WYKŁAD 2
STEROWANIE CYFROWE
JANUSZ KWAŚNIEWSKI AGH Katedra Automatyzacji Procesów
WYKŁAD 2
STEROWANIE CYFROWE
JANUSZ KWAŚNIEWSKI AGH Katedra Automatyzacji Procesów
2
Część cyfrowa układu regulacji
O dokładności decyduje:
Liczba stanów (kwantów), n-bitowe przetworniki A/C i C/A,
Okres próbkowania T,
Metoda konwersji
Współczynniki transmitancji G
s
(z) (lub równań różnicowych)
zawierają w sobie
parametry konstrukcyjne
okres próbkowania
STEROWNIK
y
n
e
n
-
T
T
Zegar (T)
REGULATOR
G
s
(z)
y
0
y(t)
m(t) PROCES
G
p
(s)
T
Interpolator ZOH
(1-e
-sT
) / s
Przetwornik A/C
Przetwornik
C/A
Interpolator ZOH
(1-e
-sT
) / s
Przetworn
ik A/C
3
Ciągłe a dyskretne
Równanie różniczkowe
Równanie różnicowe
Transformata prosta
i odwrotna Laplace’a
Transmitancja ciągła
Transmitancja dyskretna
Dyskretne równania stanu
Ciągłe równania stanu
DYSKRETYZACJA
DYSKRETYZACJA
DYSKRETYZACJA
Transformata prosta
i odwrotna z
Na tę konwersję ma wpływ:
• wielkość kwantu
• czas próbkowania
• metoda dyskretyzacji
Dotyczy tylko
układów liniowych
Dotyczy tylko
układów liniowych
4
Najprostsze równanie
x’ = ax + bu sX = aX + bU
a
s
b
U
X
s
G
)
(
1
1
)
(
sT
k
s
G
gdzi
e
a
b
k
a
T
,
1
1
x t
e
x t
b
a
e
a t t
a t t
( )
( )
(
)
(
)
(
)
0
0
0
1
na skok jednostkowy
u(t) = 1(t-t
0
)
Niech t - t
0
będzie okresem próbkowania T = t
i+1
- t
i
x
i+1
=
x
i
+
u
i
lub x
i
=
x
i - 1
+
u
i - 1
gdzie:
= e
aT
i
=
a
b
(e
aT
- 1)
x(z)=
z -1 x(z) +
z -1 u(z)
1
1
1
)
(
)
(
)
(
z
z
z
u
z
x
z
G
5
Jego rozwiązanie
na wymuszenie skokowe u
i
= 1(t)
dla
=1,
= 0,2 i
= 0,5,
= 0,2
0 T 2T 3T
...
1
t
x
i
0 T 2T 3T
...
1
1
t
x
i
0,6
0,2
0,4
x
i
x
i+1
x
i-1
x
i-2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
z
z
z
u
z
x
z
G
x(z)=
z
-1
x(z) +
z
-1
u(z)
6
Twierdzenie inżynierskie
Twierdzenia o wartości końcowej
k
z
G z
z
d
1
1
1
1
lim (
)
( )
)
(
lim
0
s
G
s
k
d
s
Gdzie: d jest stopniem astatyzmu
(liczbą idealnych członów całkujących, liczba próbek opóźnienia)
W powyższym przykładzie
1
k
.
G z
y
u
B z
A z
b
b z
b z
a z
a z
i
i
nb
nb
na
na
( )
(
)
(
)
1
1
0
1
1
1
1
1
na
na
na
nb
nb
nb
a
z
a
z
b
z
b
z
b
z
A
z
B
1
1
0
...
...
)
(
)
(
7
Zastosowanie transformaty
Laplace’a
6
)
(
6
)
(
5
)
(
2
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
)
2
(
5
)
3
(
4
1
)
2
)(
3
(
6
12
2
)
6
5
(
6
12
2
)
(
2
2
2
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Y
Po zastosowaniu transformaty Laplace’a:
s
2
Y(s) –sy(0
+
) - dy(0+)/dt -5sY(s) -5 y(0
+
)+6Y(s)=6/s
Podstawiając warunki początkowe otrzymujemy:
Stosując odwrotną transformatę Laplace’a:
Warunki początkowe dy(0
+
)/dt =2, y(0
+
)=2
t
t
e
e
t
y
2
3
5
4
1
)
(
8
Transmitancja dyskretna a równanie
różnicowe
Ogólna transmitancję dyskretną (impulsową funkcję przejścia)
obiektu ma postać:
Z uwzględnieniem czasu opóźnienia (ang. dead - time, transport
-
delay) o nk okresów próbkowania:
Przyjazna do programowania nosi nazwę rekurencyjnego równania
różnicowego (model ARMA):
G z
y
u
B z
A z
b
b z
b z
a z
a z
i
i
nb
nb
na
na
( )
(
)
(
)
1
1
0
1
1
1
1
1
na
na
na
nb
nb
nb
a
z
a
z
b
z
b
z
b
z
A
z
B
1
1
0
...
