More on statistical 

distributions II

Więcej o rozkładach 

statystycznych cz. II

Agnieszka Piernik

 

 

1. Rozkład Gamma
2. Rozkład 

2

3. Rozkład Studenta

Funkcje rozkładu 

prawdopodobieństwa cech 

ciągłych

dr Agnieszka Piernik

 

 

Rozkład Gamma – to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego 
gęstość jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich 
liczb rzeczywistych. Zdefiniowany jest przez funkcję Gamma. 

Funkcja Gamma
Dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych x (x) jest 

zdefiniowane jako:
(x+1) = x (x) 

Stąd (3.5)= 2.5* (2.5)= 2.5*1.5* (1.5)= 2.5*1.5*0.5* (0.5)

(0.5) = 

1/2

Dla liczb naturalnych:
(x+1)=x!

(2)=1

Dla pozostałych liczb dodatnich według funkcji Eulera:

Rozkład Gamma
                    e

-x

x 



-1

f(x, 



, 



)= 

                   



(



)

- determinuje kształt 



 - determinuje skalę, 



 =1 to funkcja wyznacza standardowy rozkład 

gamma

 

 

Zadanie 2
Wykonaj wykresy standardowego rozkładu funkcji Gamma przy różnych 
parametrach 



 = 1, 2, 3, 4, 7 dla zakresu wartości x od 0 do 12

Zadanie 1
Ile wynosi a) 

(3),

 b) 

(10,5) 

(x+1) = x (x)

 

 

Rozkład 



2

Jest szczególnym przypadkiem rozkładu Gamma. Został 

opracowany przez A. Abbego (1863), H. Helmerta (1875) i 
K. Pearsona (1900).

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

Przebieg rozkładu zależny jest od liczby przypadków n, 

określanych mianem liczby stopni swobody.

  
 

  

  Dla dużej liczby n rozkład 



2

 

zbliża się do rozkładu 

normalnego o parametrach (



=2n-1, 



2

=1). 

f(x) = 

1

2

n/2 

(n/2) 

e

-x/2 

x

(n-2)/2

 

 

Dla dużej liczby n rozkład 



2

 

zbliża się do rozkładu normalnego. 

Można przekształcić w takim przypadku rozkład 



2

 

do 

standaryzowanego

 

rozkładu normalego (

=0

, 



2

=

1

) przez 

zastosowanie transformacji Z:

Z = 



2 

- n



2n

Test istotności wariancji

Kiedy n-elementowa losowa próba obserwacji pochodzi z populacji 
o rozkładzie normalnym z nieznaną średnią 

 i wariancją 



2

, to 

zmienna losowa ma rozkład 



2 

 

o  n-1 stopniach swobody:



2

=(n-1)/ 



2* 

s

2 

, gdzie s

2

 to wariancja próby

Dwustronny test 



2

(obszar krytyczny zakreskowany),  - poziom istotności 

 

 

Zadanie 2
Dla określenia dokładności pomiarów nowo skonstruowanym aparatem 
wykonano dziewięć pomiarów dla danej cechy uzyskując wartości: 6,15; 
6,19; 6,03; 6,12; 6,17; 6,20; 6,04; 6,06; 6,07. Zweryfikować hipotezę na 
poziomie istotności 0,05, że wariancja pomiarów za pomocą tego aparatu 
nie odbiega od normy, która wynosi 0,003



2

=(n-1)/ 



2* 

s

2

 

 

Rozkład Studenta (rozkład t)
Został wprowadzony w 1908 r. przez brytyjskiego matematyka 
Williama Gosseta, używającego pseudonimu Student. 
Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie 
oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym 
prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli 
dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy 
wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe 
lub wariancja z próby, nie znamy natomiast odch. standardowego w 
populacji. Rozkład Studenta jest funkcją zależną od wyników 
pomiarów X

i

, a niezależną od 



2

.

Z - zmienna losowa zestandaryzowana, czyli mająca standardowy rozkład normalny =0

, 



2

=

1

U - zmienna losowa o rozkładzie 



2

 o n stopniach swobody

Rozkład Studenta z n liczbą stopni swobody jest rozkładem zmiennej 
losowej t postaci:

t = 

Z



U



n =

Z





2

/n

 

 

Rozkład t dla różnej liczby stopni swobody k

 

 

Zastosowanie rozkładów prawdopodobieństwa Studenta i 

2

 

1.

Umożliwiają generalizowanie wielu 
istniejących w przyrodzie rozkładów cech, 
wyliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia 
danej cechy oraz odchylenia od oczekiwanego 
wzorca.

2.

Pozwalają  na  standaryzowanie  istniejących 
realnie w przyrodzie rozkładów.