METODY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE 

PROJEKTOWANIA REGULATORA 

DLA UKŁADÓW SISO

Obecnie rozpatrzymy klasyczne częstotliwościowe 

metody sterowania układami o jednym wejściu i 

jednym wyjściu (SISO). Skoncentrujemy się na 

metodach kształtowania funkcji przejścia układu 

otwartego. W przypadku układów 

minimalnofazowych bardzo często wystarcza 

kształtowanie charakterystyki amplitudowo-

częstotliwościowej Bode’go. W przypadku obiektów 

nieminimalnofazowych niezbędne jest kształtowanie 

zarówno charakterystyki amplitudowej jak i 

charakterystyki fazowej. Ponadto zastosujemy tu 

proste metody heurystyczne, na przykład strojenie 

regulatora PID. 

 

 

Kształtowanie charakterystyki 

amplitudowej układu otwartego

• Przez transmitancję obiektu G(s) rozumiemy transmitancję 

obiektu uogólnionego, w skład którego obok obiektu 

włączone są transmitancje opisujące dynamikę wszystkich 

elementów automatyki z wyjątkiem regulatora. Układ 

otwarty jest opisany przez transmitancję L(s), która z kolei 

jest iloczynem transmitancji obiektu G(s) i transmitancji 

regulatora K(s):

• Ogólnie transmitancję dowolnego układu można przedstawić 

w postaci czynnikowej:

•

• czyli zbudowanej z członów:

•  

,

• gdzie wprowadziliśmy częstość znormalizowaną  



 = 



T. 

Wykresy Bodego tych członów z wykładnikiem –1 

przedstawia rysunek. 

)

(

)

(

)

(

s

s

s

K

G

L



 

 





 





































 



2

2

2

1

1

2

1

1

s

T

s

T

s

T

s

s

T

s

T

s

T

k

s

m

m

m

i

N

l

l

l

j













G

1

(1

)

j



 

2

1

[1 2 (

) (

) ]

l

j

j

x

�

+

W + W

 

 

Znormalizowane ch-ki 

częstotliwościowe

 

 

Logartytmiczne ch-ki częstotliwościowe

• Jeśli przedstawimy charakterystyki częstotliwościowe członów w skali 

logarytmicznej, to można je aproksymować liniami prostymi, łatwymi do 

wykreślenia. Przy podejściu logarytmicznym iloczyny członów (opisanych 

funkcjami zespolonymi) zastępuje się sumami (różnicami) ich modułów oraz sumą 

(różnicą) ich faz, np. dla funkcji:

• mamy:

• gdzie:                                   , itd., natomiast:                                       itd. 

Wykorzystanie powyższych wzorów pozwala na łatwe wykreślenie charakterystyk 

Bodego obiektu. 

• Jak już wspomniano charakterystyka układu otwartego jest iloczynem 

transmitancji obiektu i transmitancji regulatora, czyli:                                 Jeśli 

mamy na przykład regulator zapisany w postaci czynnikowej:

• gdzie:                                   , itd., natomiast:                                        itd., to 

charakterystyki układu otwartego wyznaczymy w następujący sposób:

• przy czym:                                      , itd., natomiast:                                             .

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1









j

j

j

j

G

G

G

G



),

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

3

2

1





































M

M

M

M







j

j

j

e

G

G

)

(

)

(



,

)

(

log

20

)

(

10





j

G

M



).

(

)

(

)

(

s

s

s

K

G

L



)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1









j

j

j

j

K

K

K

K









j

j

j

e

K

K

)

(

)

(



,

)

(

log

20

)

(

10





j

K

N



),

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1



































































L

L

N

N

N

M

M

M

M

L

j

j

j







e

L

L

)

(

)

(



)

(

log

20

)

(

10





j

L

L

M



 

 

Pożądane ch-ki układu zamkniętego

•

Przebieg charakterystyki układu zamkniętego wynika z zadań, które ma wypełniać układ 

sterowania oraz z narzuconych kryteriów jakości. Przykładowe pożądane charakterystyki 

amplitudowe układu zamkniętego przedstawione są na rysunku.

