A K A D E M I A   G Ó R N I C Z O - H U T N I C Z A

i m. S t a n i s ł a w a S t a s z i c a

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI i ELEKTRONIKI

Z a k ł a d  E l e k t r o e n e r g e t y k i

Czynnik czasu 

Czynnik czasu 

w rachunku ekonomicznym

w rachunku ekonomicznym

(rachunek dyskonta)

(rachunek dyskonta)

Kraków, październik 2003

Kraków, październik 2003

Opracował: W. Szpyra 

Opracował: W. Szpyra 

na podstawie Laudyn D.: „Rachunek kosztów w 

na podstawie Laudyn D.: „Rachunek kosztów w 

elektroenergetyce”

elektroenergetyce”

Literatura

Literatura

1. Bernatek M., Matla R.: Gospodarka energetyczna w przemyśle. 

Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa 1980. 

2. Gosztowt W.: Gospodarka elektroenergetyczna. Wydawnictwa 

Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1971

3. Kulczycki J.: Optymalizacja struktur sieci elektroenergetycznych. 

Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1990. 

4. Laudyn D.: Rachunek kosztów w elektroenergetyce. Oficyna 

Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1999.

5. Marzecki J.: Rozdzielcze sieci elektroenergetyczne. Wyd. Naukowe 

PWN, Warszawa 2001.

6. Marzecki J., Parol M.: Komputerowe projektowanie rozdzielczych 

sieci elektroenergetycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki 
Warszawskiej, Warszawa 1994.

7. Matla R.: Gospodarka elektroenergetyczna. Wydawnictwa 

Politechniki Warszawskiej. Warszawa 1988. 

8. Praca zbiorowa pod red. Jerzego Kulczyckiego: Ograniczanie strat 

energii w elektroenergetycznych sieciach rozdzielczych. Wyd. 
Polskie Towarzystwo Przesyłu i Rozdziału Energii Elektrycznej, 
Poznań 2002.

9. Praca zbiorowa pod red. Szczęsnego Kujszczyka: 

Elektroenergetyczne sieci rozdzielcze. Tom 1 i 2. Wyd. Naukowe 
PWN,  Warszawa 1994.

Wstęp

 Realizacja inwestycji w elektroenergetyce jest zazwyczaj procesem 

wieloletnim, w związku z tym nakłady pieniężne są ponoszone na 
długo przed oddaniem inwestycji do eksploatacji 

 Nakłady pieniężne ponoszone w związku z inwestycją są w 

każdym roku różne - różne jest też ich oprocentowanie płacone 
bankowi

 Dla umożliwienia porównania różnych wariantów rozwiązań 

technicznych pod względem ekonomicznym konieczne jest 
doprowadzenie do porównywalności zróżnicowanych zarówno co do 
wartości jak i rozkładu w czasie nakładów pieniężnych

 Warianty rozwiązań technicznych nowej inwestycji mogą się różnić 

zarówno całkowitymi nakładami potrzebnymi na jej realizację jak i 
rozkładem w czasie tych nakładów w czasie budowy

P

1

P

1

P

3

P

1

+P

2

+P

3

P

2

P

1

+P

2

Oprocentowanie proste

Oprocentowanie proste

Oprocentowanie proste

 

- ma miejsce wtedy, gdy

 dochód od 

dochód od 

wypożyczonego kapitału jest

wypożyczonego kapitału jest

 wypłacany jego właścicielowi po 

wypłacany jego właścicielowi po 

upłynięciu każdego roku

upłynięciu każdego roku

Jeśli przyjmiemy następujące 
oznaczenia:

P

-

 wartość początkowa (

present value

) wypożyczonego 

kapitału,

 zł

;

p

-

 roczna stawka procentowa dochodu (zysku) od 

wypożyczonego kapitału (oprocentowanie kapitału, czynnik 
dyskontowy),

 %

,

100

p

i 

- roczna stawka procentowa j.w. wyrażona w postaci ułamka 

dziesiętnego

,

n

- 

okres, na który kapitał został wypożyczony (okres 

działalności inwestycyjnej),

 w latach

,

I

- 

dochód (

interest

) od wypożyczonego kapitału za okres 

n

 

lat

,

F

- 

wartość końcowa (

future value

) od wypożyczonego 

kapitału po 

n

 latach, wówczas zachodzą zależności:

(3.1)
(3.2)

(3.3)

dochód:

 

wartość 
końcowa:

 

wartość 
początkowa:

 

F = P + I = P + P  i n = P  (1 

+ i  n) 

I = P  i 

n

P 

=

F

1 + 

i  

n

Oprocentowanie proste























1

P

F

P

P

F

n

i





























 





1

1

1

P

F

n

P

P

F

n

i





























 









1

1

1

P

F

i

P

P

F

i

i

P

I

n

Oczywiście zachodzą również 
zależności:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Przykład 3.1.

