Plan wykładu
1. Powtórzenie – siły i momenty sił
działające na obwód z prądem
w polu magnetycznym
2. Prawo Ampere’a
3. Prawo Biota - _Savarta
4. Prawo indukcji Faraday’a
5. Równania Maxwella
Plan wykładu
1. Powtórzenie – siły i momenty sił
działające na obwód z prądem
w polu magnetycznym
2. Prawo Ampere’a
3. Prawo Biota - _Savarta
4. Prawo indukcji Faraday’a
5. Równania Maxwella
Prostokątna ramka z
prądem
Całkowita siła działająca na ramkę jest
równa zero!!!
Moment siły działający ramkę z prądem w polu
magnetycznym
M
B
t
m
�
�
� �
= = �
Moment siły działający na prostokątną
ramkę z pradem
M
i SB
t
�
�
�
= =
S-powierzchnia ramki
S S n
�
�
=
M I S B
�
� �
=
�
Na ramkę z pradem nie działają siły, ale
momenty sił tak
Definiujemy magnetyczny
moment dipolowy
IS n
m
�
�
=
M
B
m
�
� �
= �
Wówczas
Taki dipol będzie usiłował ustawić
dipol w kierunku pola magnetycznego,
a więc obwód prostopadle do niego.
Magnetyczny moment dipolowy obwodu z
prądem
Swobodne elektrony (ładunki ujemne)
poruszają się z prędkością dryfową vd w
kierunku przeciwnym do kierunku prądu.
Elektrony „czują „siłę Lorentza :
Mamy
Zatem,
Drut jest pchany/ciągnięty przez ładunki.
L
jest długością wektora który wskazuje
kierunek prądu i i ma wartość równą jego
długości.
Dowolnie ukształtowany drut o stałym
przekroju wytwarza w polu
magnetycznym siłę
Siła magnetyczna działająca na
obwód z prądem
nAL
B
v
q
F
d
B
)
(
B
L
i
F
B
B
ds
I
F
d
B
b
a
B
B
ds
I
F
A
nqv
i
d
Narysuj “pętlę Ampere’a” wokół układu
prądów(jak np. dwa druty po prawej
stronie). Pętla może mieć dowolny kształt,
ale musi być
zamknięta
.
Dodajemy każdy element pola B wzdłuż pętli
(iloczyn skalarny , )dla każdego
elementu długości ds wokół tej zamkniętej
pętli.
Wartość tej całki jest proporcjonalna do prądu
zamkniętego obwodem:
Prawo Ampere’a
i
1
i
2
B
enc
i
s
d
B
0
Prawo
Ampere
’a
Bds
uruur
Bds
uruur
Kierunek
całkowania
Pętla
Ampere’a
Prawo Ampere’a
Prostoliniowy
przewodnik
2
ds l ds
Bds Bds
Bds
Bds B ds
rB
p
�
�
� �
� �
= � �
=
=
=
=
�
�
�
�
�
�
0
2
I
B
r
m
p
=
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
Bds
Bds
Bds
Bds
Bds
� �
� �
� �
� �
� �
=
+
+
+
�
� � � �
�
0
N
Bds
I
l
m
� �
=
�
�
2
4
1
3
0
Bds
Bds
� �
� �
=
=
�
�
Prawo Ampere’a cewka
Siła działająca
na drut 1
pochodząca od
pola
magnetycznego
B2 (wszystko )
1
2
1
0
1
2
l
a
I
I
F
2
2
1
0
2
2
l
a
I
I
F
a
I
I
l
F
2
2
1
0
Siła / jednostka
długości
Z trzeciego prawa dynamiki
Newtona (& symetria) Siła
działająca na drut 2
pochodząca od drutu 1
Siła działania
drutu 2 na drut
1
Siła „magnetyczna” pomiędzy dwoma równoległymi
przewodnikami cd.
Jeżeli wielkość siły pomiędzy
dwoma równoległymi drutami
przenoszącymi identyczne prądy
i odległymi o 1m wynosi 2×10
-7
N/m to prąd w każdym
z drutów ma natężenie 1A
Jeżeli wielkość siły pomiędzy
dwoma równoległymi drutami
przenoszącymi identyczne prądy
i odległymi o 1m wynosi 2×10
-7
N/m to prąd w każdym
z drutów ma natężenie 1A
Definicja Coulomba: Jeśli prąd
w drucie ma natężenie 1A to 1C
ładunku przepływa przez
powierzchnię w 1s
Definicja Coulomba: Jeśli prąd
w drucie ma natężenie 1A to 1C
ładunku przepływa przez
powierzchnię w 1s
a
I
I
l
F
2
2
1
0
Definicja Ampere’a
Prawo Biota-Savarta
Pole
magnetyczn
e elementu
obwodu z
prądem
Pole magnetyczne
ładunku q
poruszającego z
prędkością v
m/A
T
10
4
7
= permeability
constant
exactly
m/A
T
10
4
7
0 0
1
prędkosc swiatla
c
e m
= =
Pole magnetyczne w środku pętli o
promieniu r
B
0
4
i d
v
l ˆr
r
2
r
i
rˆ
l
d
Jest wektorem „wychodzącym” z ekranu. Kąt
pomiędzy dl i r jest stały i równy 9 stopni.
0
0
0
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ 2
4
4
4
idl
i
i
B
dB
k
k
dl
k
r
r
r
r
m
m
m
p
p
p
p
=
=
=
=
�
�
�
r
r
0
ˆ
2
i
B
k
r
m
=
v
Wielkość pola B w środku pętli.
Kierunek prostopadły do
płaszczyzny ekranu.
r
kˆ
i
d
r
l ˆrdlsin
ˆ
k
sin
sin901
d
r
l ˆrdl ˆ
k
rˆ
l
d
P
0
Dlugosc
2
ˆ
Kierunek
i
r
k
m
Cewki (Solenoidy)
• Kompletna pętla z prądem wytwarza
w środku pole magnetyczne:
• Możemy wzmocnić to pole tworząc
wiele pętli. Wiele takich pętli gęsto
ułożonych nazywa się cewką
(solenoid).
• Możemy uzyc prawa Ampere’a do
wyliczenia B wewnątrz solenoidu.
R
i
B
2
0
Pole magnetyczne w pobliżu drutów
na zewnątrz cewki jest polem
kołowym, ale wewnątrz cewki jest
nieomal jednorodne.
Poprestu dodajemy wkład od
poszczególnych elementów drutu z
prądem drutu ds
Zauważmy, że oraz r
sin = R,
Całka ma postać:
Pole B pochodzące od długiego,
prostoliniowego drutu.
2
2
s
R
r
3
0
4
r
r
s
d
i
B
d
0
0
3
0
sin
2
2
r
ds
r
i
dB
B
0
2
/
3
2
2
0
)
(
2
s
R
ds
R
i
B
R
i
s
R
s
R
i
B
2
2
0
0
2
2
0
R
i
B
2
0
Pole B pochodzące od długiego drutu w odległości R
a
Ө
x
ds
dx
ds
rˆ
r
a
sin
x
a
tan
Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z
prądem
Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z
prądem cd.
2
0
ˆ
4
r
r
ds
B
I
d
sin
ˆ
ˆ
r
ds
r
ds
sin
dx
ds
r
dB
sin
a
r
2
2
sin
a
r
dx
a
I
d
sin
sin
4
2
0
B
dx
a
I
2
3
0
sin
4
Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z
prądem cd.
tan
a
x
2
sin
a
d
dx
d
a
dx
2
sin
dx
a
I
d
2
3
0
sin
4
B
d
a
a
I
2
2
3
0
sin
sin
4
d
a
I
sin
4
0
d
a
I
dB
sin
4
0
B
180
0
0
cos
4
a
I
2
4
0
a
I
a
I
2
0
Musimy użyć
całkowania:
cos
S
B S BS
BS
q
� �
^
F =
=
=
S
S
BdS
� �
F =
�
B – pole
jednorodne
B – pole
niejednorodne
S
Strumień wektora pola magnetycznego przez
powierzchnię
• Potrzebujemy sposbu wyliczenia „
ilości
pola
magnetycznego”
które przechodzi przez pętlę.
