Plan wykładu

1. Powtórzenie – siły i momenty sił

działające na obwód z prądem

w polu magnetycznym

2. Prawo Ampere’a
3. Prawo Biota - _Savarta
4. Prawo indukcji Faraday’a
5. Równania Maxwella

Prostokątna ramka z

prądem

Całkowita siła działająca na ramkę jest

równa zero!!!

Moment siły działający ramkę z prądem w polu

magnetycznym

M

B

t

m

�

�

� �

= = �

Moment siły działający na prostokątną

ramkę z pradem

M

i SB

t

�

�

�

= =

S-powierzchnia ramki

S S n

�

�

=

M I S B

�

� �

=

�

Na ramkę z pradem nie działają siły, ale

momenty sił tak

Definiujemy magnetyczny

moment dipolowy

IS n

m

�

�

=

M

B

m

�

� �

= �

Wówczas

Taki dipol będzie usiłował ustawić

dipol w kierunku pola magnetycznego,

a więc obwód prostopadle do niego.

Magnetyczny moment dipolowy obwodu z

prądem

Swobodne elektrony (ładunki ujemne)

poruszają się z prędkością dryfową vd w
kierunku przeciwnym do kierunku prądu.

Elektrony „czują „siłę Lorentza :

Mamy
Zatem,

Drut jest pchany/ciągnięty przez ładunki.

L

jest długością wektora który wskazuje
kierunek prądu i i ma wartość równą jego
długości.

Dowolnie ukształtowany drut o stałym

przekroju wytwarza w polu
magnetycznym siłę

Siła magnetyczna działająca na

obwód z prądem

nAL

B

v

q

F

d

B

)

(





















B

L

i

F

B











B

ds

I

F

d

B













b

a

B

B

ds

I

F

A

nqv

i

d



Narysuj “pętlę Ampere’a” wokół układu

prądów(jak np. dwa druty po prawej
stronie). Pętla może mieć dowolny kształt,
ale musi być

zamknięta

.

Dodajemy każdy element pola B wzdłuż pętli

(iloczyn skalarny , )dla każdego
elementu długości ds wokół tej zamkniętej
pętli.

Wartość tej całki jest proporcjonalna do prądu

zamkniętego obwodem:

Prawo Ampere’a

i

1

i

2

B









enc

i

s

d

B

0







Prawo

Ampere
’a

Bds

uruur

Bds

uruur

Kierunek
całkowania

Pętla
Ampere’a

Prawo Ampere’a
Prostoliniowy
przewodnik

2

ds l ds

Bds Bds

Bds

Bds B ds

rB

p

�

�

� �

� �

= � �

=

=

=

=

�

�

�

�

�

�

0

2

I

B

r

m

p

=

1

2

3

4

2

3

4

1

1

2

3

4

Bds

Bds

Bds

Bds

Bds

� �

� �

� �

� �

� �

=

+

+

+

�

� � � �

�

0

N

Bds

I

l

m

� �

=

�

�

2

4

1

3

0

Bds

Bds

� �

� �

=

=

�

�

Prawo Ampere’a cewka

Siła działająca
na drut 1
pochodząca od
pola
magnetycznego
B2 (wszystko )

1

2

1

0

1

2

l

a

I

I

F







2

2

1

0

2

2

l

a

I

I

F







a

I

I

l

F





2

2

1

0



Siła / jednostka
długości

Z trzeciego prawa dynamiki
Newtona (& symetria) Siła
działająca na drut 2
pochodząca od drutu 1

Siła działania
drutu 2 na drut
1

Siła „magnetyczna” pomiędzy dwoma równoległymi
przewodnikami cd.