 

Obliczyć wartość końcową i dochód (zysk) od kapitału 

początkowego

 

P = 1000 zł

 

wypożyczonego na okres

 

n = 4 lata

, 

przy oprocentowaniu 

prostym

 

p = 12 %.

 

 

Dochód:

I = P  i  n = 1000  12/100  4 

= 480 zł

Wartość końcowa kapitału:

F = P + I = 1000 + 480 = 
1480 zł

lub

F = P  (1+ i  n) = 1000  (1 + 0.12  

4) = 1480 zł

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Jeśli 

dochód 

dochód 

(zysk) od pożyczonego kapitału

 nie jest wypłacany co 

nie jest wypłacany co 

roku, lecz doliczany (w końcu roku) do pożyczonego kapitału 

roku, lecz doliczany (w końcu roku) do pożyczonego kapitału 

to 

występuje

 oprocentowanie kapitału procentem składanym okresowym 

oprocentowanie kapitału procentem składanym okresowym 

(nieciągłym),

(nieciągłym),

 

doliczane są procenty od procentów. Mówimy wtedy o

 

akumulacji

akumulacji 

(nagromadzeniu)

 kapitału

kapitału

. 

W takim przypadku przyszła wartość kapitału początkowego

 

P

 

wyniesie:

po 

1 roku

:

F

1

 = P + i · P = P · (1 + i),

po 

2 latach

:

F

2

 = F

1

 + i · F

1

 = P · (1 + i) + P ·(1 + i) ·i  = P ·(1 + i) · (1 + i) = 

P ·(1 + i)

2

,

po 

3 latach

:

F

3

 = F

2

 + i · F

2

 = P · (1 + i)

2

 + P ·(1 + i)

2

 ·i  = P ·(1 + i)

2

 · (1 + i) 

= P ·(1 + i)

3

,

po 

n

 latach

:

F

n

 = P · (1 + i

 

)

 

n

.

Podstawiając:

 

u = 1 + i 

 

otrzymamy:

  

(3.7)

(3.8)

F

n

 = P ·u

 

n

(3.9)

przy czym

 

u

 

-

 

 

jest nazywany

 czynnikiem oprocentowującym

 czynnikiem oprocentowującym

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Oczywiście znając obecną wartość kapitału

 

F

,

 oprocentowanie 

i

 oraz 

okres

 

oprocentowania 

n

 można określić początkową wartość kapitału

 

P

 

:

 

P 

=

F

(1 + 

i)

n

(3.10)

Podstawiając 



 

=

1

(1 + 

i)

(3.11)

otrzymamy

P = F ·



n

(3.12)

gdzie 

 

-

 

 jest nazywany

 czynnikiem 

 czynnikiem 

dyskontującym

dyskontującym

Między czynnikiem dyskontującym a czynnikiem oprocentowującym zachodzi 
zależność: 

u

 

=

1



(3.13)

Przykład 3.2.

 

Obliczyć wartość końcową i dochód (zysk) od kapitału jak w 

przykładzie 2.1 przy oprocentowaniu okresowym składanym nieciągłym: 

 

wartość końcowa:

 F = P ·(1 + i)

n

 = 1000  (1+0.12)

4

 = 1000  

1.57352 = 1573.52 zł

zysk:  

I = F - P = 1573.52 - 1000 = 573.52 zł

, 

różnica zysku: 

573.52 - 480 = 93.52 zł.

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Przykład 3.3.

 Po jakim czasie kapitał 

P = 1000 zł

 wzrośnie do wartości  

F = 

2000 zł

 

 przy oprocentowaniu składanym procentem

 

p = 10%

 

(i = 0.1) 

?

Po przekształceniu wzoru 

(3.7)

 otrzymamy:

(1+i)

n

 

= 

F
P

; logarytmując obie strony otrzymamy: 

n·ln(1+i) = ln

F
P

stąd  

 

n

 

=

;

ln F

P

ln(1+
i)

=

ln 200

0

100

0

ln(1+0.
1)

= ln

 

1.1

=

ln

 

2.0

0.0953

1

= 

7.272

  

(

7 lat  3m  

9dni

)

0.6931

5

Jeśli roczna stawka oprocentowania kapitału zmienia się co roku i 
wynosi odpowiednio: 

i

1

 i

2

, . . ., i

n

, to przy oprocentowaniu 

składanym, końcową wartość kapitału można obliczyć z zależności:

F = P · (1+i

1 

) ·(1+i

2 

) ·. . . 

·(1+i

n 

)

(3.14)

a wartość początkowa 

P

 kapitału przy znanej wartości końcowej 

F

 

wyniesie:

P 
=

F

(1+i

1 

) ·(1+i

2 

) ·... 

·(1+i

n 

)

(3.15

)

Przykład 3.4.

 Obliczyć wartość końcową kapitału

 

P = 1000 zł

 

wypożyczonego 

na okres

 

n = 4 lat

 przy oprocentowaniu składanym  

p = 12%

 

(i = 0.12)

 w 

pierwszym roku

,

 

i rosnącym w następnym roku o 

p = 2%

  

(i = 0.02)

:

F = 1000 × (1+0.12

 

) × (1+0.14) × (1+0.16) × (1+0.18

 

) = 

1000×1.74768 = 1747.68 zł

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Jeśli przez 

n

 lat w końcu każdego roku ponosimy jednakowe nakłady 

R

 (raty kapitałowe), oprocentowane procentem składanym 

i

, to z 

zależności 

(3.7)

 wynika, że po 

n

 latach przedstawiają one wartość:

F = R·(1+i)

n-1 

+ R·(1+i)

n-2 

+. . . + 

R·(1+i) +R 

 

(3.16)

F = R

1

·(1+i)

n-1 

+ R

2

·(1+i)

n-2 

+. . . + R

n-

1

·(1+i) +R

n

 = 

(3.17)

Jeśli coroczne raty kapitałowe nie są jednakowe i wynoszą 
odpowiednio: 

R

1

, R

2

, . . . , R

n

, 

wówczas:

 

R

k

·(1+i)

n

-k

 

k =1

k =n



P 
=

R

1

(1+

i)

+

R

2

(1+i

)

2

+ . . . 
+ 

R

n

(1+i)

n

=

k =1

k =n



R

k

(1+i)

k

(3.18)

oraz

Mnożąc obie strony równania 

(2.16)

 przez 

(1+i)

, 

otrzymamy:

F ·(1+i) = R·(1+i)

n

+ R·(1+i)

n-1 

+. . . + R·(1+i)

3

 

+R·(1+i)

2

 + R·(1+i) 

(3.19)

Po odjęciu stronami równania 

(3.16)

 od równania 

(3.19)

 

otrzymamy: 

F ·(1+i) - F= R·(1+i)

n

+ R

, 

stąd

F = 
R 

(1+i)

n

- 

1 i

= R 
·s

(3.20)

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Czynnik

s 
=

(1+i)

n

- 

1 i

(3.21
)

nosi nazwę 

czynnika kapitalizującego

czynnika kapitalizującego

 (przy nakładach corocznych 

wnoszonych 
w końcu roku) 

Przekształcając wzór (

3.20

) można określić wartość jednakowych, 

ponoszonych w końcu każdego roku, rat 

R

, które przy oprocentowaniu 

 

i

 dadzą 

po 

n

 latach wartość końcową kapitału 

F

:

R = 
F 

(1+i)

n

- 

1

i

= 
F

(3.22)

Czynni
k 

(1+i)

n

- 

1

i

=

jest odwrotnością 

czynnika kapitalizującego

czynnika kapitalizującego

(3.23

)

s

1

s

1

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Po wstawieniu do równania (3.22) zależności 3.7 widać, że wartość 
początkowa 

P

 oprocentowana w ciągu 

n

 

lat czynnikiem 

i

 jest 

równoważna jednakowym corocznym nakładom 

R

 ponoszonym w 

ciągu 

n

 lat w końcu każdego roku:

R = 
P ·

i ·(1 + 

i)

n

(1 + i)

n

 

- 

1

= P 

·

(3.24)

gdzie 
czynnik 

i ·(1 + 

i)

n

(1 + i)

n

 

- 

1

= 

(3.25)

jest nazywany 

czynnikiem umorzeniowym

 (

wycofania kapitału

 lub 

reprodukcji rozszerzonej

).

Jednakowe nakłady 

R

 ponoszone w końcu każdego roku w ciągu 

n

 lat i 

oprocentowane czynnikiem 

i

 są równoważne nakładom początkowym:

P = 
R ·

(1 + i)

n

 - 

1

i ·(1 + 

i)

n

 

= R 

·p

(3.26)

p

1

p

1

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

(1 + i)

n

 - 

1

i ·(1 + 

i)

n

 

p =

Czynni
k

stanowi 

odwrotność czynnika 

umorzeniowego

 

Porównując równanie (3.17) z równaniem (3.20) można sprowadzić,  
ponoszone w końcu roku, różne nakłady 

R

k

 do jednakowych, 

ponoszonych również w końcu roku, nakładów 

R

:

 

R

k

·

(1+i)

n

-k

 

k =1

k =n



= R 

·

(1+i)

n

- 

1 i

stą
d

 R 

=

(1+i)

n

- 

1

i

R

k

·

(1+i)

n

-k

 

k =1

k =n



=

 

R

k

·

(1+i)

n

-k

 

k =1

k =n



(3.27

)

=

+ 

i

Czynnik 
umorzeniowy

jest równy sumie odwrotności czynnika 
kapitalizującego 

p

1

s

1

i czynnika oprocentowującego 

i

 (porównaj wzory 

(3.23)

 i 

(3.25)

):

p

1

s

1

(3.28)

s

1

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

W języku angielskim poszczególne czynniki są 
nazywane:





n

n

i







1

1

single payment present worth factor, present 
worth factor of 
a compound amount of 1, present value of 1 at 
compound interest, discount amount factor, 
present worth discount rate

single payment compound amount factor, amount 
of  1 at compound interest, future value factor

 

  





i

i

s

n

1

1







uniform series compound amount factor, annuity 
compound amount factor, amount of a compound 
annuity of  1, amount 
of  1 per annum at compound interest, compound 
uniform series factor

P - 

present value, principal sum, 

initial sum

F - 

amount due at and of

 n 

periods, 

future value

 

R - 

uniform and-of-period series annuity 

payment

 

i - 

interest rate per period, discount rate per 

period

 

n - 

number of interest periods

 

  

)

 

 

(1

 

 

n

n

i

u





Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)





1

1

1







n

i

i

s

sinking fund factor, sinking fund deposit factor 
annuity to establish a sinking fund of  1









n

n

i

i

i

p











1

1

1

uniform series present worth factor, annuity 
present worth factor, present worth of a 
compounded annuity of 1, present value of 1 per 
annum at compound interest rate, discount 
uniform series factor









1

1

1

1











n

n

i

i

i

p

capital recovery factor, annuity whose present 
value at compound interest is 1

 

Przykład 3.5.

 Obliczyć wartość końcową czterech równych rat kapitałowych 

 

R 

= 250 zł

 

wypłacanych w końcu każdego roku przez okres okres

 

n = 4 lata

 

przy oprocentowaniu

 

składanym 

 

p

 

= 12%

 

(i = 0.12)

Stosując wzór 

(3.20)

 

otrzymamy:

F = 250 
·

(1+0.12)

4

-

1

0.12

= 250 

·

1.5735-

1

0.12

= 250 
·4.7793=1194.83 zł

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Przykład 3.6.

 Obliczyć jakie cztery równe raty kapitałowe 

 

R

,

 

wpłacane w 

końcu każdego roku przez okres

 

n = 4 lat

,

 

przy oprocentowaniu składanym

  

p = 12%

 

(i = 0.12) 

dadzą wartość końcową kapitału  

F =2000 zł ?

Korzystając ze wzoru

 

(2.22)

 

otrzymamy:

F = 
2000 ·

0.12

(1+0.12)

4

-1

= 

2000 ·

0.12

1.5735

-1

= 2000 
·0.2092=418.47 zł

Przykład  3.7.

 Obliczyć wartość czterech równych rat kapitałowych 

 

R

,

 

wypłacanych 
w końcu każdego roku przez okres

 

n = 4 lata

,

 

przy oprocentowaniu 

składanym 

 

p =12%

  

(i = 0.12), 

które będą równoważne wartości 

początkowej kapitału

 

P  = 1600 zł.

Stosując wzór 

(3.24)

 

otrzymamy:

R = 
1600 ·

0.12 · 

(1+0.12)

4

(1+0.12)

4

-1

= 

1600 ·

0.188

8

1.5735

-1

= 1600 
·0.3292=526.78 zł

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Jeżeli rok zostanie podzielony na 

m

 równych okresów, to stawka 

akumulacyjna

w tym okresie będzie równa 

m

r

, a zależność 

(3.7)

 na wartość końcową 

kapitału

F = 

P·

n

m

m

r













 

1

(3.29

)

przyjmie 
postać:

Stawka akumulacyjna 

r

 nosi nazwę stawki (ciągłej) nominalnej, w 

odróżnieniu od występującej w poprzednich równaniach stawki 
(nieciągłej) efektywnej 

i

.

