A K A D E M I A G Ó R N I C Z O - H U T N I C Z A

i m. S t a n i s ł a w a S t a s z i c a

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI i ELEKTRONIKI

Z a k ł a d E l e k t r o e n e r g e t y k i

Czynnik czasu

Czynnik czasu

w rachunku ekonomicznym

w rachunku ekonomicznym

(rachunek dyskonta)

(rachunek dyskonta)

Kraków, październik 2003

Kraków, październik 2003

Opracował: W. Szpyra

Opracował: W. Szpyra

na podstawie Laudyn D.: „Rachunek kosztów w

na podstawie Laudyn D.: „Rachunek kosztów w

elektroenergetyce”

elektroenergetyce”

Literatura

Literatura

1. Bernatek M., Matla R.: Gospodarka energetyczna w przemyśle.

Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa 1980.

2. Gosztowt W.: Gospodarka elektroenergetyczna. Wydawnictwa

Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1971

3. Kulczycki J.: Optymalizacja struktur sieci elektroenergetycznych.

Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1990.

4. Laudyn D.: Rachunek kosztów w elektroenergetyce. Oficyna

Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1999.

5. Marzecki J.: Rozdzielcze sieci elektroenergetyczne. Wyd. Naukowe

PWN, Warszawa 2001.

6. Marzecki J., Parol M.: Komputerowe projektowanie rozdzielczych

sieci elektroenergetycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 1994.

7. Matla R.: Gospodarka elektroenergetyczna. Wydawnictwa

Politechniki Warszawskiej. Warszawa 1988.

8. Praca zbiorowa pod red. Jerzego Kulczyckiego: Ograniczanie strat

energii w elektroenergetycznych sieciach rozdzielczych. Wyd.
Polskie Towarzystwo Przesyłu i Rozdziału Energii Elektrycznej,
Poznań 2002.

9. Praca zbiorowa pod red. Szczęsnego Kujszczyka:

Elektroenergetyczne sieci rozdzielcze. Tom 1 i 2. Wyd. Naukowe
PWN, Warszawa 1994.

Wstęp

 Realizacja inwestycji w elektroenergetyce jest zazwyczaj procesem

wieloletnim, w związku z tym nakłady pieniężne są ponoszone na
długo przed oddaniem inwestycji do eksploatacji

 Nakłady pieniężne ponoszone w związku z inwestycją są w

każdym roku różne - różne jest też ich oprocentowanie płacone
bankowi

 Dla umożliwienia porównania różnych wariantów rozwiązań

technicznych pod względem ekonomicznym konieczne jest
doprowadzenie do porównywalności zróżnicowanych zarówno co do
wartości jak i rozkładu w czasie nakładów pieniężnych

 Warianty rozwiązań technicznych nowej inwestycji mogą się różnić

zarówno całkowitymi nakładami potrzebnymi na jej realizację jak i
rozkładem w czasie tych nakładów w czasie budowy

P

1

P

1

P

3

P

1

+P

2

+P

3

P

2

P

1

+P

2

Oprocentowanie proste

Oprocentowanie proste

Oprocentowanie proste

- ma miejsce wtedy, gdy

dochód od

dochód od

wypożyczonego kapitału jest

wypożyczonego kapitału jest

wypłacany jego właścicielowi po

wypłacany jego właścicielowi po

upłynięciu każdego roku

upłynięciu każdego roku

Jeśli przyjmiemy następujące
oznaczenia:

P

-

wartość początkowa (

present value

) wypożyczonego

kapitału,

zł

;

p

-

roczna stawka procentowa dochodu (zysku) od

wypożyczonego kapitału (oprocentowanie kapitału, czynnik
dyskontowy),

%

,

100

p

i 

- roczna stawka procentowa j.w. wyrażona w postaci ułamka

dziesiętnego

,

n

-

okres, na który kapitał został wypożyczony (okres

działalności inwestycyjnej),

w latach

,

I

-

dochód (

interest

) od wypożyczonego kapitału za okres

n

lat

,

F

-

wartość końcowa (

future value

) od wypożyczonego

kapitału po

n

latach, wówczas zachodzą zależności:

(3.1)
(3.2)

(3.3)

dochód:

wartość
końcowa:

wartość
początkowa:

F = P + I = P + P  i n = P  (1

+ i  n)

I = P  i

n

P

=

F

1 +

i 

n

Oprocentowanie proste























1

P

F

P

P

F

n

i





























 





1

1

1

P

F

n

P

P

F

n

i





























 









1

1

1

P

F

i

P

P

F

i

i

P

I

n

Oczywiście zachodzą również
zależności:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Przykład 3.1.