Jeżeli wielkość siły pomiędzy
dwoma równoległymi drutami
przenoszącymi identyczne prądy
i odległymi o 1m wynosi 2×10

-7

N/m to prąd w każdym
z drutów ma natężenie 1A

Jeżeli wielkość siły pomiędzy
dwoma równoległymi drutami
przenoszącymi identyczne prądy
i odległymi o 1m wynosi 2×10

-7

N/m to prąd w każdym
z drutów ma natężenie 1A

Definicja Coulomba: Jeśli prąd
w drucie ma natężenie 1A to 1C
ładunku przepływa przez
powierzchnię w 1s

Definicja Coulomba: Jeśli prąd
w drucie ma natężenie 1A to 1C
ładunku przepływa przez
powierzchnię w 1s

a

I

I

l

F





2

2

1

0



Definicja Ampere’a

Prawo Biota-Savarta

Pole
magnetyczn
e elementu
obwodu z
prądem

Pole magnetyczne
ładunku q
poruszającego z
prędkością v

m/A

T

10

4

7













= permeability

constant

exactly

m/A

T

10

4

7









0 0

1

prędkosc swiatla

c

e m

= =

Pole magnetyczne w środku pętli o

promieniu r

B 



0

4





i d

v

l ˆr

r

2

r

i

rˆ

l

d 



Jest wektorem „wychodzącym” z ekranu. Kąt
pomiędzy dl i r jest stały i równy 9 stopni.

0

0

0

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ 2

4

4

4

idl

i

i

B

dB

k

k

dl

k

r

r

r

r

m

m

m

p

p

p

p

=

=

=

=

�

�

�

r

r

0

ˆ

2

i

B

k

r

m

=

v

Wielkość pola B w środku pętli.
Kierunek prostopadły do
płaszczyzny ekranu.

r

kˆ

i

d

r

l ˆrdlsin



ˆ

k

sin



sin901

d

r

l ˆrdl ˆ

k

rˆ

l

d



P



0

Dlugosc

2

ˆ

Kierunek

i

r

k

m

Cewki (Solenoidy)

• Kompletna pętla z prądem wytwarza

w środku pole magnetyczne:

• Możemy wzmocnić to pole tworząc

wiele pętli. Wiele takich pętli gęsto
ułożonych nazywa się cewką
(solenoid).

• Możemy uzyc prawa Ampere’a do

wyliczenia B wewnątrz solenoidu.

R

i

B

2

0





Pole magnetyczne w pobliżu drutów

na zewnątrz cewki jest polem
kołowym, ale wewnątrz cewki jest
nieomal jednorodne.

Poprestu dodajemy wkład od

poszczególnych elementów drutu z
prądem drutu ds

Zauważmy, że oraz r

sin  = R,

Całka ma postać:

Pole B pochodzące od długiego,

prostoliniowego drutu.

2

2

s

R

r





3

0

4

r

r

s

d

i

B

d



























0

0

3

0

sin

2

2

r

ds

r

i

dB

B















0

2

/

3

2

2

0

)

(

2

s

R

ds

R

i

B





R

i

s

R

s

R

i

B









2

2

0

0

2

2

0





















R

i

B





2

0

Pole B pochodzące od długiego drutu w odległości R

a

Ө

x

ds

dx



ds

rˆ

r

a





sin

x

a







tan

Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z
prądem

Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z
prądem cd.

2

0

ˆ

4

r

r

ds

B













I

d







sin

ˆ

ˆ

r

ds

r

ds







sin

dx



ds

r

dB



sin

a

r 

2

2

sin

















a

r

dx

a

I

d

sin

sin

4

2

0































B

dx

a

I























2

3

0

sin

4







Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z
prądem cd.



tan

a

x 







2

sin

a

d

dx







d

a

dx

2

sin



dx

a

I

d























2

3

0

sin

4







B











d

a

a

I



































2

2

3

0

sin

sin

4









d

a

I

sin

4

0



















d

a

I

dB

















sin

4

0

B





180

0

0

cos

4











a

I

 

2

4

0





a

I





a

I





2

0



Musimy użyć
całkowania:

cos

S

B S BS

BS

q

� �

^

F =

=

=

S

S

BdS

� �

F =

�

B – pole
jednorodne

B – pole
niejednorodne

S

Strumień wektora pola magnetycznego przez
powierzchnię

• Potrzebujemy sposbu wyliczenia „

ilości

pola

magnetycznego”

które przechodzi przez pętlę.

• Podobnie do definicji strumienia pola

elektrycznego definiujemy strumień pola

magnetycznego:

• Strumień pola magnetycznego jest skalarem.
• W jednorodnym polu magnetycznym , strumień

pola magnetycznego można wyrazić jako:

• Jednostką strumienia magnetycznego w

układzie SI jest weber (Wb):

1 weber = 1 Wb = 1 T m

2

Strumień pola

magnetycznego

Pętla o

powierzchni S

B

B dS

� �

F = �

�

cos

B

BS

q

F =

Prawo Faraday’a:

Eksperymenty

• Prąd pojawia się jedynie wtedy, gdy

istnieje względny ruch pomiędzy pętlą i

magnesem; Prąd znika, gdy ruch ustaje.

• Szybszy ruch powoduje większy prąd.

• Jeżeli poruszanie bieguna północnego

magnesu w kierunku pętli powoduje prą

zgodny z kierunkiem wskazówek zegara,

clockwise current, to ruch magnesu w

stronę przeciwną powoduje powstanie

prądu w kierunku przeciwnym. Ruch

bieguna południowego działa

przeciwnietoward or away from the loop

also causes currents, but in the reversed

directions.

An emf is induced in the loop when the number of magnetic

field lines that pass through the loop is changing.

Prawo indukcji Faraday’a

• Wielkość siły elektromotorycznej (potencjału) indukowanej w pętli przewodzącej

jest równa szybkości zmiany strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez

tą powierzchnię jednostce czasu (pochodnej po czasie).

• Jeżeli cewka składa się z N pętli o tej samej powierzchni, całkowita indukowana siła

elektromotoryczna w cewce wynosi:

• W jednorodnym polu magnetycznym siła elektromotoryczna

• wyraża się wzorem:

• Siła elektromotoryczna może być indukowana kilkoma sposobami:

– Wielkość pola magnetycznego B zmienia się w czasie.

– Powierzchnia zamknięta pętlą zmienia się w czasie.

– Kąt pomiędzy B i normalną do powierzchni pętli zmienia się w czasie.

– Występuje kombinacja wszystkich tych czynników.

Pętla o

powierzchni

S

B

d

dt

e

F

=-

B

d

N

dt

e

F

=-

(

cos )

d

BS

dt

e

q

=-

Prawo indukcji Faradaya

November 14, 27

Indukowane pole

elektryczne

• Jednorodne pole magnetyczne wypełnia cylinder o

promieniu R. Załóżmy, że zwiększamy stopniowo

natężenie pola magnetycznego.

• Miedziany pierścień: Zmienne pole magnetyczne

wytwarza wirowe pole elektryczne.

– Na podstawie prawa Faraday’a, indukowana siła

elektromotoryczna i prąd pojawią się w pierścieniu;

– Na podstawie prawa Lentza, prą płynie przeciwnie do ruchu

wskazówek zegara;

– Indukowane pole elektryczne musi się pojawić w pierścieniu;

• Istnienie pola elektrycznego jest niezależne od

obecności ładunku próbnego. Nawet w przypadku

nieobecności miedzianego pierścienia, zmienne pole

magnetyczne generuje pole elektryczne w pustej

przestrzeni.

• Hipotetyczna droga okrężna : pole elektryczne

indukowane w różnych punktach pierścienia musi być

styczna do okręgu w tym punkcie.

• Linie pola elektrycznego wytwarzane przez zmienne pole

magnetyczne musi być zbiorem koncentrycznych

okręgów.

• Zmienne pole elektryczne tworzy wirowe pole

elektryczne

Przeformułowanie prawa

Faraday’a

• Ładunek q



porusza się po drodze kołowej.

• Praca W wykonana przez indukowane pole elektryczne:

• Praca wykonana podczas ruchu kołowego ładunku:

• Dwa wyrażenia na W równe sobie,

• Bardziej ogólne wyrażenie na pracę wykonaną przez ładunek q



poruszająca się po drodze zamkniętej:,

• Zatem,

• łącząc z prawem Faraday’a,

• Potencjał elektryczny jest zdefiniowany jedynie dla pól

elektrycznych wytworzonych przez ładunki statyczne; Nie można

go wyznaczyć dla pól wytworzonych przez indukcję.



