Konstruowanie

TABLIC

TRWANIA Życia

Łukasz Ciosek

Agnieszka Janek

Justyna Wójcik

Plan PReZENTACJI

1) Historia tablic trwania życia, rodzaje i

idea konstrukcji tablic.

2) Opis konstrukcji tablic przez GUS.
3) Informacje i ciekawostki wynikające z

analizy tablic.

4) Pytania?

2

Historia

Data

Autor

Opis

ok. 220

Ulpianus

Pierwsza znana tablica, nieznana metoda

1662

John Gaunt

Pierwsza tablica metodą spisu zmarłych dla

Londynu

1693

Edmond Halley

Pierwsze naukowe podejście. Tablice trwania życia

dla Wrocławia.

1740

Nicholaas

Struyck

Tablice rentobiorców

1742

Willem

Kersseboom

1746

Antoine

Deparcieux

1771

Richard Price

Tablica Northampton

1815

Joshua Milne

Tablica Carlisle

1828

William Morgan

Tablica towarzystwa Equitable - oparta tylko na

osobach ubezpieczonych, analiza przyczyn śmierci.

1843

Komitet

aktuariuszy

Tablica zbudowana na podstawie danych kilkunastu

towarzystw (84 tys. polis)

1869 i

1879

Thomas Spraque

Pierwsze tablice selekcyjne i ostateczne

1912

Aders Lindstedt

Pierwsze tablice perspektywiczne

3

Współczesność

Tablice dzielimy na:
 pełne – wyliczania przeprowadza się dla każdego

wieku,

 skrócone – wyliczenia przeprowadza się dla pewnych

przedziałów wiekowych .

Wyróżniamy dwie metody analizy tablic:
 poprzeczną (przekrojową) – badającą zdarzenia

zachodzące w danej populacji w określonym przedziale
czasu,

 wzdłużną (kohortową) – badającą daną kohortę przez

cały okres jej trwania.

4

ZARYS konstrukcji

1.

Ustala się liczbę osób żyjących w poszczególnych
przedziałach wiekowych.

2.

Ustala się liczbę osób zmarłych w poszczególnych
przedziałach wiekowych.

3.

W tych samych przedziałach wiekowych dzieli się liczbę
osób zmarłych przez liczbę osób żyjących – w ten sposób
wylicza się prawdopodobieństwo śmierci.

4.

Przyjmuje się hipotetyczną liczbę osób np.: 100.000 w
wieku 0 lat i wykorzystując obliczone prawdopodobieństwa
śmierci, rok po roku zmniejsza się tę liczbę aż do końca.

5.

Pozostałe współczynniki wylicza się z odpowiednich
zależności.

5

Oznaczenia i zależności

 Prawdopodobieństwo zgonu -

 Liczba dożywających wieku x

 Liczba zmarłych w wieku x -

 Ludność stacjonarna w wieku x -

 Ludność stacjonarna skumulowana -

 Przeciętne dalsze trwanie życia -

x

q







x

y

y

x

L

T

x

x

o

x

l

T

e 

x

x

x

q

l

d 

)

1

(

,

100000

1

1

0











x

x

x

q

l

l

l

2

1







x

x

x

l

l

L

Prawdopodobieństwa zgonu:

gdzie:

84

0

)

1

)(

1

(

1



















x

dla

q

q

q

x

x

x

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

t

D

t

P

t

B

t

R







































t

x

x

t

x

x

t

R

t

P

t

D

q

)

(

2

1

)

1

(

)

(

1































t

x

x

x

t

x

x

t

R

t

D

t

P

t

D

q

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(





84

1

)

(

)

(

)

(

)

1

(

2

1

)

(

1

1

























x

dla

t

D

t

D

t

P

t

P

t

R

x

x

x

x

x

Dopasowanie w punktach x = 40,45,

…,85

i ekstrapolacja na roczniki od 85 do 120

uogólnioną metodą najmniejszych

kwadratów (+ optymalizacja nieliniowa

Marquardta) z macierzą kowariancji liczb

dożywających:

)

...

exp(

100000

5

5

2

2

1

0

x

b

x

b

x

b

b

l

x






























x

y

l

S

l

l

x

y

l

S

l

l

l

l

Cov

y

y

x

x

x

y

y

x

)

(

)

(

)

,

(

2

2

Gdzie

jest oceną wariancji liczby

dożywających obliczaną według wzorów:

gdzie

jest obserwowaną liczbą zgonów w wieku x.