Obliczyć wartość końcową i dochód (zysk) od kapitału

początkowego

P = 1000 zł

wypożyczonego na okres

n = 4 lata

,

przy oprocentowaniu

prostym

p = 12 %.

Dochód:

I = P  i  n = 1000  12/100  4

= 480 zł

Wartość końcowa kapitału:

F = P + I = 1000 + 480 =
1480 zł

lub

F = P  (1+ i  n) = 1000  (1 + 0.12 

4) = 1480 zł

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Jeśli

dochód

dochód

(zysk) od pożyczonego kapitału

nie jest wypłacany co

nie jest wypłacany co

roku, lecz doliczany (w końcu roku) do pożyczonego kapitału

roku, lecz doliczany (w końcu roku) do pożyczonego kapitału

to

występuje

oprocentowanie kapitału procentem składanym okresowym

oprocentowanie kapitału procentem składanym okresowym

(nieciągłym),

(nieciągłym),

doliczane są procenty od procentów. Mówimy wtedy o

akumulacji

akumulacji

(nagromadzeniu)

kapitału

kapitału

.

W takim przypadku przyszła wartość kapitału początkowego

P

wyniesie:

po

1 roku

:

F

1

= P + i · P = P · (1 + i),

po

2 latach

:

F

2

= F

1

+ i · F

1

= P · (1 + i) + P ·(1 + i) ·i = P ·(1 + i) · (1 + i) =

P ·(1 + i)

2

,

po

3 latach

:

F

3

= F

2

+ i · F

2

= P · (1 + i)

2

+ P ·(1 + i)

2

·i = P ·(1 + i)

2

· (1 + i)

= P ·(1 + i)

3

,

po

n

latach

:

F

n

= P · (1 + i

)

n

.

Podstawiając:

u = 1 + i

otrzymamy:

(3.7)

(3.8)

F

n

= P ·u

n

(3.9)

przy czym

u

-

jest nazywany

czynnikiem oprocentowującym

czynnikiem oprocentowującym

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Oczywiście znając obecną wartość kapitału

F

,

oprocentowanie

i

oraz

okres

oprocentowania

n

można określić początkową wartość kapitału

P

:

P

=

F

(1 +

i)

n

(3.10)

Podstawiając



=

1

(1 +

i)

(3.11)

otrzymamy

P = F ·



n

(3.12)

gdzie



-

jest nazywany

czynnikiem

czynnikiem

dyskontującym

dyskontującym

Między czynnikiem dyskontującym a czynnikiem oprocentowującym zachodzi
zależność:

u

=

1



(3.13)

Przykład 3.2.

Obliczyć wartość końcową i dochód (zysk) od kapitału jak w

przykładzie 2.1 przy oprocentowaniu okresowym składanym nieciągłym:

wartość końcowa:

F = P ·(1 + i)

n

= 1000  (1+0.12)

4

= 1000 

1.57352 = 1573.52 zł

zysk:

I = F - P = 1573.52 - 1000 = 573.52 zł

,

różnica zysku:

573.52 - 480 = 93.52 zł.

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Przykład 3.3.

Po jakim czasie kapitał

P = 1000 zł

wzrośnie do wartości

F =

2000 zł

przy oprocentowaniu składanym procentem

p = 10%

(i = 0.1)

?

Po przekształceniu wzoru

(3.7)

otrzymamy:

(1+i)

n

=

F
P

; logarytmując obie strony otrzymamy:

n·ln(1+i) = ln

F
P

stąd

n

=

;

ln F

P

ln(1+
i)

=

ln 200

0

100

0

ln(1+0.
1)

= ln

1.1

=

ln

2.0

0.0953

1

=

7.272

(

7 lat 3m

9dni

)

0.6931

5

Jeśli roczna stawka oprocentowania kapitału zmienia się co roku i
wynosi odpowiednio:

i

1

i

2

, . . ., i

n

, to przy oprocentowaniu

składanym, końcową wartość kapitału można obliczyć z zależności:

F = P · (1+i

1

) ·(1+i

2

) ·. . .

