GEODEZJA

WYKŁAD

Pomiary i opracowania

realizacyjne

Katedra Geodezji im. K. Weigla

ul. Poznańska 2/34

    

Pomiary i opracowania realizacyjne

Pomiary i opracowania realizacyjne

(nazywane też

obsługą inwestycji) są związane z projektowaniem,
wznoszeniem oraz utrzymaniem budowli
i obejmują:

a)  przygotowanie map dla celów planowania
i projektowania,

b)  zakładanie, pomiar i obliczenia osnów
realizacyjnych,

c) wyznaczanie w przestrzeni położenia
projektowanych budowli,

d) geodezyjną inwentaryzację powykonawczą,

e) pomiary i opracowanie wyników pomiarów
przemieszczeń i odkształceń.

PN-86/N-02207 Geodezja. Terminologia:

pkt 2.70.

pomiary realizacyjne

- zespół czynności

geodezyjnych mających na celu wyznaczenie
w terenie

przestrzennego

położenia

obiektów

projektowanych, uzyskanie zgodności kształtów
wymiarów realizowanych obiektów z danymi
projektów

technicznych

oraz

kontrolowanie

zgodności, położenia, kształtu i wymiarów obiektów
budowlanych z danymi planu realizacyjnego
i projektu technicznego.

(PN-73/N-99310 Geodezja.

Pomiary realizacyjne. Nazwy i określenia).

Czynności geodezyjne szczegółowo opisują:
WYTYCZNE TECHNICZNE G-3.1
POMIARY I OPRACOWANIA REALIZACYJNE

Warszawa, 20 września 2007 r.

Dokumentacja źródłowa

Podstawę do wykonywania pomiarów realizacyjnych, do
tyczenia
i do

geodezyjnego opracowania projektu

zagospodarowania
działki lub terenu

, stanowią:

- zatwierdzony projekt budowlany,
- projekty techniczne obiektów budowlanych wraz z
rysunkami roboczymi,
- dziennik budowy,
- warunki techniczne do umowy, uzgodnione ze
zleceniodawcą,
- dokumentacja proceduralna.

Geodezyjne prace realizacyjne przy
obsłudze geodezyjnej budowy i montażu
obejmują:

- założenie osnowy realizacyjnej,

- opracowanie geodezyjne projektu,

- tyczenie projektu (

pomiary realizacyjne

),

- geodezyjną obsługę budowy i montażu obiektu
budowlanego (tyczenie szczegółowe elementów
budowli).

Czynności te dokumentowane są - wpisami do
dziennika budowy, szkicami dokumentacyjnymi i
szkicami tyczenia i operatami z geodezyjnej
inwentaryzacji powykonawczej.

ZASADY WYKONYWANIA POMIARÓW I

OPRACOWAŃ REALIZACYJNYCH

Mapy topograficzne i mapa zasadnicza do celów

projekt wg. przepisów prawa

Obszar

Rodzaj opracowania

Skale

województ

wo

plan zagospodarowania
przestrzennego

województwa

1:200 000 - 1:10

000

powiat

analiza i studium zagosp.
przestrzennego

1 : 50 000 - 1: 10

000

gmina

studium uwarunkowań i
kierunków rozwoju

≥ 1 : 25 000

miejscowy plan
zagospodarowania
przestrzennego

1:1000

w szczeg. przyp.

1:5000 ,1:2000,

1:500

ustalenie warunków

zabudowy i
zagospodarowania
terenu

1:2000 do 1:500

Wymagane

cechy

dokumentów

geodezyjno-

kartograficznych oraz czynności geodezyjne
związane

z planowaniem

przestrzennym,

projektowaniem,

budową,

remontem

i utrzymywaniem obiektów budowlanych.

• Mapa do celów ustalenia warunków zabudowy

i zagospodarowania

terenu jest kopią mapy

zasadniczej lub mapą katastralną (udostępniana
w

państwowym

zasobie

geodezyjnym

w

Powiatowym

lub

Grodzkim

Ośrodku

Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej).

2.

Mapa do celów projektowych.

Mapę do celów projektowych sporządza się na

kopii

mapy zasadniczej

, a w razie braku mapy

zasadniczej w odpowiedniej skali, sporządza się

mapę jednostkową

.

Do sporządzenia

mapy do celów projektowych

można wykorzystać:

-

numeryczną

mapę zasadniczą, jeśli istnieje

system informacji o terenie.

-

ortofotomapę

, gdy dla terenu objętego

projektem nie istnieje mapa zasadnicza.

Mapa do celów projektowych, w postaci
numerycznej

powinna

być

uwierzytelniona

podpisem

elektronicznym

oraz

elektroniczną

klauzulą urzędu lub posiadać wykreśloną kopię z
podpisem i klauzulą. Dla pojedynczych obiektów w
granicach jednej nieruchomości, dopuszcza się
wykonanie mapy jednostkowej w układzie lokalnym
dla danej inwestycji. Skala map do celów
projektowych

zależy

od

rodzaju

i wielkości

zamierzenia budowlanego.

Skala map do celów projektowych:

Obszar

Skala

działka budowlana

1:500 lub
większa

teren budownictwa
przemysłowego, zespół
obiektów budowlanych

1:1000 lub 1:500

rozległy teren
z rozproszonymi obiektami
budowlanymi, obiekt liniowy

1:2000 lub
większa

Opracowania realizacyjne cd.

Mapy do celów projektowych

obejmują teren

inwestycji wraz ze strefą ochronną oraz pas
otaczający o szerokości co najmniej 30 m.

Wielkość obszaru oraz skalę mapy określa w razie
potrzeby organ właściwy do wydania pozwolenia na
budowę.

Mapa do celów projektowych zawiera

treść mapy

zasadniczej oraz dodatkowo

:

- geodezyjnie opracowane linie rozgraniczające
tereny o różnym przeznaczeniu, linie zabudowy,
linie osi ulic, dróg itp., jeżeli zostały ustalone
w miejscowym

planie

zagospodarowania

przestrzennego lub w decyzji o ustaleniu warunków
zabudowy i zagospodarowania terenu,

- położenie zieleni wysokiej ze wskazaniem
pomników przyrody,

Mapy do celów projektowych cd.

- usytuowanie projektowanych sieci uzbrojenia
terenu, które zaopiniował zespół uzgodniania
dokumentacji projektowej (ZUDP),

- usytuowanie innych obiektów i szczegółów (np.
położenie otworów wiertniczych, wskaźników osi
toru), mających znaczenie dla projektu wskazanych
przez projektanta lub przez organ właściwy do
wydania decyzji o pozwoleniu na budowę.

