Rachunek

prawdopodobieństwa 2

uczelnia: PJWSTK
przedmiot: Matematyka Dyskretna 2
wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
data: styczeń 2009

Materiały pomocnicze do wykładu

Zmienna losowa

Definicja

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń
elementarnych. Każdą funkcję określoną
na zbiorze  i o wartościach w zbiorze liczb
rzeczywistych nazywać będziemy

zmienną

losową

Jeśli zmienna przyjmuje co najwyżej przeliczalną
liczbę wartości, to będziemy ją nazywali

zmienną

losową dyskretną

Przykład

(a) Rozpatrzymy doświadczenie polegające na

rzucie monetą. Wówczas możemy przyjąć
następującą zmienną losową:
X(orzeł)=0, X(reszka)=1

(b) Rozpatrzmy doświadczenie polegające na

rzucie kostką do gry. Wówczas mamy
następującą zmienna losową:
X(1)=1, X(2)=2, X(3)=3,...,X(6)=6

Definicja

Powiemy, że dwie zmienne losowe X i Y są

niezależne

wttw dla dowolnych przedziałów I, J

zbioru liczb rzeczywistych

P(XI i YJ) = P(XI)P(YJ)

Jeśli zmienne X i Y są zmiennymi dyskretnymi, to
niezależność zmiennych wyraża się warunkiem:

P(X=x i Y=y)=P(X=x)P(Y=y)

dla dowolnych x,y  R.

Rozkład prawdopodobieństwa

Definicja

Funkcję f

określoną na zbiorze liczb

rzeczywistych R i o wartościach w zbiorze
[0,1] taką, że f

(x)=P(X=x) dla xR

nazywamy

rozkładem prawdopodobieństwa

zmiennej losowej X.

Przykład

Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Każdemu
z rzutów przypisujemy wartość bezwzględną różnicy liczby
oczek wyrzuconej na jednej i drugiej kostce. Podaj rozkład
zmiennej losowej.

UWAGA! p

+... + p

6/36 10/3

8/36 6/36 4/36 2/36

Przykład





innych

dla

)

(

Przykład

{(0,6/36), (1,10/36), (2,8/36), (3,6/36), (4,4/36), (5,2/36)}

0 1 2 3 4
5

10/36

8/36

6/36

4/36
2/36

Definicja

Rozkładem dwumianowym

(Bernoulliego)

Nazywamy rozkład prawdopodobieństwa
określony wzorem













f(k)

dla k=0,1,...,n

dla pozostałych wartości k

Przykład

Wiadomo, że szansa poprawnego oznaczenia próbki
w jednokrotnym badaniu mikroskopijnym wynosi 3:4.
Poddano badaniu 3 próbki. Niech X oznacza liczbę próbek,
które zostały poprawnie oznaczone. Wyznaczyć te
prawdopodobieństwa.

Przykład



















































1/64 9/64 27/6

27/6

1/64+9/64+27/64+27/64=1

Definicja

Rozkład prawdopodobieństwa określony
wzorem f(k) = p(1-p)

k-1

nazywamy

rozkładem geometrycznym

Przykład

Rozważmy doświadczenie polegające na serii niezależnych

rzutów

symetryczną monetą powtarzanych dopóty dopóki nie

wypadnie

orzeł. Niech X będzie zmienną losową, której wartością jest

liczba

wykonanych prób do chwili uzyskania orła. Wyznacz rozkład
prawdopodobieństwa.

p=1/2, (1-p)=1/2,

p(1-p)

i-1

=(1/2)(1/2)

i-1

=(1/2)

....

1/2

(1/2)

....

(1/2)

....

Definicja

Rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej
zmiennej losowej nazywamy

jednostajnym (jednorodnym)

jeśli przybiera ona wszystkie swoje
wartości z takim samym
prawdopodobieństwem.

Przykład

Dwaj gracze grają w orła i reszkę. Jeśli wypadnie orzeł gracz

płaci graczowi G

złotówkę. Jeśli wypadnie reszka, to gracz

płaci

graczowi G

złotówkę. Niech X będzie zmienną losową

opisującą

wygraną gracza G

. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa.