·(1+i

n

)

(3.14)

a wartość początkowa

P

kapitału przy znanej wartości końcowej

F

wyniesie:

P
=

F

(1+i

1

) ·(1+i

2

) ·...

·(1+i

n

)

(3.15

)

Przykład 3.4.

Obliczyć wartość końcową kapitału

P = 1000 zł

wypożyczonego

na okres

n = 4 lat

przy oprocentowaniu składanym

p = 12%

(i = 0.12)

w

pierwszym roku

,

i rosnącym w następnym roku o

p = 2%

(i = 0.02)

:

F = 1000 × (1+0.12

) × (1+0.14) × (1+0.16) × (1+0.18

) =

1000×1.74768 = 1747.68 zł

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Jeśli przez

n

lat w końcu każdego roku ponosimy jednakowe nakłady

R

(raty kapitałowe), oprocentowane procentem składanym

i

, to z

zależności

(3.7)

wynika, że po

n

latach przedstawiają one wartość:

F = R·(1+i)

n-1

+ R·(1+i)

n-2

+. . . +

R·(1+i) +R

(3.16)

F = R

1

·(1+i)

n-1

+ R

2

·(1+i)

n-2

+. . . + R

n-

1

·(1+i) +R

n

=

(3.17)

Jeśli coroczne raty kapitałowe nie są jednakowe i wynoszą
odpowiednio:

R

1

, R

2

, . . . , R

n

,

wówczas:

R

k

·(1+i)

n

-k

k =1

k =n



P
=

R

1

(1+

i)

+

R

2

(1+i

)

2

+ . . .
+

R

n

(1+i)

n

=

k =1

k =n



R

k

(1+i)

k

(3.18)

oraz

Mnożąc obie strony równania

(2.16)

przez

(1+i)

,

otrzymamy:

F ·(1+i) = R·(1+i)

n

+ R·(1+i)

n-1

+. . . + R·(1+i)

3

+R·(1+i)

2

+ R·(1+i)

(3.19)

Po odjęciu stronami równania

(3.16)

od równania

(3.19)

otrzymamy:

F ·(1+i) - F= R·(1+i)

n

+ R

,

stąd

F =
R

(1+i)

n

-

1 i

= R
·s

(3.20)

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Czynnik

s
=

(1+i)

n

-

1 i

(3.21
)

nosi nazwę

czynnika kapitalizującego

czynnika kapitalizującego

(przy nakładach corocznych

wnoszonych
w końcu roku)

Przekształcając wzór (

3.20

) można określić wartość jednakowych,

ponoszonych w końcu każdego roku, rat

R

, które przy oprocentowaniu

i

dadzą

po

n

latach wartość końcową kapitału

F

:

R =
F

(1+i)

n

-

1

i

=
F

(3.22)

Czynni
k

(1+i)

n

-

1

i

=

jest odwrotnością

czynnika kapitalizującego

czynnika kapitalizującego

(3.23

)

s

1

s

1

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Po wstawieniu do równania (3.22) zależności 3.7 widać, że wartość
początkowa

P

oprocentowana w ciągu

n

lat czynnikiem

i

jest

równoważna jednakowym corocznym nakładom

R

ponoszonym w

ciągu

n

lat w końcu każdego roku:

R =
P ·

i ·(1 +

i)

n

(1 + i)

n

-

1

= P

·

(3.24)

gdzie
czynnik

i ·(1 +

i)

n

(1 + i)

n

-

1

=

(3.25)

jest nazywany

czynnikiem umorzeniowym

(

wycofania kapitału

lub

reprodukcji rozszerzonej

).

