9.04.21

1/16

Wykład 5

MATEMATYKA

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI

JEDNEJ ZMIENNEJ

ZAOCZNE STUDIA ZAWODOWE

WYDZIEŁ LEŚNY

2010/2011

9.04.21

2/16

Pojęcie całki

nieoznaczonej I

Def. Niech będzie dana funkcja f(x) określona w
przedziale X. Funkcją pierwotną funkcji f(x) w
przedziale X nazywamy taką funkcję F(x) , że dla
każdego xX zachodzi

F'(x)=f(x)

lub warunek równoważny

dF(x)=f(x)dx

Def. Całka nieoznaczona to zbiór funkcji
pierwotnych funkcji f(x). Zapisywana jest

C

)

x

(

F

dx

)

x

(

f







9.04.21

3/16

Pojęcie całki

nieoznaczonej II

Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja
f(x) jest ciągła w przedziale X, to posiada w tym
przedziale funkcję pierwotną.

Funkcje elementarne, których całki są funkcjami
nieelementarnymi:

x

e

)

x

(

f

;

x

x

sin

)

x

(

f

;

e

)

x

(

f

x

x

2









9.04.21

4/16

Podstawowe wzory

całkowe

1

K

,

C

1

K

x

dx

x

1

K

K















C

|

x

|

ln

dx

x

1







C

x

cos

xdx

sin









C

x

sin

xdx

cos







C

ctgx

dx

sin

2











C

x

arcsin

dx

x

1

1

2









C

x

dx

1









C

e

dx

e

x

x







C

arctgx

dx

x

1

1

2









C

a

ln

a

dx

a

x

x







C

tgx

dx

cos

2









9.04.21

5/16

Licząc całki

• Licząc całki korzystamy z twierdzenia:

Tw. Jeżeli funkcja f(x) oraz g(x) są całkowalne,
to funkcja (f(x)+g(x)) jest też całkowalna, oraz

dx

)

x

(

g

dx

)

x

(

f

dx

)]

x

(

g

)

x

(

f

[













dx

)

x

(

f

A

dx

)

x

(

Af







9.04.21

6/16

Metody całkowania I

• Tw. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcja u(x) i

v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne
u'(x) i v'(x) , to w tym przedziale zachodzi:

dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(















9.04.21

7/16

Metody całkowania II

• Tw. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x))

1.

Jeżeli f(x)=g(h(x))·h'(x) w przedziale X

2. Jeżeli h(x)=t jest różniczkowalna w przedziale X i

przekształca ten przedział na T
3. g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t), to

prawdziwa jest równość:

Zostało dokonane podstawienie h(x)=t. Różniczka dt,

zostaje wyznaczona przez różniczkę funkcji h(x):
h(x)=t,
dh(x)=h'(x)dx=1·dt , skąd dt=h'(x)dx

C

))

x

(

h

(

G

C

)

t

(

G

dt

)

t

(

g

dx

)

x

(

h

))

x

(

h

(

g

dx

)

x

(

f























9.04.21

8/16

Podział normalny

• f(x) – funkcja określona i ograniczona na

przedziale <a,b>

• Tworzymy podział normalny zbioru <a,b>

x

i

=(x

i

,x

i-1

)

• Wybieramy dowolny punkt z przedziału <x

i-

1

,x

i

>

z

i

 <x

i-1

,x

i

>

• Tworzymy sumę całkową funkcji f(x) na

przedziale <a,b>











n

i

i

i

n

x

z

f

S

1

)

(

9.04.21

9/16

Definicja oraz

interpretacja całki

oznaczonej

• Def. Jeżeli dla każdego podziału normalnego

odpowiadający mu ciąg sum całkowych S

n

jest

zbieżny do tej samej granicy S przy (n ) i nie

zależy od wyboru punktu z

i

, to mówimy, że f(x) jest

całkowalna w sensie Riemanna na <a,b> i granicę
S nazywamy całką Riemanna funkcji f(x) na <a,b>.
Całkę taką zapisujemy

dx

)

x

(

f

b

a



9.04.21

10/16

Podstawowe twierdzenia o

całkach I

• Tw. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest

całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale.

• Tw.

1. Jeżeli f(x) oraz g(x) są określone i ograniczone
w przedziale <a,b>
2. Jeśli funkcje te różnią się co najwyżej w N-
punktach przedziału <a,b>
3. Funkcja f(x) jest całkowalna w <a,b>, to

dx

)

x

(

g

dx

)

x

(

f

b

a

b

a







9.04.21

11/16

Podstawowe twierdzenia o

całkach II

• Tw. (własność całki oznaczonej) Jeśli f(x) jest całkowalna w

przedziale <a,b>, to:
1.     jeśli h(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> wtedy

2.     jeśli c jest dowolną stałą, to c·f(x) jest całkowalna oraz ,

3.     jeśli c<a,b>, wtedy ,

4.  ,

5.     .

 

,

)

(

)

(

)

(

)

(

dx

x

h

dx

x

f

dx

x

h

x

f

b

a

b

a

b

a













,

)

(

)

(

dx

x

f

c

dx

x

cf

b

a

b

a







dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

b

c

c

a

b

a











dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

a

b

b

a









0

dx

)

x

(

f

a

a





9.04.21

12/16

Całka oznaczona

wyrażona przez całkę

nieoznaczoną !!!

• Tw. (Newtona-Leibniza) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w

przedziale <a,b>, F(x) jest dowolną jej funkcją pierwotną

w tym przedziale, to

• Uwaga:

Całka nieoznaczona jest funkcją (zbiorem funkcji

pierwotnych).
Całka oznaczona jest liczbą.

)

a

(

F

)

b

(

F

dx

)

x

(

f

b

a







9.04.21

13/16

Zastosowanie całki

oznaczonej I

1. Pole obszaru na płaszczyźnie będącego zbiorem punktów

(x,y) spełniających relację x<a,b>, g(x)yf(x) wyraża

się wzorem

2. Wartość całki wyraża objętość bryły

obrotowej powstałej z obrotu krzywej będącej wykresem

funkcji f(x) wokół osi 0X.
r = f(x), h = dx, dv=f

2

(x)dx

( v= r

2

·h wzór na objętość walca)

dx

))

x

(

g

)

x

(

f

(

P

b

a







dx

)

x

(

f

V

2

b

a









9.04.21

14/16

Zastosowanie całki

oznaczonej II

3. Całką oznaczoną obliczamy pracę jaką

wykona siła skierowana zgodnie z osią 0X przy
przesunięciu wzdłuż osi 0X od punktu a do b

4. Jeśli punkt materialny porusza się z

prędkością v(t), to droga jaką przebędzie w
czasie t=t

2

-t

1

wyrażona jest przez całkę

dx

)

x

(

F

aca

Pr

b

a





dt

)

t

(

v

S

2

1

t

t





9.04.21

15/16

Zastosowanie całki

oznaczonej III

5. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa

ciągła należy do przedziału (a,b):

gdzie f(x) jest funkcją gęstości rozkładu

zmiennej losowej X.

(rozkład Normalny)

dx

x

f

b

X

a

P

b

a

)

(

)

(









9.04.21

16/16

?

dziękuję