• Podobnie do definicji strumienia pola
elektrycznego definiujemy strumień pola
magnetycznego:
• Strumień pola magnetycznego jest skalarem.
• W jednorodnym polu magnetycznym , strumień
pola magnetycznego można wyrazić jako:
• Jednostką strumienia magnetycznego w
układzie SI jest weber (Wb):
1 weber = 1 Wb = 1 T m
2
Strumień pola
magnetycznego
Pętla o
powierzchni S
B
B dS
� �
F = �
�
cos
B
BS
q
F =
Prawo Faraday’a:
Eksperymenty
• Prąd pojawia się jedynie wtedy, gdy
istnieje względny ruch pomiędzy pętlą i
magnesem; Prąd znika, gdy ruch ustaje.
• Szybszy ruch powoduje większy prąd.
• Jeżeli poruszanie bieguna północnego
magnesu w kierunku pętli powoduje prą
zgodny z kierunkiem wskazówek zegara,
clockwise current, to ruch magnesu w
stronę przeciwną powoduje powstanie
prądu w kierunku przeciwnym. Ruch
bieguna południowego działa
przeciwnietoward or away from the loop
also causes currents, but in the reversed
directions.
An emf is induced in the loop when the number of magnetic
field lines that pass through the loop is changing.
Prawo indukcji Faraday’a
• Wielkość siły elektromotorycznej (potencjału) indukowanej w pętli przewodzącej
jest równa szybkości zmiany strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez
tą powierzchnię jednostce czasu (pochodnej po czasie).
• Jeżeli cewka składa się z N pętli o tej samej powierzchni, całkowita indukowana siła
elektromotoryczna w cewce wynosi:
• W jednorodnym polu magnetycznym siła elektromotoryczna
• wyraża się wzorem:
• Siła elektromotoryczna może być indukowana kilkoma sposobami:
– Wielkość pola magnetycznego B zmienia się w czasie.
– Powierzchnia zamknięta pętlą zmienia się w czasie.
– Kąt pomiędzy B i normalną do powierzchni pętli zmienia się w czasie.
– Występuje kombinacja wszystkich tych czynników.
Pętla o
powierzchni
S
B
d
dt
e
F
=-
B
d
N
dt
e
F
=-
(
cos )
d
BS
dt
e
q
=-
Prawo indukcji Faradaya
November 14, 27
Indukowane pole
elektryczne
• Jednorodne pole magnetyczne wypełnia cylinder o
promieniu R. Załóżmy, że zwiększamy stopniowo
natężenie pola magnetycznego.
• Miedziany pierścień: Zmienne pole magnetyczne
wytwarza wirowe pole elektryczne.
– Na podstawie prawa Faraday’a, indukowana siła
elektromotoryczna i prąd pojawią się w pierścieniu;
– Na podstawie prawa Lentza, prą płynie przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara;
– Indukowane pole elektryczne musi się pojawić w pierścieniu;
• Istnienie pola elektrycznego jest niezależne od
obecności ładunku próbnego. Nawet w przypadku
nieobecności miedzianego pierścienia, zmienne pole
magnetyczne generuje pole elektryczne w pustej
przestrzeni.
• Hipotetyczna droga okrężna : pole elektryczne
indukowane w różnych punktach pierścienia musi być
styczna do okręgu w tym punkcie.
• Linie pola elektrycznego wytwarzane przez zmienne pole
magnetyczne musi być zbiorem koncentrycznych
okręgów.
• Zmienne pole elektryczne tworzy wirowe pole
elektryczne
Przeformułowanie prawa
Faraday’a
• Ładunek q
porusza się po drodze kołowej.
• Praca W wykonana przez indukowane pole elektryczne:
• Praca wykonana podczas ruchu kołowego ładunku:
• Dwa wyrażenia na W równe sobie,
• Bardziej ogólne wyrażenie na pracę wykonaną przez ładunek q
poruszająca się po drodze zamkniętej:,
• Zatem,
• łącząc z prawem Faraday’a,
• Potencjał elektryczny jest zdefiniowany jedynie dla pól
elektrycznych wytworzonych przez ładunki statyczne; Nie można
go wyznaczyć dla pól wytworzonych przez indukcję.