Jednakowe nakłady

R

ponoszone w końcu każdego roku w ciągu

n

lat i

oprocentowane czynnikiem

i

są równoważne nakładom początkowym:

P =
R ·

(1 + i)

n

-

1

i ·(1 +

i)

n

= R

·p

(3.26)

p

1

p

1

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

(1 + i)

n

-

1

i ·(1 +

i)

n

p =

Czynni
k

stanowi

odwrotność czynnika

umorzeniowego

Porównując równanie (3.17) z równaniem (3.20) można sprowadzić,
ponoszone w końcu roku, różne nakłady

R

k

do jednakowych,

ponoszonych również w końcu roku, nakładów

R

:

R

k

·

(1+i)

n

-k

k =1

k =n



= R

·

(1+i)

n

-

1 i

stą
d

R

=

(1+i)

n

-

1

i

R

k

·

(1+i)

n

-k

k =1

k =n



=

R

k

·

(1+i)

n

-k

k =1

k =n



(3.27

)

=

+

i

Czynnik
umorzeniowy

jest równy sumie odwrotności czynnika
kapitalizującego

p

1

s

1

i czynnika oprocentowującego

i

(porównaj wzory

(3.23)

i

(3.25)

):

p

1

s

1

(3.28)

s

1

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

W języku angielskim poszczególne czynniki są
nazywane:





n

n

i







1

1

single payment present worth factor, present
worth factor of
a compound amount of 1, present value of 1 at
compound interest, discount amount factor,
present worth discount rate

single payment compound amount factor, amount
of 1 at compound interest, future value factor





i

i

s

n

1

1







uniform series compound amount factor, annuity
compound amount factor, amount of a compound
annuity of 1, amount
of 1 per annum at compound interest, compound
uniform series factor

P -

present value, principal sum,

initial sum

F -

amount due at and of

n

periods,

future value

R -

uniform and-of-period series annuity

payment

i -

interest rate per period, discount rate per

period

n -

number of interest periods

)

(1

n

n

i

u





Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)





1

1

1







n

i

i

s

sinking fund factor, sinking fund deposit factor
annuity to establish a sinking fund of 1









n

n

i

i

i

p











1

1

1

uniform series present worth factor, annuity
present worth factor, present worth of a
compounded annuity of 1, present value of 1 per
annum at compound interest rate, discount
uniform series factor









1

1

1

1











n

n

i

i

i

p

capital recovery factor, annuity whose present
value at compound interest is 1

Przykład 3.5.

Obliczyć wartość końcową czterech równych rat kapitałowych

R

= 250 zł

wypłacanych w końcu każdego roku przez okres okres

n = 4 lata

przy oprocentowaniu

składanym

p

= 12%

(i = 0.12)

Stosując wzór

(3.20)

otrzymamy:

F = 250
·

(1+0.12)

4

-

1

0.12

= 250

·

1.5735-

1

0.12

= 250
·4.7793=1194.83 zł

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

Przykład 3.6.

Obliczyć jakie cztery równe raty kapitałowe

R

,

wpłacane w

końcu każdego roku przez okres

n = 4 lat

,

przy oprocentowaniu składanym

p = 12%

(i = 0.12)

dadzą wartość końcową kapitału

F =2000 zł ?

Korzystając ze wzoru

(2.22)

otrzymamy:

F =
2000 ·

0.12

(1+0.12)

4

-1

=

2000 ·

0.12

1.5735

-1

= 2000
·0.2092=418.47 zł

Przykład 3.7.

Obliczyć wartość czterech równych rat kapitałowych

R

,

wypłacanych
w końcu każdego roku przez okres

n = 4 lata

,

przy oprocentowaniu

składanym

p =12%

(i = 0.12),

które będą równoważne wartości

początkowej kapitału

P = 1600 zł.

Stosując wzór

(3.24)

otrzymamy:

R =
1600 ·

0.12 ·

(1+0.12)

4

(1+0.12)

4

-1

=

1600 ·

0.188

8

1.5735

-1

= 1600
·0.3292=526.78 zł

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Jeżeli rok zostanie podzielony na

m

równych okresów, to stawka

akumulacyjna

w tym okresie będzie równa

m

r

, a zależność

(3.7)

na wartość końcową

kapitału

F =

P·

n

m

m

r













 

1

(3.29

)

przyjmie
postać:

Stawka akumulacyjna

r

nosi nazwę stawki (ciągłej) nominalnej, w

odróżnieniu od występującej w poprzednich równaniach stawki
(nieciągłej) efektywnej

i

.

