T12. Kinematyka bryły
Stopnie swobody bryły sztywnej.
Opis ruchu bryły sztywnej.
Ruch płaski bryły sztywnej.
Mechanizmy płaskie.
T12. Kinematyka bryły
Stopnie swobody bryły sztywnej.
Opis ruchu bryły sztywnej.
Ruch płaski bryły sztywnej.
Mechanizmy płaskie.
0
Punkt materialny może przemieszczać się w
trzech kierunkach przestrzeni. Dowolny ruch
punktu materialnego możemy przedstawić jako
złożenie trzech ruchów wzdłuż osi układu
współrzędnych. Mówimy, że punkt materialny
posiada trzy
stopnie swobody
.
( )
y t
( )
x t
( )
z t
x
y
z
Stopnie swobody bryły sztywnej
0
Bryła sztywna, oprócz ruchu w trzech
kierunkach przestrzeni, może także obracać się
wokół trzech osi. Dlatego posiada dodatkowe
trzy stopnie swobody. W sumie, ma
sześć stopni
swobody
– trzy
translacyjne
i trzy
rotacyjne.
( )
y t
( )
x t
( )
z t
x
y
z
Stopnie swobody bryły sztywnej
0
Jeżeli na bryłę sztywną nałożymy więzy w
postaci przegubu kulowego, będzie mogła
jedynie obracać się wokół trzech osi. Liczba
stopni swobody zostanie ograniczona do trzech.
x
y
z
przegub kulowy
Stopnie swobody bryły sztywnej
Stopnie swobody bryły sztywnej
0
Jeżeli na bryłę sztywną nałożymy więzy, które
ustalą położenie w przestrzeni dwóch punktów
bryły, możliwy jest wówczas jedynie ruch wokół
jednej osi. Liczba stopni swobody została
zredukowana do jednego.
x
y
z
Opis ruchu bryły
sztywnej
0
Problem
Jak opisać matematycznie ruch bryły sztywnej ?
x
y
z
x
1
y
1
z
1
0
1
Układ współrzędnych x
1
, y
1
, z
1
jest
związany z wybranym punktem
bryły 0
1
. Punkt ten nazywamy
biegunem
.
Opis ruchu bryły
sztywnej
Wniosek
Ruch bryły sztywnej możemy opisywać jako
złożenie ruchu wybranego punktu bryły 0
1
i
obrotu bryły wokół osi układu współrzędnych
związanego z punktem 0
1
.
Jeżeli bryła nie obraca się względem osi układu
współrzędnych związanego z punktem 0
1
, ruch
bryły nazywamy
ruchem postępowym
.
Jeżeli wybrany punkt bryły 0
1
nie porusza się
względem układu odniesienia, zaś bryła obraca
się względem osi układu współrzędnych
związanego z punktem 0
1
, ruch bryły nazywamy
ruchem obrotowym
.
Dowolny ruch bryły sztywnej można opisywać,
jako złożenie ruchu postępowego i ruchu
obrotowego.
0
( )
r t
r
x
y
z
Opis ruchu bryły
sztywnej
(0)
r
r
0
1
0
1
Ruch postępowy
1
r
r
x
1
y
1
z
1
A
Położenie punktu A w układzie
ruchomym opisuje niezmienny w
czasie promień wodzący . Położenie
w chwili czasu t punktu A opisuje
suma
wektorowa
promienia
wodzącego i wektora
.
1
r
r
( )
r t
r
1
r
r
1
( )
( )
A
r t
r t
r
=
+
r
r
r
0
1
Opis ruchu bryły
sztywnej
Zagadnienie opisu ruchu postępowego bryły
sztywnej sprowadza się do rozwiązania równań
ruchu punktu materialnego 0
1
oraz do czysto
geometrycznego opisu położenia punktów
bryły sztywnej względem punktu 0
1
Opis ruchu bryły
sztywnej
Dla
uproszczenia
sposobu
wyznaczania
położenia punktów bryły sztywnej w układzie
związanym z punktem 0
1
, celowe jest czasami
wprowadzenie
dodatkowego
układu
współrzędnych, dopasowanego do kształtu
bryły.
y
1
0
1
x
1
z
1
x
h
V
Opis ruchu bryły
sztywnej
Kąty Eulera
:
- kąt nutacji
– kąt precesji
– kąt obrotu
własnego
y
1
0
1
x
1
z
1
x
h
V
N
y
j
J
Znając współrzędne
danego punktu bryły oraz kąty
Eulera, możemy wyznaczyć
wartości współrzędnych x
1
, y
1
,
z
1
określające
położenie
punktu względem punktu 0
1
.