•

Charakterystyka narysowana linią ciągłą może dotyczyć serwomechanizmu. Początkowe strome 

dodatnie nachylenie charakterystyki ma zapewnić minimalne wzmocnienie w zakresie niskich 

częstości. Ma to na celu minimalizację uchybu ustalonego. Zgodnie z twierdzeniem o wartości 

końcowej uchyb ustalony układu zamkniętego (a tym samym odpowiedź układu przy zerowej 

wartości zdanej) wyznaczamy z zależności:

•

Ponieważ charakterystyka T(s)│s=jω dla małych częstości dąży do zera, to pierwszy składnik 

uchybu ustalonego dąży do zera. Niestety drugi składnik pozostaje duży. Dlatego powinniśmy 

zastosować kompensację zakłócenia, lub minimalizować wpływ zakłócenia przez dodatkowe filtry 

korygujące. Jeśli zakłócenia są małe, to wystarczy regulator, który zapewnia funkcję 

komplementarnej T(s) wrażliwości narysowaną linią ciągłą. 

 

 

   

     

s

s

s

s

s

s

s

s

s

t

d

s

s

s

t

st

ust

z

G

S

w

T

Y

y

y

e

0

0

0

lim

lim

lim





















A(ω)

ω

 

 

Ch-ka układu zamkniętego

•

Charakterystyka narysowana linią przerwaną, jest 

korzystna w przypadku czujników pomiarowych mających 

wewnętrzną pętlę regulacyjną. Tu współczynnik 

wzmocnienia powinien być maksymalnie stały w zakresie 

całego częstotliwościowego pasma pomiarowego. 

Zauważmy, że w zakresie wysokich częstości 

charakterystyka amplitudowa dla każdego układu 

zamkniętego powinna stromo spadać. W tym zakresie 

występują zazwyczaj zakłócenia (szumy układu), których nie 

należy wzmacniać. Punkt załamania charakterystyki zależy 

przede wszystkim od wymaganego pasma użytkowego 

układu i od rodzaju zastosowanych elementów automatyki. 

Z elementów elektrycznych możemy, ze względu na ich 

stałe czasowe, zbudować układ o znacznie szerszym paśmie 

przenoszenia (użytkowym), niż w przypadku zastosowania 

elementów pneumatycznych. Należy mieć na uwadze, że im 

szersze pasmo przenoszenia, tym większe zużycie energii 

przez układ sterowania. 

 

 

Ch-ka układu otwartego

• Związek pomiędzy wielkością zadaną a wielkością mierzoną określany jest 

przez funkcję komplementarnej wrażliwości T=(I+GK)-1GK=(I+L)-1L, 
którą dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu można zapisać w 
postaci transmitancji:

• Mając narzuconą postać charakterystyk układu zamkniętego w postaci 

transmitancji T(s), możemy określić transmitancję układu otwartego L(s):

• Pożądany przebieg tej charakterystyki układu otwartego pokazuje rysunek.

 

( )

( ) ( )

( )

.

1

( ) 1

( ) ( )

L s

G s K s

T s

L s

G s K s

=

=

+

+

.

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

s

T

s

T

s

K

s

G

s

L







L(s)

< – 40 
[dB/dek]

– 20 [dB/dek]

– 40 [dB/dek]

ω

 

 

Ch-ka układu otwartego

• Przebieg ten można uzasadnić na bazie kryterium stabilności Nyquista i 

wynikających z niego kryteriów zapasu fazy i zapasu modułu. Pierwsza 

część charakterystyki ma spadek co najmniej 40 [dB/dek], co pozwala na 

zapewnienie małej wartości uchybu statycznego układu zamkniętego. 

Niestety ten spadek związany jest, dla układów minimalnofazowych, ze 

spadkiem fazy do minus 180o i poniżej. Taki spadek fazy jest 

niedopuszczalny w pobliżu częstości przecięcia ωc charakterystyki z linią 

0[dB]. Zgodnie z kryterium Nyquista zapas fazy dla tej częstości powinien 

wynosić 45-60o, czyli spadek fazy może osiągnąć minus 120-135o. Dlatego 

spadek charakterystyki amplitudowej w otoczeniu częstości ωc należy 

zmniejszyć się do –20[dB/dek], aby podnieść charakterystykę fazową. 

Szerokość tej części charakterystyki powinna być na tyle duża, aby 

charakterystyka fazowa zdążyła się podnieść do wymaganej wielkości. 

