WYKŁAD 6

1

METODA SYMBOLICZNA

OPIS ELEMENTÓW LINIOWYCH

REZYSTANCJA

R

i

u

u= i R

i

u

 

WYKŁAD 6

2

METODA SYMBOLICZNA

OPIS ELEMENTÓW LINIOWYCH

INDUKCYJNOŚĆ

i



















dt

u

L

i

dt

di

L

dt

d

u

i

L

1

L

i

u



 

WYKŁAD 6

3

METODA SYMBOLICZNA

OPIS ELEMENTÓW LINIOWYCH

POJEMNOŚĆ

u

q

C

i

u

q













dt

i

C

u

dt

du

C

dt

dq

i

u

C

q

1

 

WYKŁAD 6

4

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH 

HARMONICZNYCH

OPORNIK 
IDEALNY

R,  G

i(t
)

u(t
)

R = 
1/G

u = R i   lub  i 
= G u

Dla sinusoidalnego wymuszenia prądowego: 

i(t) = 

I

m

sin(



t+



)

napięcie na rezystorze wyniesie: 

u(t) = R I

m

sin(



t+



)

U

m

 = R 

I

m

Dla sinusoidalnego wymuszenia napięciowego:

u(t) = 

U

m

sin(



t+



)

Prąd płynący przez rezystor wyniesie: 

i(t) = G 

U

m

sin(



t+



)

I

m

 = G 

U

m

t

T



i(t)

u(t
)

p = 
u i

 

WYKŁAD 6

5

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH 

HARMONICZNYCH

IDEALNA CEWKA 
INDUKCYJNA

 = L 

i

Dla sinusoidalnego wymuszenia prądowego: 

i(t) = 

I

m

sin(



t+



)

L

i(t
)

u(t
)











dt

u

L

i

dt

di

L

dt

d

u

1

)

2

sin(

)

cos(

)]

(

[

)

(

























t

U

t

LI

t

i

dt

d

L

t

u

m

m

U

m

 = 



L·I

m

,   U

m

 = X

L

·I

m

 ,        X

L

 

= 



L 

W cewce napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy 
równy /2  !!!

 

WYKŁAD 6

6

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH 

HARMONICZNYCH

t

T



i(t)

u(t
)

p = u i



/

2

i

u

L

i

u



 

WYKŁAD 6

7

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH 

HARMONICZNYCH

KONDENSATOR IDEALNY

q = C 
u

Dla sinusoidalnego wymuszenia napięciowego: 

u(t) = 

U

m

sin(



t+



)









dt

i

C

u

dt

du

C

dt

dq

i

1

)

2

sin(

)

cos(

)]

(

[

)

(

























t

I

t

CU

t

u

dt

d

C

t

i

m

m

W kondensatorze prąd wyprzedza napięcie o kąt 
fazowy równy /2 !

C

i(t
)

u(t
)

C

X

I

X

U

I

C

U

U

C

I

C

m

c

m

m

m

m

m







1

,

,

1











 

WYKŁAD 6

8

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH 

HARMONICZNYCH

 

t

T



i(t)

u(t
)

p = u i



/

2

u

i

C

i(t
)

u(t
)

 

WYKŁAD 6

9

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH 

HARMONICZNYCH

 

R

L

C

K

e

i

u

R

u

C

u

L

i =



I



sin(



 t 

+ 



)











dt

i

C

u

dt

di

L

u

R

i

u

C

L

R

1



















dt

i

C

dt

di

L

R

i

u

u

u

e

C

L

R

1

I Z = 
E

Z

 

WYKŁAD 6

10

METODA SYMBOLICZNA

Struktura 

obwodu oraz 

wymuszenia 

w dziedzinie 

czasu 

(harmoniczne

)

Układ 

równań 

różniczko

wo-

całkowych

Odpowiedz

i w 

dziedzinie 

czasu

Transform

acja w 

dziedzinę 

częstotliwo

ści

Układ 

równań 

liniowych 

(zespolony

ch)

Transformac

ja odwrotna 

w dziedzinę 

czasu

 

WYKŁAD 6

11

METODA SYMBOLICZNA

WEKTOR  I  LICZBA  ZESPOLONA

Re Z

Im 
Z

|
Z|

a

b



WEKTOR na 
płaszczyźnie: 
uporządkowana para 
liczb

]

,

[

lub

]

,

[



Z

Z

b

a

Z









LICZBA ZESPOLONA: para liczb 
rzeczywistych

- postać algebraiczna:   Z = a + jb
- postać trygonometryczna: Z = |Z|
{cos + j sin}
- postać wykładnicza: Z = |Z| e 

j

 

WYKŁAD 6

12

METODA SYMBOLICZNA

WIRUJĄCY WSKAZ

t

Im 
Z

R

e

 

Z

t

Z =|Z|
·e

j(t+) 