0

q

W 

rE





2



dt

d

ds

E

B















)

2

)(

(

0

r

E

q

ds

F

W



































ds

E

q

ds

F

W

0











ds

E



Pomarańczowy kolor reprezentuje pole magnetyczne
„przebijające” ekran. Powiedzmy, że pole rośnie ze stałą
predkością 1 Gauss/s Następnie wkładamy miedziany drut w
pole jak pokazano na rysunku. Co się stanie wg. prawa
Faraday’a?

Prąd będzie płynął
w drucie,
a co się stanie gdy
usuniemy drut?

Teraz rozważmy
hipotetyczną drogę
bez drutu. Powstanie
siła elektromotoryczna
E

f

z liniami sił

pokazanymi powyżej

.

W
rzeczywistości
powstaje wiele
takich
koncentrycznyc
h okręgów
wszędzie w
przestrzeni.

Czerwone pętle
mają te same pola,
siła
elektromotoryczna
jest taka sama w
pętlach 1 1 2
,mniejsza w pętli 3
i równa się zero w
4. Żaden prąd nie
płynie, nie ma
wytwarzania ciepła

Zmienne pole magnetyczne generuje pole
elektryczne

Zmaina energii układu musi być

równa przekazowi energii do
systemu przez pracę nad nim
wykonaną.

Gdy sztabka porusza się ze stałą

prędkością:

Moc przekazana przez przyłożna siłę

wynosi:

Sztabka przewodząca o długości l może

poruszać się bez tarcia po pionowych,
równoległych szynach w polu
magnetycznym B.

Ładunki swobodne „czują” pole

magnetyczne wytwarzając w sztabce
prąd I.

Zaczynamy od strumienia pola

magnetycznego

Zgodnie z prawem indukcji Faraday’a

mamy:

Zatem

Pochodzenie wyindukowanego prądu i

energii rozproszonej przez opornik:

Indukcja i przekaz energii

R

v

l

B

R

R

Blv

R

I

P

2

2

2

2

2



















R

Blv

R

I







Blv

dt

dx

Bl

Blx

dt

d

dt

d

B











)

(



Blx

B





IlB

IlB

F

F

B

app









sin

 

R

v

l

B

v

IlB

v

F

P

app

2

2

2







1 12

12 2

N

L I

F

=

2

12

12

dI

L

dt

E �-

1 12

12

2

N

L

I

F

=

Współczynnik indukcji
wzajemnej

Samoinducja – samoindukcja
cewki (solenoidu)

1

11

B

d

dI

E

L

dt

dt

F

=-

=-

0

N

B

I

l

m

=

2

2

2

B

N

r NB

r I

LI

l

p

p

F =

=

=

2

2

N

L

r

l

p

=

TRANSFORMATOR

N

P

> N

S

transformator

podwyższający napięcie

N

P

< N

S

transformator obniżający

napięcie

NS > NS
transformator podwyższający
napięcie

11

0

dI

L

IR E

dt

+ -

=

1

max

(

)

Lt

R

I I

e

=

-

d

IR

LI

dt

F

=-

=-

d

E IR

LI

dt

F

+ =-

=-

max

R

t

L

I I

e

-

=

max

E

I

R

=

2

2

2

2

2

0

0

2

max

max

max

R

t

L

L

R

LI

U

I Rdt I R e

dt I R

�

� -

=

=

=

=

�

�

Samoindukcja – energia pola w
solenoidzie

„Ładowanie” cewki

Jak energia pola magnetycznego jest

magazynowana w cewce





 iR L

di

dt

0





iR L

di

dt





i i

2

R Li

di

dt

Szybkość
dostarczania energii
z ogniwa do
obwodu.

Szybkość z jaką
energia jest
tracona w
oporniku.