)

(

2

x

l

S

2

2

2

2

1

2

)

(

)

(

)

1

(

)

(

x

x

x

x

x

l

q

S

l

S

q

l

S









2

2

1

)

(

x

x

x

x

q

D

q

q

S





















t

x

x

x

t

D

t

D

D

)

(

)

(

Wyrównanie prawdopodobieństw – średnie ruchome

ważone:

w wieku 1 roku – średnia z wartości od 1 do 5 lat o

wagach

0,88571 0,25714 -0,08571 -0,14286 0,08571

w wieku 2 lat – średnia z wartości od 1 do 5 lat o

wagach

0,25714 0,37143 0,34286 0,17143 -0,14286

w wieku 3 lat – scentrowana pięciowyrazowa o wagach

-0,08571 0,34286 0,48571 0,34286 -0,08571

w wieku od 4 do 29 lat – scentrowana

siedmiowyrazowa o wagach

-0,09524 0,14286 0,28571 0,33333 0,28571 0,14286 -0,09524

w wieku od 30 do 84 lat – scentrowana

dziewięciowyrazowa o wagach

-0,09091 0,06061 0,16883 0,23377 0,25541 0,23377 0,16883

0,06061 -0,09091

liczba dożywających

liczba zmarłych

ludność stacjonarna

średnie dalsze trwanie życia

120

,...

2

,

1

)

1

(

,

100000

1

1

0













x

q

l

l

l

x

x

x

100

,...,

2

,

1

,

0





x

q

l

d

x

x

x

119

,...,

2

,

1

2

),

1

(

1

0

0

0

















x

l

l

L

q

l

L

x

x

x

100

,...,

2

,

1

,

0









x

L

T

x

y

y

x

100

,...,

2

,

1

,

0





x

l

T

e

x

x

x

SKRÓCONE TABLICE TRWANIA ŻYCIA

Skrócona tablica trwania życia jest opracowywana
na podstawie wykonanej uprzednio tablicy pełnej.
Liczba dożywających i średnie dalsze trwanie
życia pochodzą bezpośrednio z tej tablicy,
natomiast prawdopodobieństwa zgonu wyliczamy
ze wzoru:

13

















5

,...,

5

,

5

,

4

,

1

80

,...,

10

,

5

,

1

,

0

1

n

x

l

l

q

x

n

x

x

n

TABLICE SELEKTYWNE

• Często przed przystąpieniem do ubezpieczenia wykonywane są

badania medyczne. Sytuacja x-letniej osoby niedawno zbadanej nie

jest więc identyczna z sytuacją x-latka, który wykupił ubezpieczenie

kilka lat temu nawet jeśli inne czynniki są identyczne.

• Aby to uwzględnić konstruuje się tablice specjalne (selektywne,

ang. select life tables).

• W tablicach takich prawdopodobieństwa śmierci są różne w

zależności od wieku przystąpienia do ubezpieczenia.

• Wprowadza się zatem oznaczenie q

[x] + t

  jako prawdopodobieństwo,

że osoba (x + t), która przystąpiła do ubezpieczenia w

wieku x umrze w ciągu najbliższego roku.

• Zachodzi nierówność:

• Po kilku latach (powiedzmy r) wiek w chwili przystąpienia przestaje

mieć tak duże znaczenie i można używać zwykłych tablic. Zachodzi

więc:

14

...

2

]

[

1

]

[

]

[











x

x

x

q

q

q

k

x

k

x

q

q







]

[

dla k≥r

CECHY INTENSYWNOŚCI

UMIERALNOŚCI (μ

x

)

• Śmiertelność zaraz po urodzeniu jest bardzo

wysoka

• Potem następuje redukcja podczas pierwszych lat

życia

• W latach 18-25 następuje zwiększenie śmiertelności

spowodowane wypadkami (accident hump)

• Od średniego wieku następuje stromy wzrost w

śmiertelności, osiągając szczyt w wieku około 80 lat

• Mniej ludzi umiera w wyższych latach (mimo że q

x

wciąż rośnie) jako że szansa dożycia tego wieku jest

mała.

15

Wykres intensywności umieralności

Źródło: Actuarial Mathematics, Bowers et al.

16

Przeciętne trwanie życia Według

PŁCI

w LATACH 1990- 2008

17

18

19

20

Przeciętne trwanie życia w

Polsce

w 2008 r. według województw

21

Zróżnicowanie przeciętnego trwania życia

w poszczególnych województwach w 2008 r.

(odchylenie od ogólnopolskiej średniej długości trwania

życia)

22

Przeciętne trwanie życia w wybranych

podregionach w 2008 r.

