Systemy wysokości w

niwelacji precyzyjnej

Powierzchnie o stałym potencjale ciężkości:

W ( r ) = c = const

Nazywane są ekwipotencjalnymi, poziomymi lub
powierzchniami geopotencjalnymi. Powierzchnia
opisana równaniem W = W

0

, pokrywająca się z

„idealnym” poziomem mórz otwartych, nazywana
jest geoidą.

Odległość

sąsiednich

powierzchni

ekwipotencjalnych

wyrażoną

przez

różniczkę

potencjału

i

przyspieszenie

siły

ciężkości,

przedstawia wzór:

g

dW

dh 



Przekształcając powyższe równanie otrzymamy
podstawowe równanie niwelacji w postaci:

dW = - g dh

Całkując powyższe równanie w granicach od W

0

do

W

P

otrzymamy tzw. liczbę geopotencjalną

wyrażającą różnicę potencjału na geoidzie W = W

0

i

potencjału powierzchni W = W

P

przechodzącej

przez punk P:









P

P

P

O

dW

W

W

C

0

Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu
potencjalnym, niezależną od drogi.

Sposób

wyznaczenia

przyspieszenia

reprezentatywnego dla drogi P

O

– P wzdłuż linii

pionu określa tzw. system wysokościowy, czyli
system geodezyjnych pomiarów wysokościowych.
Jeżeli określimy przeciętną wartość rzeczywistego
przyspieszenia wzdłuż linii pionu od geoidy do
punktu P przez średnią wartość całki:

to wzór na wysokość ortometryczną punktu
będzie miał postać:





P

P

O

dW

H

g

1

g

C

H

ort



Dzieląc C przez przyspieszenie normalne obliczone
dla pewnego modelu rozkładu masy w globie
ziemskim, na poziomie morza i dla szerokości
geograficznej

45

0

,

otrzymamy

wysokość

dynamiczną:

Uwolnienie

definicji

wysokości

od

hipotez

dotyczących rozkładu mas doprowadziły do
systemu wysokości normalnych:

45

0



C

H

dyn





C

H

n



gdzie: oznacza przeciętną wartość przyspieszenia
normalnego wzdłuż linii pionu pola normalnego siły
ciężkości.

γ

Koncepcja niwelacji precyzyjnej

Różnica wysokości wynosi:

Zasada niwelacji geometrycznej:

2

1

I

I

H

δ





W niwelacji precyzyjnej różnica odczytów na
łatach nie jest utożsamiana z różnicą wysokości
(powierzchnie ekwipotencjalne nie są wzajemnie
równoległe).

H

δ

n

δ 

Różnica δn odczytów łat (z pomiaru)nie jest równa
odległości δH

B

pomiędzy odpowiednimi

powierzchniami ekwipotencjalnymi na linii pionu
punktu B.

skąd:

B

H

δ

'

g

n

δ

g

W

δ









Sama niwelacja geometryczna nie wystarcza aby
wyznaczać różnice wysokości.

n

δ

n

δ

'

g

g

H

δ





Niwelacja geometryczna wraz z pomiarem
przyspieszenia siły ciężkości g dostarcza różnicy
potencjału siły ciężkości dW:

lub:









B

A

A

B

dn

g

W

W

• całkowanie (sumowanie) nie zależy od drogi,

• w zamkniętej pętli całka (suma) różnic
potencjału równa się 0,

• wyrażone powyższymi wzorami różnice
potencjału leżą u podstaw wszystkich teorii
wysokości.









B

A

A

B

n

δ

g

W

W

Różnice wysokości odniesione do każdego z
systemów wysokości otrzymuje się z „różnic
wysokości” otrzymanych z niwelacji geometrycznej
poprawionych o odpowiednie poprawki.

Poprawka dynamiczna

to różnicę wysokości dynamicznych ΔH

AB

dyn

pomiędzy punktami A i B wyraża się:

W punkcie A:

dn

g

W

W

C

A

P









0

0

0

γ

C

H

A

A

dyn



Ponieważ:









dn

γ

γ

g

dn

dn

γ

γ

g

γ

dn

g

γ

C

C

γ

H

H

H

B

A

B

A

B

A

B

A

A

B

dyn

A

dyn

B

AB

dyn



































0

0

0

0

0

0

0

1

1

1



Przy n

AB

= 1000 m na równiku DC

AB

= - 2,7 m

Stąd:

AB

AB

dyn

AB

DC

n

H

















B

A

B

A

AB

n

δ

dn

n



gdzie:

jest „różnicą wysokości z
niwelacji













B

A

B

A

AB

dn

γ

γ

g

dn

γ

γ

g

DC

0

0

0

0

poprawka
dynamiczn
a

Poprawka ortometryczna

Średnie przyspieszenie wzdłuż linii pionu pomiędzy
geoidą i punktem A otrzymuje się ze wzoru:

W punkcie A:

dn

g

W

W

C

A

P









0

0

g

C

H

A

A



Wysokość ortometryczna zdefiniowana jest jako:

przy czym:





H

dH

g

H

g

0

1

A

A

H

,

g

g

0424

0





opartego na hipotezie Poincare-Prey’a (we wzorze
g wyrażone jest w [mgal] natomiast H w [m]).

W sensie powyższej hipotezy otrzymuje się tzw.
wysokość Helmerta punktu A:

A

A

A

A

H

,

g

C

H

0424

0





Różnicę wysokości ortometrycznych H

AB

pomiędzy

punktami A i B wyraża się:



 





 



dyn

A

A

dyn

B

B

dyn

AB

dyn

A

dyn

B

dyn

A

dyn

B

A

B

A

B

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H



































Należy znaleźć wyrażenia: (H

B

– H

B

dyn

) i (H

A

– H

A

dyn

).

Wcześniej wykazano, że:

AB

AB

dyn

AB

DC

n

H









Wyobraźmy sobie fikcyjną linię niwelacyjną od A

0

do

A wzdłuż linii pionu. Pomierzona różnica wysokości
będzie jednocześnie wysokością punktu A, tzn.:

A

A

A

H

n



0



stąd:

A

dyn

A

A

A

dyn

A

A

A

A

H

H

n

H

DC











0

0

0





zatem:

Różnicę wysokości ortometrycznych zapisuje się
więc jako:

i analogicznie:

B

B

A

A

AB

AB

AB

DC

DC

DC

n

H

0

0













A

A

dyn

A

A

DC

H

H

0







B

B

dyn

B

B

DC

H

H

0







co daje:

gdzie:

gdzie
:

oraz:

B

B

A

A

AB

AB

DC

DC

DC

OC

0

0







AB

AB

AB

OC

n

H





















B

A

B

A

AB

dn

γ

γ

g

dn

γ

γ

g

DC

0

0

0

0

A

A

A

A

A

A

H

γ

γ

g

dn

γ

γ

g

DC

0

0

0

0

0

0











B

B

B

B

B

B

H

γ

γ

g

dn

γ

γ

g

DC

0

0

0

0

0

0











B

A

g

,

g

- średnie przyspieszenie siły ciężkości

wzdłuż linii pionu w punktach A i B,

0

γ - jest wielkością stałą.

Ostateczna poprawka ortometryczna
wyrażona jest jako:

B

B

A

A

B

A

AB

H

γ

γ

g

H

γ

γ

g

n

δ

γ

γ

g

OC

0

0

0

0

0

0















Przy n

AB

= 1000 m (w Alpach) OC

AB

 15 cm

Poprawka normalna

Wzory na wysokości normalne można uzyskać ze
wzorów na wysokości ortometryczne zamieniając:

Koncepcja wysokości normalnej w normalnym polu
siły ciężkości jest analogiczna do koncepcji
wysokości ortometrycznej w rzeczywistym polu
siły ciężkości.

• średnie przyspieszenie siły ciężkości
na

• średnie normalne przyspieszenie siły ciężkości
wzdłuż normalnej linii pionu

 

g

 

γ

Średnie przyspieszenie normalne wzdłuż normalnej
linii pionu pomiędzy quasi-geoidą i punktem A
otrzymuje się ze wzoru:

γ

C

H

A

A

N



Wysokość normalna zdefiniowana jako:

gdzie:





N

H

N

N

dH

γ

H

γ

0

1





 



























2

2

2

0

2

1

1

a

H

a

H

B

sin

f

m

f

γ

γ

N

N

gdzie: 

0

– przyspieszenie normalne na elipsoidzie

na szerokości B,

GM

b

a

ω

m

2

2



Poprawka normalna wyrażona jest jako:

N

B

B

N

A

A

B

A

AB

H

γ

γ

γ

H

γ

γ

γ

n

δ

γ

γ

g

NC

0

0

0

0

0

0















Przy n

AB

= 1000 m (w Alpach) NC

AB

 15 cm

Różnicę wysokości normalnych H

AB

N

pomiędzy

punktami A i B wyraża się wzorem:

AB

AB

N

AB

NC

n

H









N

A

N

B

N

AB

H

H

H







oraz: