżone

wartości.

wartości.

W p.p. , zwłaszcza przy małej próbie, bardziej wiarygodny jest

W p.p. , zwłaszcza przy małej próbie, bardziej wiarygodny jest

skorygowany R

skorygowany R

2

2

*;

*;





R

R

R

k

n

k

2

2

*

2

1

)

1

(











48

Analiza regresji



Test dla współczynników modelu regresji linowej (

i

):



Sprawdzeniu podlega hipoteza H

0

: =0

wobec

alternatywnej w jednej z postaci H

1

: >0, <0, 0.

Do weryfikacji hipotezy zerowej stosujemy statystykę

testową o postaci: , gdzie b jest oszacowaniem

parametru , S(b) jest błędem

standardowym.



Statystyka t przy założeniu prawdziwości H

0

ma

rozkład t – Studenta o n-2 stopniach swobody.



H

0

odrzucamy, gdy wartość bezwzględna statystyki

testowej jest większa od wartości odczytanej z tablic

danego rozkładu, np. gdy |t|  t

, n-2

.



Jeżeli nie odrzucimy H

0

, to wniosek, że parametr jest

statystycznie nieistotny.

)

(b

S

b

t 

49

Analiza regresji



Zależności zmiennych objaśnianych i

Zależności zmiennych objaśnianych i

objaśniających mogą być liniowe lub nieliniowe;

objaśniających mogą być liniowe lub nieliniowe;



Liniowa postać funkcji reprezentuje stały kierunek

Liniowa postać funkcji reprezentuje stały kierunek

rozwoju danego zjawiska, wyznaczony przez

rozwoju danego zjawiska, wyznaczony przez

współczynnik kierunkowy prostej;

współczynnik kierunkowy prostej;



W przypadku modelu nieliniowego sprowadzamy go

W przypadku modelu nieliniowego sprowadzamy go

do postaci liniowej.

do postaci liniowej.



Następnie stosuje się metody znane dla modeli

Następnie stosuje się metody znane dla modeli

liniowych.

liniowych.



Należy pamiętać, że przejście z modelu

Należy pamiętać, że przejście z modelu

nieliniowego do modelu liniowego w konsekwencji

nieliniowego do modelu liniowego w konsekwencji

musi być zastosowane również w odwrotnym

musi być zastosowane również w odwrotnym

przekształceniu.

przekształceniu.

50

Analiza regresji



W celu oszacowania postaci funkcji stosuje

W celu oszacowania postaci funkcji stosuje

się m.in. badanie charakteru funkcji na

się m.in. badanie charakteru funkcji na

podstawie rozrzutu punktów empirycznych;

podstawie rozrzutu punktów empirycznych;



Metodę tę stosuje się zwłaszcza dla modeli

Metodę tę stosuje się zwłaszcza dla modeli

z jedna zmienną objaśniająca.

z jedna zmienną objaśniająca.



W innych przypadkach stosować należy

W innych przypadkach stosować należy

procedury komputerowego rozpoznawania

procedury komputerowego rozpoznawania

kształtów z wykresów rozrzutu punktów

kształtów z wykresów rozrzutu punktów

empirycznych.

empirycznych.



Rozważmy kilka przykładów typowych

Rozważmy kilka przykładów typowych

postaci związków dwóch zmiennych.

postaci związków dwóch zmiennych.

51

Analiza regresji

Przykłady modeli nieliniowych sprowadzalnych do

liniowych

• Model wielomianowy

y=a

0

+a

1

x+ a

2

x

2

+...+ a

k

x

k

+

możemy zastąpić zmienne x

i

zmiennymi z

i

lub

logarytmować
stronami równanie otrzymując:

y’=log y=loga

0

+loga

1

+log(x)+ loga

2

+ 2log(x) +...+ loga

k

+k log(x)+log 

y’=[loga

0

+loga

1

+2loga

2

+...+ k log(a

k

)]

log(x)+ log =A

log(x)+ log 

x

y

y=a+bx+cx

2

+dx

3

x

y

y=a+bx+cx

2

52

Analiza regresji

Przykłady modeli nieliniowych sprowadzalnych

do liniowych

• Model wykładniczy

y=ba

cx+

logarytmując obie strony otrzymujemy:
y’=log(y)=log(b)+(cx+)log(a) =

= log(b)+[clog(a)] x+log(a) = b’+a’x+ c’