Linia 0
1
N stanowi ślad
przecięcia płaszczyzny x
1
y
1
przez płaszczyznę
Opis ruchu bryły
sztywnej
y
1
0
1
x
1
z
1
x
h
V
N
y
j
J
Ruch
obrotowy
A
1
( )
r t
r
Ponieważ odległość punktów A i 0
1
jest stała, punkt A porusza się po
powierzchni kuli o promieniu:
( )
u t
r
1
( )
r t
const
=
r
Dla każdego położenia punktu
A punkt 0
1
stanowi środek
krzywizny toru punktu A.
Zatem:
1
( )
( )
t
r t
r
=
r
r
Ruch punktów bryły sztywnej w ruchu
obrotowym jest
ruchem kulistym
Opis ruchu bryły
sztywnej
y
1
0
1
x
1
z
1
A
1
( )
r t
r
( )
u t
r
( )
t
w
r
1
( )
( )
( )
u t
t r t
w
=
�
r
r
r
Ruch
obrotowy
Opis ruchu bryły
sztywnej
y
1
0
1
x
1
z
1
Ruch
obrotowy
A
1
( )
r t
r
Punkty materialne leżące na linii 0
1
A
nie zmieniają swojego wzajemnego
położenia. Zatem punkty te poruszają
się z tą samą prędkością kątową co
punkt A.
( )
u t
r
( )
t
w
r
( )
B
r t
r
Opis ruchu bryły
sztywnej
y
1
0
1
x
1
z
1
A
( )
A
r t
r
Rozpatrzmy ruch punktów materialnych A i B, równo odległych
od punktu 0
1
. Ich położenia w kolejnych chwilach czasu leżą na
tej samej kuli. Ponieważ kąt pomiędzy promieniami wodzącymi
nie może się zmienić, punkty muszą poruszać się z tą samą
prędkością kątową.
( )
u t
r
( )
t
w
r
B
Wniosek:
W ruchu obrotowym bryły sztywnej, wszystkie punkty bryły
poruszają się z tą samą prędkością kątową.
i
A
B
r r
r r
( )
( )
A
B
r t
r t
=
r
r
Opis ruchu bryły
sztywnej
Wniosek:
Wszystkie punkty bryły sztywnej obracają się w danym momencie
czasu wokół tej samej
chwilowej osi obrotu
, której kierunek
wyznacza wektor prędkości kątowej. Zmiany położenia chwilowej
osi obrotu określa wektor przyspieszenia kątowego.
( )
d
t
dt
w
e
=
r
r
( )
( )
( )
,
,
y
x
z
x
y
z
d
d
d
t
t
t
dt
dt
dt
w
w
w
e
e
e
=
=
=
Opis ruchu bryły
sztywnej
y
1
0
1
x
1
z
1
h�
y
y
x�
1
w
1
d
dt
y
w =
0
1
h�
J
x�
h�
�
J
V
z
1
2
w
2
d
dt
J
w =
0
1
h
j
x�
h�
�
J
V
x
j
3
d
dt
j
w =
3
w
1
2
3
w w w w
= + +
r
r
r
r
Opis ruchu bryły
sztywnej
y
1
0
1
x
1
z
1
y
x�
1
w
2
w
V
3
w
h�
y
2
3
cos
sin sin
x
w w
y w
J
y
=
+
2
3
sin
sin cos
y
w w
y w
J
y
=
-
1
3
cos
z
w w w
J
= +
cos
sin sin
x
d
d
dt
dt
J
j
y
J
y
w
+
=
J
sin
sin cos
y
d
d
dt
dt
J
j
y
J
y
w
-
=
cos
z
d
d
dt
dt
y
j
J
w
+
=
y
Opis ruchu bryły
sztywnej
cos
sin sin
sin
sin cos
cos
x
y
z
d
d
dt
dt
d
d
dt
dt
d
d
dt
dt
J
j
y
J
y
w
J
j
y
J
y
w
y
j
J
w
+
=
-
=
+
=
( )
( )
( )
,
,
y
x
z
x
y
z
d
d
d
t
t
t
dt
dt
dt
w
w
w
e
e
e
=
=
=
0
0
0
0
0
0
(0)
,
(0)
,
(0)
(0)
,
(0)
,
(0)
x
x
y
y
z
z
w
w
w
w
w
w
y
y
J
J
j
j
=
=
=
=
=
=
Ruch płaski bryły
sztywnej
Ruchem płaskim
bryły sztywnej nazywamy ruch, w
którym wszystkie punkty bryły sztywnej wykonują
ruch płaski
Ruch płaski bryły
sztywnej
0
x
y
z
0
1
x
1
y
1
z
1
w
h
x
j
Ruch płaski bryły
sztywnej
1. Początek ruchomego układu współrzędnych 0
1
porusza się ruchem płaskim.
