WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

prowadzący

prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS

Wykład 11

Opracował

Andrzej Sitka

ŚCINANIE CZYSTE I

ŚCINANIE CZYSTE I

TECHNICZNE

TECHNICZNE

Naprężenie ścinające

Naprężenie ścinające

Z analizy naprężeń występujących w

różnych przekrojach pręta rozciąganego można
stwierdzić, że w przekroju nachylonym pod
kątem



oprócz naprężeń normalnych 

występują także naprężenia styczne czyli
ścinające :









2

sin

2

1



(1)



p

n

x

kierunek

normalnej

zewnętrznej

P

a
)

A

przekrój
poprzeczny

przekrój ukośny



p

n

x











b
)

Rozkład naprężeń

Rozkład naprężeń

Rys.1. Rozkład naprężeń w pręcie rozciąganym

Rozkład naprężeń

Rozkład naprężeń

ścinających

ścinających

W każdym przekroju pręta rozciąganego występują
naprężenia

tnące,

z

wyjątkiem

przekrojów

poprzecznych (



= 0 i



=



).

W przypadku dwukierunkowego rozciągania w każdym
przekroju (oprócz przekrojów głównych) występują
naprężenia tnące, określone wzorem:

(2)















2

sin

2

1

2

1





Ścinanie czyste

Ścinanie czyste

 

Stan

naprężenia

w

takich

przekrojach, w których występują
tylko

naprężenia

styczne,

nazywamy czystym ścinaniem.

Ścinanie czyste

Ścinanie czyste

Stan czystego ścinania trudno jest

wytworzyć przez bezpośrednie obciążenie
ciała

samymi

naprężeniami

tnącymi,

natomiast

efekt

taki

można

uzyskać

wywołując np. rozciąganie i ściskanie takimi
samymi, co do wartości bezwzględnej
naprężeniami , działającymi w dwóch
wzajemnie prostopadłych kierunkach (rys.2)

Ścinanie czyste

Ścinanie czyste

Z badanego ciała wydzielmy element ABCD
(rys.2) obrócony względem osi 1 i 2 o kąt
45.

D

C

A

B



1

=



2



1

n



1

=





2

=-



2

=-

Rys. 2. Obciążenie prostopadłościanu w

przypadku czystego ścinania

Ścinanie czyste

Ścinanie czyste

Koło Mohra dla takiego układu, tj. dla 

1

= oraz



2

=-, przedstawia się jako okrąg o promieniu ,

zakreślony z początku 0 układu współrzędnych , 
(rys.3).

Rys. 3. Koło Mohra

2

2

Ścinanie czyste

Ścinanie czyste

Jeżeli rozpatrywany element przetniemy w myśli

przekrojem A-B (rys.2) określonym normalną nachyloną do osi
głównej 

1

pod kątem  = /4 to naprężenie normalne dla 

1

=

oraz 

2

=- będzie równe zeru:

 

0

2

2

2

2

4

sin

4

cos

2

2

2

2

2

1

4





















































(3
)

natomiast naprężenia styczne na podstawie wzoru (2)
wyniesie:

(4)





 









































1

2

4

2

sin

2

1

2

1

4

Ścinanie czyste

Ścinanie czyste

Przekrojowi A-B nachylonemu do kierunku 1 pod kątem



=



/4 odpowiada na kole Mohra punkt K, którego

współrzędnymi są



= 0 oraz



=



(rys.3).

D

C

A

B

2

/4

1

n









Rys. 4

Prawo Hooke’a przy

Prawo Hooke’a przy

ś

ś

cinaniu

cinaniu

Prostopadłościan poddany czystemu ścinaniu (rys. 5) pod
wpływem działania naprężeń tnących



zmieni swój kształt z

prostokątnego na rombowy.

Ściany nadal pozostaną płaskie a kąty proste ulegną
odkształceniu o



.

Rys. 5. Zmiany kształtu prostopadłościanu pod wpływem naprężeń

stycznych

Prawo Hooke’a przy

Prawo Hooke’a przy

ś

ś

cinaniu

cinaniu

Dla każdego materiału podlegającego prawu
Hooke’a kąt  jest wprost proporcjonalny do
naprężeń tnących :

G







(5)

Jest to

prawo Hooke’a przy

ścinaniu.