x

y

y=bx

a

,a<1

y=b+alog(x)

x

y

y=bx

a

,a>1

y=ba

x

53

Analiza regresji

Przykłady modeli nieliniowych sprowadzalnych do

liniowych

• Model potęgowy

y=a(x

1

)

b

(x

2

)

c

e



logarytmując obie strony logarytmem naturalnym
otrzymujemy:

y’=ln(y)=ln(a)+bln(x

1

)+cln(x

2

)+

54

Analiza regresji

Przykłady modeli nieliniowych sprowadzalnych

do liniowych

• Model logarytmiczny

y=b+alog(x) + 

podstawiając x’=log(x) otrzymujemy:

y=b+a x’ + 

55

Metody poprawiania jakości procesu

symulacji



Wyróżnikiem jakości uzyskanych wyników jest:

Wyróżnikiem jakości uzyskanych wyników jest:



wariancja estymatora;

wariancja estymatora;



przedział ufności estymowanych charakterystyk

przedział ufności estymowanych charakterystyk

badanego procesu;

badanego procesu;



Zawężenie przedziału ufności jest możliwe

Zawężenie przedziału ufności jest możliwe

przez:

przez:



zwiększenie liczby obserwacji - wymaga zazwyczaj

zwiększenie liczby obserwacji - wymaga zazwyczaj

znacznego wydłużenia eksperymentu

znacznego wydłużenia eksperymentu

symulacyjnego (nie jest pożądane);

symulacyjnego (nie jest pożądane);



zmniejszenie wariancji - wymaga jedynie

zmniejszenie wariancji - wymaga jedynie

właściwego wyboru estymatora lub odpowiedniego

właściwego wyboru estymatora lub odpowiedniego

zorganizowania procesu generowania liczb

zorganizowania procesu generowania liczb

pseudolosowych (nie wymaga wydłużenia czasu

pseudolosowych (nie wymaga wydłużenia czasu

trwania eksperymentu);

trwania eksperymentu);

56

Metody poprawiania jakości procesu

symulacji



Metody redukcji wariancji:

Metody redukcji wariancji:



metoda zmiennych kontrolnych,

metoda zmiennych kontrolnych,



metoda losowania przeciwstawnego (tzw.

metoda losowania przeciwstawnego (tzw.

zmiennych antytetycznych),

zmiennych antytetycznych),



metoda losowania warstwowego

metoda losowania warstwowego

57

Metody poprawiania jakości procesu

symulacji



metoda zmiennych kontrolnych

metoda zmiennych kontrolnych



bazuje na znajomości np. wartości

bazuje na znajomości np. wartości

oczekiwanej wybranej zmiennej losowej

oczekiwanej wybranej zmiennej losowej

obserwowanej, silnie dodatnio skorelowanej

obserwowanej, silnie dodatnio skorelowanej

z badaną zmienną, wskutek czego uzyskuje

z badaną zmienną, wskutek czego uzyskuje

się redukcję wariancji;

się redukcję wariancji;

58

Metody poprawiania jakości procesu

symulacji



metoda losowania przeciwstawnego

metoda losowania przeciwstawnego

(zmiennych antytetycznych)

(zmiennych antytetycznych)



metoda polega na tym, że jeśli w jednym

metoda polega na tym, że jeśli w jednym

eksperymencie symulacyjnym wylosowaliśmy

eksperymencie symulacyjnym wylosowaliśmy

ciąg liczb pseudolosowych o rozkładzie

ciąg liczb pseudolosowych o rozkładzie

równomiernym z przedziału [0,1]:

równomiernym z przedziału [0,1]:

x

x

1

1

, x

, x

2

2

, ..., x

, ..., x

n

n

, to w kolejnym eksperymencie

, to w kolejnym eksperymencie

symulacyjnym korzystamy z liczb:

symulacyjnym korzystamy z liczb:

(1-

(1-

x

x

1

1

)

)

