C 01
1
OPERATORY RÓŻNICZKOWE
A
A
div
Operatory różniczkowe:
gradient
dywergencja
rotacja
laplasjan skalarny
laplasjan wektorowy
A
A
rot
A
A
A
A
)
(
2
x
y
z
i
i
i
x
y
z
�
�
�
Ѻ
+
+
�
�
�
r
r
r
;
x
y
z
r xi
yi
zi
=
+
+
r
r
r
r
( )
( , , )
U U r
U x y z
�
�
r
gdzie
- skalarna funkcja położenia
( )
( , , )
A A r
A x y z
�
�
r
r
r
r
- wektorowa funkcja położenia
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
x
x
y
y
z
z
A x y z
A x y z i
A x y z i
A x y z i
=
+
+
r
r
r
r
Operator nabla:
2
2
2
2
2
2
2
x
y
y
�
�
�
D=Ѻ��Ѻ++
�
�
�
Operator Laplace’a:
grad U
U
��
2
(
)
(
)
U
U
U
U
D �� = ��
� =���
C 01
2
OPERATORY RÓŻNICZKOWE - GRADIENT
Gradient w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych
x
y
z
U
U
U
U
i
i
i
x
y
z
�
�
�
� =
+
+
�
�
�
r
r
r
Gradient we współrzędnych
cylindrycznych
1
z
U
U
U
U
i
i
i
z
r
j
r
r j
�
�
�
� =
+
+
�
�
�
r
r
r
Gradient we współrzędnych
sferycznych
1
1
sin
r
U
U
U
U
i
i
i
r
r
r
q
j
q
q j
�
�
�
� =
+
+
�
�
�
r
r
r
C 01
3
STRUMIEŃ WIELKOŚCI WEKTOROWEJ
S
q
ds
A
r
d
d
s n s
=
r r
• Elementarny strumień wielkości wektorowej
przez
element powierzchni reprezentowanej przez
wektor
(normalny do powierzchni i skierowany na zewnątrz
zamkniętej powierzchni) jest równy
iloczynowi
składowej
normalnej wektora przez pole powierzchni
A
r
ds
ds
r
dF
A
r
ds
d
d
d
d
n
A s A n s A s
F = � = � =
r
r
r
r
• Strumień wektora
przez
powierzchnię
S
:
F
A
r
d
S
A s
F =
�
�
�
r r
C 01
4
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA
0
d
lim
S
V
A s
A
V
�
�
�� =
�
�
r r
r
�
Dywergencję wektora , w oparciu o twierdzenie
Gaussa
d
S
A s
�
�
�
r r
�
przy
czym
- strumień wektora wypływający z
obszaru
o objętości V
A
r
S - powierzchnia zamknięta ograniczająca objętość V
A
r
• Jeżeli w punkcie przestrzeni znajduje się skalarne źródło pola ,
to dywergencja jest różna od zera.
A
r
• Pole wektorowe, którego dywergencja jest różna od
zera,
jest
polem źródłowym
.
• Pole wektorowe o zerowej dywergencji jest
polem
bezźródłowym
albo
solenoidalnym
.
możemy przedstawić
jako:
d
d ,
V
S
A V
A s
��
=
�
�
�
�
�
�
r
r r
�
0
A
�
r
0
A
�� =
r
C 01
5
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (2)
Dywergencja w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych
y
x
z
x
y
z
A
A
A
A
A
A
A i
i
i
x
y
z
x
y
z
�
�
�
�
�
�
�� =
+
+
=
+
+
�
�
�
�
�
�
r
r
r
r r
r
r
Dywergencja we współrzędnych
cylindrycznych
(
)
1
1
z
A
A
A
A
z
r
j
r
r
r
r j
�
�
�
�� =
+
+
�
�
�
r
Dywergencja we współrzędnych
sferycznych
(
)
2
2
(sin
)
1
1
1
sin
sin
r
A
r A
A
A
r
r
r
r
j
q
q
q
q
q j
�
�
�
�� =
+
+
�
�
�
r
C 01
6
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x [cm]
y
[c
m
]
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (3)
Wyznaczmy
dywergencję
pola
wektorowego:
(
)
2
x
y
J
H
yi
xi
=
-
r
r
r
I
[
]
2
A/m
J
-
pole
magnetyczne
wewnątrz
przewodnika
z prądem o gęstości
H
r
2
I
J
R
p
=
C 01
7
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (4)
-
współrzędne
prostokątne
(
)
2
x
y
J
H
yi
xi
=
-
r
r
r
?
