Teoria
sprężystości
Wykład 2
Materialny ośrodek ciągły
Teoria
sprężystości
Wykład 2
Materialny ośrodek ciągły
2
Podstawowe idee
W mechanice płynów, teorii sprężystości, teorii plastyczności i innych
dyscyplinach pokrewnych, często zbiorczo nazywanych mechaniką
ośrodka ciągłego, posługujemy się teoretycznym i wyidealizowanym
modelem ciała stałego; modelem materialnego ośrodka ciągłego.
Zaniedbując strukturę cząsteczkową ciała, przyjmujemy, że materia
jest w sposób ciągły rozmieszczona w przestrzeni. Sprowadza się to
do „rozmazania” struktury atomowej i cząsteczkowej ciała i
traktowania go jako obszaru w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa,
którego punkty pokrywają się z cząsteczkami ciała.
Continuum materialne traktujemy przy tym jako ośrodek ciągły w
sensie matematycznym. Zakładamy, że pobliskie punkty ośrodka
przed odkształceniem przechodzą w pobliskie punkty po
odkształceniu. Wykluczamy możliwość powstawania w czasie
deformacji szczelin i otworów w ciele.
Ciągły rozkład materii w określonym obszarze ciała można
scharakteryzować za pomocą wielkości skalarnej: gęstości masy.
3
Podstawowe idee
Gęstość masy
W dowolnym punkcie P ciała, gęstość masy można (alternatywnie)
określić następująco
V
d
M
d
V
P
M
P
V
)
(
lim
)
(
0
V
P
M
P
)
(
limf
)
(
V
dV
P
M
)
(
4
W chwili ciało znajduje się w stanie naturalnym i zajmuje
obszar B (konfiguracja odniesienia). Położenie punktów ciała
określa wektor
Wektor przemieszczenia
Zakładamy, że istnieje tylko jeden stan cechujący się
brakiem sił wewnętrznych i odkształceń, do którego
powraca ciało po usunięciu oddziaływań zewnętrznych.
Stan ten nazywamy stanem naturalnym ciała.
0
t
t
3
2
1
3
2
1
,
,
,
,
x
x
x
x
x
x
r
r
pojęcie stanu naturalnego ma sens tylko dla ośrodka
sprężystego (niekoniecznie liniowo sprężystego).
5
Wektor przemieszczenia
x
1
x
2
x
3
O
B
B’
r
r’
P(x
i
)
P(
i
)
u
6
Wektor przemieszczenia
3
,
2
,
1
,
,
,
,
3
2
1
i
t
x
x
x
i
i
j
i
x
D
det
0
D
3
,
2
,
1
,
,
,
,
3
2
1
i
t
x
x
i
i
Punkty leżące przed odkształceniem na pewnej linii lub
powierzchni przechodzą po odkształceniu na punkty leżące na
pewnej linii lub powierzchni
Punkty materialne, które przed odkształceniem leżały wewnątrz
pewnej powierzchni zamkniętej, leżą po odkształceniu wewnątrz
powierzchni zamkniętej
Punkty materialne tworzące przed odkształceniem brzeg ciała,
tworzą go również po odkształceniu
7
Wektor przemieszczenia
t
x
x
x
f
,
,
,
3
2
1
Wektor
r
r
u
'
i
i
i
x
u
nazywamy przemieszczeniem punktu
P
których współrzędnych wygodniej użyć?
Opis
Lagrange
’a
Opis
Lagrange
’a
Opis
Eulera
Opis
Eulera
i
i
i
x
t
x
x
x
t
x
x
x
u
,
,
,
,
,
,
3
2
1
3
2
1
t
x
t
u
i
i
i
,
,
,
,
,
,
3
2
1
3
2
1
t
f
,
,
,
3
2
1
8
Odkształcenie ciała
i
x
P
i
i
dx
x
Q
i
P
'
Tensor odkształcenia
Przed
odkształcenie
m
Przed
odkształcenie
m
i
i
d
Q
'
Po
odkształceniu
Po
odkształceniu
i
i
i
u
x
i
i
i
i
i
i
du
dx
u
x
d
2
2
0
PQ
dS
2
2
'
'Q
P
dS
i
i
i
i
d
d
dS
dx
dx
dS
2
2
0
,
2
0
2
dS
dS
?
?
9
Odkształcenie ciała
Opis
Lagrange’a
k
j
k
i
j
i
i
i
dx
dx
x
x
d
d
dS
2
k
j
jk
k
j
jk
k
i
j
i
jk
k
j
k
j
k
i
j
i
dx
dx
e
dx
dx
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
dS
dS
2
2
0
2
jk
k
i
j
i
jk
x
x
e
2
1
10
Odkształcenie ciała
ij
j
i
j
i
x
u
x
jk
jk
j
k
k
j
k
i
j
i
jk
ik
k
i
ij
j
i
jk
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
e
2
1
2
1
k
i
j
i
j
k
k
j
x
u
x
u
x
u
x
u
2
1
Opis
Lagrange’a
18
18
11
Odkształcenie ciała
k
i
j
i
j
k
k
j
jk
x
u
x
u
x
u
x
u
e
2
1
Tensor odkształcenia
Lagrange’a (Greene’a).
Wprowadzony przez
Greene’a i Saint-
Venanta
Tensor odkształcenia
Lagrange’a (Greene’a).
Wprowadzony przez
Greene’a i Saint-
Venanta
k
i
j
i
j
i
j
i
x
x
x
u
x
,
,
Gradient deformacji,
gradient
przemieszczenia, tensor
deformacji Greene’a
Gradient deformacji,
gradient
przemieszczenia, tensor
deformacji Greene’a
Charakter tensorowy tensora odkształcenia wynika z postaci
równania, w którym go wprowadziliśmy (reguła iloczynu).
12
Odkształcenie ciała
j
i
ij
j
i
j
k
i
k
ij
d
d
d
d
x
x
dS
dS
2
2
0
2
j
k
i
k
i
j
j
i
j
k
i
k
ij
ij
u
u
u
u
x
x
2
1
2
1
Opis
Eulera
Tensor odkształceń
skończonych Almanasiego
(Hamela)
Tensor odkształceń
skończonych Almanasiego
(Hamela)
13
Odkształcenie ciała
Interpretacja geometryczna składowych tensora odkształcenia Lagrange’a
,
1
,
'
'
0
0
PQ
PQ
dS
dS
dS
PQ
PQ
Q
P
3
2
1
,
,
dx
dx
dx
PQ
0
dS
dx
n
i
i
k
j
jk
dx
dx
e
dS
dS
dS
dS
dS
dS
2
0
0
2
0
2
?
?
?
?
20
20
14
Odkształcenie ciała
0
0
dS
dS
dS
PQ
0
0
0
0
0
0
2
2
dS
dS
dS
dS
dS
dS
dS
dS
PQ
0
0
2 dS
dS
dS
PQ
k
j
jk
PQ
PQ
n
n
e
2
2
k
j
jk
PQ
PQ
n
n
e
2
1
1
11
11
11
2
1
1
e
Dla włókna o kierunku osi x
Dla włókna o kierunku osi x
1
15
Odkształcenie ciała
1
2
1
11
11
e
1
2
1
11
11
e
1
2
1
,
1
2
1
33
33
22
22
e
e
Znajomość tensora odkształcenia, pozwala określić względne
wydłużenie dowolnie zorientowanego włókna ciała
odkształcalnego.
Określimy teraz, jaką orientację będzie miał po odkształceniu
ciała element liniowy, którego kierunek przed odkształceniem
określają kosinusy kierunkowe
0
dS
dx
n
i
i
27
27
16
Odkształcenie ciała
Szukamy
dS
d
n
i
i
*
j
ij
j
i
i
dx
x
u
d
Biorąc pod uwagę, że
j
ij
j
i
j
ij
j
i
i
i
n
x
u
dS
dS
dS
dS
dS
x
d
x
u
dS
d
n
0
0
0
*
PQ
dS
dS
1
1
0
ij
j
i
PQ
j
i
x
u
n
n
1
*
24
24
17
Odkształcenie ciała
Związek między kątami utworzonymi przez elementy liniowe
(włókna) przed i po odkształceniu ciała
x
1
x
2
x
3
P
Q
R
P’
Q’
R’
I
II
I
II
B
B’
18
Odkształcenie ciała
II
i
I
i
II
I
II
I
n
n
dS
PR
dS
PQ
)
,
(
0
0
cos
,
,
II
i
I
i
II
I
II
I
n
n
dS
R
P
dS
Q
P
*
*
*
)
,
(
cos
,
'
'
,
'
'
k
i
ik
j
i
ij
PR
PQ
II
k
I
j
II
i
I
i
x
u
x
u
n
n
n
n
)
1
(
)
1
(
*
*
jk
jk
k
i
ik
j
i
ij
e
x
u
x
u
2
10
10
19
Odkształcenie ciała
II
k
I
j
jk
II
I
II
I
PR
PQ
n
n
e
2
cos
cos
)
1
(
)
1
(
)
,
(
*
)
,
(
22
11
)
,
(
2
1
,
,
0
2
cos
cos
,
,
PR
PQ
II
I
i
II
i
i
I
i
n
n
22
11
12
22
11
12
*
)
,
(
2
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(
2
cos
e
e
e
e
II
I
ij
ij
j
k
i
k
i
j
j
i
j
k
i
k
i
j
j
i
j
i
e
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
2
1
2
1
20
Odkształcenie ciała
Osie główne i kierunki główne tensora odkształcenia – zagadnienie własne
j
i
ij
PQ
PQ
n
n
e
dS
dS
dS
2
1
1
2
2
0
2
0
2
13
13
Szukamy ekstremum tego wyrażenia na kuli jednostkowej (ekstremum warunkowe)
0
1
i
i
n
n
1
)
;
(
i
i
k
j
jk
i
n
n
e
n
n
e
e
n
f
Mamy zatem (
e
mnożnik Lagrange’a)
0
)
;
(
i
j
n
e
n
f
21
Odkształcenie ciała
0
j
ij
ij
n
e
e
0
det
e
e
ij
ij
Rozwiązania układu równań
(
)
(
)
(
)
stanowią kierunek główny.