=

Re(Z) + j 
Im(Z)

Re(Z) = |Z| 
cos(t+)

Im(Z) = |Z| 
sin(t+)

 

WYKŁAD 6

13

METODA SYMBOLICZNA





/2

Z

1

Z

2

Re 
Z

Im 
Z

 Z

1

 = |Z

1

| e 

j(t+)

Z

2

 = |Z

2

| e 

j(t++/2)

Z

2

 = |Z

1

| e 

j(t+) 

e 

j(/2) 

= 

j

 

Z

1

Obrót wektora o kąt +/2 

odpowiada mnożeniu liczby 

zespolone przez j

Im 
Z





/2

I

m

U

m

Re 
Z

U

m

 = j k 

I

m

IMPEDANCJ
A

 

WYKŁAD 6

14

METODA SYMBOLICZNA

POJĘCIE IMPEDANCJI

Z = R + j 
X

REZYSTANCJ
A

REAKTANCJ
A

Reaktanc
ja

L

X

L





C

X

C



1





- 
indukcyjnościo
wa

- pojemnościowa

 

WYKŁAD 6

15

METODA SYMBOLICZNA

POJĘCIE ADMITANCJI

Y = G + j 
B

KONDUKTANC
JA

SUSCEPTANCJ
A

Susceptanc
ja

C

X

C





L

X

L



1





- 
indukcyjnościo
wa

- pojemnościowa

Z

Y

1



 

WYKŁAD 6

16

METODA SYMBOLICZNA

PRZYKŁADY

L

R

C

Z

Y

R

R

1

L

j



L

j

L

j





1

1





C

j

C

j





1

1





C

j



 

WYKŁAD 6

17

METODA SYMBOLICZNA

PRZYKŁADY

L

R

Z

C

R

L

R

C

L

j

R

Z







C

j

R

C

j

R

Z





1

1



























C

L

j

R

Z





1

 

WYKŁAD 6

18

METODA SYMBOLICZNA

PRZYKŁADY

Y

L

j

R

L

j

R

Y





1

1

1

1









C

j

R

Y







1



















L

C

j

R

Y





1

1

L

R

C

R

L

R

C

 

WYKŁAD 6

19

METODA SYMBOLICZNA

WYKRESY WSKAZOWE



i

L

u

R1

u

L

u

C

i

C

i

u

R

2

u







2

1

1

1

1

R

C

L

j

R

C

j

L

j

R

Z

































L

R

1

C

R

2

i

C

i

L

i

u

C

u

R1

u

L

u

R2

u

 

WYKŁAD 6

20

METODA SYMBOLICZNA

WYKRESY WSKAZOWE 

L

R

1

C

R

2

i

C

i

L

i

u

C

u

R!

u

L

u

R2

u











2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

















LC

C

R

LC

R

R

LCR

C

R

R

LCR

Z















 











2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

















LC

C

R

C

R

R

L

LC

R

R

LCR

C

R

j















 

WYKŁAD 6

21

METODA SYMBOLICZNA

REZYSTOR RZECZYWISTY

R

 

WYKŁAD 6

22

METODA SYMBOLICZNA

REZYSTOR RZECZYWISTY

R

 

WYKŁAD 6

23

METODA SYMBOLICZNA

REZYSTOR RZECZYWISTY

R

Zjawisko 
naskórkowości:

 

WYKŁAD 6

24

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE KONDENSATORA 

RZECZYWISTEGO

R

r

i

u

Układ 
równoległy:

Układ 
szeregowy:

i

u

u

R

u

C

i

R

i

C

C

r

C

s

R

s

i

u





r

r

r

C

R

tg





1



s

s

s

C

R

tg





 

WYKŁAD 6

25

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE KONDENSATORA 

RZECZYWISTEGO

Wartość współczynnika strat (tg) dla ustalonej 

częstotliwości nie zależy od wybranego schematu 

zastępczego kondensatora rzeczywistego.











2

2

2

1

1

tg

C

C

tg

tg

R

R

r

s

r

s









Dla kondensatorów małostratnych (tg  0):

R

s

  R

r

 tg

2

           C

s

   C

r

 

WYKŁAD 6

26

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE CEWKI 

RZECZYWISTEJ

R

s

i

u

Układ 
równoległy:

Układ 
szeregowy:

u

i

R

r

L

s

L

r

u

R

u

L

i

R

i

L

DOBROĆ:

)

( f

R

L

Q

s

s

s









 

WYKŁAD 6

27

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE CEWKI 

RZECZYWISTEJ

Dla ustalonej częstotliwości zachodzi 
równoważność:





2

2

2

1

1

s

s

s

r

s

s

r

Q

Q

L

L

Q

R

R









Dla cewek o dużej dobroci:

R

r

  R

s

 Q

2

s

  ;       L

r

  L

s