-1

1/2

Dystrybuanta

zmiennej losowej

Definicja

Niech X będzie zmienną losową określoną na
dowolnej przestrzeni zdarzeń losowych .

Dystrybuantą

zmiennej X nazywamy

funkcję F:R  [0,1] taką, że

(x) = P(X  x) dla xR.

Definicja

W przypadku zmiennej losowej dyskretnej
powyższy wzór przyjmuje postać

(x) = 

yx

(y)

gdzie f

jest rozkładem

prawdopodobieństwa zmiennej X.

Przykład

Do tarczy oddaje się w sposób niezależny 3 strzały. P-d trafienia
do tarczy wynosi ½ dla każdego strzału. Niech zmienna losowa
X oznacza liczbę trafień w tarczę. Wyznaczyć dystrybuantę
zmiennej losowej.

(-,0) [0,1)

(1,2]

(2,3]

(3,+

)

F(x)

1/8

4/8

7/8

1/8

3/8

1/8

Przykład

























dla

)

(

F(2)=P(X2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=3/8+3/8+1/8=7/8

1 2 3

7/8

1/2

1/8

Lemat

Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej
jest funkcją niemalejącą. Co więcej,
dystrybuanta zmiennej losowej rośnie
skokowo w punktach należących do zbioru
wartości tej zmiennej.

PARAMETRY ROZKŁADU

Wartość oczekiwana

zmiennej losowej

Definicja

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń
elementarnych, a X zmienną losową
określoną w .

Wartością oczekiwaną

zmiennej X nazywamy liczbę

E(X) = 

w

X(w) P({w})

Stwierdzenie

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są
jednakowo prawdopodobne, a przestrzeń 
jest skończona, to P({w}) = 1/||, a
wtedy

X(w)

E(X)







Lemat

Niech X będzie zmienną losową dyskretną
określoną w pewnej przestrzeni zdarzeń
elementarnych  oraz niech (x

)

iI

będzie

ciągiem wszystkich różnych wartości jakie
przyjmuje ta zmienna. Jeżeli suma


i

 P(X=x

))

jest określona, to









))

E(X)

Przykład

Zakładając, że liczba wezwań górskiego pogotowia
ratunkowego w ciągu doby ma następujący rozkład

(a) Obliczyć p-d, że w ciągu doby liczba wezwań będzie wynosić od 2 do

P(2X4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,18+0,15+0,12=0,45

(b) Obliczyć oczekiwaną liczbę wezwań w ciągu doby

E(X)=00,12+10,32+20,18+30,15+40,12+50,08+60,003=2,19

X=x

P(X=x

)

0,12

0,32

0,18

0,15

0,12

0,08

0,003

Suma zmiennych losowych

Niech będzie ustaloną przestrzenią zdarzeń,
w której mamy określone dwie zmienne losowe
dyskretne X i Y.

Suma zmiennych losowych

X i Y jest zmienną losową Z, określoną dla
dowolnego zdarzenia elementarnego w tej
przestrzeni jako

Z(w) = X(w)+Y(w).

Jeśli zmienna X przyjmuje wartości x

dla iI, a

zmienna Y przyjmuje wartości y

dla jJ, to

zmienna Z przyjmuje jako swoje wartości liczby
(x

) dla dowolnych iI i jJ.

Twierdzenie

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń,
w której określone są zmienne losowe X i Y.
Jeśli wartości oczekiwane zmiennych X i Y istnieją,
to dla dowolnego c zachodzą równości

(1) E(cX) = cE(X),
(2) E(X+Y) = E(X)+E(Y),
(3) E(X - E(X)) = 0.

Iloczyn zmiennych losowych

Analogicznie jak sumę zmiennych, można
zdefiniować

iloczyn zmiennych losowych

X i Y

określonych w tej samej przestrzeni .
Przyjmujemy

Z(w) = X(w)  Y(w) dla w.

Zmienna Z przyjmuje jako swoje wartości iloczyny
x

y

dla i I i j J, jeśli x

i y

są wartościami

zmiennych X i Y odpowiednio.

Twierdzenie

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi
losowymi, to

E(XY) = E(X)E(Y).