Szybkośc z jaką
energia jest
magazynowana w
cewce

Zaczynamy od
oczka Kirchoffa



dU

B

dt

Li

di

dt

Przekształca
my
równanie

Mnożymy przez I

Jaka jest energia pola magnetycznego

zmagazynowana w cewce?



dU

B

dt

Li

di

dt



dU

B

Lidi



dU

B

0

U

B



 Lidi

0

i





U

B

 Lidi

0

i





1

2

Li

2



U

B



1

2

Li

2

For an inductor L

Definiujemy gęstość energii

(energia w jednostce objętości)

B

B

U

u

Sl

=

Pole S

l

2

2

1

2

2

B

Li

L i

u

Sl

l S

=

=

2

0

L

n S

l

m

=

2

1

2 2

2

1

0

2

B

Li

u

n i

Sl

m

=

=



u

B



B

2

2



0



B



0

ni



u

E



E

2

2



0

Wzór na gęstość energii
jest ogólnie prawdziwy

11 1

B

L I

F =

1

11

B

L

d

dI

E

L

dt

dt

F

=-

=-

1

11

dI

Q

V

IR

L

C

dt

+ + =-

1

11

dI

Q

E

IR L

C

dt

= + +

0

sin

E E

t

w

=

Samoindukcja – obwód
RLC

2

0

2

cos

d Q

dQ Q

L

R

E

t

dt

C

dt

w

w

+

+ =

0

2

2

1

cos(

)

E

dQ

I

t

dt

R

L

C

w j

w

w

=

=

-

�

�

+

-

�

�

�

�

1

L

C

tg

R

w

w

j

-

=

obwód RLC cd.

2

2

1

Z

R

L

C

w

w

�

�

=

+

-

�

�

�

�

1

Z R

LC

w =

� =

Resonans

Ri

)

1

(

L

Rt

R

e

V









L

Rt

L

e

V







dt

di

L

L

R







R

Ri

)

1

(

L

Rt

R

e

V









L

Rt

L

e

V







dt

di

L







L

R



R



i 



R

(1 e



Rt

L

)



V

R

Ri

Note = L/R = 4/2 = .2 s,



V

R





(1 e

 1

) 0.63



an
d



i 



R

(1 e

 1

) 0.63



R



V

L





(e

 1

) 0.37





V

R

0.63



2 

1 V

4.H

)

cos(

)

(

2











t

Ae

t

x

t

m

b

Dla słabego tłumienia rozwiązanie ma postać: (małe b), :

f = bv

gdzie

b

jest współczynnikiem tłumienia

x

t

Oscylator harmoniczny tłumiony podlega zewnętrznym
niezachowawczym (niekonserwatywnym) siłom działającym
na układ. W mechanice jest to siła proporcjonalna do
predkości.

A e

-(b/2m)t

2

2

dt

x

d

m

dt

dx

b

kx







F=ma daje:

0

0

/

/ 2

/ 2

k m

b m f F

m

w

b

=

=

=

( )

t

p

x t

x x

= +

2

0

2

0

t

t

t

x

x

x

b

w

+

+

=

&

&

&

(

)

1

cos

with

t

t

x

Ae

t

b

w

d

-

=

-

2

2

1

0

w

w

b

=

-

Rozwiązania stacjonarne i
przejściowe

0

cos

F mx bx kx F

t

w

=

+ + =

&& &

Oscylator harmoniczny wymuszony

39

Resonans

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

2

2

0

0

2

2

2

2

0

0

1

2

Minimalizujemy mianownik

2

4

8

0

2

2

definiujemy parametr Q=

2

2

2

1 2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

f

A

d

d

Q

Q

w

w

w

bw

w

w

bw

w

w w

w

b w

b

w

w

w

w

b

w

b

w

w

w

w

w

-

=

-

+

-

+

=

-

-

+

=

=

-

�

=

-

� �

=

-

=

� �

� �

+

Q jest bezwymiarową
wielkością odpowiadajacą za
jakość rezonansu

(

)

(

)

1

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

t

2

Gdy

,

oraz

/ 2

g

bw

d

w

w

bw

w

w

w

w

d p

-

�

�

=

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

� �

�

�

�

�

-

�

�

=





p

x

cos

A

t

 





Rezonans amplitudy znajduje
się dla częstości nieznacznie
różnej od on Q or 
Jest rzeczą istotną że odpowiedź
x(t) nie jest w fazie z siłą
wymuszającą. Dla niskich
częstości , x(t) and F(t)

znajdują się w jednej fazie .

Dla







różnią się fazami o 9



.

Dla wysokich częstości różnica
faz wynosi 18



!