,

,

(1-

(1-

x

x

2

2

)

)

, ...,

, ...,

(1-

(1-

x

x

n

n

)

)

;

;

59

Metody poprawiania jakości procesu

symulacji



metoda losowania przeciwstawnego

metoda losowania przeciwstawnego



wylosowane ciągi liczb pseudolosowych o

wylosowane ciągi liczb pseudolosowych o

rozkładzie równomiernym z przedziału [0,1]:

rozkładzie równomiernym z przedziału [0,1]:



x

x

1

1

, x

, x

2

2

, ..., x

, ..., x

n

n

,

,

(1)

(1)



(1-

(1-

x

x

1

1

)

)

,

,

(1-

(1-

x

x

2

2

)

)

, ...,

, ...,

(1-

(1-

x

x

n

n

)

)

;

;

(2)

(2)



wariancja zmiennej losowej ,

wariancja zmiennej losowej ,

, gdzie i-ty element ciągu (1) jest realizacją

, gdzie i-ty element ciągu (1) jest realizacją

zmiennej losowej

zmiennej losowej

X

X

i

i

a i-ty element ciągu (2)

a i-ty element ciągu (2)

jest realizacją zmiennej losowej

jest realizacją zmiennej losowej

X

X

i

i

’

’

:

:

ulega zmniejszeniu, wskutek ujemnej

ulega zmniejszeniu, wskutek ujemnej

wartości

wartości

'

''

i

i

i

X

X

X





n

i

,

1



}

,

{

2

}

{

}

{

}

{

'

'

''

i

i

i

i

i

X

X

Cov

X

V

X

V

X

V









}

,

{

'

i

i

X

X

Cov

60

Metody poprawiania jakości procesu

symulacji



metoda losowania warstwowego

metoda losowania warstwowego



metoda z kolei polega na tym, że dla i-tego elementu

metoda z kolei polega na tym, że dla i-tego elementu

ciągu (1) (jako realizacji zmiennej losowej

ciągu (1) (jako realizacji zmiennej losowej

X

X

i

i

) liczb

) liczb

pseudolosowych o rozkładzie równomiernym z

pseudolosowych o rozkładzie równomiernym z

przedziału [0,1] wygenerowanych w eksperymencie

przedziału [0,1] wygenerowanych w eksperymencie

symulacyjnym ustala się liczbę

symulacyjnym ustala się liczbę

x

x

i

i

’

’

skorelowaną z nim

skorelowaną z nim

(jako realizację zmiennej losowej

(jako realizację zmiennej losowej

X

X

i

i

’

’

):

):



x

x

i

i

’

’

używa się w kolejnym eksperymencie

używa się w kolejnym eksperymencie



liczby te, jak poprzednio, są skorelowane i również dają

liczby te, jak poprzednio, są skorelowane i również dają

ujemną kowariancję;

ujemną kowariancję;



























1

2

1

dla

,

2

1

2

1

0

dla

,

2

1

'

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

61

Błędy eksperymentów symulacyjnych



Warunki poprawnego eksperymentu symulacyjnego:

Warunki poprawnego eksperymentu symulacyjnego:



właściwe rozpoznanie systemu,

właściwe rozpoznanie systemu,



poprawna konstrukcja modelu,

poprawna konstrukcja modelu,



trafny dobór stopnia szczegółowości modelu,

trafny dobór stopnia szczegółowości modelu,



niezawodne oprogramowanie,

niezawodne oprogramowanie,



starannie zaplanowane eksperymenty;

starannie zaplanowane eksperymenty;



Najczęściej spotykane błędy podczas tworzenia

Najczęściej spotykane błędy podczas tworzenia

modeli symulacyjnych i podczas ich eksploatacji:

modeli symulacyjnych i podczas ich eksploatacji:



źle określony cel symulacji;

źle określony cel symulacji;



nieodpowiedni poziom szczegółowości modelu;

nieodpowiedni poziom szczegółowości modelu;



zły język symulacyjny;

zły język symulacyjny;



nieodpowiedni udział użytkownika w opracowaniu modelu;

nieodpowiedni udział użytkownika w opracowaniu modelu;