Wariancja

zmiennej losowej

Definicja

Wariancją

zmiennej losowej X, oznaczaną przez

V(X), nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej
losowej (X-EX)

, tzn.

V(X) = E((X-EX)

)

Jeśli X jest zmienną dyskretną o rozkładzie
prawdopodobieństwa {(x

)}

i=1,...n

, oraz

E(X) = m, to

V(X) = (x

- m)



+...+ (x

- m)

 p

Twierdzenie

Dla dowolnej zmiennej losowej dyskretnej

(1)

V(X) = E(X

) - (E(X))

(2) dla dowolnego cE(X), V(X)<E((X-c)

)

Twierdzenie

Jeżeli V(X) jest wariancją zmiennej losowej
dyskretnej X, a V(Y) jest wariancją
zmiennej losowej dyskretnej Y, to dla
dowolnej stałej rzeczywistej c,

(1) V(cX) = c

V(X),

(2) Jeśli zmienne losowe X i Y są

niezależne, to V(X+Y)= V(X) + V(Y).

Definicja

Liczbę nazywamy

odchyleniem standardowym

zmiennej X.

V(X)

Przykład

Zakładając, że liczba wezwań górskiego pogotowia
ratunkowego w ciągu doby ma następujący rozkład

Obliczyć wariancje i odchylenie standardowe.

Wiemy, że E(X)=2,19,

E(X

)=00,12+10,32+40,18+90,15+160,12+250,08+360,003=

6,418.
Stąd V(X)=6,418-(2,19)

=1,6219 oraz

)

(



X=x

P(X=x

)

0,12

0,32

0,18

0,15

0,12

0,08

0,003

Parametry

znanych rozkładów

prawdopodobieństwa

Lemat

Niech X będzie zmienną losową o

rozkładzie zerojedynkowym

P(X=1) = p i P(X=0) = 1-p.

Wtedy

E(X)=p

oraz

V(X)=p(1-p)

Przykład

Rozważmy następującą grę. Gracz rzuca monetą, jeśli
wypadnie reszka otrzymuje 1 zł jeśli wypadnie orzeł o
trzymuje 0 zł. Niech X będzie zmienną losową, której
wartością jest otrzymana kwota pieniędzy. Wyznacz wartość
oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Przykład

1/2

E(X)=p=1/2

V(X)=p(1-p)=1/21/2=1/4

(V(X))=1/2

p=1/2

Lemat

Niech zmienna losowa X opisuje liczbę
sukcesów w

schemacie Bernoulliego

parametrami n i p (n – ilość prób,
p- prawdopodobieństwo sukcesu).

Wtedy

E(X)=np

oraz

V(X)=np(1-p)

Przykład

1/64 9/64 27/6

27/6

E(X)=np=33/4=9/4=2,25

V(X)=np(1-p)= 33/41/4=9/16

(V(X))=3/4=0,75

n=3, p=3/4

Lemat

Niech zmienna X ma

rozkład

geometryczny

, tzn. rozkład określony

następująco:

(k)=P(X=k)=p(1-p)

k-1

dla k=1,2,3,...

Wtedy wartość oczekiwana zmiennej X,

EX=1/p

Przykład

Rozważmy doświadczenie polegające na serii niezależnych

rzutów

symetryczną monetą powtarzanych dopóty dopóki nie

wypadnie

orzeł. Niech X będzie zmienną losową, której wartością jest

liczba

wykonanych prób do chwili uzyskania orła. Wyznacz wartość
oczekiwaną.

Przykład

Rozważmy doświadczenie polegające na serii niezależnych

rzutów

symetryczną monetą powtarzanych dopóty dopóki nie

wypadnie

orzeł. Niech X będzie zmienną losową, której wartością jest

liczba

wykonanych prób do chwili uzyskania orła. Wyznacz wartość
oczekiwaną.

p=1/2, (1-p)=1/2,

....

1/2

(1/2)

....

(1/2)

....

EX=1/p=1/(1/2)=2

Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
Slide 32
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
Slide 38
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49

MAD2 VIII Rachunek prawdopodobienstwa 2

Document Outline