0
q
W
rE
2
dt
d
ds
E
B
)
2
)(
(
0
r
E
q
ds
F
W
ds
E
q
ds
F
W
0
ds
E
Pomarańczowy kolor reprezentuje pole magnetyczne
„przebijające” ekran. Powiedzmy, że pole rośnie ze stałą
predkością 1 Gauss/s Następnie wkładamy miedziany drut w
pole jak pokazano na rysunku. Co się stanie wg. prawa
Faraday’a?
Prąd będzie płynął
w drucie,
a co się stanie gdy
usuniemy drut?
Teraz rozważmy
hipotetyczną drogę
bez drutu. Powstanie
siła elektromotoryczna
E
f
z liniami sił
pokazanymi powyżej
.
W
rzeczywistości
powstaje wiele
takich
koncentrycznyc
h okręgów
wszędzie w
przestrzeni.
Czerwone pętle
mają te same pola,
siła
elektromotoryczna
jest taka sama w
pętlach 1 1 2
,mniejsza w pętli 3
i równa się zero w
4. Żaden prąd nie
płynie, nie ma
wytwarzania ciepła
Zmienne pole magnetyczne generuje pole
elektryczne
Zmaina energii układu musi być
równa przekazowi energii do
systemu przez pracę nad nim
wykonaną.
Gdy sztabka porusza się ze stałą
prędkością:
Moc przekazana przez przyłożna siłę
wynosi:
Sztabka przewodząca o długości l może
poruszać się bez tarcia po pionowych,
równoległych szynach w polu
magnetycznym B.
Ładunki swobodne „czują” pole
magnetyczne wytwarzając w sztabce
prąd I.
Zaczynamy od strumienia pola
magnetycznego
Zgodnie z prawem indukcji Faraday’a
mamy:
Zatem
Pochodzenie wyindukowanego prądu i
energii rozproszonej przez opornik:
Indukcja i przekaz energii
R
v
l
B
R
R
Blv
R
I
P
2
2
2
2
2
R
Blv
R
I
Blv
dt
dx
Bl
Blx
dt
d
dt
d
B
)
(
Blx
B
IlB
IlB
F
F
B
app
sin
R
v
l
B
v
IlB
v
F
P
app
2
2
2
1 12
12 2
N
L I
F
=
2
12
12
dI
L
dt
E �-
1 12
12
2
N
L
I
F
=
Współczynnik indukcji
wzajemnej
Samoinducja – samoindukcja
cewki (solenoidu)
1
11
B
d
dI
E
L
dt
dt
F
=-
=-
0
N
B
I
l
m
=
2
2
2
B
N
r NB
r I
LI
l
p
p
F =
=
=
2
2
N
L
r
l
p
=
TRANSFORMATOR
N
P
> N
S
transformator
podwyższający napięcie
N
P
< N
S
transformator obniżający
napięcie
NS > NS
transformator podwyższający
napięcie
11
0
dI
L
IR E
dt
+ -
=
1
max
(
)
Lt
R
I I
e
=
-
d
IR
LI
dt
F
=-
=-
d
E IR
LI
dt
F
+ =-
=-
max
R
t
L
I I
e
-
=
max
E
I
R
=
2
2
2
2
2
0
0
2
max
max
max
R
t
L
L
R
LI
U
I Rdt I R e
dt I R
�
� -
=
=
=
=
�
�
Samoindukcja – energia pola w
solenoidzie
„Ładowanie” cewki
Jak energia pola magnetycznego jest
magazynowana w cewce
iR L
di
dt
0
iR L
di
dt
i i
2
R Li
di
dt
Szybkość
dostarczania energii
z ogniwa do
obwodu.
Szybkość z jaką
energia jest
tracona w
oporniku.
