XXXII Ogólnopolska Konferencja Naukowo-Szkoleniowa

Zastosowań Matematyki

dr inż. Michał PRĄCIK
Instytut Mechaniki Stosowanej
Politechnika Krakowska
Tomasz SZLACHETKA
student Instytutu Matematyki
Uniwersytet Jagielloński

Niejednoznaczność rozwiązań problemu skalowania czasu

przy identyfikacji parametrycznej modeli dynamicznych

Zakopane - Kościelisko, 16 - 23 września 2003 r.

Estymacja przewidywanego czasu życia urządzenia,

dla wybranego, nieliniowego modelu ewolucyjnego

eksploatacji systemu dynamicznego

Model typu epidemiologicznego

i - ilość elementów bieżąco zużywających się (docieranych) albo znajdujących się
w trakcie procesu uszkadzania,
s - ilość elementów narażonych na zużycie albo uszkodzenie,
g - ilość elementów zniszczonych,
r - ilość elementów „dotartych” o nieskończonej trwałości zmęczeniowej.
Dla układu odosobnionego (bez obsługi, bez wymiany części) zachodzi równość:
i + s + g + r = c = const.
Wprowadza się normalizację przez następujące podstawienia:
u = i/c v = s/c w = g/c z = r/c
przy których spełniony jest warunek: u + v + w + z = 1.

Zinterpretujmy u, v, w, z jako kwadraty cosinusów kierunkowych wektora stanu w

hiperprzestrzeni 4-ro wymiarowej, zatem przyjmujemy że:
cos2(i) = u(t) cos2(s) = v(t) cos2(d) = w(t) cos2(r) = z(t)

Wektor stanu ma wówczas składowe:

R R

u(t), R

v(t), R

w(t), R

z(t),





























gdzie: R



- jest długością wektora stanu.

R

R

i

s

r

d

h ip e r s to ż e k

" a w a r i i "

c i ą g łe

m o n i t o r o w a n i e

p o m i a r d y s k r e t n y

" a w a r i a "

T r a je k t o r i a p r o c e s u d i a g n o s ty c z n e g o n a h ip e r s f e r z e s ta n u u k ła d u .

R - w e k to r s ta n u ( o b r a z u d i a g n o s ty c z n e g o )
s - i l o ś ć e l e m e n tó w n a r a ż o n y c h n a z u ż y c i e l u b u s z k o d z e n i e

i - i l o ś ć e l e m e n t ó w b i e ż ą c o z u ż y w a j ą c y c h s ię ( d o c i e r a n y c h ) l u b

z n a j d u j ą c y c h s i ę w tr a k c i e p r o c e s u u s z k a d z a n i a

d - i lo ś ć e l e m e n t ó w z n i s z c z o n y c h

r - i l o ś ć e l e m e n t ó w " d o ta r t y c h " o n i e s k o ń c z o n e j t r w a ł o ś c i z m ę c z e n i o w e j

g

g

Nieliniowy model ewolucyjny eksploatacji systemu dynamicznego



































































































]

)

β

1

[(

)

β

(

)

α

(

)

α

(

1

1

1

1

t

i

ceil

t

r

t

i

floor

t

g

t

i

t

s

t

s

floor

t

s

t

i

t

s

t

s

floor

t

r

t

g

t

s

t

i

.

const

c

r

g

s

i

t

t

t

t











dt

i

dr

dt

i

dg

dt

i

s

s

ds

dt

i

s

s

di







































)

β

1

(

β

α

)

1

α

(

.

const

c

r

g

s

i











Zagadnienie skalowania czasu

dyskretny

zapis

ciągły









































































o

o

o

s

x

C

s

s

s

x

B

s

s

s

x

A

x

t

ln

ln

ln

α

1

)

(

2

2

1

1











s

s

t

t

o

o

dt

ds

s

Ns

s

)

1

α

(

1

2





0

0

0

α

1

s

i

s

N







s

x 

α

4

2





 N

o

s

x

,

0



α

2

1







N

s

α

2

2







N

s





2

1

1

1

s

s

s

A









2

1

2

1

s

s

s

B





2

1

1

s

s

C



t = 1

 = ?



















































0

0

2200

50

0

0

0

0

r

g

s

i

Rozwiązania układu równań iteracyjnych w postaci graficznej



0 10



 t wskaźnik czasu dyskretyzowanego (o stałym przyroście dyskretnym t = 1)

s





0

5

10

0

1000

2000

3000

i





0

5

10

0

500

1000

g





0

5

10

0

100

200

r





0

5

10

0

1000

2000

3000

 max 4

Skalowanie czasu dla rozwiązania iteracyjnego (liniowe)

 skal



tmax

 max



zatem

 t 1 odpowiada

tmax

 max

[jednostek czasu rzeczywistego]

gdy  4

2.2 10

3



1

x

smin

10

0

t x

( )

0

5

10

0

1000

2000

3000

tmax t smin

(

)

tmax 8.528



[j.czasu rzeczywistego]

Rozwiązanie ciągłe z u.r.r.

