C 01

1

OPERATORY RÓŻNICZKOWE

A

A











div

 Operatory różniczkowe:

 gradient



 dywergencja



 rotacja



 laplasjan skalarny
 laplasjan wektorowy



A

A











rot

A

A

A

A

































)

(

2

x

y

z

i

i

i

x

y

z

�

�

�

Ѻ

+

+

�

�

�

r

r

r

;

x

y

z

r xi

yi

zi

=

+

+

r

r

r

r

( )

( , , )

U U r

U x y z

�

�

r

gdzie

- skalarna funkcja położenia

( )

( , , )

A A r

A x y z

�

�

r

r

r

r

- wektorowa funkcja położenia

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

x

x

y

y

z

z

A x y z

A x y z i

A x y z i

A x y z i

=

+

+

r

r

r

r

Operator nabla:

2

2

2

2

2

2

2

x

y

y

�

�

�

D=Ѻ��Ѻ++

�

�

�

Operator Laplace’a:

grad U

U

��

2

(

)

(

)

U

U

U

U

D �� = ��

� =���

C 01

2

OPERATORY RÓŻNICZKOWE - GRADIENT

 Gradient w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

x

y

z

U

U

U

U

i

i

i

x

y

z

�

�

�

� =

+

+

�

�

�

r

r

r

 Gradient we współrzędnych
cylindrycznych

1

z

U

U

U

U

i

i

i

z

r

j

r

r j

�

�

�

� =

+

+

�

�

�

r

r

r

 Gradient we współrzędnych
sferycznych

1

1

sin

r

U

U

U

U

i

i

i

r

r

r

q

j

q

q j

�

�

�

� =

+

+

�

�

�

r

r

r

C 01

3

STRUMIEŃ WIELKOŚCI WEKTOROWEJ

S

q

ds

A

r

d

d

s n s

=

r r

• Elementarny strumień wielkości wektorowej

przez
element powierzchni reprezentowanej przez
wektor
(normalny do powierzchni i skierowany na zewnątrz
zamkniętej powierzchni) jest równy

iloczynowi

składowej
normalnej wektora przez pole powierzchni

A

r

ds

ds

r

dF

A

r

ds

d

d

d

d

n

A s A n s A s

F = � = � =

r

r

r

r

• Strumień wektora

przez

powierzchnię

S

:

F

A

r

d

S

A s

F =

�

�

�

r r

C 01

4

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA

0

d

lim

S

V

A s

A

V

�

�

�� =

�

�

r r

r

�

 Dywergencję wektora , w oparciu o twierdzenie
Gaussa

d

S

A s

�

�

�

r r

�

przy
czym

- strumień wektora wypływający z
obszaru
o objętości V

A

r

S - powierzchnia zamknięta ograniczająca objętość V

A

r

• Jeżeli w punkcie przestrzeni znajduje się skalarne źródło pola ,
to dywergencja jest różna od zera.

A

r

• Pole wektorowe, którego dywergencja jest różna od
zera,

jest

polem źródłowym

.



• Pole wektorowe o zerowej dywergencji jest

polem

bezźródłowym

albo

solenoidalnym

.



możemy przedstawić
jako:

d

d ,

V

S

A V

A s

��

=

�

�

�

�

�

�

r

r r

�

0

A

׹�

r

0

A

�� =

r

C 01

5

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (2)

 Dywergencja w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

y

x

z

x

y

z

A

A

A

A

A

A

A i

i

i

x

y

z

x

y

z

�

�

�

�

�

�

�� =

+

+

=

+

+

�

�

�

�

�

�

r

r

r

r r

r

r

 Dywergencja we współrzędnych
cylindrycznych

(

)

1

1

z

A

A

A

A

z

r

j

r

r

r

r j

�

�

�

�� =

+

+

�

�

�

r

 Dywergencja we współrzędnych
sferycznych

(

)

2

2

(sin

)

1

1

1

sin

sin

r

A

r A

A

A

r

r

r

r

j

q

q

q

q

q j

�

�

�

�� =

+

+

�

�

�

r

C 01

6

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x [cm]

y

[c

m

]

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (3)



Wyznaczmy

dywergencję

pola

wektorowego:

(

)

2

x

y

J

H

yi

xi

=

-

r

r

r

I

[

]

2

A/m

J

-

pole

magnetyczne

wewnątrz

przewodnika
z prądem o gęstości

H

r

2

I

J

R

p

=

C 01

7

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (4)

-

współrzędne

prostokątne

(

)

2

x

y

J

H

yi

xi

=

-

r

r

r

?

