More on statistical

distributions II

Więcej o rozkładach

statystycznych cz. II

Agnieszka Piernik

1. Rozkład Gamma
2. Rozkład 

2

3. Rozkład Studenta

Funkcje rozkładu

prawdopodobieństwa cech

ciągłych

dr Agnieszka Piernik

Rozkład Gamma – to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego
gęstość jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich
liczb rzeczywistych. Zdefiniowany jest przez funkcję Gamma.

Funkcja Gamma
Dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych x (x) jest

zdefiniowane jako:
(x+1) = x (x)

Stąd (3.5)= 2.5* (2.5)= 2.5*1.5* (1.5)= 2.5*1.5*0.5* (0.5)

(0.5) = 

1/2

Dla liczb naturalnych:
(x+1)=x!

(2)=1

Dla pozostałych liczb dodatnich według funkcji Eulera:

Rozkład Gamma
e

-x

x



-1

f(x,



,



)=



(



)

- determinuje kształt



- determinuje skalę,



=1 to funkcja wyznacza standardowy rozkład

gamma

Zadanie 2
Wykonaj wykresy standardowego rozkładu funkcji Gamma przy różnych
parametrach



= 1, 2, 3, 4, 7 dla zakresu wartości x od 0 do 12

Zadanie 1
Ile wynosi a)

(3),

b)

(10,5)

(x+1) = x (x)

Rozkład



2

Jest szczególnym przypadkiem rozkładu Gamma. Został

opracowany przez A. Abbego (1863), H. Helmerta (1875) i
K. Pearsona (1900).

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

Przebieg rozkładu zależny jest od liczby przypadków n,

określanych mianem liczby stopni swobody.

Dla dużej liczby n rozkład



2

zbliża się do rozkładu

normalnego o parametrach (



=2n-1,



2

=1).

f(x) =

1

2

n/2

(n/2)

e

-x/2

x

(n-2)/2

Dla dużej liczby n rozkład



2

zbliża się do rozkładu normalnego.

Można przekształcić w takim przypadku rozkład



2

do

standaryzowanego

rozkładu normalego (

=0

,



2

=

1

) przez

zastosowanie transformacji Z:

Z =



2

- n



2n

Test istotności wariancji

Kiedy n-elementowa losowa próba obserwacji pochodzi z populacji
o rozkładzie normalnym z nieznaną średnią

 i wariancją



2

, to

zmienna losowa ma rozkład



2

o n-1 stopniach swobody:



2

=(n-1)/



2*

s

2

, gdzie s

2

to wariancja próby

Dwustronny test



2

(obszar krytyczny zakreskowany),  - poziom istotności

Zadanie 2
Dla określenia dokładności pomiarów nowo skonstruowanym aparatem
wykonano dziewięć pomiarów dla danej cechy uzyskując wartości: 6,15;
6,19; 6,03; 6,12; 6,17; 6,20; 6,04; 6,06; 6,07. Zweryfikować hipotezę na
poziomie istotności 0,05, że wariancja pomiarów za pomocą tego aparatu
nie odbiega od normy, która wynosi 0,003



2

=(n-1)/



2*

s

2

Rozkład Studenta (rozkład t)
Został wprowadzony w 1908 r. przez brytyjskiego matematyka
Williama Gosseta, używającego pseudonimu Student.
Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie
oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym
prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli
dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy
wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe
lub wariancja z próby, nie znamy natomiast odch. standardowego w
populacji. Rozkład Studenta jest funkcją zależną od wyników
pomiarów X

i

, a niezależną od



2

.

Z - zmienna losowa zestandaryzowana, czyli mająca standardowy rozkład normalny =0

,



2

=

1

U - zmienna losowa o rozkładzie



2

o n stopniach swobody

Rozkład Studenta z n liczbą stopni swobody jest rozkładem zmiennej
losowej t postaci:

t =

Z



U



n =

Z





2

/n

Rozkład t dla różnej liczby stopni swobody k

Zastosowanie rozkładów prawdopodobieństwa Studenta i 

2

1.

Umożliwiają generalizowanie wielu
istniejących w przyrodzie rozkładów cech,
wyliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia
danej cechy oraz odchylenia od oczekiwanego
wzorca.

2.

Pozwalają na standaryzowanie istniejących
realnie w przyrodzie rozkładów.