Podstawiaj
ąc

r

m

x 

do
zależności

m

m

r











 

1

można
napisać:

m

m

r











 

1

=

r

x

x 

























  1

1

Ze wzrostem

m

rośnie również

x

. Gdy

m

dąży do nieskończoności to

mamy do czynienia z oprocentowaniem ciągłym i wówczas można
napisać:

e

x

x

x













 





1

1

lim

gdzie

e

- podstawa logarytmów

naturalnych

oraz

r

m

e

m

r













 

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Przy oprocentowaniu ciągłym wzór

(3.7)

na wartość końcową kapitału

F

przyjmie postać:

F = P

·e

r·n

,

(3.30)

Natomiast wzór

(3.10)

na wartość początkową kapitału

P

przy

oprocentowaniu ciągłym i znanej wartości końcowej

F

można zapisać

w postaci:

P
=

(3.31)

= F

·e

-r·n

n

r

e

F



Pomiędzy nominalną (ciągłą) stawką akumulacyjną

r

, występującą

przy oprocentowaniu ciągłym, a efektywną (nieciągłą) stawką
akumulacyjną

i

, występującą przy oprocentowaniu jednorazowym corocznym

zachodzą związki:

1+i
=

m

m

r











 

1

= e

r

,

(3.32)

i
=

m

m

r











 

1

-1 = e

r

-

1

,

(3.33)

r =
ln(1+i)

.

(3.34)

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Jeżeli kapitał początkowy jest jednorazowo akumulowany w końcu
każdego roku wówczas stawka akumulacyjna nominalna jest równa
stawce efektywnej

Jeśli jednak okres roczny jest dzielony na kilka krótszych okresów, a
kwoty akumulacyjne za te okresy są akumulowane z nakładami
początkowymi (w tych okresach) na końcu okresów, wtedy roczna
efektywna stawka akumulacyjna
jest tym większa od nominalnej stawki akumulacyjnej im większa jest
liczba okresów, na które został podzielony okres roczny. Patrz tabela 1.

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Tabela 1. Porównanie nominalnej i efektywnej stawki akumulacyjnej

przy różnej liczbie okresów akumulacyjnych w ciągu roku

F = P

·

m

m

r

















100

1

%

100







P

P

F

i

r = 12

r = 18

1000

1000

w końcu roku

w końcu roku

m

F

i

F

i

1

1120.00

12.00

1180.00

18.00

2

1123.60

12.36

1188.10

18.81

4

1125.51

12.55

1192.52

19.25

12

1126.83

12.68

1195.62

19.56

52

1127.34

12.73

1196.85

19.68

365

1127.47

12.75

1197.16

19.72

Nominalna stawka

równowartość

kwoty zł

Liczba okresów

obrachunkowych

w ciągu roku

efektywna

stawka

akumulacyjna

efektywna

stawka

akumulacyjna

Nominalna stawka

równowartość

kwoty zł

F =
R

(1+i)

n

-

1 i

F = P

·e

r·n

e

r·n

-

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Jeśli do wzoru

(3.20)

R

, ponoszonych ciągle
(nieprzerwanie)

m

r

i 

, to otrzymamy:

=

R

m

·

1

1













 



 r

n

r

m

m

r

m

r

=

R

·

r

e

r·n

-

1

(3.35)

oraz

R

= F

·

r

(3.36)

Po podstawieniu do wzoru

(3.36)

zależności

(2.30)

otrzymamy:

oraz

R

= P

·

r

·e

r·n

e

r·n

-

1

(3.37)

= P

·

r

1- e

r·n

R

P

=

r

·e

r·n

(3.38)

=

·

e

r·n

-

1

R

r

·

1- e

r·n

zamiast corocznych rat

R,

ponoszonych w końcu

każdego roku wstawimy coroczną sumę rat

w ciągu roku, a rok zostanie podzielony na

m

okresów (przy czym

m





), oraz

uwzględniając, że

(2.39)

F = R·(1+i)

n-1

+ R·(1+i)

n-2

+. . . +

R·(1+i) +R

F = R·e

(n-1)·r

+ R·e

(n-2)·r

+. . .+ R·e

2·r

+

R·e

r

+ R

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Po podstawieniu zależności

(3.32)

do wzoru

(3.16)

otrzymamy:

1+i
=

m

m

r











 

1

= e

r

Jeśli coroczne nakłady nie są jednakowe i wynoszą odpowiednio

R

1

,

R

2

,...,R

n

,

to końcowa wartość kapitału będzie równa:

F = R

1

·e

(n-1)·r

+R

2

·e

(n-2)·r

+.

