XXXII Ogólnopolska Konferencja Naukowo-Szkoleniowa
Zastosowań Matematyki
dr inż. Michał PRĄCIK
Instytut Mechaniki Stosowanej
Politechnika Krakowska
Tomasz SZLACHETKA
student Instytutu Matematyki
Uniwersytet Jagielloński
Niejednoznaczność rozwiązań problemu skalowania czasu
przy identyfikacji parametrycznej modeli dynamicznych
Zakopane - Kościelisko, 16 - 23 września 2003 r.
Estymacja przewidywanego czasu życia urządzenia,
dla wybranego, nieliniowego modelu ewolucyjnego
eksploatacji systemu dynamicznego
Model typu epidemiologicznego
i - ilość elementów bieżąco zużywających się (docieranych) albo znajdujących się
w trakcie procesu uszkadzania,
s - ilość elementów narażonych na zużycie albo uszkodzenie,
g - ilość elementów zniszczonych,
r - ilość elementów „dotartych” o nieskończonej trwałości zmęczeniowej.
Dla układu odosobnionego (bez obsługi, bez wymiany części) zachodzi równość:
i + s + g + r = c = const.
Wprowadza się normalizację przez następujące podstawienia:
u = i/c v = s/c w = g/c z = r/c
przy których spełniony jest warunek: u + v + w + z = 1.
Zinterpretujmy u, v, w, z jako kwadraty cosinusów kierunkowych wektora stanu w
hiperprzestrzeni 4-ro wymiarowej, zatem przyjmujemy że:
cos2(i) = u(t) cos2(s) = v(t) cos2(d) = w(t) cos2(r) = z(t)
Wektor stanu ma wówczas składowe:
R R
u(t), R
v(t), R
w(t), R
z(t),
gdzie: R
- jest długością wektora stanu.
R
R
i
s
r
d
h ip e r s to ż e k
" a w a r i i "
c i ą g łe
m o n i t o r o w a n i e
p o m i a r d y s k r e t n y
" a w a r i a "
T r a je k t o r i a p r o c e s u d i a g n o s ty c z n e g o n a h ip e r s f e r z e s ta n u u k ła d u .
R - w e k to r s ta n u ( o b r a z u d i a g n o s ty c z n e g o )
s - i l o ś ć e l e m e n tó w n a r a ż o n y c h n a z u ż y c i e l u b u s z k o d z e n i e
i - i l o ś ć e l e m e n t ó w b i e ż ą c o z u ż y w a j ą c y c h s ię ( d o c i e r a n y c h ) l u b
z n a j d u j ą c y c h s i ę w tr a k c i e p r o c e s u u s z k a d z a n i a
d - i lo ś ć e l e m e n t ó w z n i s z c z o n y c h
r - i l o ś ć e l e m e n t ó w " d o ta r t y c h " o n i e s k o ń c z o n e j t r w a ł o ś c i z m ę c z e n i o w e j
g
g
Nieliniowy model ewolucyjny eksploatacji systemu dynamicznego
]
)
β
1
[(
)
β
(
)
α
(
)
α
(
1
1
1
1
t
i
ceil
t
r
t
i
floor
t
g
t
i
t
s
t
s
floor
t
s
t
i
t
s
t
s
floor
t
r
t
g
t
s
t
i
.
const
c
r
g
s
i
t
t
t
t
dt
i
dr
dt
i
dg
dt
i
s
s
ds
dt
i
s
s
di
)
β
1
(
β
α
)
1
α
(
.
const
c
r
g
s
i
Zagadnienie skalowania czasu
dyskretny
zapis
ciągły
o
o
o
s
x
C
s
s
s
x
B
s
s
s
x
A
x
t
ln
ln
ln
α
1
)
(
2
2
1
1
s
s
t
t
o
o
dt
ds
s
Ns
s
)
1
α
(
1
2
0
0
0
α
1
s
i
s
N
s
x
α
4
2
N
o
s
x
,
0
α
2
1
N
s
α
2
2
N
s
2
1
1
1
s
s
s
A
2
1
2
1
s
s
s
B
2
1
1
s
s
C
t = 1
= ?
0
0
2200
50
0
0
0
0
r
g
s
i
Rozwiązania układu równań iteracyjnych w postaci graficznej
0 10
t wskaźnik czasu dyskretyzowanego (o stałym przyroście dyskretnym t = 1)
s
0
5
10
0
1000
2000
3000
i
0
5
10
0
500
1000
g
0
5
10
0
100
200
r
0
5
10
0
1000
2000
3000
max 4
Skalowanie czasu dla rozwiązania iteracyjnego (liniowe)
skal
tmax
max
zatem
t 1 odpowiada
tmax
max
[jednostek czasu rzeczywistego]
gdy 4
2.2 10
3
1
x
smin
10
0
t x
( )
0
5
10
0
1000
2000
3000
tmax t smin
(
)
tmax 8.528
[j.czasu rzeczywistego]
Rozwiązanie ciągłe z u.r.r.