H =
r
?
H
�� =
r
-
współrzędne
cylindryczne
?
H
�� =
r
cos
sin
x
y
r
j
r
j
=
=
cos
sin
sin
cos
x
y
i
i
i
i
i
i
r
j
r
j
j
j
j
j
=
� -
�
=
� +
�
r
r
r
r
r
r
2
2
2
2
x
y
x
y
i
i
i
x
y
x
y
r
=
+
+
+
r
r
r
2
2
2
2
x
y
y
x
i
i
i
x
y
x
y
j
=-
+
+
+
r
r
r
C 01
8
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (5)
-
współrzędne
prostokątne
(
)
2
x
y
J
H
yi
xi
=
-
r
r
r
2
J
H
i
j
r
=-
r
r
( )
0
2
y
x
H
H
J
y
x
H
x
y
x
y
�
�
� �-
�
�
�� =
+
=
+
=
�
�
�
�
�
�
�
�
r
-
współrzędne
cylindryczne
1
1 (
)
0
2
H
J
H
j
r
r
j
r
j
�
�-
�� =
=
=
�
�
r
cos
sin
x
y
r
j
r
j
=
=
cos
sin
sin
cos
x
y
i
i
i
i
i
i
r
j
r
j
j
j
j
j
=
� -
�
=
� +
�
r
r
r
r
r
r
2
2
2
2
x
y
x
y
i
i
i
x
y
x
y
r
=
+
+
+
r
r
r
2
2
2
2
x
y
y
x
i
i
i
x
y
x
y
j
=-
+
+
+
r
r
r
C 01
9
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x [cm]
y
[c
m
]
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (6)
Wyznaczmy dywergencję pola magnetycznego na
zewnątrz
przewodnika z prądem o natężeniu
I [A]
.
2
2
2
2
2
x
y
I
y
x
H
i
i
x
y
x
y
p
�
�
=
-
�
�
+
+
�
�
r
r
r
H
r
-
pole
wektorowe
C 01
10
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (7)
-
współrzędne
prostokątne
?
H =
r
?
H
�� =
r
-
współrzędne
cylindryczne
?
H
�� =
r
2
2
2
2
2
x
y
I
y
x
H
i
i
x
y
x
y
p
�
�
=
-
�
�
+
+
�
�
r
r
r
C 01
11
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (8)
-
współrzędne
prostokątne
1
2
I
H
i
j
p r
=-
r
r
2
2
2
2
2
y
x
y
x
H
H
x
y
x
y
I
H
x
y
x
y
p
-
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
+
+
�
� �
�
�
�
�� =
+
=
+
�
�
�
�
�
�
�
�
r
-
współrzędne
cylindryczne
1
1
1
0
2
H
I
H
j
r
r
j
p r
j
� �
� -
� �
�
� �
�� =
=
=
�
�
r
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
I
xy
xy
x
y
x
y
p
-
�
�
=
+
=
�
�
+
+
�
�
2
2
2
2
2
x
y
I
y
x
H
i
i
x
y
x
y
p
�
�
=
-
�
�
+
+
�
�
r
r
r
C 01
12
CYRKULACJA (KRĄŻENIE) POLA WEKTOROWEGO
A
r
A
r
A
r
t
A
r
L
A
r
d
d
t
L
L
C
A l
A l
=
� =
�
�
r
r
�
�
• Niech będzie dowolnym polem wektorowym, a
dl
r
niech będzie styczną
do
krzywej
wtedy całkę
krzywoliniową
L
dl
r
dl
r
dl
r
cyrkulacją pola wektorowego po krzywej
zamkniętej.
nazywamy
C 01
13
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA
0
d
(
)
lim
L
S
A l
A n
S
�
�
Ѵ�=
�
r
r
r r
�
Rotację wektora , w oparciu o twierdzenie
Stokesa
d
L
A l
�
�
r
r
�
przy
czym
- cyrkulacja pola wektorowego po
zamkniętej
dodatnio zorientowanej krzywej L
A
r
S - powierzchnia płaska
A
r
• Jeżeli rotacja pola wektorowego w określonym obszarze
jest
różna od zera
, to pole nazywa się
wirowym
.
• Pole wektorowe, którego rotacja jest
równa zero
w danym obszarze,
jest polem
bezwirowym
lub
potencjalnym
.