- usytuowanie wszystkich lokalizacji (w
ustalonym zakresie) projektowanych budowli i
urządzeń, które uzyskały zezwolenie na budowę.

Na mapie do celów projektowych wykazuje się
granice działek z mapy ewidencji gruntów i
budynków.

Inne opracowania

1.

przekroje terenu

wzdłuż istniejących lub

projektowanych tras,

2.

przekroje cieków

i zbiorników wodnych,

3. niwelacja powierzchniowa do obliczenia
osuwisk, objętości gruntu przy proj. robót
ziemnych,

4. szczegółowa

inwentaryzacja

remontowanych

budowli, pomiary i opracowania graficzne dotyczą:

-

elewacji

budowli

(dane

geodezyjne

i fotogrametryczne),

- rzutów poziomych i pionowych pomieszczeń
i konstrukcji,

- rozmieszczenia elementów wyposażenia
pomieszczeń,

- położenia urządzeń technicznych,

Osnowa realizacyjna

Pomiary realizacyjne wykonuje się w oparciu o
geodezyjną osnowę szczegółową i osnowę
pomiarową.
Jeżeli z istniejącej osnowy geodezyjnej nie można
dokonać tyczenia lub dokładność istniejącej
osnowy jest niedostateczna wówczas zakłada się
osnowę realizacyjną.
(norma PN-ISO 4463-1 Metody pomiarowe w
budownictwie – tyczenie i pomiar).
Poziomą osnowę realizacyjną stanowi:
- sieć dowolnego kształtu: punkty położone w
większości poza terenem obiektu, (znaki na
budynkach),
- sieć regularna: punkty rozmieszczone
regularnie (siatka prostokątów), stabilizowane
specjalnymi znakami (słupami z płytkami
metalowymi),
- sieć wydłużona ciągów poligonowych,
- sieć punktów mierzonych techniką GPS.

OSNOWA REALIZACYJNA

Wysokościowa osnowa realizacyjna

Wysokościową osnowę realizacyjną tworzy się tak, aby
położenie

reperów roboczych

zapewniały dostęp do

każdego tyczonego punktu jednym stanowiskiem, z co
najmniej dwóch reperów (tyczenie i kontrola). Repery
powinny znajdować się poza zasięgiem przemieszczeń
podłoża, spowodowanych przez wznoszony obiekt (w
odległości większej niż 5 m od obiektu, wykopów lub
nasypów).
Dla budowli wymagających wyższych dokładności
tyczenia (tunele tyczone z dwóch stron, akwedukty itp.)
zakłada się sieci lokalne niwelacji precyzyjnej, nawiązane
do państwowego układu odniesień.

Jako znaki dla reperów roboczych mogą służyć elementy
konstrukcyjne lub montażowe, np. górne powierzchnie
śrub, wystające elementy zbrojenia

, które maluje się

farbą i opisuje numerem.

Punkty osnowy poziomej

zakładane na okres trwania

budowy utrwala się palami drewnianymi z gwoździem,
zacementowanymi śrubami, wstrzeliwanymi kołkami
stalowymi itp. lub znakami z tworzyw sztucznych.

Dokładność pomiarów liniowych i kątowych

osnowy realizacyjnej

Błąd średni pomiaru długości: m

d

≤ 0,01 m + 0,01 m/km,

Błąd średni pomiaru kierunku: m

k

≤ 6"(20cc),

Błąd średni pomiaru różnic wysokości: m

ΔH

≤ 20 mm/km

Osnowę realizacyjną wyrównuje się

metodą

najmniejszych kwadratów

.

W przypadku, gdy dokładność osnowy realizacyjnej
przewyższa dokładność osnowy nawiązania, osnowę
realizacyjną wyrównuje się z odrzuceniem bezbłędności
punktów nawiązania.

GEODEZYJNE OPRACOWANIE PROJEKTU

Przedmiotem geodezyjnego opracowania jest

projekt

zagospodarowania działki lub terenu

.

Opracowanie obejmuje:

- przyjęcie układu współrzędnych,
- ustalenie lokalizacji punktów osnowy realizacyjnej,
- sprawdzenie zgodności danych projektu pod względem
geometrycznym,

- obliczenie współrzędnych charakterystycznych punktów
projektowanego obiektu,

-obliczenie miar realizacyjnych do lokalizacji obiektu w
terenie i miar do kontroli tyczenia.
Wyniki opracowania geodezyjnego należy nanieść na

szkic dokumentacyjny

.

GEODEZYJNE OPRACOWANIE PROJEKTU cd.

Opracowywanymi elementami projektu są:

- punkty linii rozgraniczających obszary o różnym
przeznaczeniu,

- punkty linii zabudowy,

- punkty osi konstrukcyjnych, punkty główne
i szczegółowe obiektu,

- punkty projektowanego ukształtowania terenu.
W trakcie geodezyjnego opracowania projektu należy:
- sprawdzić, czy projekt nie koliduje z obiektami
istniejącymi, szczególnie z urządzeniami podziemnymi na
mapie zasadniczej, a także z innymi projektami
branżowymi (na podstawie nakładki realizacyjnej),
- sprawdzić jednoznaczność wymiarową i geometryczną
projektu,
- sporządzić wykaz elementów kontrolnych, potrzebnych
do przeprowadzenia kontroli pomiaru i oceny dokładności.

Opracowanie geodezyjne projektu zagospodarowania

działki lub terenu opiera się na punktach

osnowy

geodezyjnej

, (

osnowy realizacyjnej)

, założonej specjalnie

dla budowanego obiektu lub zespołu obiektów.

W przypadku

braku osnowy geodezyjnej

, miary do

wytyczenia wyznacza się w stosunku do

trwałych

szczegółów sytuacyjnych

uwidocznionych na mapie.

O 

niezbędnej dokładności

wyznaczenia w przestrzeni

punktów projektu decyduje znaczenie budowli i związki
z innymi obiektami.

Odchyłki dopuszczalne

podają normy.

Przez opracowanie geodezyjne projektu
budowlanego

rozumie się

obliczenie miar

, które pozwolą na zlokalizowanie

w przestrzeni elementów budowli jednoznaczne z
wymaganą dokładnością odpowiednią do ich znaczenia.

