1
1
MATEMATYKA
MATEMATYKA
sem. I
sem. I
dr Dorota Krawczyk-Stańdo
dr Dorota Krawczyk-Stańdo
e-mail: krawczyk@p.lodz.pl
e-mail: krawczyk@p.lodz.pl
1
1
MATEMATYKA
MATEMATYKA
sem. I
sem. I
dr Dorota Krawczyk-Stańdo
dr Dorota Krawczyk-Stańdo
e-mail: krawczyk@p.lodz.pl
e-mail: krawczyk@p.lodz.pl
2
2
Kontakt WWW
Kontakt WWW
•
cmf.p.lodz.pl/mat/
cmf.p.lodz.pl/mat/
3
3
Literatura
Literatura
•
Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.:
Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.:
Matematyka dla studentów studiów technicznych,
Matematyka dla studentów studiów technicznych,
cz.1.
cz.1.
HELPMATH, Łódź 1996.
HELPMATH, Łódź 1996.
•
Krysicki W., Włodarski L.:
Krysicki W., Włodarski L.:
Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1.
Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1.
PWN, Warszawa 1974.
PWN, Warszawa 1974.
•
Gewert M., Skoczylas Z.:
Gewert M., Skoczylas Z.:
Matematyka dla studentów politechnik: Analiza
Matematyka dla studentów politechnik: Analiza
Matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
Matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
Zadania, przykłady.
Zadania, przykłady.
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
4
4
Wykład 1
Wykład 1
•
Elementy logiki matematycznej.
Elementy logiki matematycznej.
-
-
Rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów
Rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów
•
Algebra zbiorów.
Algebra zbiorów.
•
Pojęcie i własności funkcji.
Pojęcie i własności funkcji.
•
Funkcje elementarne – powtórzenie.
Funkcje elementarne – powtórzenie.
–
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa
–
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa
–
Funkcja potęgowa
Funkcja potęgowa
–
Funkcja wymierna
Funkcja wymierna
–
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza
–
Funkcja logarytmiczna
Funkcja logarytmiczna
–
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne
–
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne
5
Elementy logiki
matematycznej
6
Elementy logiki
matematycznej
7
Elementy logiki
matematycznej
8
Elementy logiki
matematycznej
9
Elementy logiki
matematycznej
10
Elementy logiki
matematycznej
11
Elementy logiki
matematycznej
12
Elementy logiki
matematycznej
13
Elementy logiki
matematycznej
14
Elementy logiki
matematycznej
15
Elementy logiki
matematycznej
16
Elementy logiki
matematycznej
17
Kwadrat logiczny
18
Algebra zbiorów. Prawa rachunku zbiorów i ich
związek z prawami logicznymi
19
Algebra zbiorów
20
Algebra zbiorów
21
Algebra zbiorów
22
Algebra zbiorów
23
Algebra zbiorów
24
Algebra zbiorów
25
Algebra zbiorów
26
Logika a teoria mnogości
27
Kwantyfikatory
x
x
kwantyfikator ogólny
czytamy: „dla każdego x”
kwantyfikator
szczegółowy
czytamy: „istnieje takie x”
”
x
x
lub
lub
28
Funkcja (definicja)
29
Wykres funkcji (definicja)
30
Iloczyn kartezjański
31
Przykłady rodzin funkcji
32
Funkcja rosnąca
33
Funkcja malejąca
34
Funkcja stała
35
Funkcja ściśle monotoniczna
36
Funkcja różnowartościowa
(injekcja)
37
Funkcja typu „na” (surjekcja)
38
Funkcja wzajemnie
jednoznaczna (bijekcja)
39
Funkcja parzysta
40
Funkcja nieparzysta
41
Funkcja okresowa
42
Złożenie funkcji
43
Funkcja odwrotna
Niech funkcja
Y
X
f
na
:
będzie różnowartościowa na zbiorze
X
. Funkcją
odwrotną
X
Y
f
:
1
do funkcji f nazywamy funkcję spełniającą warunek:
)
(
:
)
(
1
x
f
y
x
y
f
, gdzie x
X, y
Y.
44
Funkcja odwrotna – c.d.
45
Funkcje elementarne
Podstawowe funkcje elementarne to
funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze,
logarytmiczne, trygonometryczne
cyklometryczne. Funkcje, które
otrzymujemy z podstawowych funkcji
elementarnych za pomocą skończonej
liczby działań arytmetycznych lub
złożenia, nazywamy funkcjami
elementarnymi.