1
smin
gmax
rmax
2.25
10
3
smin
Gmax
Rmax
2.251
10
3
s
0
i
0
g
0
r
0
2.25
10
3
rmax
2097
Rmax
1719
0
1000
2000
3000
0
5
10
r
0
1000
2000
0
5
10
15
T x1 G1 R
( )
(
)
(
)
1719
R
gmax
109
Gmax
91
0
50
100
150
0
5
10
g
0
50
100
150
200
0
5
10
T x1 G
( )
(
)
91
G
imax
989
Imax
704
0
500
1000
0
5
10
i
0
200
400
600
800
0
20
40
60
T I1 I
( )
(
)
T I2 I
( )
(
)
704
I
smin
44
smin
441
0
5
10
0
1000
2000
3000
s
0
5
10
15
0
1000
2000
3000
x
smin
t x
( )
Skalowanie wg podobieństwa wykresów np. żądamy aby w chwilach odpowiadających kolejnym
wartościom t , wartości funkcji s(t) były równe wartościom x(t), wtedy ciąg odpowiadający
kolejnym wartościom t wyrażony jako ciąg wartości w jednostkach czasu rzeczywistego
można obliczyć posługując się funkcją t(x):
t s
0
0
t s
1
0.451
......
t s
4
1.2
i ogólnie scal2
t s
[j. czasu rz.]
1.319
1.2
scal2
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
2
1
0
1
2
real time
scal1
scal2
0
2
4
6
8
10
0
5
10
discrete time index
i.e. No. of iteration step
Dyskusja wyników
Czas ma być wielkością monotonicznie rosnącą, lub niemalejącą
zatem uzyskane rozwiązanie
(zagadnienia skalowania wg podobieństwa wykresów) ma sens fizyczny :
natomiast poczynając od
3 jest
t
( ) = tmax
czas
t s
Ostatecznie czas skalowany ma postać:
scal1
if 4 skal
tmax
wg metody liniowego skalowania
scal2
if 3
czas
tmax
wg metody podobieństwa wykresów
rozwiązań: ciagłego i dyskretnego
Estymacja współczynników modelu AR układu mechanicznego drgającego,
dokonywana pod kątem oceny wpływu jakości pomiarów identyfikacyjnych
F
0
)
2
(
)
1
(
2
1
T
k
x
a
T
k
x
a
kT
x
?
?
Estymacja współczynników modelu AR układu mechanicznego drgającego
0
2
x
k
dt
dx
c
dt
x
d
d
d
)
(
)
(
)
(
s
s
s
kT
rnd
kT
x
kT
s
0
)0
(
x
t
x
0
0
x
dt
dx
t
0
)2
(
)1
(
2
1
T
k
x
a
T
k
x
a
kT
x
0
2
d
d
k
c
kT
e
C
kT
t
x
1
)
(
0
2
1
2
a
e
a
e
T
T
0
)2
(
1
)1
(
2
1
2
2
2
T
k
x
T
T
k
x
T
c
T
kT
x
k
T
c
T
d
d
d
Generacja: wartość zdeterminowana + w. losowa
Model autoregresyjny AR
r. charakterystyczne
2
c
0.07
T
0 0.01
1.5
k
0.6
a1 T
( )
c
T
2
k T
2
c T
1
a2 T
( )
1
k T
2
c T
1
0
0.5
1
1.5
2
1.85
1.7
1.55
1.4
1.25
1.1
0.95
0.8
0.65
0.5
a11 T
( )
a1 T
( )
T
0
0.5
1
1.5
0.4
0.6
0.8
a22 T
( )
a2 T
( )
T
porównanie rozwiązań uzyskanych z wykorzystaniem definicji pochodnych jako
ilorazów różnicowych odpowiednich rzędów, z rozwiązaniami ciągłymi-próbkowanymi
c
2
4 k
2.395
1
c
2
1
0.035
0.774i
2
c
2
2
0.035
0.774i
a11 T
( )
exp 1 T
exp 2 T
a22 T
( )
exp 1 2
T
współcz. dyskretne z r. różnicowego
współcz. z r. ciągłych r.r. z dyskretyzacją czasu
Wpływ czasu próbkowania na zmienność identyfikowanych współczynników
Konstrukcja sub-bloku rozwiązania z wykorzystaniem modelu AR
Porównanie rozwiązań: ścisłego, numerycznego R-K IV rz. i przy modelu AR