Podstawiaj
ąc 

r

m

x 

do 
zależności

m

m

r











 

1

można 
napisać:

m

m

r











 

1

=

r

x

x 

























  1

1

Ze wzrostem 

m

 rośnie również 

x

. Gdy 

m

 dąży do nieskończoności to 

mamy do czynienia z oprocentowaniem ciągłym i wówczas można 
napisać:

e

x

x

x













 





1

1

lim

gdzie 

e

 - podstawa logarytmów 

naturalnych

oraz

r

m

e

m

r













 

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Przy oprocentowaniu ciągłym wzór 

(3.7)

 na wartość końcową kapitału 

F

 przyjmie postać:

F = P

 

·e

 

r·n

,

 

(3.30)

Natomiast wzór 

(3.10)

 na wartość początkową kapitału 

P

 przy 

oprocentowaniu ciągłym i znanej wartości końcowej 

F

 można zapisać 

w postaci:

P 
=

(3.31)

= F

 

·e

 

-r·n

n

r

e

F



Pomiędzy nominalną (ciągłą) stawką akumulacyjną 

r

, występującą 

przy oprocentowaniu ciągłym, a efektywną (nieciągłą) stawką 
akumulacyjną

i

, występującą przy oprocentowaniu jednorazowym corocznym 

zachodzą związki: 

1+i 
=

m

m

r











 

1

= e

 

r

,

(3.32)

i 
=

m

m

r











 

1

-1 = e

 

r 

- 

1

,

(3.33)

r = 
ln(1+i)

.

(3.34)

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Jeżeli kapitał początkowy jest jednorazowo akumulowany w końcu 
każdego roku wówczas stawka akumulacyjna nominalna jest równa 
stawce efektywnej 

Jeśli jednak  okres roczny jest dzielony na kilka krótszych okresów, a 
kwoty akumulacyjne za te okresy są akumulowane z nakładami 
początkowymi (w tych okresach) na końcu okresów, wtedy roczna 
efektywna stawka akumulacyjna 
jest tym większa od nominalnej stawki akumulacyjnej im większa jest 
liczba okresów, na które został podzielony okres roczny. Patrz tabela 1.

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Tabela 1. Porównanie nominalnej i efektywnej stawki akumulacyjnej 

przy        różnej liczbie okresów akumulacyjnych w ciągu roku

  

F = P

 

·

m

m

r

















100

1

%

100







P

P

F

i

r = 12

r = 18

1000

1000

w końcu roku

w końcu roku

m

F

i

F

i

1

1120.00

12.00

1180.00

18.00

2

1123.60

12.36

1188.10

18.81

4

1125.51

12.55

1192.52

19.25

12

1126.83

12.68

1195.62

19.56

52

1127.34

12.73

1196.85

19.68

365

1127.47

12.75

1197.16

19.72

Nominalna stawka 

równowartość 

kwoty zł

Liczba okresów 

obrachunkowych 

w ciągu roku

efektywna 

stawka 

akumulacyjna 

efektywna 

stawka 

akumulacyjna 

Nominalna stawka 

równowartość 

kwoty zł

F = 
R 

(1+i)

n

- 

1 i

F = P

 

·e

 r·n

e

 r·n

 - 

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Jeśli do wzoru 

(3.20)

 

R

, ponoszonych ciągle 
(nieprzerwanie) 

m

r

i 

, to otrzymamy:

 

=

 

R

m

·

1

1













 



 r

n

r

m

m

r

m

r

=

R

·

r

e

 r·n

 - 

1

(3.35)

oraz

R

= F

 

·

r

(3.36)

Po podstawieniu do wzoru 

(3.36)

 zależności 

(2.30)

 

otrzymamy:

oraz

R

= P

 

·

r

 

·e

 r·n

 

e

 r·n

 - 

1

(3.37)

= P

 

·

r

1- e

 r·n

R

P

 

=

r

 

·e

 r·n

 

(3.38)

=

·

e

 r·n

 - 

1

R

r

·

1- e

 r·n

zamiast corocznych rat 

R,

 ponoszonych w końcu 

każdego roku wstawimy coroczną sumę rat

w ciągu roku, a rok zostanie podzielony na 

m 

okresów (przy czym 

m

 





), oraz

 

uwzględniając, że

(2.39)

 

F = R·(1+i)

n-1 

+ R·(1+i)

n-2 

+. . . + 

R·(1+i) +R 

 

F = R·e

(n-1)·r

+ R·e

(n-2)·r

+. . .+ R·e

2·r

+ 

R·e

r

+ R

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Po podstawieniu zależności 

(3.32)

 do wzoru 

(3.16)

 

otrzymamy:

 

1+i 
=

m

m

r











 

1

= e

 

r

Jeśli coroczne nakłady nie są jednakowe i wynoszą odpowiednio 

R

1

, 

R

2

,...,R

n

, 

to końcowa wartość kapitału będzie równa:

F = R

1

·e

(n-1)·r

+R

2

·e

(n-2)·r

+.

 

.

 

.+R

k

·e

(n-k)·r

+.

 

.

 

.

