1

1

MATEMATYKA

MATEMATYKA

sem. I

sem. I

dr Dorota Krawczyk-Stańdo

dr Dorota Krawczyk-Stańdo

e-mail: [e-mail]

e-mail: [e-mail]

2

2

Kontakt WWW

Kontakt WWW

•

cmf.p.lodz.pl/mat/

cmf.p.lodz.pl/mat/

3

3

Literatura

Literatura

•

Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.:

Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.:

Matematyka dla studentów studiów technicznych,

Matematyka dla studentów studiów technicznych,

cz.1.

cz.1.

HELPMATH, Łódź 1996.

HELPMATH, Łódź 1996.

•

Krysicki W., Włodarski L.:

Krysicki W., Włodarski L.:

Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1.

Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1.

PWN, Warszawa 1974.

PWN, Warszawa 1974.

•

Gewert M., Skoczylas Z.:

Gewert M., Skoczylas Z.:

Matematyka dla studentów politechnik: Analiza

Matematyka dla studentów politechnik: Analiza

Matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.

Matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.

Zadania, przykłady.

Zadania, przykłady.

Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

4

4

Wykład 1

Wykład 1

•

Elementy logiki matematycznej.

Elementy logiki matematycznej.

-

-

Rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów

Rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów

•

Algebra zbiorów.

Algebra zbiorów.

•

Pojęcie i własności funkcji.

Pojęcie i własności funkcji.

•

Funkcje elementarne – powtórzenie.

Funkcje elementarne – powtórzenie.

–

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa

–

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa

–

Funkcja potęgowa

Funkcja potęgowa

–

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna

–

Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza

–

Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna

–

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne

–

Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne

5

Elementy logiki
matematycznej

6

Elementy logiki
matematycznej

7

Elementy logiki
matematycznej

8

Elementy logiki
matematycznej

9

Elementy logiki
matematycznej

10

Elementy logiki
matematycznej

11

Elementy logiki
matematycznej

12

Elementy logiki
matematycznej

13

Elementy logiki
matematycznej

14

Elementy logiki
matematycznej

15

Elementy logiki
matematycznej

16

Elementy logiki
matematycznej

17

Kwadrat logiczny

18

Algebra zbiorów. Prawa rachunku zbiorów i ich
związek z prawami logicznymi

19

Algebra zbiorów

20

Algebra zbiorów

21

Algebra zbiorów

22

Algebra zbiorów

23

Algebra zbiorów

24

Algebra zbiorów

25

Algebra zbiorów

26

Logika a teoria mnogości

27

Kwantyfikatory

x



x



kwantyfikator ogólny
czytamy: „dla każdego x”

kwantyfikator

szczegółowy

czytamy: „istnieje takie x”

”

x



x



lub

lub

28

Funkcja (definicja)

29

Wykres funkcji (definicja)

30

Iloczyn kartezjański

31

Przykłady rodzin funkcji

32

Funkcja rosnąca

33

Funkcja malejąca

34

Funkcja stała

35

Funkcja ściśle monotoniczna

36

Funkcja różnowartościowa
(injekcja)

37

Funkcja typu „na” (surjekcja)

38

Funkcja wzajemnie
jednoznaczna (bijekcja)

39

Funkcja parzysta

40

Funkcja nieparzysta

41

Funkcja okresowa

42

Złożenie funkcji

43

Funkcja odwrotna

Niech funkcja

Y

X

f

na





:

będzie różnowartościowa na zbiorze

X

. Funkcją

odwrotną

X

Y

f





:

1

do funkcji f nazywamy funkcję spełniającą warunek:

)

(

:

)

(

1

x

f

y

x

y

f









, gdzie x



X, y



Y.

44

Funkcja odwrotna – c.d.

45

Funkcje elementarne



Podstawowe funkcje elementarne to
funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze,
logarytmiczne, trygonometryczne
cyklometryczne. Funkcje, które
otrzymujemy z podstawowych funkcji
elementarnych za pomocą skończonej
liczby działań arytmetycznych lub
złożenia, nazywamy funkcjami
elementarnymi.