62

Źródła błędów symulacyjnych i sposoby

ich kontrolowania

†

błędy modelowania

błędy modelowania

•

nieadekwatny model matematyczny

nieadekwatny model matematyczny

•

w wyniku weryfikacji modelu i walidacji

w wyniku weryfikacji modelu i walidacji

powinny być zidentyfikowane i usunięte

powinny być zidentyfikowane i usunięte

†

błędy programowania

błędy programowania

•

błędy implementacji modelu w języku

błędy implementacji modelu w języku

symulacyjnym

symulacyjnym

•

testowanie modelu symulacyjnego w oparciu

testowanie modelu symulacyjnego w oparciu

o prosty system, ze znaną postacią

o prosty system, ze znaną postacią

analityczną rozwiązania

analityczną rozwiązania

63

Źródła błędów symulacyjnych i sposoby

ich kontrolowania

†

błędy losowania - „set effect” i „sequence effect”

błędy losowania - „set effect” i „sequence effect”

•

złe generatory liczb pseudolosowych

złe generatory liczb pseudolosowych

•

poddanie generatorów testom losowości i zgodności

poddanie generatorów testom losowości i zgodności

rozkładów (minimum po 3 testy różne na losowość i żgodność)

rozkładów (minimum po 3 testy różne na losowość i żgodność)

•

stosowanie różnych technik redukcji wariancji

stosowanie różnych technik redukcji wariancji

†

błędy estymacji parametrycznej

błędy estymacji parametrycznej

•

błąd obciążenia początkowego (stan nieustalony) - „initial

błąd obciążenia początkowego (stan nieustalony) - „initial

bias”

bias”

•

gromadzenie danych wyjściowych po ustaleniu się stanu

gromadzenie danych wyjściowych po ustaleniu się stanu

systemu (warm up)

systemu (warm up)

•

statystyczna zależność wyników symulacji wskutek

statystyczna zależność wyników symulacji wskutek

autokorelacji i korelacji skrośnej i ograniczoność stosowania

autokorelacji i korelacji skrośnej i ograniczoność stosowania

CTG

CTG

•

stosowanie wielu powtórzeń eksperymentu, ustalanie paczek

stosowanie wielu powtórzeń eksperymentu, ustalanie paczek

wyników „batch means”, metoda regeneracji

wyników „batch means”, metoda regeneracji

64

Materiał dodatkowy

65

(

,

,

,...,

)