+R=

R

k

·

(1+i)

(n-

k)

·r

 

k =1

k =n



(3.40)

Ponieważ zgodnie z zależnością 

(3.31)

: 

1+ i = e

 r

, dlatego wzór 

(3.40)

 jest odpowiednikiem wzoru 

(3.17)

, natomiast wzór 

(3.27)

 

można przedstawić 
w postaci:

 R 

=

(1+i)

n

- 

1

i

R

k

·

(1+i)

n

-k

 

k = 1

k = n



=

 

R

k

·(1+i)

(n-

k)·r

 

 

k = 1

k = n



(3.41

)

e

r

 - 1

e

n·r

 - 

1

Wynika stąd, że różne w każdym roku nakłady 

R

k

 można zastąpić 

jednakowymi corocznymi nakładami 

R

, obliczanymi przy 

wykorzystaniu identycznych wzorów zarówno dla oprocentowania 
nieciągłego jak i dla oprocentowania ciągłego 

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Po pomnożeniu obu stron równania 

(3.39) 

przez 

e

 r

 

otrzymamy:

F ·e

 r

 

= R·e

n·r

+ R·e

(n-1)·r

+. . .+ R·e

3·r

+ 

R·e

2·r

+ R·e

 r

(3.42)

Po odjęciu stronami równania 

(3.42)

 od równania 

(3.39)

 i podstawieniu 

1 + i = e

 r

, otrzymamy: 

F ·(1- e

 r

) = R - R·e

n·r

= R·(1 - 

e

n·r

) 

(3.43)

F = 

R

 

·

e

n·r

 - 

1

e

r

 - 1

= R

 

·

(1+i)

n

- 

1i

Z porównania równania 

(3.43)

 z równaniem 

(3.20)

 wynika, że 

czynnik kapitalizujący przy jednakowych nakładach jednorazowych 
corocznych 

R

, ponoszonych z dołu przez 

n

 lat, jest taki sam, 

niezależnie od tego czy mamy 
do czynienia ze stawka akumulacyjną efektywną nieciągłą 

i

, czy też 

ze stawką akumulacyjną nominalną ciągłą 

r

Oczywiście  zachodzi również relacja 
odwrotna

(3.44)

R = 

F

 

·

e

r

 - 1

e

n·r

 - 

1

= F

 

·

(1+i)

n

- 

1

i

R = P ·

i ·(1 + i)

n

(1 + i)

n

 

- 1

= P ·

p

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe)

Z równań (3.44), (2.30) i 
(3.33) 

R = F

 

·

(1+i)

n

- 

1

i

 

F = P

 

·e

 

r·n

 

 

i 
=

m

m

r











 

1

-1 = e

 

r 

- 

1

R = 

P

 

·

e

r·(n+1)

 - 

e

r·n

 

e

r·n

 - 1

= P

 

·

i·(1+i)

n

(1+i)

n 

- 

1 

(3.45)

Na podstawie porównania  równania (3.45) z równaniem (3.24) 
wynika, że

wynika, że:

P = 

R

 

·

e

r·(n+1)

 - 

e

r·n

 

e

r·n

 - 1

= R

 

·

i·(1+i)

n

(1+i)

n 

- 

1 

(3.46)

Oczywiście zachodzi relacja: 

również czynnik reprodukcji rozszerzonej przy jednakowych nakładach 
jednorazowych corocznych 

R

, ponoszonych z dołu przez 

n

 lat, jest 

taki sam niezależnie od tego czy mamy do czynienia ze stawka 
akumulacyjną efektywną nieciągłą 

i

, czy też ze stawką akumulacyjną 

nominalną ciągłą 

r

Wartości czynników dyskontowych zestawiono w tabeli 2.

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe) 

8

%

 tj.  dla 

i

 =

0.08

u



s

1/s

1/p

p

30

10.0627 

       

0.099377 

   

113.2832 

       

0.008827 

   

0.088827 

   

11.2578 

       

1

1.0800 

        

0.925926 

   

1.0000 

          

1.000000 

   

1.080000 

   

0.9259 

        

2

1.1664 

        

0.857339 

   

2.0800 

          

0.480769 

   

0.560769 

   

1.7833 

        

3

1.2597 

        

0.793832 

   

3.2464 

          

0.308034 

   

0.388034 

   

2.5771 

        

4

1.3605 

        

0.735030 

   

4.5061 

          

0.221921 

   

0.301921 

   

3.3121 

        

5

1.4693 

        

0.680583 

   

5.8666 

          

0.170456 

   

0.250456 

   

3.9927 

        

6

1.5869 

        

0.630170 

   

7.3359 

          

0.136315 

   

0.216315 

   

4.6229 

        

7

1.7138 

        