2. Wektor prędkości kątowej jest prostopadły do
płaszczyzny ruchu punktu 0
1
.
w
W płaskim ruchu obrotowym
punkty bryły poruszają się po
współosiowych okręgach
Ruch płaski bryły
sztywnej
0
1
0
1
( , , )
( )
( , , )
( , , )
( )
( , , )
x
t
x t
x
t
y
t
y t
y
t
x h
x h
x h
x h
=
+
=
+
1
1
( , , )
cos ( )
sin ( )
( , , )
sin ( )
cos ( )
x
t
t
t
y
t
t
t
x h
x
j
h
j
x h
x
j
h
j
=
-
=
+
0
0
0
0
0
0
0
0
( ),
( )
( ),
( ),
( ),
( )
y
x
x
x
x
y
d
d
t
t
dt
dt
du
dx
dy
du
u t
u t
a t
a t
dt
dt
dt
dt
j
w
w
e
=
=
=
=
=
=
Ruch płaski bryły
sztywnej
Zadanie:
Samochód porusza się ruchem prostoliniowym, jednostajnie
przyspieszonym. Opisać ruch punktu na obwodzie koła
samochodu.
x
y
x
1
y
1
0
( )
u t
h
x
A
B
1
0
( )
( )
u t
u t
=-
Jeżeli koło ma dobrą przyczepność do podłoża, punkt B koła
ma w chwili czasu t w układzie nieruchomym prędkość równą
0. Dlatego w układzie ruchomym jego prędkość będzie równa
– u
0
(t).
0
r
0
0
( )
( )
u t
t
r
w
=-
j
Prędkość
kątowa
koła będzie równa:
Punkt A ma w układzie współrzędnych związanym z kołem
ustalone współrzędne
.
Ruch płaski bryły
sztywnej
1
1
( , , )
cos ( )
sin ( )
( , , )
sin ( )
cos ( )
x
t
t
t
y
t
t
t
x h
x
j
h
j
x h
x
j
h
j
=
-
=
+
0
1
0
1
( , , )
( )
( , , )
( , , )
( )
( , , )
x
t
x t
x
t
y
t
y t
y
t
x h
x h
x h
x h
=
+
=
+
0
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
1
( )
u t
d
t
dt
r
u t
du
a
d
d
t
dt
dt
r
r dt
r
j
w
w
e
=
=-
�
�
=
=
-
=-
=-
�
�
�
�
Ruch płaski bryły
sztywnej
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( )
(0)
(0) 0
(0) 0
( )
t
t
a
a t
d
d
d
t
d
r
r
a t
u
t
r
w
t
t
w
w
t
w
w
�
�
= -
�
-
=-
�
�
�
�
= �
=
=-
�
�
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
( )
(0)
2
(0) 0
( )
2
t
t
a
a t
d
d
d
t
d
r
r
a t
t
r
t
j
t
t
j
j
t
j
j
�
�
= -
�
-
=-
�
�
�
�
=
=-
�
�
Ruch płaski bryły
sztywnej
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( ),
( )
(0)
(0) 0
( )
t
t
dx
du
u t
a
dt
dt
du
d
ad
u t u
at
d
u
u t
at
t
t
t
=
=
=
�
-
=
=
=
�
�
2
0
1
0
0
2
0
0
2
1
0
0
2
( )
(0)
(0) 0
( )
t
t
dx
d
a d
x t
x
at
d
x
x t
at
t
t t
t
=
�
-
=
=
=
�
�
Ruch płaski bryły
sztywnej
2
2
2
0
0
1
2
0
0
2
2
0
0
0
0
0
( , , )
cos
sin
2
2
( , , )
sin
cos
2
2
a t
a t
x
t
at
r
r
a t
a t
y
t
r
r
r
x h
x
h
x h
x
h
�
�
�
�
=
+
-
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= +
-
+
-
�
�
�
�
�
�
�
�
Mechanizmy
płaskie
Mechanizmem
nazywamy
zespół
elementów
konstrukcyjnych połączonych ze sobą w taki
sposób, aby ruch jednego elementu wywoływał
określony ruch pozostałych elementów. Elementy
wchodzące w skład mechanizmu nazywamy
członami
lub
ogniwami mechanizmu
.