46
Funkcje elementarne -
przegląd
Funkcja liniowa
Funkcja kwadratowa
Funkcja potęgowa
Funkcja wymierna
Funkcja wykładnicza
Funkcja logarytmiczna
Funkcje trygonometryczne
Funkcje cyklometryczne
47
Funkcja liniowa
R
b
a
,
48
Funkcja liniowa – c.d.
R
b
a
,
49
Uwaga
50
Wartość bezwzględna
51
Funkcja kwadratowa
0
a
R
c
b
a
,
,
52
Funkcja kwadratowa – c.d.
53
Funkcja potęgowa
54
Wielomian
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
X
Y
R y s
3
3
)
(
2
3
x
x
x
x
W
55
Funkcja wymierna
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
X
Y
Rys. 1
1
)
(
2
3
x
x
x
W
Rys. 2
1
)
(
x
x
x
W
56
Funkcja wykładnicza
57
Funkcja wykładnicza – c.d.
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
X
Y
Rys.1
x
x
f
2
)
(
Rys.2
x
x
f
2
1
)
(
58
Funkcja logarytmiczna
D
e
f
. (
lo
g
a
r
y
t
m
)
x
a
y
x
y
def
a
log
1
0
a
a
, 0
x
L
o
g
a
r
y
t
m
e
m
n
a
z
y
w
a
m
y
w
y
k
ła
d
n
ik
p
o
t
ę
g
i, d
o
k
t
ó
r
e
j
t
r
z
e
b
a
p
o
d
n
ie
ś
ć
p
o
d
s
t
a
w
ę
lo
g
a
r
y
t
m
u
(
a
)
a
b
y
o
t
r
z
y
m
a
ć
lic
z
b
ę
lo
g
a
r
y
t
m
o
w
a
n
ą
(
x
)
.
R
p
,
59
Funkcja logarytmiczna – c.d.
-1
1
2
3
4
5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-1
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
X
Y
R ys.1
x
x
f
2
log
)
(
R ys.2
x
x
f
2
1
log
)
(
60
Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne
Funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi) nazywamy funkcje odwrotne do
funkcji
trygonometrycznych.
x
y sin
,
R
D
f
,
1
;
1
f
W
61
Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne
x
y cos
,
R
D
f
,
1
;
1
f
W
x
y
arccos
( c z y t a m y a r c u s k o s in u s x )
1
;1
f
D
;
0
f
W
62
Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne
x
y tg
Z
k
k
x
D
f
,
2
)
1
2
(
:
,
R
W
f
x
y arctg
(c z yta m y a rc u s ta n g e n s )
)
;
(
f
D
)
2
;
2
(
f
W
63
Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne
x
y ctg
,
Z
k
k
x
D
f
,
:
,
R
W
f
x
y
arcctg
(c z y ta m y a rc u s c o ta n g e n s )
)
;
(
f
D
)
;
0
(
f
W
64
Niektóre funkcje specjalne -
signum
F
u
n
k
c
j
ą
s
i
g
n
u
m
n
a
z
y
w
a
m
y
f
u
n
k
c
j
ę
1
,
0
,
1
:
sgn
p
o
s
t
a
c
i
:
0
1
0
0
0
1
:
sgn
x
dla
x
dla
x
dla
x
.
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1
1 2 3 4 5
- 3
- 2
- 1
1
2
3
4
5
6
X
Y
R y s .
)
sgn(
)
(
x
x
f
65
Niektóre funkcje specjalne –
część całkowita
F
u
n
k
c
j
ą
c
z
ę
ś
ć
c
a
ł
k
o
w
i
t
a
n
a
z
y
w
a
m
y
f
u
n
k
c
j
ę
:
f
p
o
s
t
a
c
i
:
k
x
:
d
l
a
1
k
x
k
,
g
d
z
i
e
Z
k
.
66
Niektóre funkcje specjalne –
funkcja Dirichleta
F
u
n
k
c
ją
D
ir
ic
h
le
t
a
n
a
z
y
w
a
m
y
fu
n
k
c
ję
}
1
,
0
{
:
D
p
o
s
t
a
c
i:
nQ
x
Q
x
x
D
dla
0
dla
1
)
(