X X X

X

R

n

n

1

2

3



 przestrzeń prób

Populacja generalna - przypomnienie



Zbiór pewnych realnych

Zbiór pewnych realnych

elementów różniących się

elementów różniących się

wartościami badanych

wartościami badanych

zmiennych - cech np. zbiór

zmiennych - cech np. zbiór

ludzi w badanym

ludzi w badanym

społeczeństwie lub

społeczeństwie lub

nieskończony zbiór

nieskończony zbiór

możliwych powtórzeń

możliwych powtórzeń

pewnego eksperymentu,

pewnego eksperymentu,

wynikiem którego jest zbiór

wynikiem którego jest zbiór

wartości pewnych zmiennych

wartości pewnych zmiennych

- cech statystycznych

- cech statystycznych



Rozkładem populacji

Rozkładem populacji

generalnej nazywamy

generalnej nazywamy

rozkład wartości badanej

rozkład wartości badanej

cechy w tej populacji

cechy w tej populacji

Populacj
a
generaln
a

Cecha X

66

Model matematyczny rozkładu PG



Rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej

Rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej

losowej skokowej lub ciągłej

losowej skokowej lub ciągłej



Prawdopodobieństwo interpretuje się jako częstość

Prawdopodobieństwo interpretuje się jako częstość

względną występowania w populacji generalnej

względną występowania w populacji generalnej

elementów o określonych wartościach badanej cechy

elementów o określonych wartościach badanej cechy



Próba losowa - losowe wybrane elementy z populacji

Próba losowa - losowe wybrane elementy z populacji

generalnej o rozkładzie identycznym jak populacja

generalnej o rozkładzie identycznym jak populacja

generalna

generalna



Rozkład zmiennej losowej X jest dany przez

Rozkład zmiennej losowej X jest dany przez

dystrybuantę F(x,Q), zależną od nieznanej wartości

dystrybuantę F(x,Q), zależną od nieznanej wartości

parametru Q

parametru Q



Parametr rozkładu populacji generalnej Q jest

Parametr rozkładu populacji generalnej Q jest

przedmiotem estymacji na podstawie próby losowej

przedmiotem estymacji na podstawie próby losowej

67

Estymatory, cechy estymatorów



ESTYMATOREM

ESTYMATOREM

szacowanego parametru

szacowanego parametru





rozkładu

rozkładu

F(x,

F(x,





)

)

populacji

populacji

nazywamy

nazywamy

statystykę

statystykę

Z

Z

n

n

= g(X),

= g(X),

której rozkład prawdopodobieństwa zależy

której rozkład prawdopodobieństwa zależy

od szacowanego parametru

od szacowanego parametru





i

i

często oznaczamy

często oznaczamy

go

go

.

.



Wartość estymatora

Wartość estymatora

g(x

g(x

1

1

, x

, x

2

2

, ... , x

, ... , x

n

n

),

),

odpowiadająca

odpowiadająca

konkretnej realizacji próby

konkretnej realizacji próby

(x

(x

1

1

, x

, x

2

2

, ... , x

, ... , x

n

n

),

),

jest

jest

liczbą, nazywaną oceną parametru

liczbą, nazywaną oceną parametru





.

.



Przy wyborze estymatora należy brać pod uwagę

Przy wyborze estymatora należy brać pod uwagę

jego

podstawowe

własności:

nieobciążoność,

jego

podstawowe

własności:

nieobciążoność,

efektywność, zgodność i dostateczność.

efektywność, zgodność i dostateczność.





n

68

Metody estymacji punktowej



Metoda momentów



Metoda największej wiarogodności



Metoda najmniejszych kwadratów

69

Metoda momentów



Momenty zwyczajne są funkcjami

Momenty zwyczajne są funkcjami

nieznanych parametrów:

nieznanych parametrów:

i

k

i

i

k

k

i

k

i

i

k

i

i

i

k

i

i

k

i

M

M

M

g

M

M

M

k

i

m

m

m

g

M

M

M

g

then

g

k

i

m

m

m

g

if

k

i

f

m

































parametrów

zgodnymi

mi

estymatora

są

,...,

2

,

1

),

,...,

,

(

ˆ

empiryczne

momenty

oznaczaj

ą

,...,

,

,...,

2

,

1

),

,...,

,

(

)

,...,

,

(

continue,

,...,

2

,

1

),

,...,

,

(

,...,

2

,

1

),

,...,

,

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

70

Metoda największej wiarogodności



Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X, której rozkład zależy od parametrów



Jeżeli jest próbą losową
prostą, to



Jest funkcją wiarogodności



Estymator najwiarygodniejszy:

)

,...,

,

(

1

k

x

f





)

,...,

,

(

2

1

n

X

X

X









































n

i

k

i

n

i

k

i

k

n

x

p

x

f

x

x

x

L

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

)

,...,

,

,

(

)

,...,

,

,

(

)

,...,

,

,

,...,

,

(

k

i

L

L

L

i

R

n

k

,...,

2

,

1

,

0

)

(

),

(

max

)

ˆ

(























71

Metoda najmniejszych

kwadratów



Taki dobór estymatorów, aby
zminimalizować wyrażenie



czyli

)

(

min

)

ˆ

(

)]

(

[

)

(

1

2























S

S

h

x

S

k

R

n

n

i

i

72

Estymatory, cechy estymatorów



Estymator jest nieobciążony, gdy

Estymator jest nieobciążony, gdy

.

.



Gdy

Gdy

i jest to obciążenie

i jest to obciążenie

estymatora w n - elementowej próbie.

estymatora w n - elementowej próbie.



Przykłady:

Przykłady:



Niech

Niech

czyli jest to estymator nieobciążony

czyli jest to estymator nieobciążony

.

.



estymator wariancji

estymator wariancji





2

2

populacji

populacji

.

.