L – linia zamknięta będąca brzegiem
powierzchni S
możemy przedstawić w postaci:
(
) d
d
S
L
A n s
A l
Ѵ�=�
�
�
�
r
r
r
r
�
- wersor normalny do powierzchni
płaskiej S
n
r
0
A
�Ѵ�
r r
0
A
�Ѵ=
r r
C 01
14
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (2)
Rotacja w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych
Rotacja we
współrzędnych
cylindrycznych
Rotacja we
współrzędnych
sferycznych
x
y
z
y
y
x
x
z
z
x
y
z
x
y
z
i
i
i
A
A
A
A
A
A
A
i
i
i
x
y
z
y
z
z
x
x
y
A
A
A
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
Ѵ
=
=
-
+
-
+
-
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
r
r
r
r
r
r
r
z
z
i
i
i
A
z
A
A
A
r
j
r
j
r
r
r
j
r
�
�
�
Ѵ
=
�
�
�
r
r
r
r
2
sin
sin
sin
r
r
i
i
i
r
r
r
A
r
A
rA
r
A
j
q
q
j
q
q
q
j
q
�
�
�
Ѵ
=
�
�
�
r
r
r
r
C 01
15
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (3)
Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wewnątrz
przewodnika
z prądem o gęstości
J
.
(
)
2
x
y
J
H
yi
xi
=
-
r
r
r
- pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych
?
H
Ѵ
=
r
2
J
H
i
j
r
=-
r
r
-
współrzędne
cylindryczne
?
H
Ѵ
=
r
C 01
16
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (4)
Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wewnątrz
przewodnika
z prądem o gęstości
J
.
(
)
2
x
y
J
H
yi
xi
=
-
r
r
r
- pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych
( 2 )
2
2
0
0
x
y
z
x
y
z
z
z
x
y
i
i
i
i
i
i
J
J
H
i
Ji
x
y
z
x
y
z
H
H
y
x
�
� �
� � �
Ѵ
=
=
= -
=-
� � �
� � �
-
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2
J
H
i
j
r
=-
r
r
-
współrzędne
cylindryczne
2
( 2 )
2
2
0
0
0
0
z
z
z
z
i
i
i
i
i
i
J
J
H
i
Ji
z
z
H
r
r
j
j
j
r
r
r
r
r
j
r
j
r
r
�
�
�
�
�
�
Ѵ
=
=
= -
=-
�
�
�
�
�
�
-
r
r
r
r
r
r
r
r
r
C 01
17
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x [cm]
y
[c
m
]
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
y [cm]
x [cm]
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (5)
(
)
2
x
y
J
H
yi
xi
=
-
r
r
r
H
r
z
H
Ji
J
Ѵ
=-
=
r
r
r
2
A
m
J � �
� �
� �
r
C 01
18
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (6)
Wyznaczmy rotację pola magnetycznego na zewnątrz
przewodnika z prądem o natężeniu
I
.
• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych:
?
H
Ѵ
=
r
2
2
2
2
2
x
y
I
y
x
H
i
i
x
y
x
y
p
�
�
=
-
�
�
+
+
�
�
r
r
r
• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
cylindrycznych:
1
2
I
H
i
j
p r
=-
r
r
?
H
Ѵ
=
r
C 01
19
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (7)
Wyznaczmy rotację pola magnetycznego na zewnątrz
przewodnika z prądem o natężeniu
I
.
• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych:
2
( , )
( , ) 0
x
y
z
y
x
z
x
y
i
i
i
H
H
I
H
i
x
y
z
x
y
H x y
H x y
p
�
�
�
�
�
�
�
Ѵ
=
=
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
r
r
r
r
r
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
z
I
x
y
x
y
i
x
y
x
y
p
�
�
-
-
�
�
=
-
=
�
�
+
+
�
�
r
2
2
2
2
2
x
y
I
y
x
H
i
i
x
y
x
y
p
�
�
=
-
�
�
+
+
�
�
r
r
r
C 01
20
OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (8)
• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
cylindrycznych:
1
2
I
H
i
j
p r
=-
r
r
0
2
0
0
0
1 0
z
z
i
i
i
i
i
i
I
H
z
z
H
r
r
j
j
j
r
r
r
r
r
j
p r
j
r
�
�
�
� � �
Ѵ
=
=
=
�
�
�
� � �
-
r
r
r
r
r
r
r
Document Outline