WYKŁAD 2

STEROWANIE CYFROWE

JANUSZ KWAŚNIEWSKI AGH Katedra Automatyzacji Procesów

2

Część cyfrowa układu regulacji

O dokładności decyduje:



Liczba stanów (kwantów), n-bitowe przetworniki A/C i C/A,



Okres próbkowania T,



Metoda konwersji

Współczynniki transmitancji G

s

(z) (lub równań różnicowych)

zawierają w sobie



parametry konstrukcyjne



okres próbkowania

STEROWNIK

y

n

e

n

-

T

T

Zegar (T)

REGULATOR

G

s

(z)

y

0

y(t)

m(t) PROCES

G

p

(s)

T

Interpolator ZOH

(1-e

-sT

) / s

Przetwornik A/C

Przetwornik

C/A

Interpolator ZOH

(1-e

-sT

) / s

Przetworn

ik A/C

3

Ciągłe a dyskretne

Równanie różniczkowe

Równanie różnicowe

Transformata prosta
i odwrotna Laplace’a

Transmitancja ciągła

Transmitancja dyskretna

Dyskretne równania stanu

Ciągłe równania stanu

DYSKRETYZACJA

DYSKRETYZACJA

DYSKRETYZACJA

Transformata prosta

i odwrotna z

Na tę konwersję ma wpływ:

• wielkość kwantu
• czas próbkowania
• metoda dyskretyzacji

Dotyczy tylko

układów liniowych

Dotyczy tylko

układów liniowych

4

Najprostsze równanie

x’ = ax + bu sX = aX + bU

a

s

b

U

X

s

G







)

(

1

1

)

(

sT

k

s

G





gdzi
e

a

b

k

a

T







 ,

1

1

x t

e

x t

b
a

e

a t t

a t t

( )

( )

(

)

(

)

(

)











0

0

0

1

na skok jednostkowy
u(t) = 1(t-t

0

)

Niech t - t

0

będzie okresem próbkowania T = t

i+1

- t

i

x

i+1

=



x

i

+



u

i

lub x

i

=



x

i - 1

+



u

i - 1

gdzie:



= e

aT

i



=

a

b

(e

aT

- 1)

x(z)=



z -1 x(z) +



z -1 u(z)

1

1

1

)

(

)

(

)

(











z

z

z

u

z

x

z

G





5

Jego rozwiązanie

na wymuszenie skokowe u

i

= 1(t)

dla



=1,



= 0,2 i



= 0,5,



= 0,2

0 T 2T 3T

...

1

t

x

i

0 T 2T 3T

...

1
1

t

x

i

0,6

0,2

0,4

x

i

x

i+1

x

i-1

x

i-2

1

1

1

)

(

)

(

)

(











z

z

z

u

z

x

z

G





x(z)=



z

-1

x(z) +



z

-1

u(z)

6

Twierdzenie inżynierskie

Twierdzenia o wartości końcowej

k

z

G z

z

d











 1

1

1

1

lim (

)

( )

)

(

lim

0

s

G

s

k

d

s





Gdzie: d jest stopniem astatyzmu
(liczbą idealnych członów całkujących, liczba próbek opóźnienia)

W powyższym przykładzie









1

k

.

G z

y

u

B z

A z

b

b z

b z

a z

a z

i

i

nb

nb

na

na

( )

(

)

(

)









 



 













1

1

0

1

1

1

1

1

na

na

na

nb

nb

nb

a

z

a

z

b

z

b

z

b

z

A

z

B



















1

1

0

...

...

)

(

)

(

7

Zastosowanie transformaty
Laplace’a

6

)

(

6

)

(

5

)

(

2







t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

)

2

(

5

)

3

(

4

1

)

2

)(

3

(

6

12

2

)

6

5

(

6

12

2

)

(

2

2

2































s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Y

Po zastosowaniu transformaty Laplace’a:

s

2

Y(s) –sy(0

+

) - dy(0+)/dt -5sY(s) -5 y(0

+

)+6Y(s)=6/s

Podstawiając warunki początkowe otrzymujemy:

Stosując odwrotną transformatę Laplace’a:

Warunki początkowe dy(0

+

)/dt =2, y(0

+

)=2

t

t

e

e

t

y

2

3

5

4

1

)

(











8

Transmitancja dyskretna a równanie
różnicowe

Ogólna transmitancję dyskretną (impulsową funkcję przejścia)
obiektu ma postać:

Z uwzględnieniem czasu opóźnienia (ang. dead - time, transport

-

delay) o nk okresów próbkowania:

Przyjazna do programowania nosi nazwę rekurencyjnego równania

różnicowego (model ARMA):

G z

y

u

B z

A z

b

b z

b z

a z

a z

i

i

nb

nb

na

na

( )

(

)

(

)









 



 













1

1

0

1

1

1

1

1

na

na

na

nb

nb

nb

a

z

a

z

b

z

b

z

b

z

A

z

B



















1

1

0

...