ES

ES

2

2

=(n-1/n)

=(n-1/n)





2

2

- czyli

- czyli

S

S

2

2

jest estymatorem obciążonym

jest estymatorem obciążonym

.

.



S

S

2

2

1

1

=(n/n-1) S

=(n/n-1) S

2

2

jest estymatorem nieobciążonym

jest estymatorem nieobciążonym

.

.

E

n







E

b

E

n

n

n













 







,

(

)



n

n

i

i

n

n

i

i

n

i

i

n

X

n

X

EX m

EX

E

n

X

n

EX

m





 



















1

1

1

1

1

1

oraz

S

n

X

X

i

n

i

n

2

1

2

1









(

)

73

Estymatory, cechy estymatorów



Asymptotyczna nieobciążoność:

Asymptotyczna nieobciążoność:

nazywamy

nazywamy

asymptotycznie nieobciążonym

asymptotycznie nieobciążonym



Efektywność, asymptotyczna

Efektywność, asymptotyczna

efektywność

efektywność

0

lim

którego

dla

Estymator,







n

n

b

niejszy

najefektyw

znie

asymptotyc

jest

ˆ

1

)

ˆ

e(

lim

,

1

)

ˆ

e(

0

,

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

e(

niejszy

najefektyw

ˆ

)

ˆ

(

)

ˆ

(

2

*

2

*

2

*

2

ˆ

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

D

D

D

D

n









































74

Estymatory, cechy estymatorów



Zgodność

Zgodność

Estymator parametru jest zgodny, jeśli:

Estymator parametru jest zgodny, jeśli:

0

dla

,

1

}

|

ˆ

{|

lim

czyli

ˆ

.

.

.































n

n

n

n

P

p

i

l

75

Estymacja parametrów rozkładu

badanych ch-yk



Mając typ rozkładu badanej charakterystyki możemy

Mając typ rozkładu badanej charakterystyki możemy

wyznaczyć estymatory parametrów tego rozkładu.

wyznaczyć estymatory parametrów tego rozkładu.



Jeżeli przyjmiemy, że rozkład populacji generalnej

Jeżeli przyjmiemy, że rozkład populacji generalnej

dla charakterystyki X jest normalny N(

dla charakterystyki X jest normalny N(





,

,





) (przy

) (przy

dostatecznie dużej liczbie przebiegów symulacyjnych

dostatecznie dużej liczbie przebiegów symulacyjnych

jest to wniosek z twierdzenia

jest to wniosek z twierdzenia

Lindeberga-Levy’ego), to estymatorami punktowymi

Lindeberga-Levy’ego), to estymatorami punktowymi

wartości oczekiwanych dla badanych charakterystyk

wartości oczekiwanych dla badanych charakterystyk

są wartości oczekiwane z próby

są wartości oczekiwane z próby

, np.

, np.



Niech X

Niech X

c

c

1

1

, X

, X

c

c

2 ,. . . ,

2 ,. . . ,

X

X

c

c

n

n

oznaczają

oznaczają

starty

starty

gracza w kolejnych

gracza w kolejnych

przebiegach symulacyjnych. Ponieważ przebiegów tych

przebiegach symulacyjnych. Ponieważ przebiegów tych

jest

jest

n

n

stąd estymator punktowy wartości oczekiwanej

stąd estymator punktowy wartości oczekiwanej

strat

strat

wyznaczamy

wyznaczamy

:

:









n

n

1

1

i

C

i

C

X

X

76

Estymacja parametrów rozkładu

badanych ch-yk



Niech X

Niech X

c

c

1

1

, X

, X

c

c

2 ,. . . ,

2 ,. . . ,

X

X

c

c

n

n

oznaczają

oznaczają

starty

starty

gracza

gracza

w kolejnych przebiegach symulacyjnych.

w kolejnych przebiegach symulacyjnych.