H =

r

?

H

�� =

r

-

współrzędne

cylindryczne

?

H

�� =

r

cos

sin

x

y

r

j

r

j

=

=

cos

sin

sin

cos

x

y

i

i

i

i

i

i

r

j

r

j

j

j

j

j

=

� -

�

=

� +

�

r

r

r

r

r

r

2

2

2

2

x

y

x

y

i

i

i

x

y

x

y

r

=

+

+

+

r

r

r

2

2

2

2

x

y

y

x

i

i

i

x

y

x

y

j

=-

+

+

+

r

r

r

C 01

8

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (5)

-

współrzędne

prostokątne

(

)

2

x

y

J

H

yi

xi

=

-

r

r

r

2

J

H

i

j

r

=-

r

r

( )

0

2

y

x

H

H

J

y

x

H

x

y

x

y

�

�

� �-

�

�

�� =

+

=

+

=

�

�

�

�

�

�

�

�

r

-

współrzędne

cylindryczne

1

1 (

)

0

2

H

J

H

j

r

r

j

r

j

�

�-

�� =

=

=

�

�

r

cos

sin

x

y

r

j

r

j

=

=

cos

sin

sin

cos

x

y

i

i

i

i

i

i

r

j

r

j

j

j

j

j

=

� -

�

=

� +

�

r

r

r

r

r

r

2

2

2

2

x

y

x

y

i

i

i

x

y

x

y

r

=

+

+

+

r

r

r

2

2

2

2

x

y

y

x

i

i

i

x

y

x

y

j

=-

+

+

+

r

r

r

C 01

9

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x [cm]

y

[c

m

]

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (6)

 Wyznaczmy dywergencję pola magnetycznego na
zewnątrz
przewodnika z prądem o natężeniu

I [A]

.

2

2

2

2

2

x

y

I

y

x

H

i

i

x

y

x

y

p

�

�

=

-

�

�

+

+

�

�

r

r

r

H

r

-

pole

wektorowe

C 01

10

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (7)

-

współrzędne

prostokątne

?

H =

r

?

H

�� =

r

-

współrzędne

cylindryczne

?

H

�� =

r

2

2

2

2

2

x

y

I

y

x

H

i

i

x

y

x

y

p

�

�

=

-

�

�

+

+

�

�

r

r

r

C 01

11

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (8)

-

współrzędne

prostokątne

1

2

I

H

i

j

p r

=-

r

r

2

2

2

2

2

y

x

y

x

H

H

x

y

x

y

I

H

x

y

x

y

p

-

�

�

�

� �

�

�

�

�

� �

�

�

�

�

�

+

+

�

� �

�

�

�

�� =

+

=

+

�

�

�

�

�

�

�

�

r

-

współrzędne

cylindryczne

1

1

1

0

2

H

I

H

j

r

r

j

p r

j

� �

� -

� �

�

� �

�� =

=

=

�

�

r

(

) (

)

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

I

xy

xy

x

y

x

y

p

-

�

�

=

+

=

�

�

+

+

�

�

2

2

2

2

2

x

y

I

y

x

H

i

i

x

y

x

y

p

�

�

=

-

�

�

+

+

�

�

r

r

r

C 01

12

CYRKULACJA (KRĄŻENIE) POLA WEKTOROWEGO

A

r

A

r

A

r

t

A

r

L

A

r

d

d

t

L

L

C

A l

A l

=

� =

�

�

r

r

�

�

• Niech będzie dowolnym polem wektorowym, a

dl

r

niech będzie styczną
do
krzywej

wtedy całkę

krzywoliniową

L

dl

r

dl

r

dl

r

cyrkulacją pola wektorowego po krzywej
zamkniętej.

nazywamy

C 01

13

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA

0

d

(

)

lim

L

S

A l

A n

S

�

�

Ѵ�=

�

r

r

r r

�

 Rotację wektora , w oparciu o twierdzenie
Stokesa

d

L

A l

�

�

r

r

�

przy
czym

- cyrkulacja pola wektorowego po
zamkniętej
dodatnio zorientowanej krzywej L

A

r

S - powierzchnia płaska

A

r

• Jeżeli rotacja pola wektorowego w określonym obszarze
jest

różna od zera

, to pole nazywa się

wirowym

.

• Pole wektorowe, którego rotacja jest

równa zero

w danym obszarze,

jest polem

bezwirowym

lub

potencjalnym

.