.

.+R

k

·e

(n-k)·r

+.

.

.

+R=

R

k

·

(1+i)

(n-

k)

·r

k =1

k =n



(3.40)

Ponieważ zgodnie z zależnością

(3.31)

:

1+ i = e

r

, dlatego wzór

(3.40)

jest odpowiednikiem wzoru

(3.17)

, natomiast wzór

(3.27)

można przedstawić
w postaci:

R

=

(1+i)

n

-

1

i

R

k

·

(1+i)

n

-k

k = 1

k = n



=

R

k

·(1+i)

(n-

k)·r

k = 1

k = n



(3.41

)

e

r

- 1

e

n·r

-

1

Wynika stąd, że różne w każdym roku nakłady

R

k

można zastąpić

jednakowymi corocznymi nakładami

R

, obliczanymi przy

wykorzystaniu identycznych wzorów zarówno dla oprocentowania
nieciągłego jak i dla oprocentowania ciągłego

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Po pomnożeniu obu stron równania

(3.39)

przez

e

r

otrzymamy:

F ·e

r

= R·e

n·r

+ R·e

(n-1)·r

+. . .+ R·e

3·r

+

R·e

2·r

+ R·e

r

(3.42)

Po odjęciu stronami równania

(3.42)

od równania

(3.39)

i podstawieniu

1 + i = e

r

, otrzymamy:

F ·(1- e

r

) = R - R·e

n·r

= R·(1 -

e

n·r

)

(3.43)

F =

R

·

e

n·r

-

1

e

r

- 1

= R

·

(1+i)

n

-

1i

Z porównania równania

(3.43)

z równaniem

(3.20)

wynika, że

czynnik kapitalizujący przy jednakowych nakładach jednorazowych
corocznych

R

, ponoszonych z dołu przez

n

lat, jest taki sam,

niezależnie od tego czy mamy
do czynienia ze stawka akumulacyjną efektywną nieciągłą

i

, czy też

ze stawką akumulacyjną nominalną ciągłą

r

Oczywiście zachodzi również relacja
odwrotna

(3.44)

R =

F

·

e

r

- 1

e

n·r

-

1

= F

·

(1+i)

n

-

1

i

R = P ·

i ·(1 + i)

n

(1 + i)

n

- 1

= P ·

p

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

Z równań (3.44), (2.30) i
(3.33)

R = F

·

(1+i)

n

-

1

i

F = P

·e

r·n

i
=

m

m

r











 

1

-1 = e

r

-

1

R =

P

·

e

r·(n+1)

-

e

r·n

e

r·n

- 1

= P

·

i·(1+i)

n

(1+i)

n

-

1

(3.45)

Na podstawie porównania równania (3.45) z równaniem (3.24)
wynika, że

wynika, że:

P =

R

·

e

r·(n+1)

-

e

r·n

e

r·n

- 1

= R

·

i·(1+i)

n

(1+i)

n

-

1

(3.46)

Oczywiście zachodzi relacja:

również czynnik reprodukcji rozszerzonej przy jednakowych nakładach
jednorazowych corocznych

R

, ponoszonych z dołu przez

n

lat, jest

taki sam niezależnie od tego czy mamy do czynienia ze stawka
akumulacyjną efektywną nieciągłą

i

, czy też ze stawką akumulacyjną

nominalną ciągłą

r

Wartości czynników dyskontowych zestawiono w tabeli 2.

