Systemy wysokości w
niwelacji precyzyjnej
Systemy wysokości w
niwelacji precyzyjnej
Powierzchnie o stałym potencjale ciężkości:
W ( r ) = c = const
Nazywane są ekwipotencjalnymi, poziomymi lub
powierzchniami geopotencjalnymi. Powierzchnia
opisana równaniem W = W
0
, pokrywająca się z
„idealnym” poziomem mórz otwartych, nazywana
jest geoidą.
Odległość
sąsiednich
powierzchni
ekwipotencjalnych
wyrażoną
przez
różniczkę
potencjału
i
przyspieszenie
siły
ciężkości,
przedstawia wzór:
g
dW
dh
Przekształcając powyższe równanie otrzymamy
podstawowe równanie niwelacji w postaci:
dW = - g dh
Całkując powyższe równanie w granicach od W
0
do
W
P
otrzymamy tzw. liczbę geopotencjalną
wyrażającą różnicę potencjału na geoidzie W = W
0
i
potencjału powierzchni W = W
P
przechodzącej
przez punk P:
P
P
P
O
dW
W
W
C
0
Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu
potencjalnym, niezależną od drogi.
Sposób
wyznaczenia
przyspieszenia
reprezentatywnego dla drogi P
O
– P wzdłuż linii
pionu określa tzw. system wysokościowy, czyli
system geodezyjnych pomiarów wysokościowych.
Jeżeli określimy przeciętną wartość rzeczywistego
przyspieszenia wzdłuż linii pionu od geoidy do
punktu P przez średnią wartość całki:
to wzór na wysokość ortometryczną punktu
będzie miał postać:
P
P
O
dW
H
g
1
g
C
H
ort
Dzieląc C przez przyspieszenie normalne obliczone
dla pewnego modelu rozkładu masy w globie
ziemskim, na poziomie morza i dla szerokości
geograficznej
45
0
,
otrzymamy
wysokość
dynamiczną:
Uwolnienie
definicji
wysokości
od
hipotez
dotyczących rozkładu mas doprowadziły do
systemu wysokości normalnych:
45
0
C
H
dyn
C
H
n
gdzie: oznacza przeciętną wartość przyspieszenia
normalnego wzdłuż linii pionu pola normalnego siły
ciężkości.
γ
Koncepcja niwelacji precyzyjnej
Różnica wysokości wynosi:
Zasada niwelacji geometrycznej:
2
1
I
I
H
δ
W niwelacji precyzyjnej różnica odczytów na
łatach nie jest utożsamiana z różnicą wysokości
(powierzchnie ekwipotencjalne nie są wzajemnie
równoległe).
H
δ
n
δ
Różnica δn odczytów łat (z pomiaru)nie jest równa
odległości δH
B
pomiędzy odpowiednimi
powierzchniami ekwipotencjalnymi na linii pionu
punktu B.
skąd:
B
H
δ
'
g
n
δ
g
W
δ
Sama niwelacja geometryczna nie wystarcza aby
wyznaczać różnice wysokości.
n
δ
n
δ
'
g
g
H
δ
Niwelacja geometryczna wraz z pomiarem
przyspieszenia siły ciężkości g dostarcza różnicy
potencjału siły ciężkości dW:
lub:
B
A
A
B
dn
g
W
W
• całkowanie (sumowanie) nie zależy od drogi,
• w zamkniętej pętli całka (suma) różnic
potencjału równa się 0,
• wyrażone powyższymi wzorami różnice
potencjału leżą u podstaw wszystkich teorii
wysokości.
B
A
A
B
n
δ
g
W
W
Różnice wysokości odniesione do każdego z
systemów wysokości otrzymuje się z „różnic
wysokości” otrzymanych z niwelacji geometrycznej
poprawionych o odpowiednie poprawki.
Poprawka dynamiczna
to różnicę wysokości dynamicznych ΔH
AB
dyn
pomiędzy punktami A i B wyraża się:
W punkcie A:
dn
g
W
W
C
A
P
0
0
0
γ
C
H
A
A
dyn
Ponieważ:
dn
γ
γ
g
dn
dn
γ
γ
g
γ
dn
g
γ
C
C
γ
H
H
H
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
dyn
A
dyn
B
AB
dyn
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
Przy n
AB
= 1000 m na równiku DC
AB
= - 2,7 m
Stąd:
AB
AB
dyn
AB
DC
n
H
B
A
B
A
AB
n
δ
dn
n
gdzie:
jest „różnicą wysokości z
niwelacji
B
A
B
A
AB
dn
γ
γ
g
dn
γ
γ
g
DC
0
0
0
0
poprawka
dynamiczn
a
Poprawka ortometryczna
Średnie przyspieszenie wzdłuż linii pionu pomiędzy
geoidą i punktem A otrzymuje się ze wzoru:
W punkcie A:
dn
g
W
W
C
A
P
0
0
g
C
H
A
A
Wysokość ortometryczna zdefiniowana jest jako:
przy czym:
H
dH
g
H
g
0
1
A
A
H
,
g
g
0424
0
opartego na hipotezie Poincare-Prey’a (we wzorze
g wyrażone jest w [mgal] natomiast H w [m]).
