Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie

Twierdzenie

Talesa

Talesa

Spis treści:

Spis treści:

•

Twierdzenie Talesa.

Twierdzenie Talesa.

•

Z historii... O Talesie.

Z historii... O Talesie.

•

Zadania.

Zadania.

•

Karta odpowiedzi do zadań.

Karta odpowiedzi do zadań.

Jeżeli ramiona kąta

przetniemy prostymi
równoległymi, to
odcinki wyznaczone
przez te proste na
jednym ramieniu kąta
są proporcjonalne do
odpowiednich
odcinków na drugim
ramieniu kąta.

Twierdzenie Talesa:

Twierdzenie Talesa:

O

A

B

A’

B’

|

|

|'

'

|

|

|

|'

|

AB

B

A

OA

OA



Tales z Miletu

Tales z Miletu

Tales z Miletu ( ok. 640-546 p.n.e.) jest uważany za jednego z
siedmiu najwybitniejszych mędrców starożytności. Był nie tylko
filozofem, ale także matematykiem i astronomem. Potrafił podobno
przewidywać zaćmienia Słońca i Księżyca. Prawdopodobnie
przewidziane przez niego zaćmienie Słońca w dniu 28 V 585 r.p.n.e.
Wpłynęło na przebieg bitwy nad rzeką Halys. Podobno Tales jako
pierwszy ustalił, że rok trwa 365 dni. Określił także, w jaki sposób
można kierować się w nawigacji położeniem gwiazd Małego Wozu.
Oprócz twierdzenia odkrył także, że kąt wpisany oparty na średnicy
okręgu jest kątem prostym. W wielu krajach właśnie to twierdzenie
nazywane jest twierdzeniem Talesa.

Zadania

Zadania

Zadanie 1

Zadanie 1

Oblicz długości odcinków AB i x (proste przecinające

ramiona kątów są równoległe.

a)

b)

A

B

3

6

2

E

5

4

3

2

x

Zadanie 2

Zadanie 2

Oblicz długości odcinków oznaczonych literami

(proste przecinające ramiona kątów są równoległe):

a)

b)

a

20

28

35

18

21

12

36

c

Zadanie 3

Zadanie 3

Popatrz na rysunek obok. Znajdź brakujące wyrazy

proporcji (proste k i l są równoległe).

a)

x

y

a

b

z

t

k

l

b)

?

y

x

z

x





?

b

z

a



c)

?

?



 t

z

t

d
)

?

?



a

x

Zadanie 4

Zadanie 4

Na chodniku przy pewne ulicy ustawiono latarnie o

wysokości 4 m, w odstępach co 8 m. Okazało się, że

wysokość latarni została źle dobrana, gdyż między

nimi pozostają na chodniku nieoświetlone pasy

szerokości 2 m. O ile wyższe powinny być latarnie,

aby chodnik był dobrze oświetlony?

Zadanie 5

Zadanie 5

W trójkącie ABC bok AB ma długość 6 cm. Na boku

W trójkącie ABC bok AB ma długość 6 cm. Na boku

AC zaznaczono punkt M taki, że odcinek AM jest trzy

AC zaznaczono punkt M taki, że odcinek AM jest trzy

razy dłuższy od odcinka MC. Przez punkt M

razy dłuższy od odcinka MC. Przez punkt M

poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która

poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która

przecięła bok AB w punkcie P. Oblicz długości

przecięła bok AB w punkcie P. Oblicz długości

odcinków AP i PB.

odcinków AP i PB.

Karta odpowiedzi

Karta odpowiedzi

•

Zadanie 1

•

Zadanie 2

•Zadanie 3
•Zadanie 4
•Zadanie 5

Zadanie 1

Zadanie 1

a)

b)

  
 

9

3

2



AB

3|AB| = 18 /: 3
 

|AB| = 6

 

 

x

5

2

3



10

3 

x

3

1

3



x

/ : 3

Zadanie 2

Zadanie 2

a)

b)

35

20

28



a

7

4

28



a

7a = 28*4 / :7
 
a = 4*4

a = 16

18

36

21



c

1

2

21



c

c = 42

Zadanie 3

a)

t

z

y

x

z

x







t

z

b

z

a





b)

y

x

y

t

z

t







c
)

b

y

x

a

x





d
)

Zadanie 4

Zadanie 4

4

4

3

4

x





16 = ( 4+x) 3

16 = 12 + 3x

-3x = 12-16

-3x = -4 / : ( -3)

x =

3

1

1

3

4



(m)

 

Odp: Aby chodnik był dobrze oświetlony

latarnie powinny być wyższe o

m

3

1

1

1m

x

8
m

4m

3m

1m

3m

4
m

x

Zadanie 5

Zadanie 5

6

4

3

x

a

a



4x=18 / :4

X=

2

1

4

4

2

4 

y = 6cm – 4,5cm = 1,5 cm

Odp: Długość odcinka AP wynosi 4,5 cm,
natomiast odcinek PB ma długość 1,5 cm.

a

3a

x

y

6c
m

MP||BC

A

B

C

P

M