9.04.21
1/16
Wykład 5
MATEMATYKA
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI
JEDNEJ ZMIENNEJ
ZAOCZNE STUDIA ZAWODOWE
WYDZIEŁ LEŚNY
2010/2011
9.04.21
1/16
Wykład 5
MATEMATYKA
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI
JEDNEJ ZMIENNEJ
ZAOCZNE STUDIA ZAWODOWE
WYDZIEŁ LEŚNY
2010/2011
9.04.21
2/16
Pojęcie całki
nieoznaczonej I
Def. Niech będzie dana funkcja f(x) określona w
przedziale X. Funkcją pierwotną funkcji f(x) w
przedziale X nazywamy taką funkcję F(x) , że dla
każdego xX zachodzi
F'(x)=f(x)
lub warunek równoważny
dF(x)=f(x)dx
Def. Całka nieoznaczona to zbiór funkcji
pierwotnych funkcji f(x). Zapisywana jest
C
)
x
(
F
dx
)
x
(
f
9.04.21
3/16
Pojęcie całki
nieoznaczonej II
Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja
f(x) jest ciągła w przedziale X, to posiada w tym
przedziale funkcję pierwotną.
Funkcje elementarne, których całki są funkcjami
nieelementarnymi:
x
e
)
x
(
f
;
x
x
sin
)
x
(
f
;
e
)
x
(
f
x
x
2
9.04.21
4/16
Podstawowe wzory
całkowe
1
K
,
C
1
K
x
dx
x
1
K
K
C
|
x
|
ln
dx
x
1
C
x
cos
xdx
sin
C
x
sin
xdx
cos
C
ctgx
dx
sin
2
C
x
arcsin
dx
x
1
1
2
C
x
dx
1
C
e
dx
e
x
x
C
arctgx
dx
x
1
1
2
C
a
ln
a
dx
a
x
x
C
tgx
dx
cos
2
9.04.21
5/16
Licząc całki
• Licząc całki korzystamy z twierdzenia:
Tw. Jeżeli funkcja f(x) oraz g(x) są całkowalne,
to funkcja (f(x)+g(x)) jest też całkowalna, oraz
dx
)
x
(
g
dx
)
x
(
f
dx
)]
x
(
g
)
x
(
f
[
dx
)
x
(
f
A
dx
)
x
(
Af
9.04.21
6/16
Metody całkowania I
• Tw. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcja u(x) i
v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne
u'(x) i v'(x) , to w tym przedziale zachodzi:
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
9.04.21
7/16
Metody całkowania II
• Tw. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x))
1.
Jeżeli f(x)=g(h(x))·h'(x) w przedziale X
2. Jeżeli h(x)=t jest różniczkowalna w przedziale X i
przekształca ten przedział na T
3. g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t), to
prawdziwa jest równość:
Zostało dokonane podstawienie h(x)=t. Różniczka dt,
zostaje wyznaczona przez różniczkę funkcji h(x):
h(x)=t,
dh(x)=h'(x)dx=1·dt , skąd dt=h'(x)dx
C
))
x
(
h
(
G
C
)
t
(
G
dt
)
t
(
g
dx
)
x
(
h
))
x
(
h
(
g
dx
)
x
(
f
9.04.21
8/16
Podział normalny
• f(x) – funkcja określona i ograniczona na
przedziale <a,b>
• Tworzymy podział normalny zbioru <a,b>
x
i
=(x
i
,x
i-1
)
• Wybieramy dowolny punkt z przedziału <x
i-
1
,x
i
>
z
i
<x
i-1
,x
i
>
• Tworzymy sumę całkową funkcji f(x) na
przedziale <a,b>
n
i
i
i
n
x
z
f
S
1
)
(
9.04.21
9/16
Definicja oraz
interpretacja całki
oznaczonej
• Def. Jeżeli dla każdego podziału normalnego
odpowiadający mu ciąg sum całkowych S
n
jest
zbieżny do tej samej granicy S przy (n ) i nie
zależy od wyboru punktu z
i
, to mówimy, że f(x) jest
całkowalna w sensie Riemanna na <a,b> i granicę
S nazywamy całką Riemanna funkcji f(x) na <a,b>.
Całkę taką zapisujemy
dx
)
x
(
f
b
a
9.04.21
10/16
Podstawowe twierdzenia o
całkach I
• Tw. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest
całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale.
• Tw.
1. Jeżeli f(x) oraz g(x) są określone i ograniczone
w przedziale <a,b>
2. Jeśli funkcje te różnią się co najwyżej w N-
punktach przedziału <a,b>
3. Funkcja f(x) jest całkowalna w <a,b>, to
dx
)
x
(
g
dx
)
x
(
f
b
a
b
a
9.04.21
11/16
Podstawowe twierdzenia o
całkach II
• Tw. (własność całki oznaczonej) Jeśli f(x) jest całkowalna w
przedziale <a,b>, to:
1. jeśli h(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> wtedy
2. jeśli c jest dowolną stałą, to c·f(x) jest całkowalna oraz ,
3. jeśli c<a,b>, wtedy ,
4. ,
5. .
,
)
(
)
(
)
(
)
(
dx
x
h
dx
x
f
dx
x
h
x
f
b
a
b
a
b
a
,
)
(
)
(
dx
x
f
c
dx
x
cf
b
a
b
a
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
b
c
c
a
b
a
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
a
b
b
a
0
dx
)
x
(
f
a
a
9.04.21
12/16
Całka oznaczona
wyrażona przez całkę
nieoznaczoną !!!
• Tw. (Newtona-Leibniza) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w
przedziale <a,b>, F(x) jest dowolną jej funkcją pierwotną
w tym przedziale, to
• Uwaga:
Całka nieoznaczona jest funkcją (zbiorem funkcji
pierwotnych).
Całka oznaczona jest liczbą.
)
a
(
F
)
b
(
F
dx
)
x
(
f
b
a
9.04.21
13/16
Zastosowanie całki
oznaczonej I
1. Pole obszaru na płaszczyźnie będącego zbiorem punktów
(x,y) spełniających relację x<a,b>, g(x)yf(x) wyraża
się wzorem
2. Wartość całki wyraża objętość bryły
obrotowej powstałej z obrotu krzywej będącej wykresem
funkcji f(x) wokół osi 0X.
r = f(x), h = dx, dv=f
2
(x)dx
( v= r
2
·h wzór na objętość walca)
dx
))
x
(
g
)
x
(
f
(
P
b
a
dx
)
x
(
f
V
2
b
a
9.04.21
14/16
Zastosowanie całki
oznaczonej II
3. Całką oznaczoną obliczamy pracę jaką
wykona siła skierowana zgodnie z osią 0X przy
przesunięciu wzdłuż osi 0X od punktu a do b
4. Jeśli punkt materialny porusza się z
prędkością v(t), to droga jaką przebędzie w
czasie t=t
2
-t
1
wyrażona jest przez całkę
dx
)
x
(
F
aca
Pr
b
a
dt
)
t
(
v
S
2
1
t
t
9.04.21
15/16
Zastosowanie całki
oznaczonej III
5. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa
ciągła należy do przedziału (a,b):
gdzie f(x) jest funkcją gęstości rozkładu
zmiennej losowej X.
(rozkład Normalny)
dx
x
f
b
X
a
P
b
a
)
(
)
(
9.04.21
16/16
?
dziękuję