...

)

(

)

(

G z

z

B z

A z

nk

( )

(

)

(

)









1

1

y

i

= - a

1

y

i-1

- a

2

y

i-2

-...- a

na

y

i

- nk

-1

+ b

0

u

i

-

nk

+b

1

u

i - nk -

+...+b

nb

u

i - nk - nb

Rzeczywisty system jednowymiarowy opisywany zarówno modelem analogowym jak
cyfrowym (ciągiem czasowym) można nazwać również filtrem lub przetwornikiem
danych. Wynika to z tego, że mamy tu do czynienia z zasadą jednoznacznego
przekształcenia sygnału wejściowego w wyjściowy.

9

Przetworniki A/C i C/A

Przetworniki A/C, których model w zależności od typu interpolacji
składa się z próbkowania i modelu przebiegu sygnału pomiędzy
próbkami (ZOH-prostokątów, FOH-trójkątów).
Jego model w zamkniętym układzie regulacji jest uwzględniany
w torze głównym jako dodatkowy człon poprzedzający model procesu.
Przetworniki C/A są bardzo proste i ich model jest pomijalny, gdyż
analogowe wyjście jest sumą ważoną z zestawu impulsów wejściowych
i proces ten jest prawie bezzwłoczny. Prawie wszystkie obiekty są
inercyjne (są filtrami dolnoprzepustowymi), dlatego schodkowy wyjściowy
sygnał z C/A dla dobrze dobranego czasu próbkowania jest wystarczająco
wyfiltrowany.

STEROWNIK

y

n

e

n

-

T

T

Zegar (T)

REGULATOR

G

s

(z)

y

0

y(t)

m(t) PROCES

G

p

(s)

T

Interpolator ZOH

(1-e

-sT

) / s

Przetwornik A/C

Przetwornik

C/A

Interpolator ZOH

(1-e

-sT

) / s

Przetworn

ik A/C

10

Dwie metody projektowania
regulatora cyfrowego



Podstawienia, zastosowanie dla modelu regulatora:



o postaci równania różniczkowego metody dwupunktowej (Eulera) dla różnicy

wstecznej lub czteropunktowej różnicy centralnej do przejścia na model

w postaci równań różnicowych,



o postaci transmitancji G

s

(s) transformaty bilinearnej (Tustina) lub bezpośrednio

transformaty Z do przejścia na model G

s

(z)

i dla obu postaci nie ma potrzeby uwzględniania modelu przetwornika A/C,



Bezpośrednia, polegająca na określeniu dyskretnego modelu procesu

(obiektu) poprzedzonego interpolatorem zerowego rzędu ZOH (ang. Zero

Order Holder) według wzoru:

Gdzie:

Z jest transformatą wyznaczaną z tablic a następnie dla dobranej

struktury regulatora G

s

(z), według klasycznych metod dobieramy

nastawy regulatora dla układu ze sprzężeniem zwrotnym.

Wyrażenie w dużym nawiasie odpowiada za odpowiedz skokową
w każdej próbce. Natomiast wyrażenie (1-z

-1

) we wzorze jest

odpowiedzialne za przesunięcie odpowiedzi o okres.





















s

s

G

L

Z

z

z

G

s

G

p

p

ZOH

)

(

)

1

(

)

(

)

(

1

1

11

Metoda podstawienia:
Metoda dwupunktowa (Eulera) dla
różnicy wstecz (regresywnej)

Dwupunktowa różnicy wstecz

Czteropunktowa różnica centralna (czwartego rzędu)

T

x

x

dt

dx

n

n

1







2

2

1

1

2

2

2

T

x

x

x

T

dt

x

d

n

n

n

n

dt

dx

n

dt

dx

















]

3

3

[

6

1

3

2

1















n

n

n

n

x

x

x

x

T

dt

dx

n



=x

n

-x

n-1

(wprost ∆

n

=x

n+1

-x

n

)

12

MATLAB
[Ld,Md] = c2dm(L,M,T,'method')

G(s)

T[sek] G(z) dla ‘zoh’ G(z) dla ‘foh’

G(z) dla ‘tustin’

G(z) dla ‘matched’

0,4

1

1

02

.

0

1

3

,

56

70









z

z

1

1

02

.