Powyżej tych częstości spadek charakterystyki fazowej ponownie rośnie, 

aby wytłumić szumy i ograniczyć pasmo przenoszenia układu. Należy 

pamiętać, że zużycie energii na sterownie rośnie wraz ze wzrostem 

szerokości pasma przenoszenia. Istotnym jest więc wybór częstości ωc – a 

ten wybór zależy od zadań stawianych układowi sterowania.

• Projektowanie regulatora metodą korekcji sprowadza się do takiego doboru 

regulatora, aby jego charakterystyki dopełniały charakterystyki obiektu do 

pożądanych charakterystyk układu otwartego, a te z kolei miały przebieg 

pokazany na rysunku.

 

 

Człony korekcyjne

•

Właściwą jakość regulacji w układach śledzących i serwomechanizmach uzyskuje 

się poprzez dobór odpowiednich członów korekcyjnych. Uproszczony schemat blokowy 

takiego układu pokazano na rysunku . Człon korekcyjny o transmitancji operatorowej 

Gk(s) włączony jest szeregowo przed obiekt o transmitancji operatorowej Go(s). 

• Zadaniem transmitancji Gk(s) jest ustabilizowanie przebiegu wielkości regulowanej. W 

niektórych wypadkach stosowane są prekompensatory o transmitancji Gp(s), 

ustawiane przed układem (sygnał w podawany jest na prekompensator). Zadaniem 

transmitancji Gp(s) jest dopasowanie układu regulacji np.: do żądanego wzmocnienia 

statycznego, czasu regulacji, itd.

•

Powstaje pytanie – jaka powinna być transmitancja członu korekcyjnego Gk(s)? W 

pierwszym tomie podręcznika pokazano wpływ współczynnika wzmocnienia członu 

proporcjonalnego na położenie charakterystyki amplitudowej i fazowej układu 

otwartego (patrz: badanie stabilności metodą logarytmicznego kryterium Nyquista). 

Przypomnijmy, że człon proporcjonalny nie ma wpływu na przebieg charakterystyki 

fazowej układu (charakterystyka fazowa członu proporcjonalnego jest stała i wynosi 

zero). Współczynnik wzmocnienia k członu proporcjonalnego podnosi lub obniża 

charakterystykę amplitudową układu otwartego zgodnie z wyrażeniem: L = 20log k 

[dB]. Łatwo można wykazać że zadania elementu korekcyjnego nie mogą pełnić człony 

różniczkujące (przy różnych e = const, u = 0, ponieważ współczynnik wzmocnienia k = 

0), a także całkujące (stałe czasowe musiałyby być duże, co spowodowałoby 

spowolnienie działania układu). Pozostaje więc rozważenie, w jaki sposób oddziałują 

korektory proporcjonalno- różniczkujące (PD), proporcjonalno-całkujące (PI) oraz 

proporcjonalno-całkująco-różniczkujące (PID). Nazwa korektorów związana jest z 

nazwami członów połączonych równolegle w jeden korektor.

w

+

–

e

y

 

 

Człon korekcyjny PD

• Transmitancję operatorową członu korekcyjnego PD przyjmijmy w 

postaci:

•  Pokazać charakterystyki korektora PD
•                                                  
• Korektor PD o powyższej transmitancji może być zrealizowany jako 

pasywny obwód CR, wówczas k  1 , a T/k  T. Charakterystyki 

Bodego, dla  k = 10 oraz T = 0,5; 1,0; 2,0, wyznaczono korzystając 
z oprogramowania Matlab.

 

s

k

T

Ts

k

s

G

k







1

1

1

)

(

i

1

(t)

C

U

1

(t)

i

2

(t)

R

1

R

2

U

2

(t)

C

R

T

1



1

2

2

1

R R

k

R

+

=

>

 

 

Ch-ki członu PD

Charakterystyka  fazowa  pokazuje,  że  korektor  PD  posiada  dodatnią  fazę  w  całym  zakresie 
częstotliwości. Wprowadzenie tego członu do układu spowoduje podniesienie charakterystyki 
fazowej układu otwartego. Pozwala to na zwiększenie wzmocnienia (zachowując zapas fazy i 
modułu), a tym samym zwiększenie pasma przenoszenia, a więc szybkości działania układu. 
Człon ten nosi nazwę członu przyśpieszającego fazę.