Miary powinny dotyczyć:

- punktów

linii rozgraniczających

obszary o różnym

przeznaczeniu,

-

linii zabudowy

, osi konstrukcyjnych, punktów głównych

i punktów szczegółowych konstrukcji, w tym także
konstrukcji ziemnych i powierzchni terenu.

W trakcie tego etapu dokonuje się także sprawdzenia
wymiarów podanych na rysunkach w dokumentacji
projektowej w celu wykrycia i wyeliminowania błędnych
wymiarów.

Szkic dokumentacyjny

Szkic dokumentacyjny jest dokumentem powstałym
w wyniku geodezyjnego opracowania projektu.

Zawiera on dane:

- rysunek istniejących w terenie obiektów i ich opis,

- rysunek istniejących w terenie obiektów podziemnego
uzbrojenia wraz z opisem,

- dane dotyczące położenia osnowy geodezyjnej
i innych punktów oparcia,

- rysunek obiektów projektowanych,

- obliczone miary do tyczenia projektu w terenie,

- obliczone miary kontrolne.

Przykład szkicu dokumentacyjnego

Fragment szkicu dokumentacyjnego

Szkic tyczenia

Szkic tyczenia

dokumentuje wykonane lokalizacje

elementów projektu w przestrzeni. Do jego sporządzenia
może posłużyć kopia szkicu dokumentacyjnego.

Szkic tyczenia zawiera:

-rysunek obiektów projektowanych z podaniem miar
projektowych i opisów oraz niezbędną orientację
kierunek północy ,

- miary lokalizacyjne do tyczenia projektu w terenie,

- miary w trakcie tyczenia (rzeczywiście) w terenie
odłożone,

- obliczone miary kontrolne i wyniki pomiaru
kontrolnego,

- podpis wykonawcy prac geodezyjnych i kierownika
budowy z adnotacją o przyjęciu przez kierownika
budowy wskaźników (znaków) osi, znaków wysokości itp.

Fragment szkicu tyczenia

Szkic pomiaru
inwentaryzacyjnego

     

DOKŁADNOŚĆ TYCZENIA

Średni błąd tyczenia

, który jest podstawą do określenia dokładności

tyczenia, metody tyczenia i narzędzi (aparatury pomiarowej) wynosi:

 

Tolerancja położenia

T

p

jest przedziałem, w którym powinien

znajdować się punkt obiektu lub jego element. Współczynnik
bezpieczeństwa B zależy od rodzaju tyczonego elementu (ważności
obiektu) i niezbędnej dokładności lokalizacji.

B zawiera się w granicach od 1.0 do 2.5. W szczególnie
uzasadnionych przypadkach B = 2.5.
Podstawowym parametrem określającym wymaganą dokładność
zrealizowania obiektu jest zbiór granicznych

odchyłek

wymiarów i

położenia elementów wykonanego obiektu lub jego fragmentu, czyli
dopuszczalnych różnic między wymiarami zrealizowanymi i
projektowanymi.

gr

p

t

m

T

m

3.3 6.6B





Błąd średni tyczenia

może być obliczony z zależności:

 

 

 

 Gdzie r przyjmuje wartości z przedziału: <2 ; 3.3> i
jest współczynnikiem zależnym od przyjętego
prawdopodobieństwa tyczenia określający stosunek błędu
granicznego do błędu średniego (dla P=0.95 r=2, a dla
P=0.997 r=3).

k – współczynnik <0.4 ; 1.0> zależny od ważności
obiektu.

Wytyczne G-3.2 zalecają by średnim błędem tyczenia była
wartość z przedziału:

0.1dL≤ m

t

≤0.5dL

. lub nawet m

t

=0.25dL.

dL – dopuszczalna odchyłka wymiaru zalecana przez
normę.

r

dL

k

m

t



Metody tyczenia obiektów budowlanych

1. Biegunowa,

2. Ortogonalna (rzędnych i odciętych),

3. Wcięć kątowych i liniowych

4. Przecięć kierunków (ławice budowlane),

Siatka konstrukcyjna budowli

Wskaźniki osiowe i przesunięte

Metody przenoszenia wskaźników na różne poziomy

budowli

- bezpośredniego rzutowania,
- stałej prostej,

WSKAŹNIKI OSIOWE

Przenoszenie wskaźników osi na różne

poziomy budowli

METODA BIEGUNOWA

Metoda biegunowa tyczenia punktu P, polega na
odłożeniu odległości L wzdłuż kierunku wyznaczonego po
odłożeniu kąta biegunowego α od prostej odniesienia (osi
biegunowej) łączącej stanowisko teodolitu St z sąsiednim
punktem A (osnowy realizacyjnej).

TACHIMETR ELEKTRONICZNY DO METODY BIEGUNOWEJ

Punkt
osnowy
realizacyjne
j

Stanowisko teodolitu w metodzie biegunowej może:
- pokrywać się z punktem osnowy realizacyjnej,
- leżeć na boku osnowy realizacyjnej,
- leżeć na linii prostej łączącej dowolne dwa punkty
osnowy
realizacyjnej,
- zajmować dowolne położenie. W takim przypadku
współrzędne
stanowiska wyznacza się najczęściej metodą wcięcia
kątowego lub kątowo-liniowego.

Błąd tyczenia

punktu metodą biegunową jest zależny od:

- błędów współrzędnych osnowy,
- dokładności wyznaczenia stanowiska,
- dokładności czynności tyczenia, centrowania i
pionowania osi teodolitu,
- odłożenia kąta i odłożenia długości odcinka,
- dokładności utrwalenia wskaźnika punktu.

Tyczenie punktów

metodą wcięcia kątowego

w przód z

dwóch
punktów osnowy A i B (o znanych współrzędnych) polega
na odłożeniu z tych stanowisk kątów wcinających α i β od
bazy wcięcia AB.

Metoda ortogonalna

polega na odmierzeniu wzdłuż linii

pomiarowej (linii łączącej punkty osnowy realizacyjnej)
odciętych, wyznaczaniu kierunków prostopadłych i
odmierzaniu na nich rzędnych.

A-B linia pomiarowa,
a

1

,a

2

odcięte punktów 1,2

b

1

, b

2

rzędne punktów 1,2

2

Przeniesienie punktów osiowych na dno wykopu

P

o

żyłk
a

pion

deski

Tyczenie metodą przecięć kierunków z ławic drewnianych

Metoda przecięć polega na wskazaniu położenia czterech punktów
wyznaczających dwie proste przecinające się w tyczonym punkcie.