W każdym mechanizmie można wyodrębnić:
człon czynny
(napędzający),
człony bierne
(napędzane),
ostoję
(podstawę, człon nieruchomy)
Mechanizmem płaskim
nazywamy mechanizm,
którego wszystkie człony wykonują ruch płaski.
Mechanizmy
płaskie
Dwa człony połączone węzłem tworzą
parę
kinematyczną
.
Człony mechanizmów łączą się w
węzłach
. Dwa
człony tworzą węzeł, jeżeli mają co najmniej jeden
punkt wspólny i mogą się względem siebie
poruszać.
Para: tłok (człon czynny) – cylinder (człon
nieruchomy)
Mechanizmy
płaskie
Para: koło zębate (człon czynny) – koło zębate (człon
bierny)
Mechanizmy
płaskie
Para: podstawa (człon nieruchomy) – dźwignia (człon
bierny)
Mechanizmy
płaskie
Para wielokrotna (połączenie sworzniowe): podstawa
(człon nieruchomy) – pręty (człony bierne)
Mechanizmy
płaskie
Schemat kinematyczny
(przestrzenny i płaski)
Mechanizmy
płaskie
x
y
y
1
x
1
B
A
C
A
j
C
j
( ),
( )
A
A
A
A
dx
du
u t
a t
dt
dt
=
=
( ),
( )
A
A
A
A
d
d
t
t
dt
dt
j
w
w
e
=
=
( ),
( )
C
C
C
C
d
d
t
t
dt
dt
j
w
w
e
=
=
Niewiadome funkcje:
( ), ( ), ( ),
( ), ( ),
( ),
( ), ( )
A
A
A
A
A
C
C
C
x t u t
t
t
t
t
t
t
j
w
e
j
w
e
x
Mechanizmy
płaskie
x
y
y
1
x
1
B
A
C
A
j
C
j
1
1
( )
( )
( ),
( )
( )
B
A
B
B
B
x t
x t
x t
y t
y t
=
-
=
x
1
1
( )
cos ( )
cos ( ),
( )
sin ( )
B
B
A
AB
A
B
AB
A
x t
t
l
t
y t
l
t
x
j
j
j
=
=
=
( )
cos ( ),
( )
sin ( )
B
BC
C
B
BC
C
x t
l
t
y t
l
t
j
j
=
=
( )
cos ( )
cos ( ),
sin ( )
sin ( )
A
AB
A
BC
C
AB
A
BC
C
x t l
t
l
t
l
t
l
t
j
j
j
j
-
=
=
Związki kinematycznej
zgodności:
Mechanizmy
płaskie
[
]
[
]
( )
cos ( )
cos ( )
A
AB
A
BC
C
d
d
x t l
t
l
t
dt
dt
j
j
-
=
sin ( )
sin ( )
C
A
A
AB
A
BC
C
d
dx
d
l
t
l
t
dt
dt
dt
j
j
j
j
+
=-
( )
( )sin ( )
( )sin ( )
A
AB A
A
BC C
C
u t l
t
t
l
t
t
w
j
w
j
+
=-
[
]
[
]
sin ( )
sin ( )
AB
A
BC
C
d
d
l
t
l
t
dt
dt
j
j
=
( )cos ( )
( )cos ( )
AB A
A
BC C
C
l
t
t
l
t
t
w
j
w
j
=