...
)
(
)
(
G z
z
B z
A z
nk
( )
(
)
(
)
1
1
y
i
= - a
1
y
i-1
- a
2
y
i-2
-...- a
na
y
i
- nk
-1
+ b
0
u
i
-
nk
+b
1
u
i - nk -
+...+b
nb
u
i - nk - nb
Rzeczywisty system jednowymiarowy opisywany zarówno modelem analogowym jak
cyfrowym (ciągiem czasowym) można nazwać również filtrem lub przetwornikiem
danych. Wynika to z tego, że mamy tu do czynienia z zasadą jednoznacznego
przekształcenia sygnału wejściowego w wyjściowy.
9
Przetworniki A/C i C/A
Przetworniki A/C, których model w zależności od typu interpolacji
składa się z próbkowania i modelu przebiegu sygnału pomiędzy
próbkami (ZOH-prostokątów, FOH-trójkątów).
Jego model w zamkniętym układzie regulacji jest uwzględniany
w torze głównym jako dodatkowy człon poprzedzający model procesu.
Przetworniki C/A są bardzo proste i ich model jest pomijalny, gdyż
analogowe wyjście jest sumą ważoną z zestawu impulsów wejściowych
i proces ten jest prawie bezzwłoczny. Prawie wszystkie obiekty są
inercyjne (są filtrami dolnoprzepustowymi), dlatego schodkowy wyjściowy
sygnał z C/A dla dobrze dobranego czasu próbkowania jest wystarczająco
wyfiltrowany.
STEROWNIK
y
n
e
n
-
T
T
Zegar (T)
REGULATOR
G
s
(z)
y
0
y(t)
m(t) PROCES
G
p
(s)
T
Interpolator ZOH
(1-e
-sT
) / s
Przetwornik A/C
Przetwornik
C/A
Interpolator ZOH
(1-e
-sT
) / s
Przetworn
ik A/C
10
Dwie metody projektowania
regulatora cyfrowego
Podstawienia, zastosowanie dla modelu regulatora:
o postaci równania różniczkowego metody dwupunktowej (Eulera) dla różnicy
wstecznej lub czteropunktowej różnicy centralnej do przejścia na model
w postaci równań różnicowych,
o postaci transmitancji G
s
(s) transformaty bilinearnej (Tustina) lub bezpośrednio
transformaty Z do przejścia na model G
s
(z)
i dla obu postaci nie ma potrzeby uwzględniania modelu przetwornika A/C,
Bezpośrednia, polegająca na określeniu dyskretnego modelu procesu
(obiektu) poprzedzonego interpolatorem zerowego rzędu ZOH (ang. Zero
Order Holder) według wzoru:
Gdzie:
Z jest transformatą wyznaczaną z tablic a następnie dla dobranej
struktury regulatora G
s
(z), według klasycznych metod dobieramy
nastawy regulatora dla układu ze sprzężeniem zwrotnym.
Wyrażenie w dużym nawiasie odpowiada za odpowiedz skokową
w każdej próbce. Natomiast wyrażenie (1-z
-1
) we wzorze jest
odpowiedzialne za przesunięcie odpowiedzi o okres.
s
s
G
L
Z
z
z
G
s
G
p
p
ZOH
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
11
Metoda podstawienia:
Metoda dwupunktowa (Eulera) dla
różnicy wstecz (regresywnej)
Dwupunktowa różnicy wstecz
Czteropunktowa różnica centralna (czwartego rzędu)
T
x
x
dt
dx
n
n
1
2
2
1
1
2
2
2
T
x
x
x
T
dt
x
d
n
n
n
n
dt
dx
n
dt
dx
]
3
3
[
6
1
3
2
1
n
n
n
n
x
x
x
x
T
dt
dx
n
=x
n
-x
n-1
(wprost ∆
n
=x
n+1
-x
n
)
12
MATLAB
[Ld,Md] = c2dm(L,M,T,'method')
G(s)
T[sek] G(z) dla ‘zoh’ G(z) dla ‘foh’
G(z) dla ‘tustin’
G(z) dla ‘matched’
0,4
1
1
02
.