4

0

5

10

15

20

0

0.5

1

1.5

2

Zjawisko rezonansu

0

/

 

0

/

 

( )/

A

f



( )

 

10

2

2

0

Q

Q

Q







10

2

2

0

Q

Q

Q







/ 2





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

1

2

3

4

5

6

7

0

/

R

 

Rysujemy amplitudę fali, oraz
fazę w funkcji częstości
wymuszającej dla trzech różnych
współczynników Q na dwóch
górnych rysunkach. Im większa
jest wartość Q tym ostrzejszy jest
rezonans. Tak w fazia jak i w
amplitudzie. Niższy rysunek
pokazuje stosunek „naturalnej”
częstości drgań w funkcji Q. Dla
dobrych rezonatorów amplituda
jest bardzo bliska amplitudzie
oscylatora niewymuszonego.

.

Q

Wymuszony oscylator z tłumieniem

• Gdy przyłożymy siłę

F



cos (t)

, widzimy:

2

2

2

0

2

0

)

(

)

(

/

m

b

m

F

A

















b/m małe

b/m

średnie

b duże





t

m

F

x

m

k

dt

dx

m

b

dt

x

d



cos

2

2







Not Zero!!!

A

m

p

liu

d

a

u

st

a

lo

n

a

Obwód LC

• Co się stanie gdy zrobimy obwód

składający się z cewki i kondensatora?

• Gdy naładujemy kondensator i następnie

odłączymy ogniwo co stanie się z
ładunkiem?

• Przypominamy, że na poczatku pojemność

działa jak otwarty obwód, wiec ładunek
nie popłynie natychmiast.

• Jednak, gdy ładunek zaczyna płynąć,

cewka działa jek zwykły drut , natomiast
wewnątrz niej wytwarza się pole
magnetyczne.

Porównanie obwodu RLC do oscylatora

harmonicznego z tłumieniem

• Gdy opór R jest mały:

– Obwód RLC jest analogiczny do słabo

tłumionego oscylatora
mechanicznego

– Q = Q

max

e

-Rt/2L

cos ω

d

t

– ω

d

jest częstością kątową drgań

oscylatora dla obwodu oraz:

1

2

2

1

2

d

R

ω

LC

L

�

�

� �

=

-

�

�

� �

� �

�

�

�

�

11 1

B

L I

F =

1

11

B

L

d

dI

E

L

dt

dt

F

=-

=-

1

11

dI

Q

V

IR

L

C

dt

+ + =-

1

11

dI

Q

E

IR L

C

dt

= + +

0

V V

t

w

= sin

Samoindukcja – obwód
RLC

2

0

2

cos

d Q

dQ Q

L

R

E

t

dt

C

dt

w

w

+

+ =

0

2

2

1

cos(

)

E

dQ

I

t

dt

R

L

C

w j

w

w

=

=

-

�

�

+

-

�

�

�

�

1

L

C

tg

R

w

w

j

-

=

obwód RLC cd.

2

2

1

Z

R

L

C

w

w

�

�

=

+

-

�

�

�

�

1

Z R

LC

w =

� =

Resonans

Obwód RLC, Wykres

4 /

C

R

L C

=

Rezonans dla obwodu
elektrycznego

Oznacza to, że amplituda
prądu I =V/Z osiąga
maximum gdy Z jest
najmniejsze (osiąga
minimum). Zachodzi to, gdy
ωL=1/ωC

Oscylacje

elektromagnetyczne

2

2

2

1

2

CV

C

q

U

E





2

2

1

Li

U

B



2

2

2

1

2

CV

C

q

U

E





2

2

1

Li

U

B



Średnia szybkość rozprasznia energii jest średnią równania
pokazanego powyżej. Zwróć uwagę,że w czasie pełnego cyklu
wartość średnia sin(θ) jest równa zeru. Jednak wartość średnia
sin

2

(θ)=1/2

Szybkość rozpraszania energii w
obwodzie prądu zmiennego
wynosi:

2

sr

P I R

-

=

2

max

sr

I

I =

Straty energii elektrycznej są znacznie
zredukowane, gdy przesyłamy ją pod
wysokim napięciem

Przesyłanie energii
elektrycznej

Przykład

Średnia moc 120 kW jest przesyłana

Linią przesyłową o napięciu 24 kV

Linią przesyłową o napięciu 240V

W obu przypadkach oporność linii wynosi 0.4Ώ.