Narożnik ławicy

Pomiary realizacyjne należy opierać na geodezyjnej

osnowie realizacyjnej (

instrukcja techniczna G-3

)

.

Osnowa realizacyjna

służy do bezpośredniego

wykonywania tyczenia (pomiarów realizacyjnych) i musi
zapewniać tyczenie bezpośrednie:

- tyczenie osi konstrukcyjnych bezpośrednio z punktów
lub boków osnowy,

- tyczenie wysokości z jednego stanowiska od

reperu

roboczego

.

Tyczenie wysokościowe

punktów projektu polega na

oznaczeniu wskaźnikami wysokości na tyczonych
elementach budowli, w oparciu o wysokościową osnowę
realizacyjną. Korzysta się przy tym z reperów roboczych.
Reperami roboczymi mogą być znaki specjalnie
stabilizowane lub odpowiednio oznaczone elementy
konstrukcji, umożliwiające jednoznaczne ustawienie na
nich łaty niwelacyjnej.

Tyczenie wysokościowe

W przypadku tyczenia wysokościowego metodą
geometrycznej
niwelacji technicznej lub precyzyjnej - w odłożeniu
zadanej rzędnej
należy wydzielić dwa etapy:
a) przybliżone odłożenie różnicy wysokości wstępne
oznaczenie (wskaźnikiem ) tyczonego punktu,
ΔH

proj-Rr

= O

Rr

- O

proj

= H

proj

– H

Rr

– różnica wysokości

wskaźnika (proj) i reperu roboczego (Rr)
O

Rr

, O

proj

– odczyty na łacie niwelacyjnej (na reperze i na

projektowanym wskaźniku).
O

proj

= O

Rr

– (H

proj

– H

Rr

) – obliczony odczyt na łacie

dotyczący wskaźnika,
b) pomiar wytyczonej różnicy Δ H, obliczenie poprawki,
dH =H

proj

- H

tycz

, wprowadzenie poprawki za pomocą

pomiaru.
W trudnych warunkach terenowych zaleca się stosowanie
metody

trygonometrycznej

przy wykorzystaniu elektrooptycznych

dalmierzy
auto redukcyjnych (tyczenie wysokościowe w trakcie
tyczenia
svtuacvjnego metoda biegunową).

Tyczenie wskaźników projektowanych

wysokości

R

r

W

O

Rr

st N

Rr-proj

proj

Rr

Rr

proj

H

H

H

O

O

D

=

-

=

-

Rr-proj

H

D

O

proj

Łata
niwelacyjna

ZAKRES PRAC GEODEZYJNYCH NA PLACU BUDOWY

W trakcie geodezyjnej obsługi budowy i montażu
obiektu budowlanego wykonywane są tyczenia:

- zasięgu wykopów fundamentowych i poziomu dna
wykopów,

- osi stóp fundamentowych i poziomów
fundamentów,

- osi i poziomów kondygnacji powtarzalnych,

- posadowienia i montażu dużych maszyn (np.
suwnice, turbiny),

- położenia elementów konstrukcji podczas
montażu.

Do zadań geodezyjnej obsługi budowy i montażu
należą pomiary powykonawcze podlegające
zgłoszeniu i przekazaniu operatu do państwowego
zasobu geodezyjnego.

Pomiar kontrolny (inwentaryzacja)

Pomiar kontrolny

położenia i wymiarów

zrealizowanych obiektów budowlanych lub ich
elementów konstrukcyjnych dokumentuje się na

szkicu pomiaru kontrolnego

.

Na szkicu pomiaru kontrolnego zamieszcza się
klauzulę o 

zgodności

lub

niezgodności z projektem

.

W razie stwierdzenia niezgodności z projektem
należy ten fakt odnotować w 

dzienniku budowy

.

Metody pomiarów kontrolnych

- biegunowa,
- wcięć kątowo-liniowych,
- bezpośredniego rzutowania,
- stałej prostej,

Szkic pomiaru kontrolnego

Szkic pomiaru kontrolnego

ANALIZA POMIARÓW KONTROLNYCH

Wynik kontroli

uznaje się za pozytywny, jeżeli

różnica pomiędzy wynikiem pomiaru kontrolnego,
a wartością nominalną wymiaru (z projektu) jest
mniejsza od

dopuszczalnej

odchyłki

dla

kontrolowanego

wymiaru elementów budowli.

Odchyłka stwierdzona: Δ

N

= L

– N < dL

dl – dopuszczalna odchyłka wymiaru (z normy).

PN-ISO 3448-8 1994 Tolerancje w budownictwie. Kontrola
wymiarowa

robót

budowlanych.

PN-62/B-02356

Tolerancje

wymiarów

w

budownictwie.

Tolerancje

wymiarów elementów budowlanych z betonu.

W przypadku urządzeń technicznego uzbrojenia terenu,
położenie jest zgodne z projektem, gdy odchyłka
położenia nie przekracza

0.30 m

na obszarach

zabudowanych i 

0.50 m

na obszarach rolnych i leśnych.

ANALIZA POMIARÓW KONTROLNYCH

Odchyłka Δ

N

= L-N

jest sumą błędów:

- tyczenia osi budowli, pomiaru realizacyjnego
(wyznaczenia położenia wskaźników osi),

- wykonania elementu budowli przez zespół budowlany,

- ustawienia elementu względem wskaźników,

- wywołanych wpływem czynników zewnętrznych (zmiany
temperatury, wilgotności, osiadania i odkształceń
budowli),

- pomiaru kontrolnego.
Błąd średni m

L

wymiaru stwierdzonego L będzie:





i

i

L

m

m

TOLERANCJA I JEJ ZWIĄZEK Z DOKŁADNOŚCIĄ

POMIARU

W metrologii technicznej podane są zasady wymiarowania
i tolerancji wymiarów projektowych.

