FIZYKA WOKÓŁ NAS

FIZYKA WOKÓŁ NAS

PIOTR BEDNARCZYK

PIOTR BEDNARCZYK

KATEDRA FIZYKI, ZAKŁAD BIOFIZYKI SGGW

KATEDRA FIZYKI, ZAKŁAD BIOFIZYKI SGGW

ul. Nowoursynowska 159, paw. 34, p. 76

ul. Nowoursynowska 159, paw. 34, p. 76

02-776 Warszawa

02-776 Warszawa

[e-mail]

[e-mail]

tel.: [phone](17), [phone]

tel.: [phone](17), [phone]

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 1

Znaleźć drogę, jaką przebędą w czasie t od początku ruchu, ciała o

masach M, m

1

, m

2

przedstawione na rys. 1, jeżeli współczynnik tarcia

mas m

1

, m

2

o płaszczyznę, na której leżą, wynosi f oraz wiadomo, że

nic ślizga się po bloku bez tarcia. Obliczyć również siły napinające nić.

Rys. 1. Schemat układu
ciał.

Rozwiązan
ie

Dane: M, m

1

, m

2

, f,

t
Szukane: S, N

1

, N

2

Rys. 2. Schemat układu z zaznaczonymi działającymi
siłami.

Napiszmy równania ruchu dla mas M, m

1

, m

2

, biorąc pod

uwagę siły działające na te ciała w kierunku ich ruchu:

Ma

N

Mg





1

a

m

T

N

N

1

2

1







a

m

T

N

2

2

2





(1)

(2)

(3)

gdzie T

1

i T

2

są siłami tarcia mas m

1

i m

2

o

podłoże:

g

fm

T

1

1



g

fm

T

2

2



(4)

(5)

oraz N

1

i N

2

są siłami napięcia nici.

Dodając stronami równania (1), (2) i (3)
otrzymujemy:

)

(

2

1

2

1

m

m

M

a

T

T

mg











Uwzględniając zależności (4) i (5), otrzymujemy po
przekształceniach:

g

m

m

M

m

m

f

M

a

2

1

2

1























Jak widać z otrzymanej zależności, przyspieszenie a jest
stałe, ruch ciał jest więc jednostajnie przyspieszony.
Poszukiwana droga S wyrazi się zatem zależnością
następującą:















































2

1

2

2

1

2

2

2

m

m

M

gt

m

m

f

M

S

at

S

(6)

N

1

obliczymy uwzględniając wyznaczone przyspieszenie (6)

z równania (1). Otrzymujemy więc:

2

1

2

1

1

m

m

M

m

m

f

M

Mg

N

Mg

























Rozwiązując powyższe równanie względem N

1

,

mamy:

2

1

2

1

1

1

m

m

M

g

f

m

m

M

N



































N

2

obliczamy wstawiając obliczone przyspieszenie do

równania (3):

2

1

2

1

2

2

2

m

m

M

f

m

m

M

g

m

g

fm

N

























Stąd ostatecznie
mamy:

2

1

2

2

1

m

m

M

g

f

Mm

N





















wyrażenie na naprężenie nici N

2

.

Na górnym brzegu równi pochyłej nachylonej pod kątem 

przymocowany jest blok, przez który przerzucono nić (nić
może się ślizgać bez tarcia po bloku). Na jednym końcu nici
przymocowane jest ciało o masie m leżące na równi, na
drugim wisi ciało o masie M, przy czym M > m (patrz rys. 3).
Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi f. Z jakim
przyśpieszeniem poruszają się te ciała? Jakie jest napięcie
nici?

PRZYKŁAD 2

PRZYKŁAD 2

Rys. 3. Schemat układu.

Rozwiązani
e

Dane: , M, m, f, g

Szukane: a, N

Rys. 4. Schemat układu z zaznaczonymi działającymi
siłami.

I sposób
Na ciało o masie M działa siła ciężkości równa Mg oraz
napięcie nici N. Biorąc pod uwagę zwroty działających sił
możemy zapisać równanie ruchu ciała o masie M:

Mg – N =
Ma

Siłę ciężkości mg działającą na ciało o masie m możemy
rozłożyć na dwie składowe:
x) składową równoległą do równi F

s

= mgsin spychającą

ciało z równi,
y) składową prostopadłą do równi F

n

= mgcos,

warunkującą powstanie siły tarcia T = fF

n

= fmgcos. Siła

tarcia ma zwrot przeciwny do ruchu ciała.
Poza tym na ciało o masie m działa siła napięcia nici N’.
Zakładając, że nić jest lekka i ślizga się bez tarcia po bloku,
mamy N = N’.
Równanie ruchu ciała o masie m można więc zapisać
następująco:

N - mgsin - fmgcos =

ma

(1)

(2)

Dodając stronami równania (1) i (2),
otrzymujemy:

Mg - mgsin - fmgcos = a(m

+M)

Rozwiązując powyższe równanie względem a, otrzymujemy
szukane przyśpieszenie:

m

M

g

f

m

M

a

































cos

sin

(3)

Wartość siły N obliczymy wstawiając wyznaczone
przyśpieszenie do równania (1). Otrzymamy wtedy:

m

M

f

m

M

N

Mg



























cos

sin

Po przekształceniu otrzymujemy ostatecznie poszukiwane
napięcie nici:

M

m

f

Mmg

N

























cos

sin

1

II sposób

Przyśpieszenie a obliczyć również można korzystając z
zasady zachowania energii (patrz rys. 5).

Rys. 5. Schemat układu – rozwiązanie z zastosowaniem
zasady zachowania energii.

Jeżeli założymy, że w chwili początkowej układ o masach m,
M był nieruchomy, to po upływie czasu t od początku ruchu
ciała te przemieszczą się o odcinek h, przy czym:

2

2

at

h

uzyskując przy tym prędkość:

at

V 

(4)

(5)

Ciało o masie M przesuwając się w dół o odcinek h
zmniejszy zasób energii potencjalnej o wartość . Na
koszt tej energii:
1) ciało o masie m zwiększy swoją energię potencjalną o
wartość:

Mgh



sin

1

mgh

mgh

2) ciała o masach M i m uzyskują energie kinetyczne
odpowiednio:

2

2

MV

2

2

mV

oraz

3) jako skutek występowania siły tarcia pojawi się energia
cieplna E

C

równa pracy, jaka zostanie wykonana przeciw sile

tarcia przy przesuwaniu ciała o masie m wzdłuż równi o
odcinek h:

h

fmg

h

T

c

E













cos

Uwzględniając powyższe równanie, możemy
zapisać:

h

fmg

mV

MV

mgh

Mgh















cos

2

2

sin

2

2

Jeżeli teraz uwzględnimy zależności (4) i (5), to otrzymamy:

2

cos

2

2

2

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

at

fmg

t

ma

t

Ma

at

mgh

at

Mg

















Po trywialnych przekształceniach otrzymujemy
ostatecznie:

m

M

g

m

M

a

































cos

sin