Oprocentowanie składane okresowe (nieciągłe)

8

%

tj. dla

i

=

0.08

u



s

1/s

1/p

p

30

10.0627

0.099377

113.2832

0.008827

0.088827

11.2578

1

1.0800

0.925926

1.0000

1.000000

1.080000

0.9259

2

1.1664

0.857339

2.0800

0.480769

0.560769

1.7833

3

1.2597

0.793832

3.2464

0.308034

0.388034

2.5771

4

1.3605

0.735030

4.5061

0.221921

0.301921

3.3121

5

1.4693

0.680583

5.8666

0.170456

0.250456

3.9927

6

1.5869

0.630170

7.3359

0.136315

0.216315

4.6229

7

1.7138

0.583490

8.9228

0.112072

0.192072

5.2064

8

1.8509

0.540269

10.6366

0.094015

0.174015

5.7466

9

1.9990

0.500249

12.4876

0.080080

0.160080

6.2469

10

2.1589

0.463193

14.4866

0.069029

0.149029

6.7101

15

3.1722

0.315242

27.1521

0.036830

0.116830

8.5595

20

4.6610

0.214548

45.7620

0.021852

0.101852

9.8181

25

6.8485

0.146018

73.1059

0.013679

0.093679

10.6748

Tabela 2. Czynniki dyskontowe efektywne przy oprocentowaniu okresowym (nieciągłym)

dla stopy procentowej

p

=

n





n

i



1

 

n

i

i



1





i

i

n

1

1









1

1





n

i

i









1

1

1









n

n

i

i

i









n

n

i

i

i









1

1

1

Oprocentowanie składane natychmiastowe

(ciągłe)

8

% tj. dla i = 0.08

r = 0.076961

n

60

101.2571

0.009876

1 302.6989

0.000768

0.077729

12.86526

1

1.0800

0.925926

1.0395

0.962013

1.038974

0.962488

2

1.1664

0.857339

2.1621

0.462506

0.539467

1.853680

3

1.2597

0.793832

3.3746

0.296332

0.373293

2.678859

4

1.3605

0.735030

4.6840

0.213491

0.290452

3.442913

5

1.4693

0.680583

6.0983

0.163981

0.240942

4.150370

6

1.5869

0.630170

7.6256

0.131137

0.208098

4.805423

7

1.7138

0.583490

9.2751

0.107815

0.184776

5.411954

8

1.8509

0.540269

11.0566

0.090443

0.167404

5.973556

9

1.9990

0.500249

12.9807

0.077038

0.153999

6.493559

10

2.1589

0.463193

15.0586

0.066407

0.143368

6.975042

15

3.1722

0.315242

28.2243

0.035431

0.112392

8.897467

20

4.6610

0.214548

47.5690

0.021022

0.097983

10.205836

25

6.8485

0.146018

75.9927

0.013159

0.090120

11.096291

Tabela 3. Czynniki dyskontowe nominalne przy oprocentowaniu natychmiastowym (ciągłym)
dla stopy procentowej =

n

r

e



n

r

e



1

r

e

n

r

1





1



n

r

e

r

1









n

r

n

r

e

e

r

n

r

n

r

e

r

e







 1

Zestawienie wzorów

nieciągłe (okresowe)

ciągłe

(natychmiastowe)





n

n

u

P

i

P

F











1

n

r

P

F





 e





n

n

F

i

F

P











1

n

r

n

r

F

F

P











e

1

e





s

R

i

i

R

F

n













1

1

r

R

F

n

r

1

e 











s

R

i

i

F

R

n

1

1

1





















p

P

i

i

i

P

R

n

n

1

1

1

1

















1

e 





n

r

r

F

R

n

r

n

r

n

r

r

P

r

F

R























e

1

1

e

e

Obliczana wartość

Przyszła wartość

(future value)

Wartość obecna

(present value)

Przyszła wartość

(future value)

Roczna rata

kapitałowa

(uniform end-of period

series annuity

payment)

Roczna rata

kapitałowa

(uniform end-of period

series annuity

payment)

Przyszła wartość

(future value)

Oprocentowanie









p

P

i

i

i

R

P

n

n

















1

1

1

r

R

r

R

P

n

r

n

r

n

r























e

1

e

1

e

Wybór wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w

czasie

Przykład 3.8. Projekt organizacji budowy elektrownii o mocy 6×200 = 1200
MW zakłada dwa (podane w poniższej tabeli) warianty rozkładu nakładów
inwestycyjnych.

Rok budowy

1

2

3

4

5

6



Wariant I

360

780

1500 1560 1200

600

6000

Wariant II

300

660

1380 1680 1320

660

6000

Nakłady inwestycyjne w mln zł

Produkcja energii (uzyskiwane efekty) jest w obu wariantach taka sama.
Określić, który
z wariantów budowy jest bardziej korzystny pod względem ekonomicznym
jeśli stawka akumulacyjna wynosi

i = 0.12

(stopa procentowa

p = 12 %

).