1

smin

gmax



rmax



2.25

10

3





smin

Gmax



Rmax



2.251

10

3





s

0

i

0



g

0



r

0



2.25

10

3





rmax

2097



Rmax

1719



0

1000

2000

3000

0

5

10



r



0

1000

2000

0

5

10

15

T x1 G1 R

( )

(

)

(

)

1719

R

gmax

109



Gmax

91



0

50

100

150

0

5

10



g



0

50

100

150

200

0

5

10

T x1 G

( )

(

)

91

G

imax

989



Imax

704



0

500

1000

0

5

10



i



0

200

400

600

800

0

20

40

60

T I1 I

( )

(

)

T I2 I

( )

(

)

704

I

smin

44



smin

441



0

5

10

0

1000

2000

3000

s





0

5

10

15

0

1000

2000

3000

x

smin

t x

( )

Skalowanie wg podobieństwa wykresów np. żądamy aby w chwilach odpowiadających kolejnym
wartościom t , wartości funkcji s(t) były równe wartościom x(t), wtedy ciąg odpowiadający

kolejnym wartościom t wyrażony jako ciąg wartości w jednostkach czasu rzeczywistego

można obliczyć posługując się funkcją t(x):

t s

0

0



t s

1

0.451



......

t s

4

1.2



i ogólnie  scal2



t s



[j. czasu rz.]

1.319

1.2

 scal2

10

0



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

2

1

0

1

2

real time

 scal1

 scal2



0

2

4

6

8

10

0

5

10

discrete time index

i.e. No. of iteration step

Dyskusja wyników

Czas ma być wielkością monotonicznie rosnącą, lub niemalejącą

zatem uzyskane rozwiązanie

(zagadnienia skalowania wg podobieństwa wykresów) ma sens fizyczny :

natomiast poczynając od

 3 jest

t 

( ) = tmax

czas



t s



Ostatecznie czas skalowany ma postać:

 scal1



if  4  skal





tmax



wg metody liniowego skalowania

 scal2



if  3



czas





tmax



wg metody podobieństwa wykresów

rozwiązań: ciagłego i dyskretnego

Estymacja współczynników modelu AR układu mechanicznego drgającego,
dokonywana pod kątem oceny wpływu jakości pomiarów identyfikacyjnych

F

 









0

)

2

(

)

1

(

2

1











T

k

x

a

T

k

x

a

kT

x

?

?

Estymacja współczynników modelu AR układu mechanicznego drgającego

0

2







x

k

dt

dx

c

dt

x

d

d

d

)

(

)

(

)

(

s

s

s

kT

rnd

kT

x

kT

s





0

)0

(

x

t

x





0

0

x

dt

dx

t







 









0

)2

(

)1

(

2

1











T

k

x

a

T

k

x

a

kT

x

0

2







d

d

k

c 



kT

e

C

kT

t

x



1

)

(





 

 

0

2

1

2







a

e

a

e

T

T





 









0

)2

(

1

)1

(

2

1

2

2

2

























































T

k

x

T

T

k

x

T

c

T

kT

x

k

T

c

T

d

d

d

Generacja: wartość zdeterminowana + w. losowa

Model autoregresyjny AR

r. charakterystyczne

2

c

0.07



T

0 0.01



1.5





k

0.6



a1 T

( )

c



T



2



k T

2



c T





1





a2 T

( )

1

k T

2



c T





1





0

0.5

1

1.5

2

1.85

1.7

1.55

1.4

1.25

1.1

0.95

0.8

0.65

0.5

a11 T

( )

a1 T

( )

T

0

0.5

1

1.5

0.4

0.6

0.8

a22 T

( )

a2 T

( )

T

porównanie rozwiązań uzyskanych z wykorzystaniem definicji pochodnych jako
ilorazów różnicowych odpowiednich rzędów, z rozwiązaniami ciągłymi-próbkowanymi



c

2

4 k









2.395





1

c







2



1

0.035



0.774i





2

c







2



2

0.035



0.774i





a11 T

( )

exp 1 T







exp 2 T

















a22 T

( )

exp 1 2







T









współcz. dyskretne z r. różnicowego

współcz. z r. ciągłych r.r. z dyskretyzacją czasu

Wpływ czasu próbkowania na zmienność identyfikowanych współczynników

Konstrukcja sub-bloku rozwiązania z wykorzystaniem modelu AR

Porównanie rozwiązań: ścisłego, numerycznego R-K IV rz. i przy modelu AR