Wymiar nominalny

N

– wartość wymiaru na rysunku w

dokumentacji projektowej,

Wymiar tolerowany
g,d – odchyłki graniczne

(górna i dolna)

Wymiar graniczny górny

N

G

= N+g,

dolny

N

D

= N+d,

Wymiar tolerowany osiowo (symetrycznie)

N±dL

(na

rysunku wymiar N bez podawania odchyłek granicznych),

Wymiar rzeczywisty

R

(nieznany, prawdziwy wymiar

obiektu),

Odchyłka rzeczywista

d

R = R-N

Wymiar stwierdzony

L

(wynik pomiaru kontrolnego),

Tolerancja wymiaru

T = g-d

(T = 2 dL)

Warunek spełnienia tolerancji

N

D

≤ R ≤ N

G

=> N + d ≤ R ≤ N + g => N - dL ≤ R ≤ N +

dL

-dL ≤ R-N ≤ + dL

N - dL - L ≤

R - L

≤ N + dL -L

g

d

N





PRZEDZIAŁ UFNOŚCI TOLERANCJI

N - dL - L ≤

R - L

≤ N + dL -L

R - L = ε
Z teorii błędów: P(

-r m

L

≤

ε

≤ +r m

L

) = P(r)

r – wielokrotność błędu średniego, dla r=2, P(r) = 0.9545,
r=3, P(r) = 0.9973

r

1

= (N-dL-L)/m

L

r

2

= (N+dL-L)/ m

L

Prawdopodobieństwo spełnienia tolerancji:

2

)

P(r

)

P(r

P

2

1

T





W praktyce inżynierskiej, przyjmuje się minimalną
wartość prawdopodobieństwa dostateczną do
stwierdzenia, że zdarzenie faktycznie zaszło P

T min

= 0.95.

Błąd pomiaru

m

L

≤ 0.25 T

przy

P

T

≥

P

T min

= 0.95

Ze względu na błędy pomiaru kontrolnego należy uznać
tolerancję za bezwzględnie spełnioną, gdy odchyłka

Δ

N

mieści się w przedziale tolerancji zawężonym w stosunku
do pola tolerancji wymiaru rzeczywistego.

N

D

- L ≤

R - L

≤ N

G

– L

Należy wymagać spełnienia relacji:

N

D

- r m

L

≤

L

≤ N

G

+ r m

L

W praktyce często rezygnuje się z oceny
prawdopodobieństwa spełnienia tolerancji P

T

.Przyjmuje

się jako kryterium spełnienia tolerancji, relację:

Δ

N

≤ 0.5T (L - N ≤ dL),

pomimo, że tolerancja faktycznie mogła być
przekroczona.

TOLERANCJA WYPADKOWA W ŁAŃCUCU WYMIAROWYM

Na podstawie nominalnych wymiarów elementów i
szczelin oblicza się nominalną wartość wymiaru
wypadkowego.
N

w

= a

o

+ Σa

i

+ Σs

i

a

o

, a

i

– wymiary elementów,

s

i

- wymiary (szerokości) szczelin.

Każdy z wymiarów składowych ma określoną tolerancję T

a

.

T

w

= T

ao

+ ΣT

ai

+ Σt

si

Taki sposób składania tolerancji nie jest optymalny,
zawiera nieścisłości.
Probabilistyczna zasada obliczania tolerancji wypadkowej:
Wymiar wypadkowy

N

w

może być oceniony przez

obliczenie błędu średniego jako złożenie błędów średnich
wymiarów składowych: m

2

w

= Σm

2

i

.







n

0

i

2

i

w

T

T

Pomiary powykonawcze

Pomiary powykonawcze

(inwentaryzacja

powykonawcza)

wykonuje się w celu dostarczenia

danych do aktualizacji baz systemu informacji
o terenie i mapy zasadniczej.      

Wyróżnia się dwa rodzaje pomiarów:

-

bieżące

pomiary powykonawcze dotyczą

uzbrojenia podziemnego (budowle podziemne
i przewody) które muszą być inwentaryzowane
przed zasypaniem, zakryciem, zalaniem lub innymi
operacjami uniemożliwiającymi dostęp do pomiaru.
Obowiązek zgłoszenia takich obiektów do pomiaru
przed przykryciem ciąży na inwestorze.

-

końcowe

pomiary powykonawcze to pomiary

położenia nowych obiektów budowlanych oraz
pomiary zmiany ukształtowania terenu.

Szkic pomiaru kontrolnego

KONTROLA PŁASKOŚCI OBIEKTU

Odchylenia od

płaszczyzny poziomej

najłatwiej pomierzyć metodą

niwelacji geometrycznej (technicznej lub precyzyjnej). W przypadku
badania odchyleń od

płaszczyzny

pionowej

stosuje się metodę

niwelacji bocznej

. Dla dowolnie ustawionej płaszczyzny obiektu

można stosować metodę przestrzennego

wcięcia w przód

. W

szczególnych przypadkach korzysta się z pomiarów względnych z
użyciem

strun stalowych lub żyłki

. Struny rozciąga się wzdłuż linii

wskaźników

i wykonuje pomiar odległości wskaźnika od struny.

Wskaźniki punktów

do kontroli płaskości wygodnie wybrać jako

wierzchołki (węzły)

regularnej siatki kwadratów.

W wyniku obserwacji uzyskuje się dla każdego punktu współrzędne
{X,Y,Z}.
Równanie płaszczyzny odniesienia określa 3 punkty
-

z proj

ektu dla uzyskania informacji o odchyłkach wykonania obiektu,

- z wyrównania

metodą najmniejszych kwadratów danych z pomiarów.

Równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0
Równania poprawek v

i

= Ax

i

+ By

i

+ Cz

i

+ D

Współczynniki A,B,C,D z układu równań normalnych { Σ(v

i

)

2

= 0 }

lub układu 3 równań Ax

i

+ By

i

+ Cz

i

+ D =0 (i=1,2,3) dla 3 punktów

z projektu.
Odchyłka od płaszczyzny jako odległość wskaźnika od płaszczyzny:

C

B

A

D

Cz

By

Ax

2

2

2

i

i

i















i

KONTROLA PŁASKOŚCI OBIEKTU cd

Odchylenie od

płaszczyzny

będą równe odległości wskaźników od tej

płaszczyzny:

C

B

A

D

Cz

By

Ax

2

2

2

i

i

i















i

Odchyłki Δ

i

mogą być traktowane jako wartości

odchyleń od pozycji projektowych przy ocenie
wykonania obiektu zgodnie z projektem lub oceny
płaskości ściany obiektu czyli odchyleń od
wypośrodkowanej płaszczyzny odniesienia.
Maksymalną dopuszczalną odchyłkę rzeczywistego
kształtu powierzchni od teoretycznej płaszczyzny podają
normy (PN-B-06200)
(PN-EN 772-20:2002).
Przy montażu konstrukcji stalowej, odchyłki płaskości
±2 mm w przedziale 1 m.
Dopuszczalna odchyłka płaskości powierzchni ścian i
płyt dachowych ±2 mm na długości 1m i ±3 mm na
całej długości i szerokości.
Odchyłka równości posadzki na całej powierzchni
±7mm.