 

 

Korekcja PI

• Transmitancję operatorową członu korekcyjnego PI przyjmijmy w postaci:

• Korektor PI o powyższej transmitancji może być zrealizowany na pasywnym 

obwodzie RC , wówczas k  1 a kT  T. Dla  przyjętej transmitancji członu PI, dla 

k = 10 T = 1; 10; 25, można sporządzić wykresy logarytmicznej charakterystyki 

amplitudowej i fazowej. Przedstawić charakterystyki członu korekcyjnego PI.

kTs

Ts

s

G

k







1

1

)

(

C

U

1

(t)

i(t)

R

1

R

2

1

2

2

1







R

R

R

K

C

R

T

2



 

 

Korekcja PI

Charakterystyka  fazowa  pokazuje,  że  korektor  PI  posiada  ujemną  fazę  w  całym 
zakresie  częstotliwości.  Człon  ten  powoduje  podniesienie  charakterystyki 
amplitudowej układu otwartego, czyli zwiększa wzmocnienie tego układu w zakresie 
niskich częstotliwości, a to z kolei umożliwia osiągnięcie większej dokładności układu. 
Człon ten nosi nazwę członu opóżniającego fazę

.

 

 

Korekcja PID

• Korektor proporcjonalno–całkująco–różniczkujący PID uzyskuje się w 

wyniku szeregowego połączenia członu opóźniającego fazę oraz 
członu przyśpieszającego fazę. Transmitancję operatorową członu 
korekcyjnego PID przyjmijmy w postaci:

• Przykład 16.3. Korektor PID
• Przyjmując a) T1 = 0,1, k1 = 20, T2 = 0,2, k2 = 0,02; b) T1 = 0,02, 

k1 = 20, T2 = 0,05, k2 = 0,02 i korzystając z oprogramowania 

MATLAB wyznaczono przebiegi charakterystyk Bodego

 

s

T

k

s

T

s

T

k

s

T

s

G

k

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

)

(











 

 

Korekcja PID

Można  zauważyć,  że  logarytmiczna  charakterystyka  amplitudowa  i  fazowa  członu 
korekcyjnego  PID  powstała  w  wyniku  dodania  charakterystyk  korektorów  PI  oraz  PD. 
Charakterystyki członu PID powodują opóźnienie fazy w zakresie niższych częstotliwości 
i przyśpieszenie w zakresie wyższych częstotliwości. Jest to korzystne pod warunkiem, 
że  obniżenie  charakterystyki,  w  zakresie  niskich  częstotliwości,  nie  spowoduje 
niestabilności.  Uzyskane  w  taki  sposób  podniesienie,  w  zakresie  wyższych 
częstotliwości, umożliwi większe wzmocnienie układu otwartego, a tym samym większą 
szybkość działania tego układu.

 

 

Regulatory dla obiektów 

nieminimalnofazowych

• Aproksymacja Pade stanowi bardzo dogodny do obliczeń sposób 

przybliżania transmitancji członu opóźniającego przez pewną 

transmitancję wymierną w dowolnie szerokim (ale skończonym) zakresie 

częstotliwości. Polega na przedstawieniu transmitancji linii opóźniającej 

o opóźnieniu transportowym To w postaci ilorazu:

• Następnie rozkłada się oddzielnie licznik i mianownik powyższego 

wyrażenia w szereg potęgowy. Gdy ograniczymy się do wyrazów 

liniowych, to mamy:

• Tę aproksymację nazywamy aproksymacją Pade 1-go rzędu. Pozwala 

ona sprowadzić transmitancję niewymierną do transmitancji w postaci 

wymiernej. Zauważmy, że aproksymacja wprowadza zero leżące w lewej 

półpłaszczyźnie (LPP) zmiennej zespolonej s. Układy, w których 

występują zera zlokalizowane w LPP nazywamy układami 

nieminimalnofazowymi. Jak się okaże później obiekty 

nieminimalnofazowe są kłopotliwe w sterowaniu.

2

2

o

o

o

T

s

T

s

sT

e

e

e







2

1

2

1

o

o

sT

T

s

T

s

o









e

 

 

Kompromisy przy projektowaniu

• W klasycznym kształtowaniu pętli przy projektowaniu regulatora, przez "kształt 

pętli” rozumiemy funkcję przejścia (transmitancję) układu otwartego L = GK 

jako wielkość w funkcji częstości. Zrozumienie, jak należy wybrać funkcję 

przejścia regulatora K dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu, aby 

odpowiednio kształtować pętlę układu otwartego jest cenną wiedzą również na 

potrzeby projektowania układów o wielu wejściach i wielu wyjściach. Dlatego w 

dwóch dalszych punktach podręcznika omówimy problemy układów o jednym 

wejściu i jednym wyjściu.