0

1

14

7

,

27









z

z

1

1

33

.

0

1

14

7

,

32









z

z

1

1

02

.

0

1

2

,

11

9

,

24









z

z

0,5

1

1

006

.

0

1

56

70









z

z

1

1

006

.

0

1

2

,

11

1

,

25









z

z

1

1

43

.

0

1

10

30









z

z

1

1

006

.

0

1

8

22









z

z







b

s

a

s

K

0

10

2

70





s

s

1

1

5

1

5

,

4

1

56

70











z

e

z

1

5

1

5

,

4

1

6

,

5

6

,

19











z

e

z

1

66

.

0

1

3

,

23





z

1

5

1

5

,

4

1

2

,

2

2

,

16











z

e

z

13

Metoda podstawienia

Dla transmitancji regulatora D(s) określmy równanie różnicowe

b

s

a

s

K

s

E

s

U

s

D









0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

s

E

a

s

K

s

U

b

s

























ae

dt

de

K

bu

dt

du

0























n

n

n

n

n

n

ae

T

e

e

K

bu

T

u

u

1

0

1



























1

1

0

1

1

n

n

n

n

n

n

ae

T

e

e

K

bu

T

u

u

n

n

n

n

u

Tb

e

Ta

K

e

K

u

)

1

(

)

1

(

0

1

0

1















1

1

0

0

)

1

(

)

1

(















n

n

n

n

u

Tb

e

Ta

K

e

K

u

Dla parametrów a=2, b=10 i K

0

=70,

i okresu próbkowani T=0,4 sek

n

n

n

n

u

e

e

u

3

14

70

1

1











n

n

n

u

e

u

4

70

1

1









n

n

n

n

n

n

n

u

e

e

u

e

e

u

9

)

(

70

9

70

70

1

1

1



















T=0,5 sek

T=1 sek

14

Metoda bezpośrednia

Obiekt opisanego transmitancją i regulatora D(z)=k

a

s

a

s

G





)

(









































)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

1

1

a

s

s

a

Z

z

s

s

G

Z

z

z

G















































z

z

e

z

z

e

z

aT

aT

1

1

)(

1

(

)

1

(

)

1

(

1

1

1

1

gdzie podstawiono



=e

-aT

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(





















k

z

k

z

G

z

D

z

G

z

D

z

X

z

Y

15

Faktoryzacja transmitancji
dyskretnej

Stabilność i minimalnofazowość

G z

z

B z

A z

b

z z

z

z p

nk

i

i

nb

nk

i

i

na

( )

(

)

(

)

(

)

(

)























1

1

0

1

1



Re
(s)

Re (z)

Im (z)

Im (s)

obszar
niestabilności

obszar
stabilności

obszar
stabilności



T

z

i

s

i

e



T

+j

 z =1

-j



T



T

16

Znaczenie lokalizacji bieguna na
płaszczyźnie Z

-0,5

Im (z)

Re (z)

-1

1

0,5

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Oscylacyj

ne

Aperiodycz

ne

17

Przekształcenie transmitancji
dyskretnej na równanie różnicowe



bezpośrednia,



kaskadowa,



równoległa

M z

E z

a z

b z

j

j

j

n

j

j

j

n

( )

( )

















0

1

1

m

a e

b m

i

j i j

j

n

j

i j

j

n

















1

1

2

1

2

1

2

,

0

1

,

0

1

6

,

0

4

,

2

3

)

(

)

(



















z

z

z

z

z

E

z

M

m

i

= 3 e

i

+ 2,4 e

i -1

- 0,6 e

i -2

- 0,1 m

i -1

+ 0,2 m

i - 2

przy tej samej liczbie poziomów kwantowania
(długości słowa) daje mniejsze błędy numeryczne

18

Przekształcenie transmitancji
dyskretnej na równanie różnicowe



bezpośrednia,



kaskadowa,



równoległa













1

1

1

1

2

1

2

1

4

,

0

1

5

,

0

1

2

,

0

1

1

3

2

,

0

1

,

0

1

6

,

0

4

,

2

3

)

(

)

(





































z

z

z

z

z

z

z

z

z

E

z

M

W

1

= 3

W

2

= 1 + z

-1

W

3

= 1 - 0,2 z

-1

W

z

4

1

1

1 05







,

1

5

4

,

0

1

1







z

W

x

i

(1)

= 3 e

i

x

i

(2)

= x

i

(1)

+ x

i -1

(2)

x

i

(3)

= x

i

(2)

- 0,2 x

i -1

(3)

x

i

(4)

= x

i

(3)