Szybkośc z jaką
energia jest
magazynowana w
cewce
Zaczynamy od
oczka Kirchoffa
dU
B
dt
Li
di
dt
Przekształca
my
równanie
Mnożymy przez I
Jaka jest energia pola magnetycznego
zmagazynowana w cewce?
dU
B
dt
Li
di
dt
dU
B
Lidi
dU
B
0
U
B
Lidi
0
i
U
B
Lidi
0
i
1
2
Li
2
U
B
1
2
Li
2
For an inductor L
Definiujemy gęstość energii
(energia w jednostce objętości)
B
B
U
u
Sl
=
Pole S
l
2
2
1
2
2
B
Li
L i
u
Sl
l S
=
=
2
0
L
n S
l
m
=
2
1
2 2
2
1
0
2
B
Li
u
n i
Sl
m
=
=
u
B
B
2
2
0
B
0
ni
u
E
E
2
2
0
Wzór na gęstość energii
jest ogólnie prawdziwy
11 1
B
L I
F =
1
11
B
L
d
dI
E
L
dt
dt
F
=-
=-
1
11
dI
Q
V
IR
L
C
dt
+ + =-
1
11
dI
Q
E
IR L
C
dt
= + +
0
sin
E E
t
w
=
Samoindukcja – obwód
RLC
2
0
2
cos
d Q
dQ Q
L
R
E
t
dt
C
dt
w
w
+
+ =
0
2
2
1
cos(
)
E
dQ
I
t
dt
R
L
C
w j
w
w
=
=
-
�
�
+
-
�
�
�
�
1
L
C
tg
R
w
w
j
-
=
obwód RLC cd.
2
2
1
Z
R
L
C
w
w
�
�
=
+
-
�
�
�
�
1
Z R
LC
w =
� =
Resonans
Ri
)
1
(
L
Rt
R
e
V
L
Rt
L
e
V
dt
di
L
L
R
R
Ri
)
1
(
L
Rt
R
e
V
L
Rt
L
e
V
dt
di
L
L
R
R
i
R
(1 e
Rt
L
)
V
R
Ri
Note = L/R = 4/2 = .2 s,
V
R
(1 e
1
) 0.63
an
d
i
R
(1 e
1
) 0.63
R
V
L
(e
1
) 0.37
V
R
0.63
2
1 V
4.H
)
cos(
)
(
2
t
Ae
t
x
t
m
b
Dla słabego tłumienia rozwiązanie ma postać: (małe b), :
f = bv
gdzie
b
jest współczynnikiem tłumienia
x
t
Oscylator harmoniczny tłumiony podlega zewnętrznym
niezachowawczym (niekonserwatywnym) siłom działającym
na układ. W mechanice jest to siła proporcjonalna do
predkości.
A e
-(b/2m)t
2
2
dt
x
d
m
dt
dx
b
kx
F=ma daje:
0
0
/
/ 2
/ 2
k m
b m f F
m
w
b
=
=
=
( )
t
p
x t
x x
= +
2
0
2
0
t
t
t
x
x
x
b
w
+
+
=
&
&
&
(
)
1
cos
with
t
t
x
Ae
t
b
w
d
-
=
-
2
2
1
0
w
w
b
=
-
Rozwiązania stacjonarne i
przejściowe
0
cos
F mx bx kx F
t
w
=
+ + =
&& &
Oscylator harmoniczny wymuszony
39
Resonans
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0
1
2
Minimalizujemy mianownik
2
4
8
0
2
2
definiujemy parametr Q=
2
2
2
1 2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
f
A
d
d
Q
Q
w
w
w
bw
w
w
bw
w
w w
w
b w
b
w
w
w
w
b
w
b
w
w
w
w
w
-
=
-
+
-
+
=
-
-
+
=
=
-
�
=
-
� �
=
-
=
� �
� �
+
Q jest bezwymiarową
wielkością odpowiadajacą za
jakość rezonansu
(
)
(
)
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
t
2
Gdy
,
oraz
/ 2
g
bw
d
w
w
bw
w
w
w
w
d p
-
�
�
=
�
�
�
�
-
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
-
�
�
=
p
x
cos
A
t
Rezonans amplitudy znajduje
się dla częstości nieznacznie
różnej od on Q or
Jest rzeczą istotną że odpowiedź
x(t) nie jest w fazie z siłą
wymuszającą. Dla niskich
częstości , x(t) and F(t)
znajdują się w jednej fazie .
Dla
różnią się fazami o 9
.
Dla wysokich częstości różnica
faz wynosi 18
!