Ponieważ przebiegów tych jest

Ponieważ przebiegów tych jest

n

n

stąd

stąd

estymator punktowy wartości oczekiwanej

estymator punktowy wartości oczekiwanej

strat wyznaczamy

strat wyznaczamy

:

:



Wyznaczon

Wyznaczon

y

y

estymator

estymator

jest

jest

estymator

estymator

e

e

m

m

punktowym. Często jednak lepiej jest mieć

punktowym. Często jednak lepiej jest mieć

pewien przedział, w którym mieści się

pewien przedział, w którym mieści się

szacowana wartość parametru.

szacowana wartość parametru.









n

n

1

1

i

C

i

C

X

X

77

Estymacja parametrów rozkładu

badanych ch-yk



S

S

posób

wyznaczenia

estymatora

posób

wyznaczenia

estymatora

przedziałowego

wartości

oczekiwanej

przedziałowego

wartości

oczekiwanej

badanej zmiennej losowej X

badanej zmiennej losowej X

C

C

:

:



Wariancja estymatora jest dana wzorem:

Wariancja estymatora jest dana wzorem:

gdzie

gdzie





2

2

jest wariancją zmiennej losowej X, tj.

jest wariancją zmiennej losowej X, tj.





2

2

= D

= D

2

2

(X).

(X).



Nieobciążony estymator wariancji jest

Nieobciążony estymator wariancji jest

określony następująco:

określony następująco:

S X

2

2











 



n































2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

(

)

X

X

X

X

i

i

i

i

78

Estymacja parametrów rozkładu

badanych ch-yk



Ponieważ

wariancja

jest

nieznana

Ponieważ

wariancja

jest

nieznana

(wyznaczamy ją z próby zarejestrowanej

(wyznaczamy ją z próby zarejestrowanej

podczas symulacji), więc zmienna losowa

podczas symulacji), więc zmienna losowa

k

k

postaci:

postaci:

ma rozkład t Studenta o

ma rozkład t Studenta o

n

n

-1 stopniach

-1 stopniach

swobody. Zmiennej

swobody. Zmiennej

k

k

użyjemy do budowy

użyjemy do budowy

przedziału ufności dla średniej

przedziału ufności dla średniej

.

.

k

n









X X

/

79

Estymacja parametrów rozkładu

badanych ch-yk



Przy ustalonym współczynniku ufności 1-

Przy ustalonym współczynniku ufności 1-





, z

, z

tablic rozkładu t-Studenta dla

tablic rozkładu t-Studenta dla

n-1

n-1

stopni

stopni

swobody można odczytać wartość k

swobody można odczytać wartość k





i

i

następnie

dokonując

przekształceń

następnie

dokonując

przekształceń

otrzymamy następujący wzór na przedział

otrzymamy następujący wzór na przedział

ufności wartości oczekiwanej :

ufności wartości oczekiwanej :

P X k

X X k





 



















 















n

n

1

80

Hipotezy i testy statystyczne



Hipoteza statystyczna

to przypuszczenie,

to przypuszczenie,

dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa

dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa

populacji:

populacji:

gdzie

gdzie

F(x)

F(x)

jest dystrybuantą rozkładu

jest dystrybuantą rozkładu

populacji, a

populacji, a





jest pewnym zbiorem

jest pewnym zbiorem

dystrybuant, zwany zbiorem hipotez

dystrybuant, zwany zbiorem hipotez

dopuszczalnych

dopuszczalnych



Dwa typy: hipoteza parametryczna i

Dwa typy: hipoteza parametryczna i

nieparametryczna

nieparametryczna



Test statystyczny

– narzędzie do weryfikacji

– narzędzie do weryfikacji

hipotez na podstawie prób losowych – reguła

hipotez na podstawie prób losowych – reguła

decyzyjna i jednocześnie zmienna losowa

decyzyjna i jednocześnie zmienna losowa

binarna (0- przyjąć hipotezę, 1- odrzucić)

binarna (0- przyjąć hipotezę, 1- odrzucić)





)

(

:

x

F

H

81

Parametryczne testy istotności



Hipoteza prosta

Hipoteza prosta



Hipoteza złożona (alternatywna)

Hipoteza złożona (alternatywna)



Test statystyczny

Test statystyczny

T

T





oparty na obszarze

oparty na obszarze

krytycznym

krytycznym





nazywa się testem istotności dla

nazywa się testem istotności dla

sprawdzanej hipotezy zerowej (prostej)

sprawdzanej hipotezy zerowej (prostej)