0.583490 

   

8.9228 

          

0.112072 

   

0.192072 

   

5.2064 

        

8

1.8509 

        

0.540269 

   

10.6366 

         

0.094015 

   

0.174015 

   

5.7466 

        

9

1.9990 

        

0.500249 

   

12.4876 

         

0.080080 

   

0.160080 

   

6.2469 

        

10

2.1589 

        

0.463193 

   

14.4866 

         

0.069029 

   

0.149029 

   

6.7101 

        

15

3.1722 

        

0.315242 

   

27.1521 

         

0.036830 

   

0.116830 

   

8.5595 

        

20

4.6610 

        

0.214548 

   

45.7620 

         

0.021852 

   

0.101852 

   

9.8181 

        

25

6.8485 

        

0.146018 

   

73.1059 

         

0.013679 

   

0.093679 

   

10.6748 

       

Tabela 2. Czynniki dyskontowe efektywne przy oprocentowaniu okresowym (nieciągłym) 

 dla stopy procentowej 

p

  

=

n





n

i



1

 

n

i

i



1





i

i

n

1

1









1

1





n

i

i









1

1

1









n

n

i

i

i









n

n

i

i

i









1

1

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe 

(ciągłe) 

8

%  tj.  dla    i = 0.08

r = 0.076961

n

60

101.2571 

    

0.009876 

  

1 302.6989 

   

0.000768 

  

0.077729 

  

12.86526 

    

1

1.0800 

        

0.925926 

  

1.0395 

         

0.962013 

  

1.038974 

  

0.962488 

    

2

1.1664 

        

0.857339 

  

2.1621 

         

0.462506 

  

0.539467 

  

1.853680 

    

3

1.2597 

        

0.793832 

  

3.3746 

         

0.296332 

  

0.373293 

  

2.678859 

    

4

1.3605 

        

0.735030 

  

4.6840 

         

0.213491 

  

0.290452 

  

3.442913 

    

5

1.4693 

        

0.680583 

  

6.0983 

         

0.163981 

  

0.240942 

  

4.150370 

    

6

1.5869 

        

0.630170 

  

7.6256 

         

0.131137 

  

0.208098 

  

4.805423 

    

7

1.7138 

        

0.583490 

  

9.2751 

         

0.107815 

  

0.184776 

  

5.411954 

    

8

1.8509 

        

0.540269 

  

11.0566 

       

0.090443 

  

0.167404 

  

5.973556 

    

9

1.9990 

        

0.500249 

  

12.9807 

       

0.077038 

  

0.153999 

  

6.493559 

    

10

2.1589 

        

0.463193 

  

15.0586 

       

0.066407 

  

0.143368 

  

6.975042 

    

15

3.1722 

        

0.315242 

  

28.2243 

       

0.035431 

  

0.112392 

  

8.897467 

    

20

4.6610 

        

0.214548 

  

47.5690 

       

0.021022 

  

0.097983 

  

10.205836 

  

25

6.8485 

        

0.146018 

  

75.9927 

       

0.013159 

  

0.090120 

  

11.096291 

  

Tabela 3. Czynniki dyskontowe nominalne przy oprocentowaniu natychmiastowym (ciągłym) 
 dla stopy procentowej =

n

r

e



n

r

e



1

r

e

n

r

1





1



n

r

e

r

1









n

r

n

r

e

e

r

n

r

n

r

e

r

e







 1

Zestawienie wzorów

nieciągłe (okresowe)

ciągłe 

(natychmiastowe)





n

n

u

P

i

P

F











1

n

r

P

F





 e





n

n

F

i

F

P











1

n

r

n

r

F

F

P











e

1

e





s

R

i

i

R

F

n













1

1

r

R

F

n

r

1

e 











s

R

i

i

F

R

n

1

1

1





















p

P

i

i

i

P

R

n

n

1

1

1

1

















1

e 





n

r

r

F

R

n

r

n

r

n

r

r

P

r

F

R























e

1

1

e

e

Obliczana wartość

Przyszła wartość

 

(future value)

Wartość obecna 

(present value)

Przyszła wartość

 

(future value)

Roczna rata 

kapitałowa

(uniform end-of period 

series annuity 

payment) 

Roczna rata 

kapitałowa

(uniform end-of period 

series annuity 

payment) 

Przyszła wartość

 

(future value)

Oprocentowanie









p

P

i

i

i

R

P

n

n

















1

1

1

r

R

r

R

P

n

r

n

r

n

r























e

1

e

1

e

Wybór wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w 

czasie

Przykład 3.8. Projekt organizacji budowy elektrownii o mocy 6×200 = 1200 
MW zakłada dwa (podane w poniższej tabeli) warianty rozkładu nakładów 
inwestycyjnych.