Prawo Hooke’a przy

Prawo Hooke’a przy

ś

ś

cinaniu

cinaniu

Żadna ze ścian lub krawędzi nie jest ani
rozciągana, ani ściskana to nie ma powodu
przypuszczać,

aby

miały

one

ulec

wydłużeniu lub skróceniu.

Objętość

prostopadłościanu

poddanemu

czystemu

ścinaniu

pozostaje

niezmieniona,

następuje

jedynie

zmiana

postaci

(prostopadłościan zmienił się w równoległościan,
a kwadrat w romb (rys.5)).

Prawo Hooke’a przy

Prawo Hooke’a przy

ś

ś

cinaniu

cinaniu

są to odkształcenia postaciowe

 - kąt odkształcenia

postaciowego,

stała materiałowa G –

moduł

sprężystości

poprzecznej

(Kirchhoffa).

MATERIAŁ

G 10

- 5

MPa

Stal

0,81

Żeliwo

0,38

Miedź

0,45

Mosiądz

0,32

Brąz

0,37

Aluminium

0,27

Dural

0,27

Szkło

0,22

Drewno jodłowe

0,006

Guma

0,22

Moduł Kirchoffa

Moduł Kirchoffa

Zależność między modułem

Zależność między modułem

sprężystości

sprężystości

postaciowej G a modułem Younga E

postaciowej G a modułem Younga E

Rys. 6. Odkształcenia prostopadłościanu w stanie czystego

ścinania

Zależność między modułem

Zależność między modułem

sprężystości

sprężystości

postaciowej G a modułem Younga E

postaciowej G a modułem Younga E

Wzdłuż osi 1 działa naprężenie rozciągające



1

=



, a

wzdłuż osi 2 naprężenie ściskające



2

=-



, które co do

wartości bezwzględnej są sobie równe. Odkształcenia
względne mają postać:

w kierunku
1

 





































1

2

1

1

E

E

E

E

E

(7)

w

kierunku

2:

(8)

 







































1

1

2

2

E

E

E

E

E

Zależność między modułem

Zależność między modułem

sprężystości

sprężystości

postaciowej G a modułem Younga E

postaciowej G a modułem Younga E

Wydłużenia względne mają te same wartości bezwzględne,
więc:























1

2

1

E

(9)

gdzie



-

współczynnik Poissona

(proporcjonalności); stała

równa stosunkowi względnego zwężenia poprzecznego pręta
rozciąganego do jego wydłużenia względnego w kierunku
rozciągania

5,

0

0 





Współczynnik Poissona

Stal – 0,3

Żeliwo – 0,3

Miedź – 0,3

Aluminium 0,37

Szkło – 0,25

Guma – 0,49

Drewno – 0,045 – 0.065

Wartości współczynnika Poissona dla różnych
materiałów

Zależność między modułem

Zależność między modułem

sprężystości

sprężystości

postaciowej G a modułem Younga E

postaciowej G a modułem Younga E

Zależność między modułem Younga E a modułem
Kirchhoffa G











1

2

E

G

Ś

Ś

cinanie techniczne

cinanie techniczne

W praktyce realizacja czystego ścinania jest
niemożliwa (między siłami tnącymi występuje
zawsze jakaś skończona odległość – zakłócenie
momentem gnącym).

Podczas ścinania technicznego obok naprężeń
stycznych



występują również naprężenia

normalne



, jednak naprężenia tnące są znacznie

większe od naprężeń normalnych.

Ś

Ś

cinanie techniczne

cinanie techniczne

W

przypadkach

takich

należy

sprawdzić

kryterium,

czy

naprężenia

tnące



nie

przekraczają wartości naprężeń dopuszczalnych
na ścinanie



dop.

(22)

gdzie:



dop

– naprężenia dopuszczalne na ścinanie,

T – siła tnąca,

A – przekrój poddany ścinaniu.

dop

A

T









Ś

Ś

cinanie techniczne

cinanie techniczne

Przypadki ścinania technicznego:

nitów i sworzni,

spoin,

klinów.