L – linia zamknięta będąca brzegiem
powierzchni S

możemy przedstawić w postaci:

(

) d

d

S

L

A n s

A l

Ѵ�=�

�

�

�

r

r

r

r

�

- wersor normalny do powierzchni
płaskiej S

n

r

0

A

�Ѵ�

r r

0

A

�Ѵ=

r r

C 01

14

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (2)

 Rotacja w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

 Rotacja we
współrzędnych
cylindrycznych

 Rotacja we
współrzędnych
sferycznych

x

y

z

y

y

x

x

z

z

x

y

z

x

y

z

i

i

i

A

A

A

A

A

A

A

i

i

i

x

y

z

y

z

z

x

x

y

A

A

A

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� � �

�

�

Ѵ

=

=

-

+

-

+

-

�

�

�

�

�

�

� � �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

r

r

r

r

r

r

r

z

z

i

i

i

A

z

A

A

A

r

j

r

j

r

r

r

j

r

�

�

�

Ѵ

=

�

�

�

r

r

r

r

2

sin

sin

sin

r

r

i

i

i

r

r

r

A

r

A

rA

r

A

j

q

q

j

q

q

q

j

q

�

�

�

Ѵ

=

�

�

�

r

r

r

r

C 01

15

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (3)

 Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wewnątrz
przewodnika
z prądem o gęstości

J

.

(

)

2

x

y

J

H

yi

xi

=

-

r

r

r

- pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych

?

H

Ѵ

=

r

2

J

H

i

j

r

=-

r

r

-

współrzędne

cylindryczne

?

H

Ѵ

=

r

C 01

16

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (4)

 Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wewnątrz
przewodnika
z prądem o gęstości

J

.

(

)

2

x

y

J

H

yi

xi

=

-

r

r

r

- pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych

( 2 )

2

2

0

0

x

y

z

x

y

z

z

z

x

y

i

i

i

i

i

i

J

J

H

i

Ji

x

y

z

x

y

z

H

H

y

x

�

� �

� � �

Ѵ

=

=

= -

=-

� � �

� � �

-

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2

J

H

i

j

r

=-

r

r

-

współrzędne

cylindryczne

2

( 2 )

2

2

0

0

0

0

z

z

z

z

i

i

i

i

i

i

J

J

H

i

Ji

z

z

H

r

r

j

j

j

r

r

r

r

r

j

r

j

r

r

�

�

�

�

�

�

Ѵ

=

=

= -

=-

�

�

�

�

�

�

-

r

r

r

r

r

r

r

r

r

C 01

17

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x [cm]

y

[c

m

]

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

y [cm]

x [cm]

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (5)

(

)

2

x

y

J

H

yi

xi

=

-

r

r

r

H

r

z

H

Ji

J

Ѵ

=-

=

r

r

r

2

A

m

J � �

� �

� �

r

C 01

18

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (6)

 Wyznaczmy rotację pola magnetycznego na zewnątrz
przewodnika z prądem o natężeniu

I

.

• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych:

?

H

Ѵ

=

r

2

2

2

2

2

x

y

I

y

x

H

i

i

x

y

x

y

p

�

�

=

-

�

�

+

+

�

�

r

r

r

• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
cylindrycznych:

1

2

I

H

i

j

p r

=-

r

r

?

H

Ѵ

=

r

C 01

19

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (7)

 Wyznaczmy rotację pola magnetycznego na zewnątrz
przewodnika z prądem o natężeniu

I

.

• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
prostokątnych:

2

( , )

( , ) 0

x

y

z

y

x

z

x

y

i

i

i

H

H

I

H

i

x

y

z

x

y

H x y

H x y

p

�

�

�

�

�

�

�

Ѵ

=

=

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

r

r

r

r

r

(

) (

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

z

I

x

y

x

y

i

x

y

x

y

p

�

�

-

-

�

�

=

-

=

�

�

+

+

�

�

r

2

2

2

2

2

x

y

I

y

x

H

i

i

x

y

x

y

p

�

�

=

-

�

�

+

+

�

�

r

r

r

C 01

20

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (8)

• Rozważane pole wektorowe we współrzędnych
cylindrycznych:

1

2

I

H

i

j

p r

=-

r

r

0

2

0

0

0

1 0

z

z

i

i

i

i

i

i

I

H

z

z

H

r

r

j

j

j

r

r

r

r

r

j

p r

j

r

�

�

�

� � �

Ѵ

=

=

=

�

�

�

� � �

-

r

r

r

r

r

r

r