• Przypomnijmy równanie operatorowe na błąd regulacji: e(s) = w(s) – y(s)  

układu zamkniętego w funkcji sygnałów wejściowych: sterującego, wymuszenia 

zewnętrznego, szumu:

•

.          

• "Idealne sterowanie" ma miejsce gdy: e = w -y = 0 ; tak więc pożądane jest aby:

•

.

• Wyzerujemy dwa pierwsze człony związane z nadążaniem za wartością zadaną 

oraz kompensacją wymuszeń zewnętrznych w przypadku, gdy zapewnimy, że: 

S≈0 lub, co jest równoważne: T≈1. Ponieważ S=(1+L)-1, to jest oczywiste że L 

musi mieć dużą wartość. Z drugiej strony wymaganie na zerową transmisję 

szumu (trzeci człon) wskazane jest aby: T≈0 lub, co jest równoważne: S≈1, co 

prowadzi do:  L≈0. Te rozważania dobrze ilustrują podstawowy problem układów 

ze sprzężeniem zwrotnym; konflikt i konieczność kompromisu pomiędzy 

podstawowymi celami, które chcemy uzyskać przy pomocy sprzężenia 

zwrotnego. W rozważanym przez nas równaniu mamy więc konflikt pomiędzy 

nadążaniem za wartością zadaną i odrzucaniem wymuszeń a redukcją wpływu 

szumów. 

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

d

e

L w

L G d

L Ln

S

T

S

-

-

-

=- +

+ +

+ +

�

�

�

~0

0

0

e

d

w

n

�

+

+

 

 

Kompromisy przy projektowaniu

• Istotnym również jest rozważenie wielkości sygnału sterowania u (który jest 

wejściem do układu). Chcielibyśmy, aby u pozostało małe ze względu na 

ograniczone źródła energii i mniejsze zużycie elementów automatyki. 

Ponadto u jest często zaburzeniem dla innych części projektowanego 

układu. (nie można poprawić komfortu w swoim pokoju przez otwarcie okna 

ze względu na system klimatyzacji w całym budynku). Dlatego szczególnie 

powinniśmy unikać szybkich zmian u. Prawo sterowania dane jest funkcją: 

u=K(r-ym); stąd możemy wydedukować, że małemu u odpowiada małe 

wzmocnienie regulatora K, a tym samym małe: L=GK.

•

Jako najważniejsze cele układu sterowania, dla których musimy 

znaleźć kompromis przy projektowaniu regulatora można zestawić jako 

następujące:

• 1. Jakość układu; istotne zmniejszenie wpływu zaburzenia wymaga dużych 

wzmocnień regulatora, to jest dużego L .

• 2. Jakość układu; dobre nadążanie za wartością zadaną wymaga dużego L.

• 3. Stabilizacja niestabilnego obiektu – duże L.

• 4. Złagodzenie wpływu szumu na wyjścia układu – małe L.

• 5. Mała wielkość sygnałów wejściowych (sterujących) – małe K i małe L.

• 6. Realizowany fizycznie regulator musi być ściśle właściwy; to znaczy: K→0, 

a tym samym L→0 dla wysokich częstości.

• 7. Nominalna stabilność (dla stabilnego obiektu) – L małe (z powodu zer w 

prawej półpłaszczyźnie oraz opóźnień czasowych).

• 8. Odporna stabilność (dla stabilnego obiektu) – L małe (z powodu 

niepewności parametrów obiektu lub pominiętej dynamiki).

 

 

Metodyka kształtowania pętli 

sprzężenia zwrotnego

• Przez kształtowanie pętli rozumiemy procedurę projektowania, która 

kształtuje explicite wielkość (amplitudę) transmitancji układu 

otwartego, L(jω), przy czym: L(s) = G(s)K(s), gdzie K(s) jest 

transmitancją (macierzą transmitancji) regulatora w pętli sprzężenia 

zwrotnego i tą transmitancję należy wyznaczyć, natomiast G(s) jest 

iloczynem wszystkich funkcji przejścia wszystkich pozostałych 

elementów automatyki znajdujących się w pętli (obiektu, elementów 

pomiarowych elementów wykonawczych). W szczególności, aby 

wykorzystać możliwości dane przez układ sterowania, chcielibyśmy 

uzyskać duże wartości amplitudy L(jω), w paśmie przenoszenia. 

