Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie
Twierdzenie
Talesa
Talesa
Spis treści:
Spis treści:
•
•
•
•
Jeżeli ramiona kąta
przetniemy prostymi
równoległymi, to
odcinki wyznaczone
przez te proste na
jednym ramieniu kąta
są proporcjonalne do
odpowiednich
odcinków na drugim
ramieniu kąta.
Twierdzenie Talesa:
Twierdzenie Talesa:
O
A
B
A’
B’
|
|
|'
'
|
|
|
|'
|
AB
B
A
OA
OA
Tales z Miletu
Tales z Miletu
Tales z Miletu ( ok. 640-546 p.n.e.) jest uważany za jednego z
siedmiu najwybitniejszych mędrców starożytności. Był nie tylko
filozofem, ale także matematykiem i astronomem. Potrafił podobno
przewidywać zaćmienia Słońca i Księżyca. Prawdopodobnie
przewidziane przez niego zaćmienie Słońca w dniu 28 V 585 r.p.n.e.
Wpłynęło na przebieg bitwy nad rzeką Halys. Podobno Tales jako
pierwszy ustalił, że rok trwa 365 dni. Określił także, w jaki sposób
można kierować się w nawigacji położeniem gwiazd Małego Wozu.
Oprócz twierdzenia odkrył także, że kąt wpisany oparty na średnicy
okręgu jest kątem prostym. W wielu krajach właśnie to twierdzenie
nazywane jest twierdzeniem Talesa.
Zadanie 1
Zadanie 1
Oblicz długości odcinków AB i x (proste przecinające
ramiona kątów są równoległe.
a)
b)
A
B
3
6
2
E
5
4
3
2
x
Zadanie 2
Zadanie 2
Oblicz długości odcinków oznaczonych literami
(proste przecinające ramiona kątów są równoległe):
a)
b)
a
20
28
35
18
21
12
36
c
Zadanie 3
Zadanie 3
Popatrz na rysunek obok. Znajdź brakujące wyrazy
proporcji (proste k i l są równoległe).
a)
x
y
a
b
z
t
k
l
b)
?
y
x
z
x
?
b
z
a
c)
?
?
t
z
t
d
)
?
?
a
x
Zadanie 4
Zadanie 4
Na chodniku przy pewne ulicy ustawiono latarnie o
wysokości 4 m, w odstępach co 8 m. Okazało się, że
wysokość latarni została źle dobrana, gdyż między
nimi pozostają na chodniku nieoświetlone pasy
szerokości 2 m. O ile wyższe powinny być latarnie,
aby chodnik był dobrze oświetlony?
Zadanie 5
Zadanie 5
W trójkącie ABC bok AB ma długość 6 cm. Na boku
W trójkącie ABC bok AB ma długość 6 cm. Na boku
AC zaznaczono punkt M taki, że odcinek AM jest trzy
AC zaznaczono punkt M taki, że odcinek AM jest trzy
razy dłuższy od odcinka MC. Przez punkt M
razy dłuższy od odcinka MC. Przez punkt M
poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która
poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która
przecięła bok AB w punkcie P. Oblicz długości
przecięła bok AB w punkcie P. Oblicz długości
odcinków AP i PB.
odcinków AP i PB.
Zadanie 1
Zadanie 1
a)
b)
9
3
2
AB
3|AB| = 18 /: 3
|AB| = 6
x
5
2
3
10
3
x
3
1
3
x
/ : 3
Zadanie 2
Zadanie 2
a)
b)
35
20
28
a
7
4
28
a
7a = 28*4 / :7
a = 4*4
a = 16
18
36
21
c
1
2
21
c
c = 42
Zadanie 3
a)
t
z
y
x
z
x
t
z
b
z
a
b)
y
x
y
t
z
t
c
)
b
y
x
a
x
d
)
Zadanie 4
Zadanie 4
4
4
3
4
x
16 = ( 4+x) 3
16 = 12 + 3x
-3x = 12-16
-3x = -4 / : ( -3)
x =
3
1
1
3
4
(m)
Odp: Aby chodnik był dobrze oświetlony
latarnie powinny być wyższe o
m
3
1
1
1m
x
8
m
4m
3m
1m
3m
4
m
x
Zadanie 5
Zadanie 5
6
4
3
x
a
a
4x=18 / :4
X=
2
1
4
4
2
4
y = 6cm – 4,5cm = 1,5 cm
Odp: Długość odcinka AP wynosi 4,5 cm,
natomiast odcinek PB ma długość 1,5 cm.
a
3a
x
y
6c
m
MP||BC
A
B
C
P
M