Poł

Poł

ą

ą

czenia nitowe

czenia nitowe

Nity i sworznie są narażone na ścinanie w
płaszczyznach styku blach łączonych, które
wywierają

też

nacisk

na

półwalcową

powierzchnię nita lub sworznia.

Rys. 8. Połączenie nitowe

Połączenia nitowe

Połączenia nitowe

Całkowity przekrój poprzeczny nitów poddanych

ścinaniu wynosi:

(23)

m

n

d

A

n

4

2





gdzie:

n – liczba nitów,

m – liczba przekrojów ścinanych w nicie,

d

n

– średnica nita.

Po podstawieniu wzoru (23) do warunku
wytrzymałości

na

ścinanie

(22)

i

uwzględnieniu, że T=P otrzymamy:

(24)

dop

n

m

n

d

P











2

4

Poł

Poł

ą

ą

czenia nitowe

czenia nitowe

Połączenia nitowe oblicza się także ze względu
na docisk powierzchniowy



d

:

(25)

dop

d

n

d

d

g

P

A

P











gdzie:
g – grubość blachy naciskającej na nit,



d dop

– naprężenie dopuszczalne na docisk.

Poł

Poł

ą

ą

czenia nitowe

czenia nitowe

Podobnie oblicza się naprężenia tnące oraz
naprężenia na docisk w sworzniach.

Kątownik przyspawano z dwóch stron spoinami o
długościach l

1

i l

2 .

Obliczyć połączenie dla

obciążenia P.

Obliczenia spoin

Obliczenia spoin

Rys. 9

Obliczenia spoin

Obliczenia spoin

Rys. 10. Przekrój poprzeczny C-C połączenia spawanego

Największe naprężenia ścinające wystąpią w
przekroju spoiny o szerokości „a”.

Pole niebezpiecznego przekroju spoiny wynosi:

Obliczenia spoin

Obliczenia spoin

(26)





g

l

l

a

l

l

A

2

2

)

(

2

1

2

1









Różne długości spoin po obydwu stronach
kątownika wynikają z położenia siły P (rys. 9).

Siły tnące w obu spoinach wynoszą:

Obliczenia spoin

Obliczenia spoin

(27)

dop

l

a

T



1

1



dop

l

a

T



2

2



(28)

Obliczenia spoin

Obliczenia spoin

(29)

(30)

0

2

2

1

1

2

2

1

1

0













e

l

a

e

l

a

e

T

e

T

M

dop

dop





Po podzieleniu równania (29) przez a



dop

otrzymamy:

1

2

2

1

e

e

l

l



Odpowiednie długości spoin po obydwu stronach
kątownika wyznacza się z warunku równowagi
momentów sił tnących.

Względem biegu O równanie ma postać:

Warunek wytrzymałości spoiny na ścianie
otrzymamy podstawiając wzór (26) do warunku
(22) i uwzględniając, że T

1

+T

2

=P:

Obliczenia spoin

Obliczenia spoin

(31)





dop

a

l

l

P











2

1

2

2

g

a 

Obliczenia klina o długości

l

, wysokości

b

i

szerokości

a

w połączeniu korby z wałem

(rys.11).

Obliczenia klinów

Obliczenia klinów

Rys. 11. Połączenie
klinowe

r

Klin, który umożliwia obrót wału wskutek
przyłożenia do korby momentu M

s

, jest ścinany

w przekroju A:

Obliczenia klinów

Obliczenia klinów

l

a

A

(32)

Wartość siły tnącej w klinie otrzymamy z równania
równowagi momentów względem środka skręcenia 0:

0

0









r

T

M

M

s

(33)

więc

Obliczenia klinów

Obliczenia klinów

(34)

Warunek

wytrzymałości

klina

otrzymamy

podstawiając (32) i (34) do równania (22):

(35)

r

M

T

s



dop

s

l

a

r

M

A

T











Docisk powierzchniowy na styku klina z korbą
i wałkiem obliczymy w przybliżeniu z
zależności:

Obliczenia klinów

Obliczenia klinów

(36)

jeżeli płaszczyzna ścinania leży w połowie jego
wysokości b.

dop

d

d

l

b

T









2