4
0
5
10
15
20
0
0.5
1
1.5
2
Zjawisko rezonansu
0
/
0
/
( )/
A
f
( )
10
2
2
0
Q
Q
Q
10
2
2
0
Q
Q
Q
/ 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
1
2
3
4
5
6
7
0
/
R
Rysujemy amplitudę fali, oraz
fazę w funkcji częstości
wymuszającej dla trzech różnych
współczynników Q na dwóch
górnych rysunkach. Im większa
jest wartość Q tym ostrzejszy jest
rezonans. Tak w fazia jak i w
amplitudzie. Niższy rysunek
pokazuje stosunek „naturalnej”
częstości drgań w funkcji Q. Dla
dobrych rezonatorów amplituda
jest bardzo bliska amplitudzie
oscylatora niewymuszonego.
.
Q
Wymuszony oscylator z tłumieniem
• Gdy przyłożymy siłę
F
cos (t)
, widzimy:
2
2
2
0
2
0
)
(
)
(
/
m
b
m
F
A
b/m małe
b/m
średnie
b duże
t
m
F
x
m
k
dt
dx
m
b
dt
x
d
cos
2
2
Not Zero!!!
A
m
p
liu
d
a
u
st
a
lo
n
a
Obwód LC
• Co się stanie gdy zrobimy obwód
składający się z cewki i kondensatora?
• Gdy naładujemy kondensator i następnie
odłączymy ogniwo co stanie się z
ładunkiem?
• Przypominamy, że na poczatku pojemność
działa jak otwarty obwód, wiec ładunek
nie popłynie natychmiast.
• Jednak, gdy ładunek zaczyna płynąć,
cewka działa jek zwykły drut , natomiast
wewnątrz niej wytwarza się pole
magnetyczne.
Porównanie obwodu RLC do oscylatora
harmonicznego z tłumieniem
• Gdy opór R jest mały:
– Obwód RLC jest analogiczny do słabo
tłumionego oscylatora
mechanicznego
– Q = Q
max
e
-Rt/2L
cos ω
d
t
– ω
d
jest częstością kątową drgań
oscylatora dla obwodu oraz:
1
2
2
1
2
d
R
ω
LC
L
�
�
� �
=
-
�
�
� �
� �
�
�
�
�
11 1
B
L I
F =
1
11
B
L
d
dI
E
L
dt
dt
F
=-
=-
1
11
dI
Q
V
IR
L
C
dt
+ + =-
1
11
dI
Q
E
IR L
C
dt
= + +
0
V V
t
w
= sin
Samoindukcja – obwód
RLC
2
0
2
cos
d Q
dQ Q
L
R
E
t
dt
C
dt
w
w
+
+ =
0
2
2
1
cos(
)
E
dQ
I
t
dt
R
L
C
w j
w
w
=
=
-
�
�
+
-
�
�
�
�
1
L
C
tg
R
w
w
j
-
=
obwód RLC cd.
2
2
1
Z
R
L
C
w
w
�
�
=
+
-
�
�
�
�
1
Z R
LC
w =
� =
Resonans
Obwód RLC, Wykres
4 /
C
R
L C
=
Rezonans dla obwodu
elektrycznego
Oznacza to, że amplituda
prądu I =V/Z osiąga
maximum gdy Z jest
najmniejsze (osiąga
minimum). Zachodzi to, gdy
ωL=1/ωC
Oscylacje
elektromagnetyczne
2
2
2
1
2
CV
C
q
U
E
2
2
1
Li
U
B
2
2
2
1
2
CV
C
q
U
E
2
2
1
Li
U
B
Średnia szybkość rozprasznia energii jest średnią równania
pokazanego powyżej. Zwróć uwagę,że w czasie pełnego cyklu
wartość średnia sin(θ) jest równa zeru. Jednak wartość średnia
sin
2
(θ)=1/2
Szybkość rozpraszania energii w
obwodzie prądu zmiennego
wynosi:
2
sr
P I R
-
=
2
max
sr
I
I =
Straty energii elektrycznej są znacznie
zredukowane, gdy przesyłamy ją pod
wysokim napięciem
Przesyłanie energii
elektrycznej
Przykład
Średnia moc 120 kW jest przesyłana
Linią przesyłową o napięciu 24 kV
Linią przesyłową o napięciu 240V
W obu przypadkach oporność linii wynosi 0.4Ώ.