Mnożnik Lagrange’a
e
– wartość główna tensora odkształcenia.
Algebra liniowa: zagadnienie własne, kierunki własne, wartości własne
0
3
2
2
1
3
I
e
I
e
I
e
33
22
11
1
e
e
e
I
33
31
13
11
33
32
23
22
22
21
12
11
2
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
I
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
e
e
e
e
e
e
e
e
e
I
Niezmienniki tensora odkształcenia
Niezmienniki tensora odkształcenia
26
26
22
Odkształcenie ciała
Udowodnimy teraz, że pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste
3
2
e
e
1
e
- rzeczywisty
(dowód nie wprost)
0
2
2
j
ij
ij
n
e
e
0
3
3
j
ij
ij
n
e
e
2
3
3
3
2
2
0
0
i
j
ij
ij
i
j
ij
ij
n
n
e
e
n
n
e
e
0
3
2
2
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
i
i
i
j
ij
i
j
ij
i
j
ij
i
j
ij
n
n
e
e
n
n
e
n
n
e
n
n
e
n
n
e
23
Odkształcenie ciała
0
2
3
2
2
2
2
j
ij
ij
j
ij
ij
j
ij
ij
n
e
e
n
e
e
n
e
e
b
a
b
a
3
2
e
e
3
2
j
j
n
n
2
3
j
j
n
n
0
Im
2
2
2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
n
n
e
i
n
n
e
e
Sprzeczność!
24
Odkształcenie ciała
3
2
1
0
,
,
dx
dx
dx
d
S
3
2
1
,
,
d
d
d
d
S
Jeszcze o interpretacji geometrycznej składowych tensora odkształcenia
Zmiana objętości ciała
3
3
3
2
2
3
1
1
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
d
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
d
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
d
16
16
„Przed”
„Przed”
„Po”
„Po”
25
Odkształcenie ciała
3
0
2
0
1
0
,
0
,
0
,
0
,
,
0
,
0
,
0
,
dx
d
dx
d
dx
d
III
II
I
S
S
S
3
3
3
3
3
2
3
3
1
2
2
3
2
2
2
2
2
1
1
1
3
1
1
2
1
1
1
1
,
,
,
1
,
,
,
1
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
d
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
d
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
d
III
II
I
S
S
S
26
Odkształcenie ciała
V
V
D
V
*
0
1
det
j
i
ij
x
u
δ
D
1
*
0
D
V
V
V
Obliczamy kwadrat wyznacznika
D
„Przed”
„Przed”
„Po”
„Po”
ik
ik
k
j
jk
i
j
ji
e
x
u
x
u
D
2
det
det
2
ik
ik
e
2
1
det
2
3
21
21
27
Odkształcenie ciała
3
2
1
2
8
4
2
1
I
I
I
D
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
e
e
e
D
1
1
1
3
2
1
D
1
1
1
1
3
2
1
0
Wygodnie niezmienniki tensora odkształcenia wyrazić poprzez
wartości główne tego tensora. Uzyskuje się wtedy
15
15
28
Odkształcenie ciała
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
,
11
11
,
2
2
sin
cos
12
*
)
,
(
*
)
,
(
II
I
II
I
Przypadek małych odkształceń
Dla odkształceń nieskończenie małych zakładamy małość
przemieszczeń i ich pochodnych (współrzędnych tensora
gradientu przemieszczenia).
Opisy Lagrange’a i Eulera są nieodróżnialne.
,
2
2
12
*
)
,
(
II
I
33
22
11
0