Wymagania dotyczące geometrycznego stanu torów

podsuwnicowych

Wymagania dokładnościowe określają :

PN-77/B-

06200:2002.

Pomiary geodezyjne .

• Różnica poziomów główek szyn w jednym przekroju
poprzecznym toru jezdnego nie powinna być większa
niż

10mm

na podporach i

15mm

w przęśle.

• Różnica poziomów główki szyny na słupach w osi
podłużnej nie powinna przekraczać wartości

b/1500

(gdzie b rozstaw słupów) i nie może przekraczać

10mm

.

• Odchyłka rozstawu szyn toru jezdnego w stosunku do
projektu nie powinna być większa niż

±5mm

.

• Odchyłka osi szyny od teoretycznej nie powinna
przekraczać

±2.5mm

.

• Wzajemne przesunięcie czoła szyn w styku, w poziomie
lub pionie nie powinno być większe niż

1mm

.

• Odchylenie osi górnego pasa belki podsuwnicowej w
środku jej rozpiętości od płaszczyzny pionowej,
przechodzącej przez środki podpór przy wysokości belki
h, nie powinno być większe niż h/500.

Wymagania dotyczące geometrycznego stanu torów cd

• Lokalna odchyłka szyny od prostej na odcinku L=2 m.
- pozioma różnica może wynosić max. ±1 mm,
- pionowa różnica może wynosić max. ±2 mm,
• Różnica poziomów szyn na długości L miedzy
podporami - L/1000
dla odległości 20 metrów może być jednak mniejsza od .
10 mm
• Równoległość szyn, dla rozpiętości mniejszej od 15 m
max. różnica może wynosić ± 5 mm, 
• Różnica w poziomie szyn, dla rozpiętości poprzecznej
5000 mm wyniesie L/1000 = 5 mm (nie więcej niż 10 mm
przy większych L).
• Mimośrodowość szyny względem środnika belki,
(dopuszczalna wielkość przesunięcia) ±12 mm.
Na podstawie pomiarów wykonuje się wyrównanie
kształtu toru jezdni.

Dla prawidłowej pracy torów i suwnic niezbędne jest
aby szyny były:

• prostoliniowe i równoległe do siebie,
• oddalone od siebie w płaszczyźnie poziomej i pionowej
w wielkości ustalone w projekcie,
• ułożone poziomo na wysokości podanej w projekcie.
 

POMIARY KONTROLNE SUWNICY

l

o

– rozstaw szyn

projektowany
l

1

, l

n

– odległości punktów

bazy
1,2,..i,..n – wybrane
przekroje
prostopadle do osi toru
suwnicy
X

1

, X

n

– linie pomiarowe do

pomiaru prostoliniowości
a

11

,.., a

1i

, a

1n

–a

21

,.., a

2i

, a

2n

- obserwacje odchyłek w
metodzie stałej prostej,
y

11

, y

1n

, y

21

, y

2n

– rzędne bazy

w układzie teoretycznych osi
A , B

Redukcja obserwowanych odchyłek do współrzędnych
nominalnych

Strona lewa toru współrzędne obliczone względem linii X

1

.

y

1i

= a

1i

.

Redukcja wielkości a

2i

do współrzędnych względem linii X

1

(strona prawa)
y

2i

=l

1

+ (x

1i

– x

11

)/(x

1n

– x

11

) (l

n

– l

1

) + a

2i

.

Obliczenie współrzędnych punktów na teoret. osi toru w wybranych
przekrojach:
y

i

= (y

1i

+ y

2i

)/2

Równania poprawek (równanie osi teoretycznej y = ax+b):
v

i

= a (x

1i

/D) + b - y

i

.

Obliczenie współczynników równania osi toru wg metody
najmniejszych kwadratów
Σv

i

2

= min

Równania normalne:
a Σ(x

1i

/D)

2

+b Σ(x

1i

/D) = Σ y

i

(x

1i

/D)

a Σ(x

1i

/D) + b n = Σ y

i

Rozwiązanie metodą wyznaczników.
W = n Σ(x

1i

/D)

2

– (Σ(x

1i

/D) )

2

;Wa = n Σ [y

i

(x

1i

/D)] - Σ(x

1i

/D) Σ y

i

Wb = Σ(x

1i

/D)

2

Σ y

i

– Σ[ y

i

(x

1i

/D)] Σ(x

1i

/D)

Redukcja obserwowanych odchyłek do współrzędnych cd

Współczynniki równania osi toru:
a = Wa/W; b = Wb/W
Nominalne wartości Y

i

dla szyn jezdni:

Y

1i

=a(x

1i

/D) +b - l

0

/2 ; Y

2i

=a(x

1i

/D) +b + l

0

/2

Poprawki do obserwowanych a

1i

, a

2i

– po wyrównaniu.

v

1i

= Y

1i

– y

1i

; v

2i

= Y

2i

– y

2i

;

Rozstaw szyn po wyrównaniu : L

i

= y

2i

+ y

1i

;

Poprawka rozstawu L

i

: v

ir

= v

2i

–v

1i

;

Obliczenie strzałek krzywizny szyn (ocena
prostoliniowości).
Szyna lewa:
f

1i

=y

1i

– [y

1(i-1)

+ (y

1(i+1)

+ y

1(i-1)

)(x

i

– x

i-1

)/(x

i+1

– x

i-1

)].

Szyna prawa:
f

2i

=y

2i

– [y

2(i-1)

+ (y

2(i+1)

+ y

2(i-1)

)(x

i

– x

i-1

)/(x

i+1

– x

i-1

)].

(i = 2,3..,n-1)
Obliczenie różnic wysokości i pochyleń.

Obliczenie różnic wysokości i pochyleń.