Rok budowy

1

2

3

4

5

6



Wariant I

360

780

1500 1560 1200

600

6000

Wariant II

300

660

1380 1680 1320

660

6000

Nakłady inwestycyjne w mln zł

Produkcja energii (uzyskiwane efekty) jest w obu wariantach taka sama. 
Określić, który 
z wariantów budowy jest bardziej korzystny pod względem ekonomicznym 
jeśli stawka akumulacyjna wynosi 

i = 0.12

 (stopa procentowa 

p = 12 %

).

Wartość początkowa nakładów, tj. w roku poprzedzającym rozpoczęcie 
inwestycji zgodnie ze wzorem 

(3.10)

 wyniesie:

Wariant I

P

I

  = 360 

+

780

(1+0.12)

1500

(1+0.12)

2

+

1560

(1+0.12)

3

+

1200

(1+0.12)

4

+

600

(1+0.12)

5

+

=

4465.674 mln 
zł

Wariant II

P

II

 = 300 

+

660

(1+0.12)

1380

(1+0.12)

2

+

1680

(1+0.12)

3

+

1320

(1+0.12)

4

+

660

(1+0.12)

5

+

=

4398.590

 

mln 

zł

Wariant II

 rozłożenia nakładów inwestycyjnych jest korzystniejszy od 

wariantu I

  

bo suma początkowych nakładów inwestycyjnych jest w tym wariancie 
mniejsza 
o ok. 

67 mln zł

 

Wybór wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w 

czasie

Wyboru wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w czasie można też 
dokonać sprowadzając nakłady na rok rozpoczęcia eksploatacji t.j. obliczając 
wartość końcową kapitału wykorzystując zależność 

(3.17). 

Obliczenia te 

można wykonać za pomocą arkusza kalkulacyjnego. W tabeli poniżej 
zestawiono wyniki obliczeń otrzymane przy sprowadzeniu nakładów na rok 
zerowy oraz na rok poprzedzający rozpoczęcie eksploatacji 

Rok budowy

1

2

3

4

5

6



Wariant I

360

780

1500

1560

1200

600

6000

Wariant II

300

660

1380

1680

1320

660

6000

Stawka akumulacyjna 

  i =0.12

Wariant I

360 696.429 1195.791 1110.377 762.622 340.456 4465.674

Wariant II

300 589.286 1100.128 1195.791 838.884 374.502 4398.590

różnica

67.085

Wariant I

634.443 1227.345 2107.392 1956.864 1344.000 600.000 7870.044

Wariant II

528.703 1038.523 1938.801 2107.392 1478.400 660.000 7751.818

różnica

118.226

Nakłady inwestycyjne w mln zł

Nakłady inwestycyjne sprowadzone na rok zerowy w mln zł

Nakłady inwestycyjne sprowadzone na rok poprzedzający rozpoczęcie eksploatacji w mln zł 

Ja widać z powyższej tabeli „jakościowy” wynik porównania wariantów nie 
zależy od tego na który rok zostaną sprowadzone nakłady inwestycyjne  

Wybór wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w 

czasie

Przykład 3.9. W projekcie  budowy elektrowni rozważa się dwa warianty 
budowy komina:

Wariant  I. Budowę komina od razu dla trzech bloków (zamiast dla dwóch, 

które będą instalowane w pierwszym etapie) -  koszt komina wynosi 

14 mln zł

Wariant II. Budowę komina od dla dwóch bloków, którego koszt wynosi  

11.5 

mln zł

, 

a po pięciu latach budowę drugiego komina dla trzeciego bloku. 
Koszt budowy drugiego komina wynosi 

9 mln zł

Przy założeniu, że stawka akumulacyjna wynosi 

i = 0.12

, należy określić: 

1 - który wariant budowy jest  korzystniejszy,
2 - po ilu latach od zakończenia pierwszego etapu wariant drugi byłby tańszy 
Łączne nakłady na budowę kominów w wariancie II sprowadzone do roku, w 
którym byłby budowany komin dla pierwszych dwóch bloków zgodnie z 
zależnością (2.10) wyniosą:

P

II

 = 11.5 

+ 

9

(1+012

)

5

= P

II

 = 

11.5 +  

9

1.7623

= 11.5 + 5.107 = 16.607 
mln zł

Minimalny okres przesunięcie w czasie budowy drugiego komina, przy 
którym opłacałoby się budować dwa kominy można określić rozwiązując 
nierówność: 

14 > 
11.5 + 

9

(1+0.1

2)

n

stąd

n 

> 

9

14 - 

11.5

ln 

ln 

(1+0.12) 

 = 11.3 
lat