46

Funkcje elementarne -
przegląd



Funkcja liniowa



Funkcja kwadratowa



Funkcja potęgowa



Funkcja wymierna



Funkcja wykładnicza



Funkcja logarytmiczna



Funkcje trygonometryczne



Funkcje cyklometryczne

47

Funkcja liniowa

R

b

a



,

48

Funkcja liniowa – c.d.

R

b

a



,

49

Uwaga

50

Wartość bezwzględna

51

Funkcja kwadratowa

0



a

R

c

b

a



,

,

52

Funkcja kwadratowa – c.d.

53

Funkcja potęgowa

54

Wielomian

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

X

Y

R y s

3

3

)

(

2

3









x

x

x

x

W

55

Funkcja wymierna

-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

X

Y

Rys. 1

1

)

(

2

3





x

x

x

W

Rys. 2

1

)

(





x

x

x

W

56

Funkcja wykładnicza

57

Funkcja wykładnicza – c.d.

-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

X

Y

Rys.1

x

x

f

2

)

( 

Rys.2

x

x

f















2

1

)

(

58

Funkcja logarytmiczna

D

e

f

. (

lo

g

a

r

y

t

m

)









x

a

y

x

y

def

a







log

1

0







a

a

, 0



x

L

o

g

a

r

y

t

m

e

m

n

a

z

y

w

a

m

y

w

y

k

ła

d

n

ik

p

o

t

ę

g

i, d

o

k

t

ó

r

e

j

t

r

z

e

b

a

p

o

d

n

ie

ś

ć

p

o

d

s

t

a

w

ę

lo

g

a

r

y

t

m

u

(

a

)

a

b

y

o

t

r

z

y

m

a

ć

lic

z

b

ę

lo

g

a

r

y

t

m

o

w

a

n

ą

(

x

)

.

R

p

,

59

Funkcja logarytmiczna – c.d.

-1

1

2

3

4

5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-1

1

2

3

4

5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

R ys.1

x

x

f

2

log

)

( 

R ys.2

x

x

f

2

1

log

)

( 

60

Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne

Funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi) nazywamy funkcje odwrotne do

funkcji

trygonometrycznych.

x

y sin



,

R

D

f

 ,







1

;

1

f

W

61

Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne

x

y cos



,

R

D

f



,







1

;

1

f

W

x

y

arccos



( c z y t a m y a r c u s k o s in u s x )







1

;1

f

D







;

0

f

W

62

Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne

x

y tg



Z

k

k

x

D

f







,

2

)

1

2

(

:



,

R

W

f



x

y arctg



(c z yta m y a rc u s ta n g e n s )

)

;

(









f

D

)

2

;

2

(









f

W

63

Funkcje trygonometryczne i
cyklometryczne

x

y ctg



,

Z

k

k

x

D

f





,

:



,

R

W

f



x

y

arcctg



(c z y ta m y a rc u s c o ta n g e n s )

)

;

(









f

D

)

;

0

( 



f

W

64

Niektóre funkcje specjalne -
signum

F

u

n

k

c

j

ą

s

i

g

n

u

m

n

a

z

y

w

a

m

y

f

u

n

k

c

j

ę





1

,

0

,

1

:

sgn







p

o

s

t

a

c

i

:





















0

1

0

0

0

1

:

sgn

x

dla

x

dla

x

dla

x

.

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1

1 2 3 4 5

- 3

- 2

- 1

1

2

3

4

5

6

X

Y

R y s .

)

sgn(

)

(

x

x

f



65

Niektóre funkcje specjalne –
część całkowita

F

u

n

k

c

j

ą

c

z

ę

ś

ć

c

a

ł

k

o

w

i

t

a

n

a

z

y

w

a

m

y

f

u

n

k

c

j

ę







:

f

p

o

s

t

a

c

i

:

 

k

x



:

d

l

a

1







k

x

k

,

g

d

z

i

e

Z

k



.

66

Niektóre funkcje specjalne –
funkcja Dirichleta

F

u

n

k

c

ją

D

ir

ic

h

le

t

a

n

a

z

y

w

a

m

y

fu

n

k

c

ję

}

1

,

0

{

: 



D

p

o

s

t

a

c

i:













nQ

x

Q

x

x

D

dla

0

dla

1

)

(