Obliczenie różnic wysokości niwelety szyn i pochyleń
podłużnych:
∆H

1i

= H

1i

- H

1(i-1)

(i = 2,3,…N)

e

1i

= ∆H

1i

/(x

i

– x

i-1

) e

1N

= 0

Szyna prawa:
∆H

2i

= H

2i

- H

2(i-1)

e

2i

= ∆H

2i

/(x

i

– x

i-1

) e

2N

= 0

Obliczenie poprzecznych różnic wysokości w
przekrojach :
∆H

i

= H

1i

- H

2i

Pochylenie poprzeczne:
ε

i

= ∆H

i

/L

0

TYCZENIE TRAS

Technologia prac geodezyjnych podczas budowy:
Analiza projektu (sprawdzenie geometrii trasy,
sprawdzenie danych wysokościowych, sprawdzenie miar
w dokumentacji projektowej).
Założenie geodezyjnej osnowy poziomej (

realizacyjnej

)

Założenie osnowy pionowej (

reperów roboczych

).

Inwentaryzacja istniejącego terenu (pomiar istniejącego
terenu w celu uzyskania danych niezbędnych do
obliczenia robót rozbiórkowych
i kolejnych etapów budowy ).
Opracowanie

szkicu dokumentacyjnego

(obliczenie i

przygotowanie danych niezbędnych do wyniesienie w
terenie projektu).
Sporządzenie

szkiców tyczenia.

Wytyczenie usytuowania osi w terenie (wyniesienie
punktów głównych i charakterystycznych do robót
ziemnych i przygotowawczych.
Inwentaryzacja prac rozbiórkowych (pomiary
inwentaryzacyjne obiektów przeznaczonych do rozbiórki.
Wytyczenie położenia obiektów w terenie, kontrola
wytyczenia.

DOKŁADNOŚĆ TYCZENIA

Tyczenie osi trasy należy wykonać w oparciu o
dokumentację projektową oraz dane geodezyjne
przekazane przez zamawiającego, przy wykorzystaniu
sieci poligonizacji państwowej albo innej osnowy
realizacyjnej, określonej w dokumentacji projektowej.
Oś trasy powinna być wyznaczona w

punktach głównych

i

w punktach

pośrednich

zależnie od ukształtowania

terenu , lecz

nie rzadziej niż co

50 metrów

.

Dopuszczalne odchylenie sytuacyjne wytyczonej osi trasy
w stosunku do dokumentacji projektowej

nie może być

większe niż 3 cm dla autostrad

i dróg ekspresowych lub

5

cm dla pozostałych dróg

.

Wysokośći niwelety

punktów osi

trasy należy wyznaczyć

z dokładnością do 1 cm

w

stosunku do rzędnych niwelety określonych w
dokumentacji projektowej.
Profilowanie przekrojów poprzecznych musi umożliwiać
wykonanie nasypów i wykopów o kształcie zgodnym z
dokumentacją projektową.

Redukcja obserwowanych odchyłek do współrzędnych cd

Współczynniki równania osi toru:
a = Wa/W; b = Wb/W
Nominalne wartości Y

i

dla szyn jezdni:

Y

1i

=a(x

1i

/D) +b - l

0

/2 ; Y

2i

=a(x

1i

/D) +b + l

0

/2

Poprawki do obserwacji a

1i

, a

2i

– po wyrównaniu.

v

1i

= Y

1i

– y

1i

; v

2i

= Y

2i

– y

2i

;

Rozstaw szyn po wyrównaniu : r

i

= y

2i

+ y

1i

;

Poprawka rozstawu r: v

ir

= v

2i

–v

1i

;

Obliczenie strzałek krzywizny szyn.
Szyna lewa:
f

1i

=y

1i

– [y

1(i-1)

+ (y

1(i+1)

+ y

1(i-1)

)(x

i

– x

i-1

)/(x

i+1

– x

i-1

)].

Szyna prawa:
f

2i

=y

2i

– [y

2(i-1)

+ (y

2(i+1)

+ y

2(i-1)

)(x

i

– x

i-1

)/(x

i+1

– x

i-1

)].

(i = 2,3..,n-1)
Obliczenie różnic wysokości i pochyleń.

INWENTARYZACJA BIEŻĄCA

Inwentaryzacja wykonanych robót (pomiary terenowe
sytuacyjno - wysokościowe, mające na celu sprawdzenie
poprawności wykonanych prac w stosunku do danych
projektowych,

przygotowanie dokumentacji

Potwierdzenie zgodności wykonanych robót z
dokumentacją projektową.
Pomiarowi podlegają w przypadku budowy drogi:

dno wykopu,
poziom stabilizacji gruntu cementem
podbudowa z kruszywa naturalnego i łamanego
podbudowa bitumiczna
warstwa profilowa nawierzchni
warstwa ścieralna asfaltu

Wytyczenie w terenie infrastruktury towarzyszącej
drodze:

barier ochronnych
rowów odwadniających i kanalizacji deszczowej
chodników
obiektów inżynieryjnych (mosty, przepusty,
wiadukty)
sieci energetycznej, teletechnicznej.

INWENTARYZACJA POWYKONAWCZA

Pomiar inwentaryzacyjny wykonanych robót:

przekroje poprzeczne i podłużny trasy
pomiar wykonanego humusowania
skarpowania
plantowania
obsadzania krzewami i drzewami
powierzchni elementów infrastruktury (chodniki,
krawężniki, parkingi itp.)
inwentaryzacja małej architektury oraz uzbrojenia
podziemnego.

Sporządzenie dokumentacji (operat pomiarowy, kopia
mapy zasadniczej)
Przekazanie Zamawiającemu dokumentów z
inwentaryzacji zarejestrowanych w Ośrodku
Dokumentacji.

DANE PROJEKTOWE

prędkość projektowa [km/h]

70

60

50

poza terenem zabudowy, pochylenie
poprzeczne jezdni 7%

200 125

80

 

 
W sprzyjających warunkach terenowych należy dążyć do zapewnienia
kompozycji przestrzennej elementów geometrycznych drogi, m.in. przyjmując
takie wielkości promieni łuków poziomych, dla których wymagane pochylenie
poprzecznego jezdni nie przekracza 5% (na terenie bez zabudowań).

Wartości promieni łuków kołowych w planie [m] dla 7 % pochylenia jezdni:

Warunki projektowania nowych dróg i modernizowania
istniejących określa rozporządzenie Ministra Transportu i
Gospodarki Morskiej

PROMIENIE ŁUKÓW

Wartości promieni łuków kołowych w planie [m] i pochylenia
poprzeczne jezdni:

pochylenie

_____________

prędkość

jak na prostej 2-2,5%

3%

4%

5%

6%

7%

70 km/h

>=1000

>=800 600

400

300

250 <=200

60 km/h

>=600

>=500 350

250

200

150 <=125

50 km/h

>=450

>=350 250

175

125

100

<=80

TYCZENIE OSI TRASY

PO

W1

PŁ

SŁ

KŁ

W1

PŁ

W3

KŁ

KO

SŁ

W1,W2,W3 … - wierzchołki
PO,KO – początek/koniec opracowania
PŁ, SŁ, KŁ – początek/środek/koniec
łuku
R1, R2 – promień łuku kołowego

R1

R2

TYCZENIE OSI TRASY

Oś trasy składa się z

odcinków linii prostej

i

łuków

krzywoliniowych

(łuków kołowych i krzywych przejściowych). Każdy odcinek zawiera
charakterystyczne punkty trasy –

wierzchołki trasy

, początek/koniec

trasy, początek/koniec/środek luku, początek/koniec

krzywej

przejściowej

i punkty

hektometrowe

.

Punkty wierzchołkowe

trasy i inne

punkty główne

powinny być

zastabilizowane w sposób trwały, a także dowiązane do punktów
pomocniczych, położonych poza granicą robót ziemnych. Maksymalna
odległość pomiędzy punktami głównymi na odcinkach prostych nie
może przekraczać 500 m.

Repery robocze

(punkty wysokościowe) powinny być założone wzdłuż

trasy, a także przy każdym obiekcie inżynierskim.
Maksymalna odległość między reperami roboczymi wzdłuż trasy w
terenie płaskim powinna wynosić 500 metrów, natomiast w terenie
falistym i górskim powinna być mniejsza.
Średni błąd niwelacji nie większy od ±4 mm/km,
Do utrwalenia punktów głównych trasy należy stosować pale
drewniane z gwoździem lub prętem stalowym, słupki betonowe albo
rury metalowe o długości około 0,50 metra.

Punkty główne łuku kołowego

W - wierzchołek

R – promień łuku

P,K – początek, koniec
łuku punkty styczności

S – środek łuku

 - kąt zwrotu trasy,  =

180º - 





Tyczenie tras komunikacyjnych

początek

koniec

środek

wierzchołe
k

dłu

go

ść

st

yc

zn

ej

Punkty główne łuku kołowego –
P,S,K

Obliczenie miar do wyznaczenia punktów głównych łuku

1)

2

cos

1

(

WS

d









Miary do wyznaczenia początku P i końca
K łuku:

2

tg

R

WK

PW

T









2

sin

R

X

S





)

2

cos

-

R(1

Y

S





styczne w pkt P
i K

dwusieczna

odcięta rzędna punktu S:

4

tg

R

NK

SN

MS

PM











styczne w pkt S

Długość łuku PSK:





180

R

PSK





Punkty główne łuku kołowego

-

przy niedostępnym wierzchołku:

Punkty A i B wyznaczone na prostych łączących wierzchołki trasy.

Kąty 

1

i 

2

z pomiaru lub z mapy (projektu).  = 

1

+ 

2

b

AP = T- AW, BK = T- BW

B = AB z pomiaru

Obliczenie miar do wyznaczenia punktów głównych łuku

)

sin(

sin

b

2

tg

R

AP

2

1

2















Miary do wyznaczenia początku P i końca
K łuku:

2

tg

R

WK

PW

T









2

sin

R

X

S





)

2

cos

-

R(1

Y

S





stycz
ne

odcięta rzędna (od cięciwy) punktu S:

4

tg

R

K

W

SW

S

W

t

PW

2

2

1

1

1













styczne w pkt S

Długości odcinków: AP i BK należy odmierzyć w kierunku sąsiednich
wierzchołków trasy

)

sin(

sin

b

2

tg

R

BP

2

1

1















Punkty pośrednie łuku kołowego – metoda ortogonalna

Obliczenie miar do wyznaczenia punktów pośrednich łuku

2

sin

R

c

k

1,

-

k







Miary do wyznaczenia punktów P

k

metodą ortogonalną od stycznej

łuku:

L

R

180













2

sin

R

X

k

k





)

2

cos

-

R(1

Y

k

k





miary bieżące
(odcięte)

domiary (rzędne)

n









n

L

PSK





długość cięciwy

Miary do kontroli wyznaczenia punktów P

k

)

2

-

cos

-

R(1

f

1

-

k

1

k

k









strzałka łuku







k

k

Punkty pośrednie łuku kołowego – metoda biegunowa

2

Biegun w punkcie P (lub K)

Obliczenie miar do wyznaczenia punktów pośrednich łuku

Miary do wyznaczenia punktów P

k

metodą biegunową

od stycznej

łuku:

2

sin

R

c

k

1,

-

k







L

R

180













d

k

kąty biegunowe

odległości biegunowe

n









n

L

PSK





długość cięciwy

Miary do kontroli wyznaczenia punktów P

k

)

2

-

cos

-

R(1

f

1

-

k

1

k

k









strzałka łuku







k

k

Konstrukcja geometryczna łuku koszowego (regulacja
potoków)

Skokowa zmiana długości promieni krzywej

Elementy trasy drogowej

Promień krzywizny

klotoidy

jest proporcjonalny do

długości łuku krzywa ta znalazła zastosowanie w

projektowaniu dróg

.

a = const

Szkic tyczenia punktów głównych z dwoma
symetrycznymi odcinkami klotoidy

Konstrukcja geometryczna łuku kołowego z krzywą
przejściową

łuk kołowy – SP o promieniu R

S

krzywa przejściowa – OS o długości L

S

Miary do wytyczenia krzywej przejściowej

Tyczenie

klotoidy

od stycznej:

.

.

.

3456a

L

40a

L

-

L

x

8

9

4

5







.

.

.

42240a

L

336a

L

-

6a

L

y

10

11

6

7

2

3







LR = a

2

2R

L





 - kąt zwrotu stycznej

Współrzędne punktu S (środka krzywizny łuku kołowego –
środek okręgu):

X

S

= X

P

– R sin , X

P

= x(L

P

), Y

P

= y(L

P

),

Y

S

= R + Y

P

– R(1 - cos ),

Współrzędne biegunowe punktu klotoidy:

d

P

= (

x

2

+

y

2

)

½

 = arctg (y/x)

L –parametr (długość
łuku)

R – promień krzywizny

Profil podłużny i łuki pionowe

Profil

podłużny

jest graficznym obrazem przekroju terenu

wzdłuż osi trasy krzywoliniowej i obrazem

projektowanej

niwelety

(osi drogi).

Dziękuję za uwagę