W sensie powyższej hipotezy otrzymuje się tzw.
wysokość Helmerta punktu A:
A
A
A
A
H
,
g
C
H
0424
0
Różnicę wysokości ortometrycznych H
AB
pomiędzy
punktami A i B wyraża się:
dyn
A
A
dyn
B
B
dyn
AB
dyn
A
dyn
B
dyn
A
dyn
B
A
B
A
B
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
Należy znaleźć wyrażenia: (H
B
– H
B
dyn
) i (H
A
– H
A
dyn
).
Wcześniej wykazano, że:
AB
AB
dyn
AB
DC
n
H
Wyobraźmy sobie fikcyjną linię niwelacyjną od A
0
do
A wzdłuż linii pionu. Pomierzona różnica wysokości
będzie jednocześnie wysokością punktu A, tzn.:
A
A
A
H
n
0
stąd:
A
dyn
A
A
A
dyn
A
A
A
A
H
H
n
H
DC
0
0
0
zatem:
Różnicę wysokości ortometrycznych zapisuje się
więc jako:
i analogicznie:
B
B
A
A
AB
AB
AB
DC
DC
DC
n
H
0
0
A
A
dyn
A
A
DC
H
H
0
B
B
dyn
B
B
DC
H
H
0
co daje:
gdzie:
gdzie
:
oraz:
B
B
A
A
AB
AB
DC
DC
DC
OC
0
0
AB
AB
AB
OC
n
H
B
A
B
A
AB
dn
γ
γ
g
dn
γ
γ
g
DC
0
0
0
0
A
A
A
A
A
A
H
γ
γ
g
dn
γ
γ
g
DC
0
0
0
0
0
0
B
B
B
B
B
B
H
γ
γ
g
dn
γ
γ
g
DC
0
0
0
0
0
0
B
A
g
,
g
- średnie przyspieszenie siły ciężkości
wzdłuż linii pionu w punktach A i B,
0
γ - jest wielkością stałą.
Ostateczna poprawka ortometryczna
wyrażona jest jako:
B
B
A
A
B
A
AB
H
γ
γ
g
H
γ
γ
g
n
δ
γ
γ
g
OC
0
0
0
0
0
0
Przy n
AB
= 1000 m (w Alpach) OC
AB
15 cm
Poprawka normalna
Wzory na wysokości normalne można uzyskać ze
wzorów na wysokości ortometryczne zamieniając:
Koncepcja wysokości normalnej w normalnym polu
siły ciężkości jest analogiczna do koncepcji
wysokości ortometrycznej w rzeczywistym polu
siły ciężkości.
• średnie przyspieszenie siły ciężkości
na
• średnie normalne przyspieszenie siły ciężkości
wzdłuż normalnej linii pionu
g
γ
Średnie przyspieszenie normalne wzdłuż normalnej
linii pionu pomiędzy quasi-geoidą i punktem A
otrzymuje się ze wzoru:
γ
C
H
A
A
N
Wysokość normalna zdefiniowana jako:
gdzie:
N
H
N
N
dH
γ
H
γ
0
1
2
2
2
0
2
1
1
a
H
a
H
B
sin
f
m
f
γ
γ
N
N
gdzie:
0
– przyspieszenie normalne na elipsoidzie
na szerokości B,
GM
b
a
ω
m
2
2
Poprawka normalna wyrażona jest jako:
N
B
B
N
A
A
B
A
AB
H
γ
γ
γ
H
γ
γ
γ
n
δ
γ
γ
g
NC
0
0
0
0
0
0
Przy n
AB
= 1000 m (w Alpach) NC
AB
15 cm
Różnicę wysokości normalnych H
AB
N
pomiędzy
punktami A i B wyraża się wzorem:
AB
AB
N
AB
NC
n
H
N
A
N
B
N
AB
H
H
H
oraz: