Definicja:

Funkcją potęgową o wykładniku

c ( c  0 )

nazywamy

funkcję x



y = x

c

I. Niech

c  N

+

i

c

jest liczbą nieparzystą .

Narysujmy wykresy funkcji :

1) y = x

1

2) y = x

3

3) y = x

5

x

y

y = x

3

y = x

5

1

1

-1

-1

y

=

x

x

y

y = x

3

y = x

5

1

1

-1

-1

Własności:

D =R

Y =R

ma miejsce zerowe

jedno

x

0

= 0

.

f



w R

parzystość:

jest nieparzysta

różnowartościowość:

jest różnowartościowa

.

.

II. Niech

c  N

+

i

c

jest liczbą parzystą .

Narysujmy wykresy funkcji :

1) y = x

2

2) y = x

4

3) y = x

6

x

y

1

1

y

=

x

2

-1

y

=

x

4

y

=

x

6

x

y

1

1

2

-1

y

=

x

4

y

=

x

6

Własności:

D =R

Y =

R

+

 { 0 }

ma miejsce zerowe

jedno

x

0

= 0

.

f



w R

+

parzystość:

jest parzysta

różnowartościowość:

nie jest różnowartościowa

f



w R

-

.

.

III. Niech

c  C

-

i

c

jest liczbą nieparzystą .

Narysujmy wykresy funkcji :

1) y = x

–1

=

2) y = x

–3

=

1

1

x

x

3

Z : x  0

x

y

1

-1

1

-1

y = x

-1

y = x

–3

Własności:

D =

R \ { 0 }

Y =

R \ { 0 }

miejsca zerowe:

f



w R

-

parzystość:

jest nieparzysta

różnowartościowość:

jest różnowartościowa

x

y

1

-1

1

-1

y = x

-1

nie ma miejsc zerowych

f



w R

+

y = x

–3

.

.

IV. Niech

c  C

-

i

c

jest liczbą parzystą .

Narysujmy wykresy funkcji :

1) y = x

–2

=

2) y = x

–4

=

1

1

x

2

x

4

Z : x  0

x

y

0

1

1

-1

y = x

-2

y = x

-4

x

y

0

1

1

-1

y = x

-2

y = x

-4

Własności:

D =

R \ { 0 }

Y =R

+

miejsca zerowe:

f



w R

-

parzystość:

jest parzysta

różnowartościowość:

nie jest różnowartościowa

nie ma miejsc zerowych

f



w R

+

.

.

V. Niech

c  W

Aby narysować wykres funkcji

y =x

1

2

dla x R

+

 { 0 } należy

zauważyć , że funkcja

y = x

1
2

jest funkcją odwrotną do

y = x

2

Funkcja y = x

2

w zbiorze R

+

 { 0 } jest

różnowartościowa

zatem :



y= x

y

2

1

= x

Zamieniając zmienne otrzymujemy

y = x

1
2

Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne
względem dwusiecznej ćwiartki I i III , czyli prostej

y = x

Przypomnienie:

Obrazem punktu

P ( x , y )

w symetrii osiowej

względem prostej

y = x

jest punkt

P ( y , x)

.

x

y

2

4

4

2

(2,2)

(4,2)

(2,4)

(4,4)

Zatem :

Aby narysować wykres funkcji

y = x

1

2

Najpierw rysujemy wykres funkcji

y = x

2

w R

+

 { 0 } ,

a następnie przekształcamy go symetrycznie względem prostej :

y = x

x

y

1

1

0

( 1 , 1 )

4

4

y = x

2

2

( 2 , 4 )

( 4 , 2 )

y = x

1

2

2

y

=

x

Ćwiczenie:

1. Sporządź wykres funkcji :

y = x

3

+ 1

Etapy konstrukcji :

a ) rysujemy wykres funkcji

y = x

3

x

y

1

1

y = x

3

b) przekształcamy go przez T

u

u= [ 0,1 ]

y = x

3

+ 1

Czy jest to funkcja potęgowa?

NIE

Ćwiczenie:

2. Sporządź wykres funkcji :

y = x

4

- 3

Etapy konstrukcji :

a ) rysujemy wykres funkcji

y = x

4

x

y

1

1

b) przekształcamy go przez T

u

u

= [ 0,-3 ]

Czy jest to funkcja potęgowa?

NIE

y = x

4

-3

y = x

4

- 3

Ćwiczenie:

3. Sporządź wykres funkcji :

y = 2 - x

4

Etapy konstrukcji :

a ) rysujemy wykres funkcji

y = x

4

x

y

1

1

b) przekształcamy go przez

S

x

Czy jest to funkcja potęgowa?

NIE

y = x

4

2

y =
-x

4

i otrzymujemy wykres

y = - x

4

c) otrzymany wykres przekształcamy
przez T

u ,

u [ 0 , 2 ]

y = 2 - x

4

Ćwiczenie:

4. Sporządź wykres funkcji :

y = -x

-4

+ 2

Etapy konstrukcji :

a ) rysujemy wykres funkcji

y = x

-4

c) a następnie przez T

u

u= [ 0 , 2 ]

Czy jest to funkcja potęgowa?

NIE

b) przekształcamy go przez

S

x

i otrzymujemy wykres

x

y

1

1

-1

y = x

-4

-1

y = -x

-4

y = -x

-4

y = -x

-4

+ 2

5. Sporządź wykres funkcji

y = x

Ćwiczenie:

1

3

gdy x  R

+

 { 0 }

Etapy konstrukcji:

a) Rysujemy wykres funkcji

y = x

3

x

y

1

1

y = x

3

b) Przekształcamy go przez symetrię
osiową względem prostej

y = x

y

=

x

y = x

3

1

Czy jest to funkcja potęgowa?

TAK