0
1
3
,
56
70
z
z
1
1
02
.
0
1
14
7
,
27
z
z
1
1
33
.
0
1
14
7
,
32
z
z
1
1
02
.
0
1
2
,
11
9
,
24
z
z
0,5
1
1
006
.
0
1
56
70
z
z
1
1
006
.
0
1
2
,
11
1
,
25
z
z
1
1
43
.
0
1
10
30
z
z
1
1
006
.
0
1
8
22
z
z
b
s
a
s
K
0
10
2
70
s
s
1
1
5
1
5
,
4
1
56
70
z
e
z
1
5
1
5
,
4
1
6
,
5
6
,
19
z
e
z
1
66
.
0
1
3
,
23
z
1
5
1
5
,
4
1
2
,
2
2
,
16
z
e
z
13
Metoda podstawienia
Dla transmitancji regulatora D(s) określmy równanie różnicowe
b
s
a
s
K
s
E
s
U
s
D
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
s
E
a
s
K
s
U
b
s
ae
dt
de
K
bu
dt
du
0
n
n
n
n
n
n
ae
T
e
e
K
bu
T
u
u
1
0
1
1
1
0
1
1
n
n
n
n
n
n
ae
T
e
e
K
bu
T
u
u
n
n
n
n
u
Tb
e
Ta
K
e
K
u
)
1
(
)
1
(
0
1
0
1
1
1
0
0
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
u
Tb
e
Ta
K
e
K
u
Dla parametrów a=2, b=10 i K
0
=70,
i okresu próbkowani T=0,4 sek
n
n
n
n
u
e
e
u
3
14
70
1
1
n
n
n
u
e
u
4
70
1
1
n
n
n
n
n
n
n
u
e
e
u
e
e
u
9
)
(
70
9
70
70
1
1
1
T=0,5 sek
T=1 sek
14
Metoda bezpośrednia
Obiekt opisanego transmitancją i regulatora D(z)=k
a
s
a
s
G
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
1
1
a
s
s
a
Z
z
s
s
G
Z
z
z
G
z
z
e
z
z
e
z
aT
aT
1
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
gdzie podstawiono
=e
-aT
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
k
z
k
z
G
z
D
z
G
z
D
z
X
z
Y
15
Faktoryzacja transmitancji
dyskretnej
Stabilność i minimalnofazowość
G z
z
B z
A z
b
z z
z
z p
nk
i
i
nb
nk
i
i
na
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
0
1
1
Re
(s)
Re (z)
Im (z)
Im (s)
obszar
niestabilności
obszar
stabilności
obszar
stabilności
T
z
i
s
i
e
T
+j
z =1
-j
T
T
16
Znaczenie lokalizacji bieguna na
płaszczyźnie Z
-0,5
Im (z)
Re (z)
-1
1
0,5
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Oscylacyj
ne
Aperiodycz
ne
17
Przekształcenie transmitancji
dyskretnej na równanie różnicowe
bezpośrednia,
kaskadowa,
równoległa
M z
E z
a z
b z
j
j
j
n
j
j
j
n
( )
( )
0
1
1
m
a e
b m
i
j i j
j
n
j
i j
j
n
1
1
2
1
2
1
2
,
0
1
,
0
1
6
,
0
4
,
2
3
)
(
)
(
z
z
z
z
z
E
z
M
m
i
= 3 e
i
+ 2,4 e
i -1
- 0,6 e
i -2
- 0,1 m
i -1
+ 0,2 m
i - 2
przy tej samej liczbie poziomów kwantowania
(długości słowa) daje mniejsze błędy numeryczne
18
Przekształcenie transmitancji
dyskretnej na równanie różnicowe
bezpośrednia,
kaskadowa,
równoległa
1
1
1
1
2
1
2
1
4
,
0
1
5
,
0
1
2
,
0
1
1
3
2
,
0
1
,
0
1
6
,
0
4
,
2
3
)
(
)
(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
E
z
M
W
1
= 3
W
2
= 1 + z
-1
W
3
= 1 - 0,2 z
-1
W
z
4
1
1
1 05
,
1
5
4
,
0
1
1
z
W
x
i
(1)
= 3 e
i
x
i
(2)
= x
i
(1)
+ x
i -1
(2)
x
i
(3)
= x
i
(2)
- 0,2 x
i -1
(3)
x
i
(4)
= x
i
(3)
- 0,5 x
i
-1
(4)
m
i
= x
i
(5)
= x
i
(4)
+ 0,4 x
i
-1
(5)
19
Przekształcenie transmitancji
dyskretnej na równanie różnicowe
bezpośrednia,
kaskadowa,
równoległa
1
1
2
1
2
1
4
,
0
1
7
5
,
0
1
1
3
2
,
0
1
,
0
1
6