Jednakże ze względu na: opóźnienia czasowe, zera transmitancji 

znajdujące się w prawej półpłaszczyźnie (ang. Right Hand Plane zeros – 

RHP-zeros), pominięcie członów z wysoko–częstotliwościwą dynamiką, 

a także ze względu na ograniczenia energetyczne sygnałów 

sterujących wartości wzmocnienia pętli muszą spaść poniżej jedności 

dla i powyżej pewnej częstości, którą nazywa się częstością odcięcia 

ωc. Tym samym, pomijając problem stabilności, z powyższych 

ograniczeń wynika, że wskazanym jest, aby |L(jω)| opadała stromo 

wraz z częstotliwością. Miarą szybkości spadku |L(jω)| jest 

logarytmiczny współczynnik spadku (pochyłość) N = dlnL/dlnω. Na 

przykład, pochyłość N = –1 oznacza, że |L| zmniejsza się 10-krotnie w 

przedziale (zwanym dekadą), w którym częstość wzrasta 10-krotnie. 

Jeśli wzmocnienie jest mierzone w decybelach [dB], wówczas pochyłość 

N = –1 odpowiada spadkowi –20[dB/dek]. Wartość –N w zakresie 

wysokich częstości często nazywa się stopniem odcięcia. 

 

 

Metodyka kształtowania pętli 

sprzężenia zwrotnego

• Projektowanie L(s) jest najbardziej decydujące i trudne w przedziale przecięcia, to 

znaczy pomiędzy częstością ωc (gdzie |L|=1) i częstością ω180 (gdzie faza: argL=-

180o). Dla zapewnienia stabilności niezbędnym jest, aby wzmocnienie pętli było 

mniejsze niż 1 przy częstości ω180, to znaczy: L(jω180)<1 .Tym samym, aby uzyskać 

szerokie pasmo przenoszenia (szybką odpowiedź układu) chcemy, aby ωc a więc i 

ω180  było duże, czyli aby przesunięcie fazowe L było małe. Niestety, jest to 

sprzeczne z wymogiem, aby |L| gwałtownie zmniejszał się wraz z częstością. Dla 

przykładu, transmitancja L = 1/sn (o pochyłości N = –n na wykresie logarytmicznym) 

ma fazę L = -n*90o. Aby zapewnić zapas fazy 45o charakterystyka fazowa powinna 

spełniać warunek L >–135o, a tym samym nachylenie L nie może przekraczać N = 1,5. 

W dodatku, jeśli bardziej zwiększymy pochyłość w zakresie niższych lub wyższych 

częstotliwości, to te działanie doda niepożądane przesunięcie fazowe na dla 

pośrednich częstości. 

• Sytuacja ulega dalszemu pogorszeniu, gdy pojawia się człon opóźniający lub zera w 

LHP. W tych przypadkach mamy dodatkowe przesunięcie fazowe bez pożądanego 

dodatkowego ujemnego nachylenia amplitudy L. Te dodatkowe przesunięcie fazowe 

dla częstości odcięcia ωc może sięgać –30o lub je przekraczać. 

• Podsumowując, pożądane nachylenie charakterystyki |L(s)| w otoczeniu częstości 

odcięcia ωc powinno wynosić –1, natomiast poza rejonem częstości odcięcia powinno 

wynosić –2 lub więcej. Ponadto dla regulatora właściwego musimy zapewnić, aby 

L=GK miało nachylenie odcięcie co najmniej tak strome jak G. Dla niskich częstości, 

pożądany kształt L zależy od charakteru wartości zadanych i zewnętrznych wymuszeń, 

dla których został zaprojektowany układ sterowania. Jeśli na przykład rozważamy 

skokowe zmiany wartości zadanej lub wymuszeń, które mają wpływ na odpowiedź 

układu, to jest dopuszczalne nachylenie L wynoszące N = –1 w przedziale niskich 

częstości. Jeśli wartości zadane lub wymuszenia zmieniają się w sposób narastający, to 

wymagana jest pochyłość N = –2. W praktyce dodaje się w regulatorze odpowiednią 

ilość członów całkujących aby zapewnić pożądane działanie układu zamkniętego w 

zakresie niskich częstości, a w szczególności jego charakterystyki nadążne. Jako 

zasadę w serwomechanizmach (układach nadążnych) stosuje się następujące prawo.