Dla próby losowej

Dla próby losowej

X=

X=

(

(

X

X

1

1

,

,

X

X

2

2

,...,

,...,

X

X

n

n

)

)









hipotezę

hipotezę

H

H

0

0

odrzuca się z prawdopodobieństwem błędu I

odrzuca się z prawdopodobieństwem błędu I

rodzaju

rodzaju





(zwanym poziomem istotności)

(zwanym poziomem istotności)



Dla próby losowej

Dla próby losowej

X=

X=

(

(

X

X

1

1

,

,

X

X

2

2

,...,

,...,

X

X

n

n

)

)









stwierdza

stwierdza

się jedynie brak podstaw do odrzucenia

się jedynie brak podstaw do odrzucenia

hipotezy

hipotezy

H

H

0

0

0

1

0

0

:

:













H

H

82

Test istotności dla średniej -

przykład



Normalny rozkład populacji

Normalny rozkład populacji

N

N

(

(





,

,





) ze

) ze

znaną wariancją

znaną wariancją





2

2



Hipoteza

Hipoteza

H

H

0

0

:

:

m

m

=

=

m

m

0

0



Hipoteza

Hipoteza

H

H

1

1

:

:

m

m





m

m

0

0



Statystyka przy

Statystyka przy

prawdziwej

prawdziwej

H

H

0

0

ma rozkład normalny

ma rozkład normalny

N

N

(0,1) z obszarem krytycznym Q=

(0,1) z obszarem krytycznym Q=

{

{

U

U

: |

: |

U

U

|>

|>

u

u





}

}

u

u





-kwantyl rozkładu

-kwantyl rozkładu

normalnego

normalnego

N

N

(0,1)

(0,1)

n

m

X

U



0





83

Nieparametryczne testy

istotności



Testy zgodności – weryfikacja typu

Testy zgodności – weryfikacja typu

rozkładu – badanie zgodności uzyskanego

rozkładu – badanie zgodności uzyskanego

z próby rozkładu empirycznego z

z próby rozkładu empirycznego z

rozkładem hipotetycznym (teoretycznym)

rozkładem hipotetycznym (teoretycznym)



Testy niezależności zmiennych losowych

Testy niezależności zmiennych losowych

(testy losowości) – testy serii, testy

(testy losowości) – testy serii, testy

kombinatoryczne (pokerowy,

kombinatoryczne (pokerowy,

kolekcjonera)

kolekcjonera)

84

Testy zgodności



Test chi-kwadrat

Test chi-kwadrat



F

F

(x) – nieznany rozkład populacji generalnej

(x) – nieznany rozkład populacji generalnej



F

F

0

0

(x) – rozkład teoretyczny populacji

(x) – rozkład teoretyczny populacji



Grupowanie szeregu rozdzielczego o

Grupowanie szeregu rozdzielczego o

r

r

rozłącznych klasach i

rozłącznych klasach i

licznościach

licznościach

n

n

i

i

w i-tej klasie

w i-tej klasie



Dla empirycznego szeregu rozdzielczego wyznacza się

Dla empirycznego szeregu rozdzielczego wyznacza się

prawdopodobieństwa

prawdopodobieństwa

p

p

i

i

otrzymania w rozkładzie

otrzymania w rozkładzie

F

F

0

0

(x)

(x)

wyniku próby należącego do i-tej klasy

wyniku próby należącego do i-tej klasy



Dla każdej klasy i wyznacza się liczebności teoretyczne

Dla każdej klasy i wyznacza się liczebności teoretyczne

np

np

i

i



Wyznacza się wartość statystyki

Wyznacza się wartość statystyki





2

2

:

:



Wyznacza się obszar krytyczny

Wyznacza się obszar krytyczny



Porównanie

Porównanie



Test zgodności

Test zgodności





-Kołmogorowa, Kołmogorowa-Smirnowa

-Kołmogorowa, Kołmogorowa-Smirnowa









r

i

i

i

i

np

np

n

1

2

2

)

(



0

2

2

2

2

2

2

odrzucamy

to

,

Gdy

}

{

},

:

{

H

Q

P

Q



