Obliczyć straty energii w oby przypadkach.

Równania Maxwella

:

W roku 1873 Maxwell napisał 4 rownania, które

opisują wszystkie klasyczne zjawiska

elektromagnetyczne.

Dwa z nich już znacie:

0

1

.

.

/

E

enc

E dS q

e

F =

=

�

r

�

2

0

.

.

B

B dS

�

F

=

=

�

r

�

Jeszcze raz prawo Faraday’a

Nowe Pytanie: Czy zmienne w czasie
pole elektryczne produkuje pole
magnetyczne?



r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt

Tak może, a
zjawisko nazywa się
prawem indukcji
Maxwella

Przypominamy prawo

Ampere’a

enc

I

s

d

B







0







Wyobraźmy sobie drut połączony z

ładowanym i rozładowywanym

kondensatorem. Obszar pętli Ampere’a

może być rozszerzony na otwartą

przestrzeń pomiędzy okładkami

kondensatora. W tym przypadku to pętla

Ampere’a przenosi prąd, a nie drut

wewnątrz okładek kondensatora, bo go

tam nie ma.

Jeżeli prawo Ampere’a nadal obowiązuje

musi istnieć pole magnetyczne

generowane przez zmienne pole

elektryczne E pomiędzy okładkami. To

indukowane pole magnetyczne

zachowuje się tak, jakby między

okładkami kondensatora płynął prąd

(nazywamy go prądem przesunięcia).

Równanie opisujące prąd

przesunięcie

dt

d

I

E

d





0





r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt

Prawo indukcji Maxwella

Prąd nie płynie przez
kondensator, ale?

Rozpatrzmy
ładowanie
kondensatora

Pole
magnetyczne B
jest indukowane
także w punkcie
2.



r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt



r

B .d

r

s



(B)(2



r) since B parallel ds

R

0 0

0 0

0 0

( )

E

d

d SE

dE

S

dt

dt

dt

me

me

me

F

=

=

E

B

r



(B)(2



r) 



0



0



r

2

dE

dt



B



0



0

r

2

dE

dt



B



0



0

R

2

2r

dE

dt

r<
R

r > R

Strumień przez pętlę o
promieniu r

Wyrażenie na wirowe pole magnetyczne otaczające zmienne pole
elektryczne ładowanego ( rozładywanego) kondensatora
cylindrycznego

Prąd przesunięcia w szczelinie pomiędzy dwiema okładkami
kondensatora jest równy rzeczywistemu prądowi na zewnątrz
kondensatora





0

d

E

dt

i

d



r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt

Czy można wykryć pole
magnetyczne pochodzące od
prądu przesunięcia?

Pole od prądu

i

Pole od prądu i

B

Prawo Ampere-Maxwella



4.

r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt





0

i

enc



r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt



r

B .d

r

s







0

i

Maxwell połączył dwa
Powyższe równania w jedno.

Interpretacja równania?

Ten czynnik ma wymiar prądu

Co to jest prąd przesunięcia?



r

B .d

r

s







0



0

d

E

dt





0

i

enc





0

d

E

dt

i

d

Prąd i

d

nazywa się

prądem przesunięcia



r

B .d

r

s







0

i

d





0

i

enc

Termin ten oznacza transfer energii pola elektrycznego i
magnetycznego
z jednej okładki kondensatora do drugiej, gdy okładki są
ładowane lub rozładowywane. Gdy ładowanie ustaje prąd
przesunięcia dąży do zera.
Uwaga: prąd przesunięcia zależy od czasu.

Obliczamy pole magnetyczne kondensatora

kołowego

Prąd jest równomiernie rozłożony wzdłuż
kołowych okładek kondensatora.
Potraktujmy kondensator jako gruby drut z
prądem. Rozkład pola magnetycznego w
kondensatorze wygląda jak rozkład pola w
drucie i wokół niego



B (



0

i

d

2



R

2

)r

Wewnątrz
kondensatora



B 



0

i

d

2



r

Na zewnątrz
kondensatora