 

 

Astateczność-zerowanie uchybu

• Transmitancja L(s) powinna zawierać przynajmniej jeden człon 

całkujący na każdy człon całkujący zawarty w sygnale r(s).

• Dowód: Niech                          gdzie jest nie zerowe i 

ograniczone a nI jest liczbą członów całkujących w 

transmitancji L(s) – czasami nI jest nazywane typem systemu. 

Rozpatrzymy sygnał wymuszający postaci r(s) = 1/    . Na 

przykład jeśli r(t) jest skokiem jednostkowym, wtedy r(s) = 1/s 

(nr = 1), a jeśli r(t) jest wymuszeniem liniowo narastającym 

(skokiem prędkości) wtedy r(s) = 1/s2 (nr = 1). Ostateczna 

postać z transformaty Laplace`a wynosi:

• W naszym przypadku, błąd regulacji wynosi:

• i aby uzyskać zerowe odchylenie (i.e.                     ) żądamy 

aby w pierwszym wyrażeniu                 a następnie liczymy 

uchyb zgodnie z drugim wyrażeniem.

I

n

s

s

s

/

)

(

ˆ

)

(

L

L



r

n

s

)

(

lim

)

(

lim

0

s

t

s

t

se

e









(s)

s

s

s

r

s

s

I

r

I

n

n

n

L

L

e

ˆ

)

(

)

(

1

1

)

(















0

)

(







t

e

r

I

n

n 

 

 

Warunki nałożone na układ otwarty

• Ostatecznie zostały określone warunki, jakie musi spełnić 

transmitancja układu otwartego:

• Wzrost częstotliwości przecięcia, ωc, gdzie 

•  Kształt charakterystyki                odpowiednie nachylenie              

w określonym przedziale częstotliwości. Zazwyczaj chcemy, aby 

nachylenie wynosiło N = –1 w rejonie przecięcia, a następnie 

wzrastało dla wyższych częstotliwości. Wymagane nachylenie dla 

niższych częstotliwości zależy od rodzaju zakłóceń lub sygnału 

wymuszającego.

• Typ systemu, definiowany liczbą zawartych członów całkujących w 

transmitancji L(s).

• W rozdziale 16.4, zastanawialiśmy się jak określić kształt pętli, 

kiedy wartość zadana jest głównym parametrem regulacji. 

Projektowanie pętli sprzężenia zwrotnego jest typową powtarzalną 

procedurą gdzie konstruktor wykreśla z następnie zmienia                

po wyliczeniu zapasu modułu i fazy, szczytów funkcji wrażliwości i 

komplementarnej funkcji wrażliwości (MT i MS), bada odpowiedź 

skokową, amplitudę sygnału wejściowego itd. Procedura ta została 

przedstawiona na przykładzie.

.

1

)

(



c

j



L

),

(



j

L

)

(



j

L

)

(



j

L

 

 

Przykład. Obiekt 

nieminimalnofazowy

• Badany układ opisany jest transmitancją:

• którego zero transmitancji znajduje się w prawej półpłaszczyźnie zespolonej i 

ma wartość z1 = 0,5. Ponieważ zero leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej 

zespolonej s, to obiekt jest nieminimalnofazowy. Zastosować regulator klasy PID 

do sterowania powyższym obiektem.

• Zaczniemy od badania układu po zastosowaniu regulatora proporcjonalnego o 

wzmocnieniu Kc. Program obliczeń w Matlabie ma następującą postać.

• %Program do obliczenia charakterystyk układu zamkniętego z regulatorem 

K(s)=Kc

• clc;clear;clf

• s=zpk('s');

• for K=0.5:0.5:2.5;

•     G=5*(-s+1)/((2*s+1)*(10*s+1));

•     T=feedback(K*G,1);

•     hold on;

•     figure(1);

•     step(T,25);

•     hold off;

• end;

• grid;legend('K=0.5','K=1','K=1.5','K=2','K=2.5 (niestabilny)');

5(

1)

( )

(2 1)(10 1)

s

G s

s

s

- +

=

+

+

 

 

Odpowiedź skokowa

 

 

Badanie stabilności

•

%Badanie stabilności układu otwartego (wyznaczanie zakresu wartości

•

%wzmocnienia dla którego układ L=K*G jest stabilny (L - open-loop function)