Obliczyć straty energii w oby przypadkach.
Równania Maxwella
:
W roku 1873 Maxwell napisał 4 rownania, które
opisują wszystkie klasyczne zjawiska
elektromagnetyczne.
Dwa z nich już znacie:
0
1
.
.
/
E
enc
E dS q
e
F =
=
�
r
�
2
0
.
.
B
B dS
�
F
=
=
�
r
�
Jeszcze raz prawo Faraday’a
Nowe Pytanie: Czy zmienne w czasie
pole elektryczne produkuje pole
magnetyczne?
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
Tak może, a
zjawisko nazywa się
prawem indukcji
Maxwella
Przypominamy prawo
Ampere’a
enc
I
s
d
B
0
Wyobraźmy sobie drut połączony z
ładowanym i rozładowywanym
kondensatorem. Obszar pętli Ampere’a
może być rozszerzony na otwartą
przestrzeń pomiędzy okładkami
kondensatora. W tym przypadku to pętla
Ampere’a przenosi prąd, a nie drut
wewnątrz okładek kondensatora, bo go
tam nie ma.
Jeżeli prawo Ampere’a nadal obowiązuje
musi istnieć pole magnetyczne
generowane przez zmienne pole
elektryczne E pomiędzy okładkami. To
indukowane pole magnetyczne
zachowuje się tak, jakby między
okładkami kondensatora płynął prąd
(nazywamy go prądem przesunięcia).
Równanie opisujące prąd
przesunięcie
dt
d
I
E
d
0
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
Prawo indukcji Maxwella
Prąd nie płynie przez
kondensator, ale?
Rozpatrzmy
ładowanie
kondensatora
Pole
magnetyczne B
jest indukowane
także w punkcie
2.
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
r
B .d
r
s
(B)(2
r) since B parallel ds
R
0 0
0 0
0 0
( )
E
d
d SE
dE
S
dt
dt
dt
me
me
me
F
=
=
E
B
r
(B)(2
r)
0
0
r
2
dE
dt
B
0
0
r
2
dE
dt
B
0
0
R
2
2r
dE
dt
r<
R
r > R
Strumień przez pętlę o
promieniu r
Wyrażenie na wirowe pole magnetyczne otaczające zmienne pole
elektryczne ładowanego ( rozładywanego) kondensatora
cylindrycznego
Prąd przesunięcia w szczelinie pomiędzy dwiema okładkami
kondensatora jest równy rzeczywistemu prądowi na zewnątrz
kondensatora
0
d
E
dt
i
d
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
Czy można wykryć pole
magnetyczne pochodzące od
prądu przesunięcia?
Pole od prądu
i
Pole od prądu i
B
Prawo Ampere-Maxwella
4.
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
0
i
enc
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
r
B .d
r
s
0
i
Maxwell połączył dwa
Powyższe równania w jedno.
Interpretacja równania?
Ten czynnik ma wymiar prądu
Co to jest prąd przesunięcia?
r
B .d
r
s
0
0
d
E
dt
0
i
enc
0
d
E
dt
i
d
Prąd i
d
nazywa się
prądem przesunięcia
r
B .d
r
s
0
i
d
0
i
enc
Termin ten oznacza transfer energii pola elektrycznego i
magnetycznego
z jednej okładki kondensatora do drugiej, gdy okładki są
ładowane lub rozładowywane. Gdy ładowanie ustaje prąd
przesunięcia dąży do zera.
Uwaga: prąd przesunięcia zależy od czasu.
Obliczamy pole magnetyczne kondensatora
kołowego
Prąd jest równomiernie rozłożony wzdłuż
kołowych okładek kondensatora.
Potraktujmy kondensator jako gruby drut z
prądem. Rozkład pola magnetycznego w
kondensatorze wygląda jak rozkład pola w
drucie i wokół niego
B (
0
i
d
2
R
2
)r
Wewnątrz
kondensatora
B
0
i
d
2
r
Na zewnątrz
kondensatora