- 0,5 x

i

-1

(4)

m

i

= x

i

(5)

= x

i

(4)

+ 0,4 x

i

-1

(5)

19

Przekształcenie transmitancji
dyskretnej na równanie różnicowe



bezpośrednia,



kaskadowa,



równoległa

1

1

2

1

2

1

4

,

0

1

7

5

,

0

1

1

3

2

,

0

1

,

0

1

6

,

0

4

,

2

3

)

(

)

(



































z

z

z

z

z

z

z

E

z

M

W

1

= - 3

W

z

2

1

1

1 05







,

W

z

3

1

7

1 04







,

x

i

(1)

= - 3 e

i

x

i

(2)

= - e

i

- 0,5 x

i

-1

(2)

x

i

(3)

= 7 e

i

+ 0,4 x

i

-1

(3)

m

i

= x

i

(1)

+ x

i

(2)

+ x

i

(3)

20

Struktury modeli dyskretnych

FILTR

ZAKŁÓCENIA

H(z)

OBIEKT
G(z)

y

i

e

i

u

i

zakłócenia
niemierzaln
e

i

nk

i

i

nk

i

i

e

z

D

z

C

u

z

F

z

B

e

z

H

u

z

G

y

z

A

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

1

1

1

1



























Boxa - Jenkinsa (BJ)

ARMAX (ang. AutoRegresive Moving-Average eXtended)

A(z

-1

) y

i

= B(z

-1

) u

i -nk

+ C(z

-1

) e

i

A(z

-1

) y

i

= B(z

-1

) u

i -nk

+ e

i

ARX dla szumu szerokopasmowego czyli szumu zbliżonego do białego o wariancji



2

Jeżeli sygnał wejściowy u

i

= 0 lub e

i

= 0

wtedy mamy do czynienia z ciągiem czasowym
Najpopularniejszy model to ARMA

















































MA

część

AR

część

nc

i

nc

i

i

nd

nd

i

i

i

e

c

e

c

e

y

d

y

d

y

d

y









































1

1

1

2

2

1

1

y

C z

z

D z

e

i

d

i











(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

Model ARIMA d = 1 to ciąg
niestacjonarny o zmieniającej
się wartości średniej

21

Praktyczne zasady (1)

T

g

= 1/f

g

t

f(t)

Czas próbkowania powinien być co najmniej
T

g

/2, w praktyce T

g

/8 (osiem próbek)

.

.

• liczba poziomów kwantowania

• czas próbkowania T

Częstotliwości granicznej sygnału f

g

, którą można oszacować

z amplitudowej charakterystyki częstotliwościowej
lub odpowiedzi skokowej dla obiektu pierwszego rzędu

:



g

(3 dB)

 

z

=

p

T

1



g

(3 dB) - pulsacja graniczna 3 dB,



z

- pulsacja załamania,

T

u

- czas ustalania się (regulacji),

T

p

- stała czasowa obiektu

(procesu).

T

u



3T

p

u

p

g

T

T

f

2

1

2

1







Rozróżnialne poziomy powinny być
oddalone od siebie o wartość równą,
co najmniej amplitudzie szumów.















SZ

S

s

P

P

f

1

log

2

max

=

C









s

bit

Hartleya i Shannona

22

Praktyczne zasady (2)



Podsumowując można stwierdzić, że czas próbkowania T jest

wielkością krytyczną. Typowo dobiera się jako 1/10 dominującej

stałej czasowej obiektu, jeżeli obiekt ma zauważalny czas

opóźnienia L to T≈0,33 L. Jeżeli sterowanie jest w dalszym ciągu

nie zadowalające (np. nieminimalnofazowy proces) to należy

zmniejszyć czas próbkowania a jeżeli to nie pomoże to należy

zmienić prawo sterownia (np. sterowanie predykcyjne)



Jeżeli projektowanie realizowane jest przy użyciu metody

podstawienia (bezpośredniego projektowania regulatora) to

częstotliwość próbkowania powinna być 20 razy większa od

pasma przenoszenia obiektu natomiast, jeżeli stosujemy metodę

bezpośrednią (bezpośredniego projektowania cyfrowego) to

częstotliwość próbkowania powinna być mniejsza i być około

2 razy większa od pasma przenoszenia. W praktyce jednak,

aby móc pozbyć się losowych zakłóceń stosujemy częstotliwość

próbkowania co najmniej 20 razy większa od pasma przenoszenia

dla układu zamkniętego

23

Dziękuję za uwagę

i zapraszam do wykorzystywania

tej wiedzy w laboratorium i praktyce