•

G=5*(-s+1)/((2*s+1)*(10*s+1));

•

K=1;

•

L=G*K;

•

figure(2);

•

rlocus(L);

•

sgrid;

•

%Badanie stabilności układu otwartego-częstotliwościowe kryterium normy

•

%|L(jω)|<1, oraz zapas fazy i modułu stabilności (gain and phase margins)

•

G=5*(-s+1)/((2*s+1)*(10*s+1));

•

K=1;

•

L=G*K;

•

figure(3);

•

margin(L);

•

grid;

•

Położenie biegunów i zer układu otwartego L(s)=K(s)*G(s) z regulatorem K(s)=1, oszacowanie 

zakresu wzmocnień dla układu stabilnego

 

 

Zapas modułu i fazy

•

Rys. Charakterystyka Bode’go układu otwartego L(s)=K(s)*G(s) z regulatorem K(s)=1, 
oszacowanie zapasu modułu i fazy

 

 

Układ z regulatorem PI

• Aby wyeliminować uchyb ustalony i skrócić proces przejściowy (a tym samym 

poszerzyć pasmo przenoszenia) wprowadzimy regulator PI.

Charakterystyki Bode’go: funkcji układu otwartego L0(s), wrażliwości S0(s), 
komplementarnej wrażliwości T0(s) i sterownia R0(s) – dla regulatora

 

 

Układ z regulatorem PI

Rys. Charakterystyka skokowa, jednostkowa układu zamkniętego z regulatorem 

1

( ) 1

15

PI s

s

= +

 

 

Układ z regulatorem PID

Rys. Charakterystyka Nyquista: funkcji układu otwartego L

0

(s) i funkcji wrażliwości S

0

(s) z regulatorem 

1

( ) 1

15

PI s

s

= +

Wprowadzenie  regulatora  typu  PI  pozwoliło  zlikwidować  uchyb  ustalony.  Jednakże  w  dalszym  ciągu  proces 

przejściowy trwa stosunkowo długo przy dużym przeregulowaniu.

 

 

Przykład. Kształtowanie pętli 

sprzężenia zwrotnego dla procesu 

nieminimalnofazowego

• Niech przykładowy proces układu o jednym wejściu i jednym wyjściu 

opisany jest transmitancją (a) z poprzedniego przykładu

• Zero w prawej półpłaszczyźnie zespolonej ogranicza osiągalną 

szerokość pasma, a także przedział przecięcia (zawarty między 

częstotliwościami wc i w180) do około 0.5 rad/s. Chcemy aby system 

miał jeden człon całkujący (system 1 typu), dlatego też rozsądnym 

przybliżeniem jest transmitancja układu otwartego o nachyleniu – 1 

dla niskich częstotliwości, a następnie zwiększenie nachylenia dla 

częstotliwości większych od 0.5 rad/s. Dlatego pożądana jest 

następująca transmitancja obiektu i układu otwartego:

•  

• Przedstawić podstawowe charakterystyki układu otwartego i układu 

zamkniętego.

• Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa transmitancji 

L(s) jest pokazana na rys.  dla Kc = 0.05. Wzmocnienie regulatora Kc 

zostało dlatego tak wybrane, gdyż układ otwarty w tym przypadku 

posiada odpowiednie zapasy modułu i fazy. Asymptotyczne nachylenie 

 wynosi –1 w paśmie do 3 [rad/s], gdzie się zmienia na –2. Regulator 

zapewniający zadaną transmitancją układu otwartego ma postać:

•      

;

)

1

10

)(

1

5

(

)

1

2

(

3

)

(











s

s

s

s

G

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

2

(

3

)

(











s

s

s

s

s

c

K

L

,

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

5

)(

1

10

(

)

(













s

s

s

s

s

c

s

K

K

05

,

0



c

K

 

 

Układ z regulatorem K(s)

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

 (

de

g)

; 

M

ag

ni

tu

de

 (

dB

)

Bode Diagrams

-40

-30

-20

-10

0

10

Gm=7.9588 dB (at 0.41231 rad/sec), Pm=48.448 deg. (at 0.20372 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-300

-200

-100

0

,

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

5

)(

1

10

(

)

(













s

s

s

s

s

c

s

K

K

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

2

(

3

)

(











s

s

s

s

s

c

K

L