23

PORównanie

Międzynarodowe

• EUROPA

 Mimo pozytywnych zmian Polska nadal wypada niekorzystnie na tle czołówki

krajów europejskich

 Na 45 krajów: Polacy mają 29. miejsce, a Polki 24.
 W krajach wysoko rozwiniętych (głównie Europa Zachodnia i Skandynawia)

ludzie żyją o kilka lat dłużej niż w Europie Środkowej i nawet o kilkanaście
lat dłużej w porównaniu do Europy Wschodniej

 Najdłużej żyją mężczyźni na Islandii (79.6 lat) i Szwajcarii (79.5 lat),

najkrócej w Rosji (niecałe 61 lat)

 Najdłużej żyją Szwajcarki , Francuzki, Hiszpanki i Włoszki (ponad 84

lata). Najkrócej Mołdawianki, Rosjanki i Ukrainki (<74 lat)

 W krajach, gdzie długość trwania życia jest niska, różnica między trwaniem

życia mężczyzny i kobiety jest bardzo duża. Największa rozpiętość (ponad
10 lat) występuje w krajach byłego ZSRR (np. Rosja – 12.3 lat). Polska
znajduje się bezpośrednio po tych krajach. (8.7 lat w 2007 r.)

*Źródło: dane WHO z lipca 2009 r. (www.who.int/countries)

24

Porównanie

międzynarodowe c.d.

• ŚWIAT

 Najdłużej żyją mężczyźni z Japonii i Australii (dożywają

wieku 79 lat)

 Najdłużej żyją Japonki (86 lat) – czyli o 1.5 roku dłużej niż

najdłużej żyjące Europejki;

 Najkrócej żyją mieszkańcy Afryki – Sierra Leone (39 lat –

mężczyźni, 42 lata - kobiety), Zambia i Nigeria (42 lata –
mężczyźni, 43 lata- kobiety)

*Źródło: dane WHO z lipca 2009 r. (www.who.int/countries)

25

Źródło: Wikipedia (na podstawie książki The World Factbook na 2007 r.)

26

MĘŻCZYŹNI

KOBIETY

Kraj

Wiek

Kraj

Wiek

1.

Andora

80.62

1.

Andora

86.62

2.

Singapur

79.21

2.

San Marino

85.5 7

3.

Japonia

78.67

3.

Japonia

85.56

4.

Szwecja

78.39

4.

Singapur

84.59

5.

San Marino

78.33

5.

Francja

84

5.

Islandia

78.33

68.

Polska

71.18

45.

Polska

79.44

189.

Sierra Leone

38.36

189.

Angola

38.57

190.

Zambia

38.34

190.

Zambia

38.54

191.

Angola

36.73

191.

Zimbabwe

38.35

192.

Suazi

31.84

192.

Suazi

31.62

Mapa świata ze średnią długością

życia

27

Przyczyny Zgonów W Polsce

 W Polsce głównymi przyczynami

zgonów

są

choroby

określane

mianem cywilizacyjnych.

 Należą do nich: choroby układu

krążenia, nowotwory oraz urazy i
zatrucia. W 2008 r. stanowiły one
77% wszystkich zgonów.
(źródło: GUS)

28

CIEKAWOSTKI

• Najdłużej żyjącym człowiekiem, którego metryka

została jednoznacznie potwierdzona,
była Francuzka 

Jeanne Calment

 (1875-1997), która

przeżyła 122 lata i 164 dni.

• Prawnik Calment, gdy miała 90 lat, zaproponował,

że przejmie jej mieszkanie w zamian za wypłacaną
dożywotnio miesięczną rentę w wysokości 2,5 tys.
franków francuskich. Gdy Calment zmarła w 1997
r., ów prawnik nie żył już od wielu lat,
a jego spadkobiercy zdążyli wpłacić jej sumę
trzykrotnie przekraczającą wartość mieszkania. 
(www.wprost.pl)

29

PYTANIA?

30

Quiz na koniec

1.

Kto i kiedy stworzył pierwsze naukowo opracowane tablice
trwania życia?

2.

Z jakiego rodzaju tablic korzystamy współcześnie najczęściej?

3.

Wymień jedno z angielskich miast, które doczekało się swoich
własnych tablic.

4.

Gdzie się żyje najdłużej i najkrócej w Polsce?

5.

Jaki jest kraj z najdłuższą i najkrótszą średnią długością życia
(orientacyjnie, bez rozróżniania płci)?

6.

Gdzie w Europie występują największe różnice w średnim
trwaniu życia mężczyzn i kobiet?

7.

Jakiej narodowości była najstarsza osoba na świecie i ilu lat
dożyła?

8.

Jaka jest zależność między a i dlaczego?

31

]

[x



1

]

1

[





x