,
0
4
,
2
3
)
(
)
(
z
z
z
z
z
z
z
E
z
M
W
1
= - 3
W
z
2
1
1
1 05
,
W
z
3
1
7
1 04
,
x
i
(1)
= - 3 e
i
x
i
(2)
= - e
i
- 0,5 x
i
-1
(2)
x
i
(3)
= 7 e
i
+ 0,4 x
i
-1
(3)
m
i
= x
i
(1)
+ x
i
(2)
+ x
i
(3)
20
Struktury modeli dyskretnych
FILTR
ZAKŁÓCENIA
H(z)
OBIEKT
G(z)
y
i
e
i
u
i
zakłócenia
niemierzaln
e
i
nk
i
i
nk
i
i
e
z
D
z
C
u
z
F
z
B
e
z
H
u
z
G
y
z
A
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
Boxa - Jenkinsa (BJ)
ARMAX (ang. AutoRegresive Moving-Average eXtended)
A(z
-1
) y
i
= B(z
-1
) u
i -nk
+ C(z
-1
) e
i
A(z
-1
) y
i
= B(z
-1
) u
i -nk
+ e
i
ARX dla szumu szerokopasmowego czyli szumu zbliżonego do białego o wariancji
2
Jeżeli sygnał wejściowy u
i
= 0 lub e
i
= 0
wtedy mamy do czynienia z ciągiem czasowym
Najpopularniejszy model to ARMA
MA
część
AR
część
nc
i
nc
i
i
nd
nd
i
i
i
e
c
e
c
e
y
d
y
d
y
d
y
1
1
1
2
2
1
1
y
C z
z
D z
e
i
d
i
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
Model ARIMA d = 1 to ciąg
niestacjonarny o zmieniającej
się wartości średniej
21
Praktyczne zasady (1)
T
g
= 1/f
g
t
f(t)
Czas próbkowania powinien być co najmniej
T
g
/2, w praktyce T
g
/8 (osiem próbek)
.
.
• liczba poziomów kwantowania
• czas próbkowania T
Częstotliwości granicznej sygnału f
g
, którą można oszacować
z amplitudowej charakterystyki częstotliwościowej
lub odpowiedzi skokowej dla obiektu pierwszego rzędu
:
g
(3 dB)
z
=
p
T
1
g
(3 dB) - pulsacja graniczna 3 dB,
z
- pulsacja załamania,
T
u
- czas ustalania się (regulacji),
T
p
- stała czasowa obiektu
(procesu).
T
u
3T
p
u
p
g
T
T
f
2
1
2
1
Rozróżnialne poziomy powinny być
oddalone od siebie o wartość równą,
co najmniej amplitudzie szumów.
SZ
S
s
P
P
f
1
log
2
max
=
C
s
bit
Hartleya i Shannona
22
Praktyczne zasady (2)
Podsumowując można stwierdzić, że czas próbkowania T jest
wielkością krytyczną. Typowo dobiera się jako 1/10 dominującej
stałej czasowej obiektu, jeżeli obiekt ma zauważalny czas
opóźnienia L to T≈0,33 L. Jeżeli sterowanie jest w dalszym ciągu
nie zadowalające (np. nieminimalnofazowy proces) to należy
zmniejszyć czas próbkowania a jeżeli to nie pomoże to należy
zmienić prawo sterownia (np. sterowanie predykcyjne)
Jeżeli projektowanie realizowane jest przy użyciu metody
podstawienia (bezpośredniego projektowania regulatora) to
częstotliwość próbkowania powinna być 20 razy większa od
pasma przenoszenia obiektu natomiast, jeżeli stosujemy metodę
bezpośrednią (bezpośredniego projektowania cyfrowego) to
częstotliwość próbkowania powinna być mniejsza i być około
2 razy większa od pasma przenoszenia. W praktyce jednak,
aby móc pozbyć się losowych zakłóceń stosujemy częstotliwość
próbkowania co najmniej 20 razy większa od pasma przenoszenia
dla układu zamkniętego
23
Dziękuję za uwagę
i zapraszam do wykorzystywania
tej wiedzy w laboratorium i praktyce