Wartość początkowa nakładów, tj. w roku poprzedzającym rozpoczęcie
inwestycji zgodnie ze wzorem

(3.10)

wyniesie:

Wariant I

P

I

= 360

+

780

(1+0.12)

1500

(1+0.12)

2

+

1560

(1+0.12)

3

+

1200

(1+0.12)

4

+

600

(1+0.12)

5

+

=

4465.674 mln
zł

Wariant II

P

II

= 300

+

660

(1+0.12)

1380

(1+0.12)

2

+

1680

(1+0.12)

3

+

1320

(1+0.12)

4

+

660

(1+0.12)

5

+

=

4398.590

mln

zł

Wariant II

rozłożenia nakładów inwestycyjnych jest korzystniejszy od

wariantu I

bo suma początkowych nakładów inwestycyjnych jest w tym wariancie
mniejsza
o ok.

67 mln zł

Wybór wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w

czasie

Wyboru wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w czasie można też
dokonać sprowadzając nakłady na rok rozpoczęcia eksploatacji t.j. obliczając
wartość końcową kapitału wykorzystując zależność

(3.17).

Obliczenia te

można wykonać za pomocą arkusza kalkulacyjnego. W tabeli poniżej
zestawiono wyniki obliczeń otrzymane przy sprowadzeniu nakładów na rok
zerowy oraz na rok poprzedzający rozpoczęcie eksploatacji

Rok budowy

1

2

3

4

5

6



Wariant I

360

780

1500

1560

1200

600

6000

Wariant II

300

660

1380

1680

1320

660

6000

Stawka akumulacyjna

i =0.12

Wariant I

360 696.429 1195.791 1110.377 762.622 340.456 4465.674

Wariant II

300 589.286 1100.128 1195.791 838.884 374.502 4398.590

różnica

67.085

Wariant I

634.443 1227.345 2107.392 1956.864 1344.000 600.000 7870.044

Wariant II

528.703 1038.523 1938.801 2107.392 1478.400 660.000 7751.818

różnica

118.226

Nakłady inwestycyjne w mln zł

Nakłady inwestycyjne sprowadzone na rok zerowy w mln zł

Nakłady inwestycyjne sprowadzone na rok poprzedzający rozpoczęcie eksploatacji w mln zł

Ja widać z powyższej tabeli „jakościowy” wynik porównania wariantów nie
zależy od tego na który rok zostaną sprowadzone nakłady inwestycyjne

Wybór wariantu rozłożenia nakładów inwestycyjnych w

czasie

Przykład 3.9. W projekcie budowy elektrowni rozważa się dwa warianty
budowy komina:

Wariant I. Budowę komina od razu dla trzech bloków (zamiast dla dwóch,

które będą instalowane w pierwszym etapie) - koszt komina wynosi

14 mln zł

Wariant II. Budowę komina od dla dwóch bloków, którego koszt wynosi

11.5

mln zł

,

a po pięciu latach budowę drugiego komina dla trzeciego bloku.
Koszt budowy drugiego komina wynosi

9 mln zł

Przy założeniu, że stawka akumulacyjna wynosi

i = 0.12

, należy określić:

1 - który wariant budowy jest korzystniejszy,
2 - po ilu latach od zakończenia pierwszego etapu wariant drugi byłby tańszy
Łączne nakłady na budowę kominów w wariancie II sprowadzone do roku, w
którym byłby budowany komin dla pierwszych dwóch bloków zgodnie z
zależnością (2.10) wyniosą:

P

II

= 11.5

+

9

(1+012

)

5

= P

II

=

11.5 +

9

1.7623

= 11.5 + 5.107 = 16.607
mln zł

Minimalny okres przesunięcie w czasie budowy drugiego komina, przy
którym opłacałoby się budować dwa kominy można określić rozwiązując
nierówność:

14 >
11.5 +

9

(1+0.1

2)

n

stąd

n

>

9

14 -

11.5

ln

ln

(1+0.12)

= 11.3
lat